初中數(shù)學(xué)競賽-正方形和梯形

第3講正方形和梯形知識總結(jié)歸納正方形的定義：定義：鄰邊相等的矩形叫正方形，或者有一個角為直角的菱形叫正方形．正方形既是矩形又是菱形．正方形的性質(zhì)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．（1）邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行．（2）角：四個角都是直角．（3）對角線：對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．（4）對稱性：正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸．（5）特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的的夾角是45；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.正方形的判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形．四.五.、四.五.、六.2）有一個角是直角的菱形是正方形．梯形的相關(guān)定義：（1）梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形（2）梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫梯形的腰．（3）梯形的高：梯形兩底間的距離角梯形的高．（4）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫等腰梯形．等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形是軸對稱圖形，上下底中點所在的直線是對稱軸．（2）等腰梯形同一底邊上的兩個角相等．（3）等腰梯形的兩條對角線相等．等腰梯形的判定：（1）同一底邊上兩個角相等的梯形是等腰梯形．（2）對角線相等的梯形是等腰梯形．七.梯形的中位線：定義：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做三角形的中位線.梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半.典型例題一正方形【例1】如圖，正方形ABCD中，hebc是正三角形，求ZEAD的度數(shù).【例2】如圖，在正方形abcd中,于【例2】如圖，在正方形abcd中,于F，求證：AP=EF-P為對角線BD【例3】如圖，正方形ABCD中，E是AB上一點，BF丄CE于G交AD于F,求證:CE二BF.【例4】如圖，正方形ABCD中,E是BC的中點，AE與BD相交于F，求證：CF丄DE-【例5】如圖，在正方形ABCD中，E為BD上一點，AE的延長線交BC的延長線于F，交CD于H，G為FH的中點，求證：EC丄CG?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，點E在BC上，BE=3，CE=2，點P在BD上，求PE與PC和的最小值.二.梯形【例7】已知，等腰梯形ABCD中，AD〃BC，BD平分ZABC■0)求證：ab=AD-(2)若ad=2,zc=60。，求梯形的周長.【例8】如圖，已知直角梯形ABCD,AD//BC，腰DC的長為10cm，ZD=120。，貝°該梯形另一腰ab的長是多少BBC【例9】等腰梯形的一角為120。，上底為10，下底為30，則它的腰長是多少【例10】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC、bd交于O，OB=OC，求證：AB=CD-【例11】如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，對角線AC與BD互相垂直,且AD=3cm，BC=7cm，求等腰梯形的面積■【例12】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，AB=10，CD=4，延長BD至E，使DE=BD，作EF丄AB交BA的延長線于點F，求AF的長度.【例13】如圖，梯形ABCD中，AB=17,BC=29,CD=10,DA=8，求對角線BD之長。【例14】如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA二90。,ZC二45。，CD的中垂線MN交BC邊于P，交AB延長線于N，求證：AD=BN。三.梯形的中位線【例15】如圖，寺腰梯形ABCD中，對角線AC丄BD，垂足為e,DF丄BC于F，MN是梯形的中位線，求證：DF=MN【例16】如圖，梯形ABCD的中位線MN與對角線AC、BD分別交于點p、q，設(shè)梯形ABCD的周長為a，四邊形PQCD的周長為b■若AB=2CD，試求b的a值.【例17】如圖，△ABC外一條直線l,D、E、F分別是各邊中點AA、FF、DD、ii1AA+EE二FF+DD?1111EE都垂直l于A、AA+EE二FF+DD?111111111【例18】【例18】如圖，直角梯形ABCD中，ZC=90，AD//BC，AD+BC=AB，E是CD的中點■若AD=2，BC=8，求AABE的面積.【例19】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC丄BD，且AC=5cm,BD=12cm，求梯形的中位線的長度。求梯形的中位線的長度。四.纟示合提咼【例20】如圖，等腰直角AABC中，ZACB=90。，D是BC的中點，CE丄AD于F交AB于E，求證：ZCDF=ZBDE-【例21】如圖所示，等腰梯形ABCD中，CD//AB，對角線AC、BD相交于O，ZACD=60。，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點.【例22】（1）求證：\pQS是等邊三角形;【例23】⑵若AB=5，CD=3，求APQS的面積■

【例24】如圖，E是正方形ABCD邊AB邊上任意一點，過E作DE的垂線交正方形的外角ZCBF的平分線于N，求證：DE=EN-【例25】Q是正方形ABCD的邊CD的中點，作ZBAP=2ZQAD，P在CD上■求證:AP=CP+CB-【例26】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，兩條對角線相交于E，AB丄AC，且AB=AC，BD=BC，求證：CD=CE-【例27】如圖所示，ABCD是正方形，E為BF上的一點，四邊形AEFC恰好是個菱形，則求ZEAB-【例28】如圖，AD是AABC的中線，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABEF、ACMN-【例29】求證：AD=2FN?【例【例32】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AC丄BD■求證：AC2+BD2=(AB+DC)2-【例30】如圖，直角梯形ABCD中，ZB=ZC=90。，AB=BC-M為BC邊上一點，且ZDMC=45?！銮笞C：AD=AM-【例31】四邊形ABCD是正方形，四邊形【例31】四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是菱形，E、證：AE、AF三等分ZCAB-【例33】如圖，梯形ABCD中，AB//CD，ZD=90。，M為BC上一點,且BM=MC=CD，上DAM=50。，求ZAMC-【例34】K是正方形ABCD的邊AB的中點，點L分對角線AC的比為AL:LC=3，證明：ZKLD=90。-【例35】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，求證：AM=AD-【例36】如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,AB丄BC,AB=BC,E是AB上一點，AE=AD，ZCEB=75。，求ZECD-22CD【例37】正方形ABCD中，E為BC的中點,CDZBAF=2ZBAE-【例38】【例39】正方形ABCD對角線交于O，ABAC的平分線交bd于G，交BC于F，求證:CFOG=CF

【例40】如圖，在直角梯形ABCD中，ZB=ZC=90。，AB=BC-且ZDMC=45?！銮笞C：AD=AM-【例41】在正方形ABCD中,已知E、F分別是邊BC、CD上的點，滿足EF=BE+DF，AE、AF分別與對角線BD交于M、N■求證：⑴ZEAF=45。；⑵MN2=BM2+DN2-【例42】已知'ABC，向外作正方形ABEF和ACGH，直線AK垂直BC于K，反向延長交FH于M，求證：M是FH的中點.【例43】如圖⑴，在RtAABC中，AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM丄BD,垂足為M,AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于m點F”（1）試判斷'DEF的形狀，并加以證明.（2）若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀,并說明理由．作業(yè)1.判斷下列說法正確的是（）A■四條邊相等的四邊形是正方形B■兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C兩條對角線分別平分一組對角的四邊形是正方形D■兩條對角線互相垂直的矩形是正方形2.列哪個圖形不是軸對稱圖形（2.A■等腰梯形B■等腰三角形C■矩形D■平行四邊形等腰梯形四個內(nèi)角之比可能是()1：2:3:43:2:2:31:2:1:21:2:3:2如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AD=BC,BD=DC，AC丄BD于M-求證：CM=1(AB+DC)-5.如圖所示，正方形ABCD對角線AC與BD相交于O，MN〃AB，且分別與AO、BO交于M、N-試探討B(tài)M與CN之間的關(guān)系，寫出你所得到的結(jié)論的證CC明過程.DCAB6如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，BD與CE交于F點，求證：AF丄BE-7.如圖，梯形ABCD中，ADIIBC，，點M^是BC的中點，且MA=MD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形.

8.如圖，設(shè)EF〃正方形ABCD的對角線AC，在DA延長線上取一點g，使AG=AD，8.EG與DF交于H，求證：AH=正方形的邊長■9.如圖，在梯形ABCD中，AD〃9.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC，AB=CD，求證：ZDBC=ZACB-10.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC，ZA=90。，證：e到CD的距離等于EA-E是AB11.在梯形ABCD中，AD11.在梯形ABCD中，AD〃BC（BC>AD），ZD=90。，上，