湖南省岳陽地區(qū)2023屆高三上學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含解析

岳陽地區(qū)2022級高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確選項(xiàng)）1.已知集合,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)系數(shù)方程的一根，則（）A.4 B.2 C.0 D.3.中國青年志愿者協(xié)會成立于1994年12月5日，此后廣大志愿者?志愿服務(wù)組織不斷蓬勃發(fā)展，目前高校青年志愿者組織就有132個.為了解某大學(xué)學(xué)生參加志愿者工作情況，隨機(jī)抽取某高校志愿者協(xié)會的40名成員，就他們2022年第2季度參加志愿服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表所示.則這40名學(xué)生本季度參加志愿活動的第40百分?jǐn)?shù)位為（）次數(shù)7891011人數(shù)610987A.9 B.8 C.8.5 D.9.54.在平面直角坐標(biāo)系中，“點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.青銅器是指以青銅為基本原料加工而成的器皿?用器等，青銅是紅銅與其它化學(xué)元素（錫?錦?鉛?磷等）的合金.其銅銹呈青綠色，故名青銅.青銅器以其獨(dú)特的器形，精美的紋飾，典雅的銘文向人們揭示了我國古代杰出的鑄造工藝和文化水平.圖中所示為觚，飲酒器，長身，侈口，口底均成喇叭狀，外形近似雙曲線的一部分繞虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面.已知，該曲面高15寸，上口直徑為10寸，下口直徑為7.5寸.最小橫截面直徑為6寸，則該雙曲線的離心率為（）A B. C. D.6.已知正數(shù)，滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7.已知面積為6直角中，為斜邊上的兩個三等分點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.8 D.8.已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（）A. B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，每個小題至少有兩個正確選項(xiàng)，完全正確得5分，漏選得2分，錯選或不選得0分）9.已知函數(shù)，則下列論述正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.為偶函數(shù).C.是周期函數(shù)，且最小正周期為D.的解集為10.在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列判斷正確的有（）A.面積的最大值為1B.的取值范圍為C.若為直徑，則D.若直線過點(diǎn).則點(diǎn)到直線距離的最大值為11.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個零點(diǎn)，則（）A.的取值范圍為B.的圖像與直線在上的交點(diǎn)恰有2個C.的圖像與直線在上的交點(diǎn)恰有1個D.在上單調(diào)遞增12.在直四棱柱中中，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值.B.若平面，則的最小值為.C.若的外心為，則為定值2.D.若，則點(diǎn)的軌跡長度為.三?填空題（每小題5分，共20分）13.已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為8，則實(shí)數(shù)___________.14.已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若被軸平分，則直線的斜率為___________.15.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如即為6的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為___________.16.已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為______.四?解答題（共70分）17.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，又為與等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求前項(xiàng)和；（3）若，判斷數(shù)列是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，若存在，求的最大和最小項(xiàng)，不存在，請說明理由.19.伴隨經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習(xí)慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對去年的參與了該連鎖機(jī)構(gòu)健身的會員進(jìn)行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員到健身連鎖機(jī)構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.（1）現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員中隨機(jī)抽取一個容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；類別年輕人非年輕人合計健身達(dá)人健身愛好者合計100臨界值表：（2）將（1）中的頻率作為概率，連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取會員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”,再從這3人中隨機(jī)選取的1人，了解到該會員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望值.20.如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線段上一動點(diǎn)（不與重合）（1）若，設(shè)平面面，求證：；（2）當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為為垂直于軸的動直線.（1）當(dāng)時，設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的斜率之積為，且的周長最大值為，求橢圓方程；（2）在第（1）問條件下，將直線移動至處，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，直線分別交橢圓于點(diǎn)，試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，請求出該定點(diǎn)，若不是，請說明理由.22.已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），（1）當(dāng)時，若直線是與的公切線，求的方程；（2）若對于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取數(shù)范圍.岳陽地區(qū)2022級高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確選項(xiàng)）1.已知集合,且,則實(shí)數(shù)取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫圖，按照真子集的定義分析即可【詳解】由題知又,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)系數(shù)方程的一根，則（）A.4 B.2 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】將代入方程中，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，，且，故選：C3.中國青年志愿者協(xié)會成立于1994年12月5日，此后廣大志愿者?志愿服務(wù)組織不斷蓬勃發(fā)展，目前高校青年志愿者組織就有132個.為了解某大學(xué)學(xué)生參加志愿者工作的情況，隨機(jī)抽取某高校志愿者協(xié)會的40名成員，就他們2022年第2季度參加志愿服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表所示.則這40名學(xué)生本季度參加志愿活動的第40百分?jǐn)?shù)位為（）次數(shù)7891011人數(shù)610987A.9 B.8 C.8.5 D.9.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】∵為整數(shù)∴第40百分?jǐn)?shù)位為第16位和第17位的平均數(shù)，即為故選：C.4.在平面直角坐標(biāo)系中，“點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】在橢圓內(nèi)得，由得，進(jìn)而判斷是成立的必要不充分條件即可得答案.【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在橢圓內(nèi)時，，即，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)成立時，一定成立，反之，成立時，不一定成立，所以，是成立必要不充分條件，所以，“點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是“”的必要不充分條件.故選：C5.青銅器是指以青銅為基本原料加工而成的器皿?用器等，青銅是紅銅與其它化學(xué)元素（錫?錦?鉛?磷等）的合金.其銅銹呈青綠色，故名青銅.青銅器以其獨(dú)特的器形，精美的紋飾，典雅的銘文向人們揭示了我國古代杰出的鑄造工藝和文化水平.圖中所示為觚，飲酒器，長身，侈口，口底均成喇叭狀，外形近似雙曲線的一部分繞虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面.已知，該曲面高15寸，上口直徑為10寸，下口直徑為7.5寸.最小橫截面直徑為6寸，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)系中的雙曲線模型，列方程求解.【詳解】依題意，該酒杯可近似看成雙曲線模型，建立直角坐標(biāo)系，并作出雙曲線如下：設(shè)均和軸垂直.則，，設(shè)雙曲線的方程為：，根據(jù)雙曲線經(jīng)過，可知，設(shè)的縱坐標(biāo)分別為，結(jié)合圖像可知，由可得：，，解得，根據(jù)可知，，解得，于是.故選：B6.已知正數(shù)，滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，設(shè)，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得最值判斷出，再由可得答案.【詳解】均為正數(shù)，因?yàn)?，所以，設(shè)，

則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即，所以，可得，又得，綜上，故選：D.7.已知面積為6的直角中，為斜邊上的兩個三等分點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意繪出草圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由直角面積為6設(shè)出點(diǎn)P，Q坐標(biāo)，代入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用基本不等式可解得其最小值.【詳解】根據(jù)題意繪圖如下，直角面積為6，設(shè)，則.又為斜邊上的兩個三等分點(diǎn)，設(shè)，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.故選：B8.已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，此時為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因?yàn)椋钜驗(yàn)?，所以，在中，，所以，，所以，，所以，?dāng)，即時，取得最大值，所以，當(dāng)時，取得最大值，此時為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，每個小題至少有兩個正確選項(xiàng)，完全正確得5分，漏選得2分，錯選或不選得0分）9.已知函數(shù)，則下列論述正確的是（）A.定義域?yàn)锽.為偶函數(shù).C.是周期函數(shù)，且最小正周期為D.的解集為【答案】BD【解析】【分析】利用余弦、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定義域、解不等式判斷A、D；奇偶性定義判斷奇偶性判斷B；根據(jù)即可判斷C.【詳解】由，即，故定義域?yàn)?，A錯誤；，結(jié)合A知為偶函數(shù)，B正確；，顯然也是的周期，故最小正周期不是，C錯誤；，則，即或，所以解集為，D正確.故選：BD10.在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列判斷正確的有（）A.面積的最大值為1B.的取值范圍為C.若為直徑，則D.若直線過點(diǎn).則點(diǎn)到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式即可判斷A，根據(jù)直線與圓相切可判斷B,根據(jù)向量的加法法則可判斷C,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷D.【詳解】，（如圖1）由于，所以，當(dāng)時，取最大值為1，故的面積最大值為1，A正確；設(shè)當(dāng)直線分別與圓相切時，此時最大，（如圖2）由于，所以在中，，因此，故B正確；當(dāng)是直徑時，是的中點(diǎn)，則,故C錯誤；當(dāng)時，此時圓心到直線的距離最大，且最大值為,（如圖3）故點(diǎn)到直線距離最大值為，故D正確；故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個零點(diǎn)，則（）A.的取值范圍為B.的圖像與直線在上的交點(diǎn)恰有2個C.的圖像與直線在上的交點(diǎn)恰有1個D.在上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】當(dāng)時，，且在上有且僅有4個零點(diǎn)，所以介于第四個零點(diǎn)與第五個零點(diǎn)之間，然后借助余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個零點(diǎn)，所以，解得，故A正確.又由以上分析知，函數(shù)在上有且僅有4個零點(diǎn)，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時，取最大值，故的圖像與直線在上的交點(diǎn)恰有2個，故B正確.由于當(dāng)時，，，當(dāng)時，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖像與直線在上的交點(diǎn)可能是1個或2個，故C錯誤.當(dāng)時，因?yàn)椋?，，故不一定小于，所以在上一定不單調(diào)遞增.故D錯誤故選:AB.12.在直四棱柱中中，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值.B.若平面，則的最小值為.C.若的外心為，則為定值2.D.若，則點(diǎn)的軌跡長度為.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由，可得三點(diǎn)共線，可得點(diǎn)在，而由直四棱柱的性質(zhì)可得∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，而的面積為定值，從而可進(jìn)行判斷，對于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，由面面平行的判定定理可得平面∥平面，從而可得∥平面，進(jìn)而可求得的最小值，對于C，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對于D，在上取點(diǎn)，使得，可得點(diǎn)的軌跡為圓弧，從而可進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在，因?yàn)椤危矫?，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確，對于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)椤?，∥，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，∥平面，因?yàn)?，平面，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以?dāng)時，最小，因?yàn)?，所以，，所以，所以重合，所以的最小值為，所以B正確，對于C，若的外心為，過作于，因?yàn)?，所以，所以C錯誤，對于D，過作于點(diǎn)，因?yàn)閯t可得平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動，因?yàn)椋?，則圓弧等于，所以D正確，故選：ABD三?填空題（每小題5分，共20分）13.已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為8，則實(shí)數(shù)___________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意得到的展開式的通項(xiàng)公式，再由條件列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為解得故答案為:14.已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若被軸平分，則直線的斜率為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意繪出草圖，把點(diǎn)的位置分兩種情況進(jìn)行討論，分情況設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱關(guān)系（見詳解圖），結(jié)合直線的斜率來求解即可.【詳解】根據(jù)題意繪圖如下，設(shè)直線AB交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，設(shè)，則，被軸平分，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，.又，，，由得：，即，故，.同理，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時，設(shè)，則有.綜上分析得知：.故答案為：15.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如即為6的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義得到為奇數(shù)和為偶數(shù)時，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前100項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時，由于，此時，當(dāng)時，由于，此時，所以的前100項(xiàng)和為.故答案為：16.已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性情況，且時，，時，，同時注意，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，所以時，；時，；時，，同時注意到，所以若存在，，使得成立，則且，所以，所以，所以構(gòu)造函數(shù)，而，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用同構(gòu)的方式將聯(lián)系起來，這樣就構(gòu)造了新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值.四?解答題（共70分）17.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理可求解;(2)由為銳角三角形確定,用正弦定理以及面積公式即可求解.【小問1詳解】由題知：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，故.【小問2詳解】由題知為銳角三角形且，則，即，則，又由正弦定理，，又，則，故.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，又為與的等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和；（3）若，判斷數(shù)列是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，若存在，求的最大和最小項(xiàng)，不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為【解析】【分析】（1）先根據(jù)可求出公差，然后根據(jù)為與的等比中項(xiàng)可求出首項(xiàng)，最后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）用錯位相減法可求；（3）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而求出其最大值與最小值.【小問1詳解】解：由題知：，且為等差數(shù)列，設(shè)公差為，故即，故又即解得故【小問2詳解】解：由題知中：則有故【小問3詳解】解：由題知：，故，令，則，故又，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故又，且故綜合得，數(shù)列的最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為19.伴隨經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習(xí)慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對去年的參與了該連鎖機(jī)構(gòu)健身的會員進(jìn)行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員到健身連鎖機(jī)構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.（1）現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員中隨機(jī)抽取一個容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；類別年輕人非年輕人合計健身達(dá)人健身愛好者合計100臨界值表：（2）將（1）中的頻率作為概率，連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取會員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”,再從這3人中隨機(jī)選取的1人，了解到該會員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望值.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)（2）①；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意填寫好表格，根據(jù)公式計算值，對照表格得到結(jié)論；（2）根據(jù)條件概率公式得到此人為非年輕人的概率，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)分，計算各自概率，得到分布列.【小問1詳解】根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%，則年輕人人數(shù)為，則非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比60%，所以其人數(shù)為，根據(jù)其中年輕人占比，所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為，則非年輕人為10人；健身愛好者人數(shù)為，再通過總共年輕人合計為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為，3根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為，具體表格填寫如下.列聯(lián)表為類別年輕人非年輕人合計健身達(dá)人501060健身愛好者301040合計8020100零假設(shè)，是否為“健身達(dá)人”與年齡無關(guān).所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；【小問2詳解】①設(shè)事件為：該人為年輕人，事件為：該人為健身達(dá)人，故此人為“非年輕人”的概率為則②由（1）知，既是年輕人又是健身達(dá)人的概率為，，故X的分布列：0123的數(shù)學(xué)期望值.20.如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線段上一動點(diǎn)（不與重合）（1）若，設(shè)平面面，求證：；（2）當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）為中點(diǎn).【解析】【分析】（1）由線面垂直、圓的性質(zhì)有、，再由線面垂直的判定及性質(zhì)得，進(jìn)而有面，最后由線面垂直的性質(zhì)、射影定理及線面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求的坐標(biāo)，設(shè)，可得，再分別求出面、面的法向量，結(jié)合已知面面角的大小求參數(shù)，即可確定點(diǎn)的位置.【小問1詳解】由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面，又∵面，∴，又，面，面，又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.【小問2詳解】由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過的母線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時重合，不合題意，/r/