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線性代數(shù)11/10/2022線性代數(shù)課件第三章

矩陣的初等變換與線性方程組11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件1初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換11/10/2022線性代數(shù)課件初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換.11/10/2022線性代數(shù)課件反身性傳遞性對稱性2矩陣的等價(jià)11/10/2022線性代數(shù)課件三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.3初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.11/10/2022線性代數(shù)課件(2)倍法變換:以數(shù)(非零)乘某行(列),得初等矩陣.11/10/2022線性代數(shù)課件經(jīng)過初等行變換,可把矩陣化為行階梯形矩陣,其特點(diǎn)是:可畫出一條階梯線,線的下方全為0;每個(gè)臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.例如4行階梯形矩陣11/10/2022線性代數(shù)課件對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換,可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,其特點(diǎn)是:左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素都為0.例如6矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形11/10/2022線性代數(shù)課件所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合,稱為一個(gè)等價(jià)類,標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣.11/10/2022線性代數(shù)課件定義7矩陣的秩定義11/10/2022線性代數(shù)課件定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).8矩陣秩的性質(zhì)及定理11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件

齊次線性方程組:把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣,寫出通解.

非齊次線性方程組:把增廣矩陣化成行階梯形矩陣,根據(jù)有解判別定理判斷是否有解,若有解,把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣,寫出通解.10線性方程組的解法11/10/2022線性代數(shù)課件定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論11/10/2022線性代數(shù)課件求矩陣的秩有下列基本方法(1)計(jì)算矩陣的各階子式,從階數(shù)最高的子式開始,找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式,則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩.一、求矩陣的秩11/10/2022線性代數(shù)課件(2)用初等變換.即用矩陣的初等行(或列)變換,把所給矩陣化為階梯形矩陣,由于階梯形矩陣的秩就是其非零行(或列)的個(gè)數(shù),而初等變換不改變矩陣的秩,所以化得的階梯形矩陣中非零行(或列)的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩.第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí),計(jì)算量很大,第二種方法則較為簡單實(shí)用.11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件

注意在求矩陣的秩時(shí),初等行、列變換可以同時(shí)兼用,但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形.11/10/2022線性代數(shù)課件當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí),一般用初等行變換求方程的解.當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí),求線性方程組的解,一般都有兩種方法:初等行變換法和克萊姆法則.二、求解線性方程組11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件由此可知,而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是,故有一個(gè)自由未知量.11/10/2022線性代數(shù)課件例3當(dāng)取何值時(shí),下述齊次線性方程組有非零解,并且求出它的通解.解法一系數(shù)矩陣的行列式為11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件從而得到方程組的通解11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件三、求逆矩陣的初等變換法11/10/2022線性代數(shù)課件例4求下述矩陣的逆矩陣.解11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件

注意用初等行變換求逆矩陣時(shí),必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.同樣地,用初等列變換求逆矩陣時(shí),必須始終用列變換,其間不能作任何行變換.11/10/2022線性代數(shù)課件四、解矩陣方程的初等變換法或者11/10/2022線性代數(shù)課件例5解11/10/2022線性代數(shù)課件11/10/2022線性代數(shù)課件第三章測試題一、填空題(每小題4分,共24分).1.若元線性方程組有解,且其系數(shù)矩陣的秩為,則當(dāng)時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)時(shí),方程組有無窮多解.2.齊次線性方程組只有零解,則應(yīng)滿足的條件是.11/10/2022線性代數(shù)課件4.線性方程組有解的充要條件是11/10/2022線性代數(shù)課件二、計(jì)算題(第1題每小題8分,共16分;第2題每小題9分,共18分;第3題12分).11/10/2022線性代數(shù)課件2.求解下列線性方程組11/10/2022線性代數(shù)課件有唯一解、無解或有無窮多解?在有無窮多解時(shí),求其通解.11/10/2022線性代數(shù)課件三、利用矩陣的初等變換,

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