廣東省茂名市十校聯(lián)考2022-2023學年數(shù)學九年級上冊期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，點A、B、C都在上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．72°2．在同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像可能是A． B． C． D．3．如圖，將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點落在位置，點落在位置，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．若銳角α滿足cosα＜且tanα＜，則α的范圍是()A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°5．下列事件中是必然事件是（）A．明天太陽從西邊升起B(yǎng)．籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中C．實心鐵球投入水中會沉入水底D．拋出一枚硬幣，落地后正面向上6．如圖一塊直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，截得兩個正方形DEFG，BHJN，設S1＝DEFG的面積，S2＝BHJN的面積，則S1、S2的大小關系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能確定7．已知⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，則OP的長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm8．將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）.A．； B．；C．； D．.9．如圖，若a＜0，b＞0，c＜0，則拋物線y=ax2+bx+c的大致圖象為（）A． B． C． D．10．如圖，為的直徑，弦于點，若，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知，則＝_____．12．方程的根是____．13．如圖，是⊙的直徑，是⊙上一點，的平分線交⊙于，且，則的長為_________．14．在中,若，則是_____三角形．15．如圖，已知點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，3），在第一象限內(nèi)找一點P(a,b),使△PAB為等邊三角形，則2(a-b)=___________．16．某電視臺招聘一名記者，甲應聘參加了采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設計的三項素質(zhì)測試得分分別為70、60、90，三項成績依次按照5:2:3計算出最后成績，那么甲的成績?yōu)開_．17．如圖，將沿方向平移得到，與重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是面積的，若，則平移的距離是__________．，18．如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為120°，AB的長為20cm，扇面BD的長為15cm，則弧DE的長是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，⊙O中，F(xiàn)G、AC是直徑，AB是弦，F(xiàn)G⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB=4，⊙O的半徑為．（1）分別求出線段AP、CB的長；（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；（3）如果tan∠E=，求DE的長．20．（6分）寒冬來臨，豆絲飄香，豆絲是鄂州民間傳統(tǒng)美食；某企業(yè)接到一批豆絲生產(chǎn)任務，約定這批豆絲的出廠價為每千克4元，按要求在20天內(nèi)完成．為了按時完成任務，該企業(yè)招收了新工人，新工人李明第1天生產(chǎn)100千克豆絲，由于不斷熟練，以后每天都比前一天多生產(chǎn)20千克豆絲；設李明第x天（，且x為整數(shù)）生產(chǎn)y千克豆絲，解答下列問題：(1)求y與x的關系式，并求出李明第幾天生產(chǎn)豆絲280千克？(2)設第x天生產(chǎn)的每千克豆絲的成本是p元，p與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關系；若李明第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大利潤是多少元？（利潤=出廠價-成本）21．（6分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，點F從點B出發(fā)，在折線段BA﹣AD上運動，連接EF，當EF⊥BC時停止運動，過點E作EG⊥EF，交矩形的邊于點G，連接FG．設點F運動的路程為x，△EFG的面積為S．（1）當點F與點A重合時，點G恰好到達點D，此時x＝，當EF⊥BC時，x＝；（2）求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（3）當S＝15時，求此時x的值．22．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線和直線y=kx+b交于A，B兩點，點A的坐標為（﹣3，2），BC⊥y軸于點C，且OC=6BC．（1）求雙曲線和直線的解析式；（2）直接寫出不等式的解集．23．（8分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．（1）如圖1，當∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號）24．（8分）如圖，已知，點、坐標分別為、．（1）把繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得，畫出旋轉(zhuǎn)后的；（2）在（1）的條件下，求點旋轉(zhuǎn)到點經(jīng)過的路徑的長．25．（10分）小琴和小江參加學校舉行的“經(jīng)典誦讀"比賽活動，誦讀材料有《論語》，《三字經(jīng)》，《弟子規(guī)》(分別用字母依次表示這三個誦讀材料)，將這三個字母分別寫在張完全相同的不透明卡片的正面上，把這張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上，比賽時小琴先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡精上的內(nèi)容，放回后洗勻，再由小江從中隨機抽取一張卡片，選手按各自抽取的卡片上的內(nèi)容進行誦讀比賽．小琴誦讀《論語》的概率是．請用列表法或畫樹狀圖(樹形圖)法求小琴和小江誦讀兩個不同材料的概率．26．（10分）某水果公司以2元/千克的成本購進10000千克柑橘，銷售人員在銷售過程中隨機抽取柑橘進行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解決下面問題：（1）柑橘損壞的概率估計值為；估計這批柑橘完好的質(zhì)量為千克．（2）若希望這批柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（只賣好果）時，每千克大約定價為多少元比較合適？（精確到0.1）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【詳解】解：∵∠AOB=72°，∴∠ACB=∠AOB=36°，故選C．2、D【分析】對于每個選項，先根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定a和b的符號，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)看一次函數(shù)圖象的位置是否正確，若正確，說明它們可在同一坐標系內(nèi)存在．【詳解】A、由二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象得a＞0，b＞0，則一次函數(shù)y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、三象限，所以A選項錯誤；B、由二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象得a＞0，b＜0，則一次函數(shù)y＝ax＋b經(jīng)過第一、三、四象限，所以B選項錯誤；C、由二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象得a＜0，b＜0，則一次函數(shù)y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，所以C選項錯誤；D、由二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象得a＜0，b＞0，則一次函數(shù)y＝ax＋b經(jīng)過第二、三、四象限，所以D選項正確．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)的圖象為拋物線，可能利用列表、描點、連線畫二次函數(shù)的圖象．也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．3、C【解析】由旋轉(zhuǎn)可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，據(jù)此可進行解答.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，故選擇C.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).4、B【詳解】∵α是銳角，∴cosα>0，∵cosα<，∴0<cosα<，又∵cos90°=0,cos45°=，∴45°<α<90°；∵α是銳角，∴tanα>0，∵tanα<，∴0<tanα<，又∵tan0°=0,tan60°=，0<α<60°；故45°<α<60°.故選B.【點睛】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵5、C【解析】必然事件就是一定會發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件，依據(jù)定義即可解決．【詳解】解：A、明天太陽從西邊升起，是不可能事件，故不符合題意；B、籃球隊員在罰球線投籃一次，未投中，是隨機事件，故不符合題意；C、實心鐵球投入水中會沉入水底，是必然事件，故符合題意；D、拋出一枚硬幣，落地后正面向上，是隨機事件，故不符合題意．故選C．6、B【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，求出AC邊上的高BM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解，即可求得S1，如圖2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求得HJ＝，于是得到S2＝（）2＞（）2，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，設正方形DEFG的邊長是x，∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴由勾股定理得：AC＝5，過B作BM⊥AC于M，交DE于N，由三角形面積公式得：BC×AB＝AC×BM，∵AB＝3，AC＝5，BC＝4，∴BM＝2.4，∵四邊形DEFG是正方形，∴DG＝GF＝EF＝DE＝MN＝x，DE∥AC，∴△BDE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝，即正方形DEFG的邊長是；∴S1＝（）2，如圖2，∵HJ∥BC，∴△AHJ∽△ABC，∴＝，即＝，∴HJ＝，∴S2＝（）2＞（）2，∴S1＜S2，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形面積公式，正方形的性質(zhì)的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．7、B【分析】根據(jù)點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解．【詳解】∵⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，∴OP=4cm．故選：B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．8、B【分析】根據(jù)拋物線圖像的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可確定平移后的拋物線解析式.【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，熟練掌握其平移規(guī)律是解題的關鍵.9、B【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】∵a＜0，∴拋物線的開口方向向下，故第三個選項錯誤；∵c＜0，∴拋物線與y軸的交點為在y軸的負半軸上，故第一個選項錯誤；∵a＜0、b＞0，對稱軸為x=＞0，∴對稱軸在y軸右側(cè)，故第四個選項錯誤．故選B．10、C【分析】根據(jù)題意，連接OC，通過垂徑定理及勾股定理求半徑即可.【詳解】如下圖，連接OC，∵，，∴CE=4，∵，，∴，故選：C.【點睛】本題主要考查了圓半徑的求法，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】根據(jù)題意，設x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【詳解】解：由題意，設x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案為．【點睛】本題考查了分式的求值，解題的關鍵是根據(jù)分式的性質(zhì)對已知分式進行變形．12、，【分析】把方程變形為，把方程左邊因式分解得，則有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．【詳解】解：，∴，∴y=0或y-5=0，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，其步驟為：移項，化積，轉(zhuǎn)化和求解這幾個步驟．13、【分析】連接OD，由AB是直徑，得∠ACB=90°，由角平分線的性質(zhì)和圓周角定理，得到△AOD是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可求出AD的長度.【詳解】解：連接OD，如圖，∵是⊙的直徑，∴∠ACB=90°，AO=DO=，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴；故答案為：.【點睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握圓周角定理進行解題.14、等腰【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性求出sinA和tanB的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案.【詳解】∵∴，∴∠A=30°，∠B=30°∴△ABC是等腰三角形故答案為等腰.【點睛】本題考查的是特殊三角函數(shù)值，比較簡單，需要牢記特殊三角函數(shù)值.15、【分析】根據(jù)A、B坐標求出直線AB的解析式后，求得AB中點M的坐標，連接PM，在等邊△PAB中，M為AB中點，所以PM⊥AB，，再求出直線PM的解析式，求出點P坐標；在Rt△PAM中，AP=AB=5，，即且a＞0，解得a>0，即，將a代入直線PM的解析式中求出b的值，最后計算2(a-b)的值即可；【詳解】解：∵A(4，0)，B(0，3)，∴AB=5，設，∴，∴，∴，∵A(4，0)B(0，3)，∴AB中點，連接PM，在等邊△PAB中，M為AB中點，∴PM⊥AB，，∴，∴設直線PM的解析式為，∴，∴，∴，∴，在Rt△PAM中，AP=AB=5，∴，∴，∴，∴，∵a>0，∴，∴，∴；【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用，掌握一次函數(shù)是解題的關鍵.16、74【分析】利用加權平均數(shù)公式計算.【詳解】甲的成績=，故答案為：74.【點睛】此題考查加權平均數(shù)，正確理解各數(shù)所占的權重是解題的關鍵.17、【分析】與相交于點，因為平移，由此求出,從而求得【詳解】解：由沿方向平移得到,【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì).18、cm【分析】直接利用弧長公式計算得出答案．【詳解】弧DE的長為：.故答案是：.【點睛】考查了弧長公式計算，正確應用弧長公式是解題關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）CB=2，AP=2；（2）證明見解析；（3）DE=．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可計算出BC=2，再根據(jù)垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；（2）易得OP為△ABC的中位線，則OP=BC=1，再計算出，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥EP得到∠DCB=∠E，則tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根據(jù)正切的定義計算出BD=3，根據(jù)勾股定理計算出CD=，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得，再利用比例性質(zhì)可計算出DE=．【詳解】解：（1）∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC==2，∵直徑FG⊥AB，∴AP=BP=AB=2；（2）∵AP=BP，∴OP為△ABC的中位線，∴OP=BC=1，∴，而，∴，∵∠EOC=∠AOP，∴△EOC∽△AOP，∴∠OCE=∠OPA=90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（3）∵BC∥EP，∴∠DCB=∠E，∴tan∠DCB=tan∠E=在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，∴BD=3，∴CD==，∵BC∥EP，∴，即，∴DE=．20、（1），第10天生產(chǎn)豆絲280千克；（2）當x=13時，w有最大值，最大值為1.【分析】（1）根據(jù)題意可得關系式為：y=20x+80，把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；

（2）根據(jù)圖象求得成本p與x之間的關系，然后根據(jù)利潤等于訂購價減去成本價，然后整理即可得到W與x的關系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；【詳解】解：（1）依題意得：令，則，解得答：第10天生產(chǎn)豆絲280千克.(2)由圖象得，當0＜x＜10時，p=2；當10≤x≤20時，設P=kx+b，把點（10，2），（20，3）代入得，解得∴p=0.1x+1，①1≤x≤10時，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，∵x是整數(shù)，∴當x=10時，w最大=560（元）；②10＜x≤20時，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x2+52x+240，=-2（x-13）2+1，∵a=-2＜0，∴當x=-=13時，w最大=1（元）綜上，當x=13時，w有最大值，最大值為1．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關的函數(shù)關系式．21、（1）6；10；（2）S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）﹣6+2．【分析】（1）當點F與點A重合時，x＝AB＝6；當EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；（2）分兩種情況：①當點F在AB上時，作GH⊥BC于H，則四邊形ABHG是矩形，證明△EFB∽△GEH，得出，求出EH＝x，得出AG＝BH＝BE+EH＝4+x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；②當點F在AD上時，作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得△EFM∽△GEC，得出，求出GC＝15﹣x，得出DG＝CD﹣CG＝x﹣9，EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；（3）當x2+9x+12＝15時，當x2﹣21x+102＝15時，分別解方程即可．【詳解】（1）當點F與點A重合時，x＝AB＝6；當EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案為：6；10；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分兩種情況：①當點F在AB上時，如圖1所示：作GH⊥BC于H，則四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴，即，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面積為S＝梯形ABEG的面積﹣△EFB的面積﹣△AGF的面積＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②當點F在AD上時，如圖2所示：作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴，即，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面積為S＝梯形CDFE的面積﹣△CEG的面積﹣△DFG的面積＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）當x2+9x+12＝15時，解得：x＝﹣6±（負值舍去），∴x＝﹣6+；當x2﹣21x+102＝15時，解得：x＝14±（不合題意舍去）；∴當S＝15時，此時x的值為﹣6+．【點睛】本題考查二次函數(shù)的動點問題，題目較難，解題時需注意分類討論，避免漏解.22、（1）雙曲線的解析式為，直線的解析式為y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.【分析】（1）將A坐標代入反比例解析式中求出m的值，確定出反比例解析式，根據(jù)OC=6BC，且B在反比例圖象上，設B坐標為（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式中求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩交點A與B的橫坐標，以及0，將x軸分為四個范圍，找出反比例圖象在一次函數(shù)圖象上方時x的范圍即可.【詳解】（1）∵點A（﹣3，2）在雙曲線上，∴，解得m=﹣6，∴雙曲線的解析式為，∵點B在雙曲線上，且OC=6BC，設點B的坐標為（a，﹣6a），∴，解得：a=±1（負值舍去），∴點B的坐標為（1，﹣6），∵直線y=kx+b過點A，B，∴，解得：，∴直線的解析式為y=﹣2x﹣4；（2）根據(jù)圖象得：不等式的解集為﹣3＜x＜0或x＞1.23、（1）①105°，②見解析；（2）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題，②連接A′F，設EF交CA′于點O，在EF時截取EM=EC，連接CM．首先證明△CFA′是等邊三角形，再證明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解決問題．（2）如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．證明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F(xiàn)關于A′E對稱，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解決問題．【詳解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋轉(zhuǎn)角α為105°．②證明：連接A′F，設EF交CA′于點O．在EF時截取EM＝EC，連接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′CF是等邊三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等邊三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．由②可知，∠EA′F＝′