十字相乘法進行因式分解(詳案)(精選.)

word.word.字相乘法進行因式分解【基礎知識精講】理解二次三項式的意義；理解十字相乘法的根據；能用十字相乘法分解二次三項式；重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數不為1的二次三項式的十字相乘法．【重點難點解析】1．二次三項式多項式ax2+bx+c,稱為字母x的二次三項式，其中ax2稱為二次項，bx為一次項，c為常數項.例如，x2-2x-3和x2+5x+6都是關于x的二次三項式.在多項式x2-6xy+8y2中，如果把y看作常數，就是關于x的二次三項式；如果把x看作常數，就是關于y的二次三項式.在多項式2a2b2—7ab+3中，把ab看作一個整體，即2(ab)2-7(ab)+3，就是關于ab的二次三項式.同樣，多項式(x+y)2+7(x+y)+12，把x+y看作一個整體，就是關于x+y的二次三項式.十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依據和具體內容利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用(ax+b)(cx+d)豎式乘法法則.它的一般規(guī)律是：(1)對于二次項系數為1的二次三項式x2+px+q，如果能把常數項q分解成兩個因數a，b的積，并且a+b為一次項系數p,那么它就可以運用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式.這種方法的特征是“拆常數項，湊一次項”.公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項系數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項系數的符號相同.(2)對于二次項系數不是1的二次三項式ax2+bx+c(a,b,c都是整數且aMO)來說，如果存在四個整數a,a,c,c，使a°a=a,c°c=c，且ac+ac=b,121212121221那么ax2+bx+c=aax2+(ac+ac)x+cc=(ax+c)(ax+c)它的特征是“拆兩頭，湊中間”121221121122這里要確定四個常數，分析和嘗試都要比首項系數是1的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定．學習時要注意符號的規(guī)律．為了減少嘗試次數，使符號問題簡單化，當二次項系數為負數時，先提出負號，使二次項系數為正數，然后再看常數項；常數項為正數時，應分解為兩同號因數，它們的符號與一次項系數的符號相同；常數項為負數時，應將它分解為兩異號因數，使十字連線上兩數之積絕對值較大的一組與一次項系數的符號相同．用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母．如：5x2+6xy一8y2=(x+2)(5x一4)3．因式分解一般要遵循的步驟多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法．對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行．以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結果應是乘積式．”【典型熱點考題】例1把下列各式分解因式：(1)x2-2x-15；(2)x2一5xy+6y2.點悟：(1)常數項一15可分為3X(-5)，且3+(-5)=-2恰為一次項系數；(2)將y看作常數，轉化為關于x的二次三項式，常數項6y2可分為(一2y)(—3y),而(一2y)+(—3y)=(—5y)恰為一次項系數.解：(1)x2—2x—15=(x+3)(x—5)；x2—5xy+6y2=(x—2y)(x—3y).例2把下列各式分解因式：(1)2x2一5x一3；(2)3x2+8x一3.一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢—(x—(x—2)(2x—1)(x+3)(3x+1)．word.=(=(a+2)(a+6)(a2+8a+10)word.點悟：我們要把多項式ax2+bx+c分解成形如(ax+c)(ax+c)的形式，這里aa=a,cc=c而11221212ac+ac=b.1221解：(1)2x2—5x—3=(2x+1)(x—3)；3x2+8x—3=(3x—1)(x+3).點撥：二次項系數不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項系數的分解和常數項的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累經驗，才能提高速度和準確性例3把下列各式分解因式：x4一10x2+9；7(x+y)3—5(x+y)2—2(x+y)；(a2+8a)2+22(a2+8a)+120.點悟：(1)把x2看作一整體，從而轉化為關于x2的二次三項式；提取公因式(x+y)后，原式可轉化為關于(x+y)的二次三項式；以(a2+8a)為整體，轉化為關于(a2+8a)的二次三項式.解：(1)x4—10x2+9=(x2—1)(x2—9)=(x+1)(x—1)(x+3)(x—3).7(x+y)3—5(x+y)2—2(x+y)=(x+y)[7(x+y)2—5(x+y)—2]=(x+y)[(x+y)－1][7(x+y)+2]=(x+y)(x+y－1)(7x+7y+2)．(a2+8a)2+22(a2+8a)+120=(a2+8a+12)(a2+8a+10)點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發(fā)現多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構成二次三項式，以順利地進行分解．同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止．例4分解因式：(x2+2x—3)(x2+2x—24)+90.點悟：把x2+2x看作一個變量，利用換元法解之.解：設x2+2x二y，貝y原式=(y—3)(y—24)+90—y2—27y+162=(y—18)(y—9)—(x2+2x—18)(x2+2x—9).點撥：本題中將x2+2x視為一個整體大大簡化了解題過程，體現了換元法化簡求解的良好效果.此外，y2—27y+162—(y一18)(y一9)一步，我們用了“十字相乘法”進行分解.例5分解因式6x4+5x3一38x2+5x+6.點悟：可考慮換元法及變形降次來解之．解：原式—x2[6(x2+)+5(x+—)一38]x2x—x2[6(x+丄)2+5(x+丄)—50]，xx1令x+—y，貝yx原式—x2(6y2+5y—50)x2(2y—5)(3y+10)23—x2(2x+一5)(3x++10)xx(2x2—5x+2)(3x2+10x+3)一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢word.word.點撥：本題連續(xù)應用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂．但是品味之余應想到對換元后得出的結論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié)．例6分解因式x2-2xy+y2-5x+5y-6.點悟：方法1：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉化為關于(x-y)的二次三項式.方法2：把字母y看作是常數，轉化為關于x的二次三項式.解法1：x2-2xy+y2-5x+5y-6二(x2-2xy+y2)+(-5x+5y)-6二(x-y)2-5(x-y)-6=(x-y+1)(x-y-6).解法2：x2-2xy+y2-5x+5y-6=x2-(2y+5)x+y2+5y-6二x2-(2y+5)x+(y+6)(y-1)=[x-(y+6丿〃x-(y-1)]=(x-y—6)(x-y+1).例7分解因式：ca(c-a)＋bc(b-c)＋ab(a-b)．點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組．解：ca(c—a)+bc(b—c)+ab(a—b)=ac2-a2c+b2c-be2+ab(a-b)=c2(a-b)-c(a2-b2)+ab(a-b)=c2(a-b)-c(a+b)(a-b)+ab(a-b)=(a-b)[c2-c(a+b)+ab]=(a—b)(c—a)(c—b).一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢錯解：J—錯解：J—10=5X(—2)，5=1X5，word.點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組．此題展開四項后，根據字母c的次數分組，出現了含a-b的因式，從而能提公因式.隨后又出現了關于c的二次三項式能再次分解．例8已知x4+6x2+x+12有一個因式是x2+ax+4，求a值和這個多項式的其他因式.點悟：因為x4+6x2+x+12是四次多項式，有一個因式是x2+ax+4，根據多項式的乘法原則可知道另一個因式是x2+bx+3(a、b是待定常數)，故有x4+6x2+x+12=(x2+ax+4)-(x2+bx+3).根據此恒等關系式，可求出a，b的值.解：設另一個多項式為x2+bx+3，則x4+6x2+x+12=(x2+ax+4)(x2+bx+3)=x4+(a+b)x3+(3+4+ab)x2+(3a+4b)x+12，?/x4+6x2+x+12與x4+(a+b)x3+(3+4+ab)x2+(3a+4b)x+12是同一個多項式，所以其對應項系數分別相等.即有TOC\o"1-5"\h\z。+血=0「①*3十4十必=6,②免+4b二1.③由①、③解得，a=—1，b=l,代入②，等式成立.a=—1，另一個因式為x2+x+3.點撥：這種方法稱為待定系數法，是很有用的方法.待定系數法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數學知識的學習中也經常運用．希望讀者不可輕視．【易錯例題分析】例9分解因式：5a2b2+23aby-10y2.5X5+1X(—2)=23,word.word.一流教育一一圓你成功夢原式=(5ab+5y)(—2ab+5y).警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟．55=1X5,-10=5X(-2),.原式=(ab＋5y)(5ab－2y).【同步練習】一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z如果x2-px+q二(x+a)(x+b)，那么p等于()A.abB.a＋bC.-abD.-(a＋b)如果x2+(a+b)?x+5b二x2-x-30，貝yb為()A.5B.-6C.-5D.6多項式x2-3x+a可分解為(x-5)(x-b)，則a,b的值分別為()A.10和-2B.-10和2C.10和2D.-10和-2不能用十字相乘法分解的是()A.x2+x一2B.3x2一10x2+3xC.4x2+x+2d.5x2-6xy-8y25?分解結果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多項式是()2(x+y)2—13(x+y)+20(2x+2y)2—13(x+y)+202(x+y)2+13(x+y)+202(x+y)2—9(x+y)+206?將下述多項式分解后，有相同因式x-1的多項式有()①x2—7x+6；②3x2+2x一1；③x2+5x一6；④4x2一5x一9；⑤15x2—23x+8；⑥x4+11x2—12A.2個B.3個C.4個D.5個二、填空題一流教育一一圓你成功夢一流教育一一圓你成功夢word.word.7.x2+3x-10=m2—5m—6=(m+a)(m+b).TOC\o"1-5"\h\za=,b=.2x2—5x—3=(x－3)().x2+—2y2=(x—y)().na2+a+()=(+)2.m當k=時，多項式3x2+7x—k有一個因式為().17若x—y=6,xy=，則代數式x3y-2x2y2+xy3的值為36三、解答題14.把下列各式分解因式：(1x4-7x2+6；(2)x4—5x2—36；(34x4—65x2y2+16y4；(4)a6—7a3b3—8b6；(5)6a4—5a3—4a2；(6)4a6-37a4b2+9a2b415．把下列各式分解因式：(x2—3)2—4x2；(2)x2(x—2)2—9；(3x2+2x+1)2—(2x2+3x+3)2；(x2+x)2一17(x2+x)+60；(x2+2x)2—7(x2+2x)—8；(2a+b)2—14(2a+b)+48.16.把下列各式分解因式：(a—b)x2+2ax+a+b；x2—(p2+q2)x+pq(p+q)(p—q)；x2—2xy—3y2+2x+10y—8；4x2—4xy—3y2—4x+10y—3；(x2+3x+2)(x2+7x+12)—120；(x2+xy+y2)(x2+xy+2y2)一12y4.已知2x3—7x2—19x+60有因式2x—5，把它分解因式.已知x+y=2,xy=a+4,x3+y3二26，求a的值.參考答案【同步練習】1.D2.B3.D4.C5.A6.C7.(x＋5)(x－2)8.1或－6，－6或19.2x＋1n2n10.xy,x+2y11.,a,4m22m12.－2，3x＋1或x＋213.17(1)原式二(x2—1)(x2—6)二(x+1)(x一1)(x2一6)原式二(x2—9)(x2+4)二(x+3)(x—3)(x2+4)原式二(4x2—y2)(x2—16y2)=(2x+y)(2x-y)(x+4y)(x-4y)原式二(a3—8b3)(a3+b3)=(a—2b)(a2+2ab+4b2)(a+b)(a2—ab+b2)原式二a2(6a2—5a—4)二a2(2a+1)(3a—4)原式=a2(4a4—37a2b2+9b4)=a2(4a2—b2)(a2—9b2)=a2(2a+b)(2a—b)(a+3b)(a—3b)(1)原式—(x2—3-2x)(x2—3+2x)=(x—3)(x+1)(x+3)(x—1)(2)原式=[x(x-2)-3][x(x-2)+3]=(x2—2x—3)(x2—2x+3)=(x—3)(x+1)(x2—2x+3)原式—(3x2+2x+1+2x2+3x+3)'(3x2+2x+1—2x2—3x—3)=(5x2+5x+4)(x—2)(x+1)原式二(x2+x—12)(x2+x—5)=(x+4)(x—3)(x2+x—5)原式二(x2+2x—8)(x2+2x+1)二(x—2)(x+4)(x+1)2原式=(2a+b—6)(2a+b—8)(1)原式=[(a-b)x+a+b](x+1)原式=[x-p(p-q)][x-q(p+q)]二(x—p2+pq)(x—pq—q2)原式二x2—(2y—2)x—(3y2—10y+8)二x2—(2y—2)x—(3y—4)(y