6.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算

6.1

平面向量的概念及線性運(yùn)算第六章課標(biāo)要求1.通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析,了解平面向量的實(shí)際背景,理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則,理解其幾何意義.4.通過(guò)實(shí)例分析,掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則,理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容是平面向量的基礎(chǔ),復(fù)習(xí)時(shí)要注意辨析并理解相關(guān)概念,會(huì)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算,能利用共線向量基本定理解決相關(guān)問(wèn)題.涉及題目難度不大,對(duì)數(shù)學(xué)抽象學(xué)科素養(yǎng)體現(xiàn)較多.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.向量的有關(guān)概念

2.向量的加法(1)向量加法的線性運(yùn)算(2)向量加法的運(yùn)算律①交換律:a+b=b+a.②結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).知識(shí)拓展向量求和的多邊形法則

(1)已知n個(gè)向量,依次首尾相接,則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n個(gè)向量的和,這稱為向量求和的多邊形法則,即(2)首尾順次相接的若干向量求和,若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,則它們的和為0.3.向量的減法(1)相反向量①定義:與向量a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量.②性質(zhì):-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0;如果a與b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(2)向量的減法①定義:a-b=a+(-b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.③幾何意義:a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.溫馨提示1.記憶口訣:共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減.在用三角形法則作向量減法時(shí),只要記住“連接向量終點(diǎn),箭頭指向被減向量”即可.4.向量的數(shù)乘(1)定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa.長(zhǎng)度:|λa|=|λ||a|.方向:當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意.(2)幾何意義:λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)為原來(lái)的|λ|倍.(3)運(yùn)算律:設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),a,b為向量,則有①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.5.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對(duì)于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.6.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.問(wèn)題思考

||a|-|b||與|a±b|及|a|+|b|有什么關(guān)系?已知向量a,b,那么||a|-|b||與|a±b|及|a|+|b|三者之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)當(dāng)a,b有一個(gè)為零向量時(shí),不等式顯然成立.(2)當(dāng)a,b不共線時(shí),,如圖①所示.根據(jù)三角形的性質(zhì),有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)當(dāng)a,b為非零向量且共線時(shí),若向量a與b同向,則|a+b|=|a|+|b|(如圖②所示),|a-b|=||a|-|b||;若向量a,b反向,不妨設(shè)|a|>|b|,則|a+b|=|a|-|b|(如圖③所示),|a-b|=|a|+|b|.圖①

圖②圖③綜上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【知識(shí)鞏固】

×√×××DD4.設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=

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第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1辨析平面向量的有關(guān)概念例1

(1)對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A若a+b=0,則a=-b,所以a∥b.若a∥b,則a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要條件.(2)給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件;③若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;④a=b的充要條件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命題是

.(填序號(hào))

②解題心得對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條:(1)向量的兩個(gè)特征為大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標(biāo)表示.(2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,故相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,故向量只有相等與不相等,不可以比較大小.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)給出下列命題:①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;②兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小;③若λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零;④已知λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3 D.4C①假命題.方向相同或相反的非零向量是共線向量,另規(guī)定:零向量與任意向量共線.故①中命題為假命題.②真命題.因?yàn)橄蛄坑蟹较?所以它們不能比較大小,但它們的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大小.③假命題.當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,λa=0.④假命題.當(dāng)λ=μ=0時(shí),λa=μb,此時(shí),a與b可以是任意向量.(2)設(shè)a0為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行,且|a|=1,則a=a0.上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)為

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3向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時(shí),a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.能力形成點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算BA解題心得1.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來(lái).2.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.BB能力形成點(diǎn)3向量共線定理及其應(yīng)用拓展延伸2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解

因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),又λ<0,k=λ,所以k=-1.故當(dāng)k=-1時(shí),兩向量反向共線.解題心得1.提醒:證明三點(diǎn)共線時(shí),需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).2.對(duì)于

(λ,μ為實(shí)數(shù)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ+μ=1.3.a∥b?a與b共線?b=λa(a≠0,λ∈R),注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.DD第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升易錯(cuò)警示——都是零向量“惹的禍”

典例1

下列說(shuō)法正確的是

.(填序號(hào))

①向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa;②在△ABC中,③不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立;④只有方向相同或相反的向量是平行向量;⑤若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線.答案:⑤

解析:因?yàn)橄蛄縜與b不共線,所以向量a,b,a+b與a-b均不為零向量.若a+b與a-b平行,則存在實(shí)數(shù)λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,

此時(shí)λ無(wú)解,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線.故⑤正確;①②③④顯然錯(cuò)誤.典例2

下列敘述錯(cuò)誤的是

.(填序號(hào))

①若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同;②|a|+|b|=|a+b|?a與b方向相同;③④若λa=λb,則a=b.答案:①②③④

解析:對(duì)于①,當(dāng)a+b=0時(shí),其方向任意,它與a,b的方向都不相同;對(duì)于②,當(dāng)a,b中有一個(gè)為零向量時(shí),結(jié)論不成立;對(duì)于③,因?yàn)閮蓚€(gè)向量之和仍是一個(gè)向量,所以