傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)

傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)1?傅里葉級數(shù)展開最簡單有最常用的信號是諧波信號，一般周期信號利用傅里葉級數(shù)展開 成多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號，即一般周期信號是由多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號線性疊加而成。1.1周期信號的傅里葉級數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號 x（t）只要滿足狄利克雷（dirichlet）條件，都可以展開成傅里葉級數(shù)。1.1.1狄利克雷（dirichlet）條件狄利克雷（dirichlet）條件為：（1）信號x（t）在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（當(dāng)t從左或右趨向于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值）；（2） 信號x（t）在一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值；（3）信號在一個(gè)周期內(nèi)是絕對可積分的，即 J：2X（t）dt應(yīng)為有限值。1.1.2間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)y=f（x）中某點(diǎn)處xo處有中斷現(xiàn)象，那么， x就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。（1）第一類間斷點(diǎn)（有限型間斷點(diǎn)）：可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義（xo令分母為零時(shí)等情況）；跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在，但不相等（y=x/x在點(diǎn)x=0處等情況）。（2）第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1.1.3傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為式中：ao為信號的常值分量； an為信號的余弦信號幅值； bn為信號的正弦信號幅值。0）、an、bn分別表示為：式中：To為信號的周期； 。為信號的基頻，即角頻率 「0=2二/T。，n=1,2,3...。合并同頻項(xiàng)也可表示為式中：信號的幅值A(chǔ)和初相位二分別為1.1.4頻譜的相關(guān)概念（1） 信號的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號的各頻率分量的集合，表征信號的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號的結(jié)構(gòu)，是代-「（或代4）和?（或二-f）的統(tǒng)稱；（2）信號的幅頻譜：周期信號幅值A(chǔ)隨（或f）的變化關(guān)系，用An-■■（或An-f）表示；（3）信號的相頻譜：周期信號相位斗隨「（或f）的變化關(guān)系，用 ■（或片-f）表示；（4） 信號的頻譜分析：對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5） 基頻：-o或f。，各頻率成分都是-,o或fo的整數(shù)倍；（6） 基波：-o或fo對應(yīng)的信號；

(7)n次諧波：Ancos(2二nfot^n)；n.o（n=2,3，(7)n次諧波：Ancos(2二nfot^n)；1.1.5周期信號的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開cosccit=_(e七+ejM)根據(jù)歐拉公式e二cos，.t_jsin，t(j=.—1)，貝q 2sincot=Xj(e七一e也2oO因此，傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式 x（t）=a0?7ancosn-，0tbnsinn-.0t可改寫成n二令則或這就是周期信號的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。an 2"2Tx(t)cosn°tdt 1、l夕T.一0 — 1 T0/2 jnt將 0T/2 代入Cn2an一jbn )T則Cn=T_L/2X(t)eVtbnT T>(t)sinn，°tdt oc在一般情況下Cn是復(fù)數(shù)，可以寫成 Cn二CnRjCm二CnJ"式中由 Cn二 CnR+j6=Cne?，Cn=1(an —jb「 C』1^ jbn )可表示為oO則x(t)=7Cnejnot n=0,_1,_2,...變?yōu)橛纱丝梢?，周期信號用?fù)指數(shù)形式展開， 相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量 Coejn°A；n來描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無實(shí)際物理意義。1.1.6傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由Cnoan"jbn，Cn=CnRjCni=CnJ可知：2綜合A二.a：七，C』C:R9；表示為即雙邊頻譜的幅值Cn是單邊頻譜幅值A(chǔ)的一半。C由心「加言登，Cn"/2，.../2可知:三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量復(fù)指數(shù)常量余弦分量幅值復(fù)數(shù)Cn的實(shí)部正弦分量幅值復(fù)數(shù)Cn的虛部振幅復(fù)數(shù)Cn的模相位相位2傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號稱為一般周期信號，也就是瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過程等信號均屬于瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號是非周期信號，可以看作一個(gè)周期的周期信號，即周期T_.??。因此，可以把瞬態(tài)信號看作周期趨于無窮大的周期信號。2.1傅里葉變換設(shè)有一周期信號x1,則其在［_T/2,T/2］區(qū)間內(nèi)的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為x(t)=CCnejn0t,

n式中當(dāng)To_.時(shí)，積分區(qū)間E/2,T/2'：■ ,:1;譜線間隔/To_;d■,/1Td2 jnx離散頻率n?T連續(xù)變量⑷，所以Cn=〒JT/2x(t)e將dt變?yōu)樵撌椒e分后將是 ■的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用Xj-或X??表示為式中：X片：j稱為信號x(t)的傅里葉積分變換或簡稱傅里葉變換( FouierTransform,FT),是把非周期信號看成周期趨于無窮大的周期信號來處理的，顯然即Xj■為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把Xj-稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。C由X(ja)=Jim尹CnT。=fm0~A得代入x(t)二JCnejn0t得:_n—::當(dāng)時(shí)，「0 =2二/T0 ■，離散頻率n「0_.連續(xù)變量，，求和二一積分。貝Uxt稱為X(血)的傅里葉逆變換或反變換(InverseFourierTransform，IFT)。Xj二xtef和xt二右.〕Xj■ejt-d■構(gòu)成了傅立葉變換對FT一般地，使用二或二表示信號之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。 由于」=2二f,IFT所以x(代)二j：x(tejtdt和x(t)=盤匚x(^e叫⑷可變?yōu)檫@就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn) 1/2二的常數(shù)因子，使公式形式簡化。由式Xjf二,xtA27ftdt可知，非周期信號能夠用傅里葉函數(shù)來表示， 。而周期信號可一「°°也主-Xjf「；Xtfdt是--般復(fù)數(shù)形式，可表示為由傅里葉級數(shù)x(t)——Cnen0來表示式中：ReX(jf:為X(jf)的實(shí)部；lmX(jf)為X(jf)的虛部；X(jf為信號x(/