橢圓的二級(jí)結(jié)論

橢圓92條終極結(jié)論.|/第|+|咫|二2".標(biāo)準(zhǔn)方程：=+馬=1CT（T.皿皿4,點(diǎn)P處的切線PT?分△PFiF?在點(diǎn)P處的外角..PT平分△PFF?在點(diǎn)P處的外角,—點(diǎn)在H線PT上的射4H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為H徑的除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).或集點(diǎn)弦PQ為直徑的國(guó)心與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離..以焦點(diǎn)華比PR為在拄的國(guó)必與以長(zhǎng)軸為由繪的圓內(nèi)切..設(shè)Ai.A?為橢圓的左.右頂點(diǎn),則△PFF?在邊PF?（或PR）上的旁切圓?必與AA所在的直線切于A?（或Ai）..橢圓號(hào)+1=1a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為4（一“,0）,4（“,0）.Ljy軸平行的出線交橢困于汽巴時(shí)ARan*與A：P>父點(diǎn)的軌跡萬(wàn)般是匚=I.q?Zr2 2.?；/（3,%）在橢圜］+>=1匕則過(guò)馬的橢圓的切線方程是苦+耦=1.若乃（%,尤）在桶圓5+g=1外?網(wǎng)過(guò)P。作描城的兩條切線切點(diǎn)為％、p>則切點(diǎn)弦PR的直線方程是等+罟=LabTOC\o"1-5"\h\zX*y* />*AB是描例-r+4T=1的不平行于對(duì)稱軸II過(guò)原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn).則A〃“此浮=--to'/>* a*2 2 2 2若不（與,乂）在橘因=+當(dāng)=|內(nèi)，則被P。所平分的中點(diǎn)弦的方程是岑+等=烏+烏.an abTh2j 2 214.若名（?%,”）住橢圓5+2=I內(nèi)，劃過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方科是與+5=父+黑.14.?；PQ是描1切巨+占=1<a>b>0）上對(duì)中心魂白的的弦，ffr則4+4=3+4（4=|。/"々=|。0|）,nAa〃16.若杭圓W+g=l?a>b>0）上中心張直角的弦L所在收線方程為/fx+B>=1（48=0）.則（I）q.oII.云八、.2&AfB，-+tt=: +8；（2）L=—rr;—尸不一?a-% 『H+b計(jì).給定桶閥（；：b2x2-^a2y2=a2b2<a>b>0）.G：//+a，’”.則3對(duì)C；匕任意給定的a?+b'點(diǎn)火/，為）陀的任直角弦必須經(jīng)過(guò)C；上一定點(diǎn)M（（勺工/,一匚二J0⑺）對(duì)?（；上任?點(diǎn)心3；,尤.）在q上存在胖的點(diǎn)力.使得m'的任n角弘都綺4/<點(diǎn)?.設(shè)外（%.此）為橢圓（或圓）+ （a>O..b〉O）上一點(diǎn),PR為曲線C的動(dòng)弦.且弦RPi.RP?斜率? ?2。在,記為k?.則內(nèi)線PR通過(guò)定點(diǎn)A〃mxu，一町“）（w*D的充要條件是用鼠=一一—?—?1一加.過(guò)橢解】+［=1（a>0,b>0）上任一點(diǎn)力（飛,打）任意作兩條在斜角互補(bǔ)的宜線交橢圓于B.C兩點(diǎn).則直ab戲BC有定向旦人”=母.（常數(shù)）.。了。.幅附］+￡=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為FrF“點(diǎn)P為懶威上任意一點(diǎn)//；/￥；=7,則肺IS的焦點(diǎn)角膨的面枳為 lanTtP&c'-b最不-unj）.2cY 2c2.若P為橢項(xiàng)［+4=］《a>b>0）上異丁長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任,點(diǎn)E.F?是熱點(diǎn).4PF\F、=a、//￥；￡=〃，才o則”二，-tanacota+c 2 2. + （a>b>0）的年半徑公式：|」W；|=a+G.|M6=4-5（C（-c,0）.5（c,0）忖（4,乂））.jJ.若精網(wǎng)「+與=1（a>b>0）的左、右性點(diǎn)分別為Fi、心.左準(zhǔn)線為L(zhǎng).則當(dāng)OVCW&-I時(shí),可在檎由比求一點(diǎn)p.使是p到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距息d與pf,的比例中項(xiàng).P為橢31￡+￡=1（a>b>0）上任一點(diǎn)日后為二例點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)?定點(diǎn)，則2a-\AFt兇41?|西區(qū)以升|伍I，當(dāng)2僅當(dāng)A9F29P三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成；.fffiiai4+TF=la>b>0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/：y=k（x-%）對(duì)稱的充要條件是生富.cib a+8k.過(guò)橢圓便半役的嫡點(diǎn)作橢圓的切淺.與以及釉為直徑的網(wǎng)相交,則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)蛆點(diǎn)的連找必與仍稅乖.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作精圈的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線干點(diǎn).好一點(diǎn)與句點(diǎn)的連線必與痛半徑互相霆宜..P是橢圓r=：c°'>（a>b>0）上?點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩俅點(diǎn)張直用的充嚶條件是"=一［y=bsin（p 1+sin'>.設(shè)A.B為橢閱￡+與=*/>0#=1）上兩點(diǎn)?其自線AB與精制5+與=1相之于P.0.財(cái)力。=80.ab a‘b.// Y+金.在橢Ifll—+匚=1中，定長(zhǎng)為2m'o<m^a>的弦中點(diǎn)軌跡方程為—#一~中ab cos*asin*a.>?tana=——Ar.當(dāng)J=0時(shí).a=90.《廣了.設(shè)S為㈱螞捺?方=1C>b>0）的通徑.定長(zhǎng)線段L的兩羯點(diǎn)A,B在橢同）上移動(dòng).記|AB尸/.是AB中點(diǎn)，則當(dāng)/><!）5時(shí)，有（%）g,=匕-匕 、c=￡）；當(dāng)l?t>S時(shí)?有c2e a(%)x=片立1-1.(d,=0..橢圓￡+￡=I、直線dx+8y+C=0"公共點(diǎn)的充要條件是A2a2fi:b22C2..橢圓殳二江+空"！=[4直找4x+B>，+C=0仃公共也的充要條件是(Tb，4H+B2b2>(/L%+8%+C)2.34.設(shè)府隨034.設(shè)府隨0十與

ab=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、A.P弁于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢18上任.意一點(diǎn).JTAPFiFi中.記/月尸6=。.ZPF\F>=fi.ZF、F,P=y?Wfe-,7 =-=e.smp+sm/a經(jīng)過(guò)精網(wǎng)〃?一+。與尸?。的GiAbAO)的長(zhǎng)的的兩端點(diǎn)AMN的切線.Lj橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于Pi和巴?則IP4IIP4卜川.己知橢例*+*=|(a>b>030為坐標(biāo)原點(diǎn)，P.。為恂圓上兩動(dòng)點(diǎn).且。F，。。.(1)康+冊(cè)=*》⑵⑶S"的最小侑足舞MN是經(jīng)過(guò)橢網(wǎng)//+/)/=。％2<a>b>0)過(guò)燼點(diǎn)的任?弦.苫AB是經(jīng)過(guò)桶例中心O且平行「MN的弦，則MN於經(jīng)過(guò)加圓//+4/="/<a>b>0>焦點(diǎn)的仔?弦，若過(guò)橢圓中心O的華弦OP_LA/N,則2_ 1II4網(wǎng)廣|0/>『=/+/,，i殳橢網(wǎng)二十二=1'a>b>0>.M(m,o)或(o.m)為H.對(duì)將抽上除中心.頂點(diǎn)外的任一點(diǎn).過(guò)M引條直a1b2 1>線、橢網(wǎng)相交「P?Q兩乩則直線ARAggN為對(duì)稱軸I.的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線/：*=土(或乎=二)m m上..設(shè)過(guò)楙，網(wǎng)焦點(diǎn)F作出紋與橢旗I相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢網(wǎng)準(zhǔn)線FM、N兩點(diǎn).WJMF1NF..過(guò)桶圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直伐與情圓交于兩點(diǎn)P、Q,A,、Az為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),AT和A：Q交「點(diǎn)M,A：P和AQ交I,點(diǎn)N.MMF1NF..設(shè)桶惻方程:+《=1.則斜率為k(kKO)的平行弦的中點(diǎn)必在白線/：y=h的共知直線y=k、匕而H“ob2fik r.，■「H且P不在橢圓上?則.設(shè)A,B、C、D為拗同±-+/=1上四由.AB、CD所在H線的幀斜角分別為a.￡,H「H且P不在橢圓上?則IPC\>\PD\人?cos：a+/sin[a.已知林圓耳?《二1(a>b>0).點(diǎn)P為其上一直F」】為橢陽(yáng)的生點(diǎn),/￡后；的外：內(nèi))角平分線為/.hZ>*作Fi?F?分別垂直/于R、S,當(dāng)P也同整個(gè)橢圓時(shí)，R■S形成的軌跡方程是/+V=，(｛力V+[(^-ce\xfc)]2)?(x:-f/+cr)'=[ce(x+c)f).

45.E和F,設(shè)AABC內(nèi)接T?楠畫「,且AB為「的直徑，/為AB的共蛆直徑所在的直線，/分別交宜線AC、BCT又D為」上一點(diǎn),則CD與榔［S「相切的充要條件是D45.E和F,過(guò)忡冊(cè)軸JP.=1（a>b>0）的右保點(diǎn)F作出線交該橢隊(duì)右支于M.N兩點(diǎn).弦MN的垂直平分線交、過(guò)忡冊(cè)軸JP.47.班ACi.yi）是橢圓1+^=1（a>b>0）上任一點(diǎn).過(guò)A作一條斜率為一”的內(nèi)線L,乂設(shè)d是原（fb， *47.點(diǎn)到直埃L的距離.不與分別是A到桶圓兩性點(diǎn)的走離.則而d=ab.,■■■百錢順次與它們相交FA、B、C、.己知柿網(wǎng)］+與=1（a>b>0>百錢順次與它們相交FA、B、C、D四點(diǎn).則|AB|-：CD|..Lim橢同4+4=1（a>b>0）.A、13、是酷網(wǎng)L的兩點(diǎn).線枝AB的垂直平分線與x軸相交干點(diǎn)a2ft*P（,%.0）?則一止生</<±2&..設(shè)p點(diǎn)是橢網(wǎng)彳+*=1（a>b>0>上異于長(zhǎng)Hi端點(diǎn)的任一點(diǎn)由.匕為共性點(diǎn)記則(1)1^11^1=lb2(1)1^11^1=lb2I+8S0.設(shè)過(guò)慚Mil的KI由上?點(diǎn)B（m。）作直線，橢網(wǎng)相交于P、Q兩點(diǎn).A為慚圓K鞋的左頂點(diǎn).連結(jié)AP和2AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的內(nèi)線MN：x=nJM.N西點(diǎn)?則NM8N=90o佇?二^^一4+63（〃+.L是經(jīng)過(guò)確題三十與。1（a>b>0）長(zhǎng)軸I臭點(diǎn)A且弓長(zhǎng)較垂直的直線.E、F是料例兩個(gè)俗世,c是周ab,53.L是/掰心率?點(diǎn)PwL,rZ￡77z=a.則a是銳角ILsinaWe或aWarcsinc（當(dāng)Fl儀節(jié)|P〃六或時(shí)取等號(hào)）.53.L是/掰-I（a〉b4O）的準(zhǔn)線,A、B是腕用的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)/Y/??c足離心冬.NEPF,a.H是L與X軸的交點(diǎn)c是千坦斯，則a是銳角ILsinaVe或aVmrsin”（當(dāng)11僅當(dāng)|?〃=蛆時(shí)取等1；）.54.L是橢圓二=1（a>b>0）的準(zhǔn)線.E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，HliL與k軸的交點(diǎn)，點(diǎn)尸4EPF=a.a,h2離心率為e,￥焦距為a則a為銳用且sinaSe?或iVwcsin/（當(dāng)且僅當(dāng)|P"|=2J7工工時(shí)取等號(hào)）.55.已知桶m0+4=1<a>b>OkF；..I；…Jl.A '、B兩點(diǎn).格A.B5M/b2左焦點(diǎn)F.連結(jié)起來(lái).則瓦川?|其3區(qū)匕.B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式收等號(hào)）.Q"二"）（當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)左焦點(diǎn)F.連結(jié)起來(lái).則瓦川?|其3區(qū)匕.B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式收等號(hào)）..設(shè)A、H金仲園「+與=1，a>b>0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),P是精牌上的一點(diǎn)，/PAB=a.4PBA=02BPA=y,a-b~c、c分別是橢圓的半能距離心率,則行（1）|正川=2"，。$勺⑵tanatan//=Ie2（3）E=^^8tya^-ccosy &-a.設(shè)A、B是橢國(guó)，+/h1<a>b>0>長(zhǎng)帕上分別位于幃IM內(nèi)（異于原點(diǎn)工外部的兩點(diǎn)?H.X/、4的橫坐標(biāo)3f。工（I）若過(guò)A點(diǎn)引在線與這制圈相交『P、Q兩支,則/P&I-/QBA：（2）若過(guò)B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).則0A4=180.i殳A、B是怖81二+==1<a>b>0）長(zhǎng)軸上分別位于幃物內(nèi)（片干吃點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）右過(guò)Ab"點(diǎn)引直淺與這桶圓相交IP.Q兩點(diǎn).若BP交橢圓廠兩點(diǎn),fflP.Q不關(guān)Fn軸對(duì)稱）.且/，"4=/0"/?則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)乙.4滿足吃?/=。七2）若過(guò)b點(diǎn)引且淺與這橢團(tuán)相交于p、Q兩點(diǎn)，口/門%+/，84=180.則點(diǎn)A.B的模生標(biāo)滿足%?0=/..設(shè)4/是橢圓*~+/=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，。。是與/"乖〃的弦，則九線題？與4。的交點(diǎn)P的2機(jī)跡是雙曲找]-與=1.（Tbl.過(guò)桶貝=+與=|（4>b>0）的左焦點(diǎn)尸作互相垂口的兩條弦AB、CD則（T廳i+c迎*2TOC\o"1-5"\h\za"+6 a.到精陽(yáng)￡+[-1（a>b>0）兩焦點(diǎn)的距離之比等T?二￡（c為華焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的仙進(jìn)是幼妹傍以,b。 b（x±<f）'+>-?62.，，.到橢圓二十;=1<a>b>0）的K軸兩端點(diǎn)的足離之比等J」二（c為華您跑）的切點(diǎn)M的軌跡是姊4rb2 b妹IfiiCr土巴>+=（'）2.ec2 2.到橢圓:+3=1（a>b>0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的范離之比為心叱為半焦距）的動(dòng)戊的軌跡cr6- b是姊妹圓（x±￡f+/=（與尸，e為離心率）.e e.己RIP是精圜'+二=1（a>b>0）±?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),fl月0，4P.，Q?L/P,（C/>?2 .22則Q點(diǎn)的軌跡方程是「+g-?aa.慚圓的一條直徑（過(guò)中心的弦）的長(zhǎng).為通過(guò)?個(gè)焦點(diǎn)11。此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).2 2 ?j.出橢例1+4=1《a>b>0）K岫的端點(diǎn)為4彳/區(qū),乂）是橢圓上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為-”的直線人a卜過(guò)4/分別作i|i?于長(zhǎng)軸的直線交/干.M’,則（I）\A\f\\AM^h2.（2>四邊形M/LIM面枳的展小值是2H）..桶阿爾Jfl形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與翻網(wǎng)長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為電他的網(wǎng)必過(guò)兩焦點(diǎn)..已知橢圓】+《=1(〃>04>0)(包括圈在內(nèi))上有一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)〃分別作直線y二色式及歹的平a'Zr a a行線，與直線OP分別交于凡。.。為原點(diǎn)，則：.(I)|OA/F+|ON『=a2：(2)[00|"?！ā?戶.過(guò)平面上的P點(diǎn)作直線hy=2.T及/,：y=-2x的平行線，分別交x軸ILW.N，交v軸于凡0.《I)a a，，若|OM|2?|ON|2=/.則P的軌跡方程是1+與=1(，>0,/>>0).⑵若|例?『?|ORF=乩則。的軌跡方<rb?程是二十二=1(。>0.6>0).。?/>-.點(diǎn)。為腌㈣￡+*=13>0力>0)(包括回在內(nèi))在第,公限的瓠上任意?點(diǎn)，過(guò)P引》軸、y軸的平行線,交)，軸、x軸于M,N,交直線尸-3于0,7?.記AOM0與AON/?的面積為舟,邑，則：，+$,=竺.a ' 2.點(diǎn)尸為第一逸限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)尸引x軸、y軸的平行級(jí)，交y軸、》軸于,M.N,交直線y=—色》「。,火，a記AOWQ與AONR的面枳為B.S?,已知，+,$二曰.則尸的軌跡方程是￡+￡=1(〃>02>0)..已扣橢圓=+4=1（a〉b〉O）的右準(zhǔn)線/與'軸相交于點(diǎn)￡,過(guò)桶例右密點(diǎn)尸的直線與桃網(wǎng)相交于A.a2b.B兩點(diǎn)，點(diǎn)C'左右準(zhǔn)線H?C±xfe.則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)..OA、4）b￡物圓任二2+與?|（a>0,b>0）的兩強(qiáng)互相垂宜的弦.。為坐標(biāo)原點(diǎn).則（I）直找AH以，b2必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（3尸,0）.（2）以O(shè)A、OB為m徑的兩IW的另個(gè)交點(diǎn)Q的凱跡方程是<r+夕（^―r-^y+r aw，.P（m."）是橢貿(mào)（、-'+與=1（a>b>0）上一個(gè)定點(diǎn)，PA.PB是可桁或出的弦，則（I）自線ABa2b2必經(jīng)過(guò)?個(gè)定點(diǎn)（2或二.空；，""—，）（2）以PA、PB為直徑的兩國(guó)的外一個(gè)交點(diǎn)Q的軌進(jìn)方程是a^b2a、Zrabz-￥azm2bzn2a2[bA^n2(a2-b2)](x--v )?+U-r—rX=i,21~-(x/加11"〃I?r+6? a+6“y那么m=H且Fl、F>.如果?個(gè)性|?短，軸K為那么m=H且Fl、F>在，同惻=直線L和桶回相切,⑵ 護(hù).UFi、F?在L同網(wǎng)o直猴/.和桶圓相離.（3）44〈萬(wàn).或F,、F?在L異！?=在級(jí)L和愉圓相交.力.AB是橢圓=+E=l』>b>OJ的長(zhǎng)粕.N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N的切線!jilA、B的切線交［<、a*b，D的點(diǎn).即梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軟跡方用是X?+4〃y=l（j*0）.設(shè)點(diǎn)/1%,及）為桶I用<十與=1（a>b>0）的內(nèi)部一定點(diǎn).AB是精例1+4=1過(guò)定點(diǎn)”（.7,兒）的arn ab任弦，與弦AB平行（或申.合）『橢圜長(zhǎng)軸所在在線時(shí)（|上川?|尸6|）3="』會(huì)W2與弦AB?Hl于長(zhǎng)油所在直線時(shí).（I尸彳H尸8IK「廠%-5,+%。.桶圓焦三角形中,以以邛徑為宜林的例必與以橢加長(zhǎng)軸為直彳仝的［刖相內(nèi)切..鐘圓焦三角形的旁切1理必切&由于非集W點(diǎn)同部的K$d麻點(diǎn)..林圓兩焦啟到柚㈣焦的形旁切圜的切線長(zhǎng)為定值"c與HF..怖圓生三箱形的土色頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值J-c.77,桶圓盤三用形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的卻離與以該焦點(diǎn)為然點(diǎn)的焦￥論之比為常數(shù)u（離心率）.注：在橢園供三用形中，非然頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)..橢圓住三角形中.內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與柱處頂點(diǎn)連線段分成定比一..橢圓焦三角形中,K焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到桶留中心的比例中佩..桶一觸三角形中,桶BI中心到內(nèi)點(diǎn)的反內(nèi)、內(nèi)點(diǎn)到同柳藤點(diǎn)的距離、羊蛆即及外索到同的熱點(diǎn)的即離或比例..桶21他三角形中，半焦距、外點(diǎn)。的圓中心連戌段、內(nèi)點(diǎn)與同IM焦點(diǎn)