北京郵電大學(xué)出版社線性代數(shù)習(xí)題答案(習(xí)題16)

線性代數(shù)習(xí)題及答案(北京郵電大學(xué)出版社戴斌祥主)編習(xí)題ー(A類)⑵987654321；④13”(2^-1)(2/(262)…2L求下列各排列的逆序數(shù).0)341782659(3)〃0⑵987654321；④13”(2^-1)(2/(262)…2【解】1)=(H-142H?“?卜?1)」必_—(1)1)=(H-142H?“?卜?1)」必_—(3)r1)???3-2-

2④t(13-(2a1)(2/(2m2A-2)=(H4+“+31)+gD+O2)+?+l"H)=n?D.2求出j,k使9級排列24jl57k98為偶排列。解:由排列為9級排列,所以j,k只能為36由2排首位,逆序?yàn)镼4的逆序數(shù)為01的逆序數(shù)為37的逆序數(shù)為a9的為a8的為l由(W+哥什if為偶數(shù).若j=a仁6則j的逆序?yàn)椁?的逆序數(shù)為Qk的為1,符合題意:若kS則j的逆序?yàn)镼5的逆序數(shù)為Lk的為4不符合題意.所以j鼻に63寫出4階行列式中含有因子a22a34的項(xiàng)。解:27=(-1嚴(yán)""""。リ0j2a3j3a4ノ4由題意有:j2=2,ム=4._ [1243故J1J2J3J4=厶24ム=卜即〃中含的a22a34項(xiàng)為:(―ロ22a34a43+(-3a22a34a41即為!一34a43+47]3a22a34a414在6階行列式中,下列各項(xiàng)應(yīng)帶什么符號?a23031a42a56014a65；

解:a23a31a42a56al4a65=a14a23。31042。56。65因?yàn)?(431265)=6,(—1-431265)=(_1)6=1所以該項(xiàng)帶正號。a32a43al4a51a66a25解:。32。43al4“51。66。25=25a32a43a51a66因?yàn)橐?52316)=8,(W452316)=(一］)8=1所以該項(xiàng)帶正號。0200123000100020(1)；⑵30003045000400015用定義計(jì)算下列各行列式.010?■0002.0(3)()00?n-ln00?-0【解】Q)身も1)‘卻"4!=54 ⑵身12(3)由題意知:=1(3)由題意知:=1%,1=〃其余%=0所以=(-l)T<JlJ2J，,)aij\a2j2aijj'"anjn=(T)但…"％12a23a34…a“T,”a”i=(-1)"-'-1-2-3……(n-l)nr(23…〃1)=〃ー1=(—1嚴(yán)?”!6計(jì)算下列各行列式.214-1506-2ah—ac-ae⑵ー川cd-de-bf-cf-ef-1b0-1-1

d【解】Q)D—-12-1~2=0：-1-1(2)D=abcdef-1-11-1(3)D=a-10-1——4ahcdef；-1+(-1)2000-1-1

d1-10d+cd+\=abed+ab+ad+cd+V,101010q+C2(4)。=q+らo+q1010ワー“r4-r\1-2-3-2r4+r21-410-1-1-1-34—4=160.7.證明下列各式.a2aba)2a1b22b1=(a—bp;a2b2c2d2(a+1)"3+1)2(C+げ(d+l)2(a+2)(b+2)(c+2)2(d+2)2(a+3)2S+3)2(c+3)2(d+3)2=0：(3)a2b2c2=(ab+be+ca)(4)D2n—(ad—be)"；【證明】a)。宀左端=CZ—(a+b)(a-b)

2(a-b)

0"と!Pi=ll+a“b(a-b)

a-b0b22b1(ci+b)(ci—b)b(ci~b)2(a-b)=(a-b)2a+b2—(a-b)3—右端.c2-c\②左端=2a+14a+46。+9a22a+1262b+\4み+46b+9C322b22b+\262c+l4c+46c+9q-3c2c22c+l262J+14d+46d+9d22d+l26=0=右端.a2b2c2d2⑶首先考慮4階范德蒙行列式:“尤）=1111ザa2b2czjc3ab3=(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)(b-c) (*)從上面的4階范徳蒙行列式知,多項(xiàng)式的承系數(shù)為(ah+be+ac)(a—h)(a—c)(b—c)=(ah+be+ac)a2b2c~但對（陽式右端行列式按第一行展開知X的系數(shù)為兩者應(yīng)相等,故a2b2c2aコガc3⑷對ル按第一行展開,得\o"CurrentDocument"0a bab-b cd\o"CurrentDocument"0a bab-b cd0c dc0 0-ん)。2("-り,id—bc)~D2(n_2y1+q1??1ID“=1]+ム*,?1i+11?-11^a2-an_x+anDn_v1+<2]1■1011+%,?1011-,,1+011-??1凡c d 00 0 d=ad-與1)ー反、%“-i)=(ad據(jù)此遞推下去,可得。2.=(。イー尻、)り2(“-1)=(,=???=(ad—be)"]D,=(ad—be)"D2n=(ad—bc)n.⑸對行列式的階數(shù)“用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)我時(shí),可直接驗(yàn)算結(jié)論成立,假定對這樣的al階行列式結(jié)論成立,進(jìn)而證明階數(shù)為ノ的結(jié)論也成立.按〃的最后一列，把〃拆成兩個(gè)瑯介行列式相加:但由歸納假設(shè)0“=^a20“=^a2-an,i+し。M2…ムー1=al=ala2--an_ian1+カ卜（1+さ加%&計(jì)算下列域介行列式.X1??11X--1(1)Dn=1I-?X122.-2222?-2②D.二223?-2222??nxy〇…000xy??00⑶)= 000???xyy00???0x210??00121.-00012--00⑷q=000-2I000?.12【解】⑴各行都加到第一行,再從第一行提出肝但U）,得11???11x?**1=[x+(〃T)]：：1 1 ??? X將第一行乘（-1）后分別加到其余各行,得D?=[x+(n-l)]1

x-1=(X+將第一行乘（-1）后分別加到其余各行,得D?=[x+(n-l)]1

x-1=(X+H—1)(X—1)Z，12-n②D〃二可1111200020102■■■0…02…2000按第:往展開ー=—2(〃—2)!.n-2（3）行列式按第一列展開后,得Oxy+y(-Dn+,D?=x+y(-Dn+,210???00200???00010...00121??00121???00121...00012??00012???00012 00⑷。,==+000??21000???21000???21000???12000...12000...12=2。"_]ー。"-2-Dn-Dn-\=Dn-\-Dn-2由 （。,ー。,-1）+（。1一°“-2）+…+（02ーり）=〃ー1得D“—D、=n—l,Dn=n—l+2=n+l.a計(jì)算建介行列式.qム…qム…i+ム【解】各列都加到第一列,再從第一列提出1+ナル,得1將第一行乘（-D后加到其余各行,得1將第一行乘（-D后加到其余各行,得(I…1+%。,1+%,a301n=i+Z%i=I1Q計(jì)算〃階行列式（其中qwO,i=1,2,???,〃）.ナ紈a2aアん如以他?? an■D,.=aザ/ぢー2《ザ?■哂ー2b；-1婷?ザ【解】行列式的各列提取因子すT（ノ=1,2,…,〃レ然后應(yīng)用范德蒙行列式.2=(的2…%嚴(yán)n—1=（%生…?！碑a(chǎn)2=(的2…%嚴(yán)n—1=（%生…?！碑a(chǎn)n1<j<i<nIai1わ21厶a、?1... %a“I円2u3//ヽA3nl2図\a2)A（凡丿ち1厶）n-1 z, 、〃ー1..."I、。2丿ゝ《丿m丿b.\—j_a.ノノL它們的余子式依次為8721。1L已知4階行列式/中第3列元素依次為T2&求行列式用J值。a\\解:%1a\\解:%1a\2 ー1。14〃22 2 〃24。32 0 。34。42 1 。44幀3=8,M?3=7,%3=2,M43=10Q=Z(-1)%3M3j=l=(-1產(chǎn)q3Mコ+(T)2+3?%3+(T產(chǎn)63M33+(_］產(chǎn)@3M"コ=(-1)4-(-1)-8+(-1)5-2-7+(-1)6O-2+(-1)711O=-8-14-10=-32.12用克拉默法則解方程組.+5x2+5x2=0,3xj-7ち=2.(2)<西+2x2 =1,x}-x3=4.

Xj+x2+x3=5,(3)Xj+x2+x3=5,(3)くx2+2x3+3x4=3.x}+5x2+6七 =0,0) ち+513+6ム=0,x3+5x4+6x5=0,x4+5x5=1.[4x,+5M=0【解】(l)因?yàn)?、I“一c02=8所以內(nèi)吟吟，[3Xj-7x2=202=8所以內(nèi)吟吟，TOC\o"1-5"\h\zD、 8D 43Xj-x2+x3=2(2)因?yàn)椋?+2x2 =1?玉-x3=41-1決1 21-1決1 21011幣+i(-i)]

0=0-1 0-113-1=-51-275111021-11D=12-110123(3)方程組的系數(shù)行列式為175111021-11D=12-110123(3)方程組的系數(shù)行列式為1110-1-310-1-31—1-2101-211230123-1-310-52=18,0;0-1411211-1-120113=18;12ら、05123111211-1-120113=18;12ら、051231-1-120113=36;I2101121512301=361-1251=-18.23故原方程組有惟ー解,為ザ萬=1，々ー萬一ノ，“3ー萬一ノ，ムー萬一ーL(4)0=665,2=1507,2=-1145,￡>3=703,D4=-395,D5=212.1507 229 37 79 212?V- V* V V*— V* '6652 1333354 13356652X1+Ax2—x3=1,13ス?jié)M足什么條件時(shí),線性方程組＜ス玉-ス2+ち=2,有唯一解?4x）+5ちー5ム=32解:はス42=ス44-100マスー1し$=（スー1＞（5ス+4）要使方程組有唯一解,必須庠〇,于是:（スー1）-（5ノ+4）。〇解得：ス,^--當(dāng)ス不等于L一ー時(shí)，方程組有唯一解。514ス和ル為何值時(shí)、齊次方程組スホ+x2+x3=0,＜%,+jUx2+x3=0,玉+2/jx2+/=〇有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式ス1 11〃1=0,12〃!

故//=0或/1=1時(shí),方程組有非零解.15求三次多項(xiàng)式，(x)=%)+“盧+めづ+スザ,使得/(-I)=0J⑴=4J(2)=3,/(3)=16.【解】根據(jù)題意,得f(一])=%—Q]+Q,—%=0；/(1)=〃〇十%+ム+〃3=4；/⑵=〃〇+2q+44+8%=3;/(3)=〃0+3q+9め+27%=16.這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)へ,q,め,小的ー個(gè)線性方程組,由于D=48,Do=336,D,=0,D2=-240,03=96.故得4=7,0]=0,a2=-5,a3=2于是所求的多項(xiàng)式為/(x)=7-5x2+2x3(曜)解:令身L已知理介行列式〃的每一列元素之和均為零,則改解:令身a\2+Ct22+"-+a?2 %"+。2"+,ー+4a22 a2nan2 ,?? へ“0 0???0323232x的展開式中包含ス、和ザ的項(xiàng)。5x1XX3寫出行列式麻12x1，試求ん1+ん，試求ん1+ん2+ん3+ん,其中んノ（ノ=1，2,3,4）為。14“"江（-1嚴(yán)的”心2ノ2。3血4。34ハj2ノ3ノ4444比較可得:只有當(dāng)/メムカ=1234時(shí),才能出現(xiàn)ズ項(xiàng),當(dāng)，あムん=2134,4231時(shí),為ピ項(xiàng),故。4中含ザ項(xiàng)為:+1〇ザ含ガ項(xiàng)為:(—1)"""42。21。33。44+(—1尸4ハ"。14”22a33a41=-5ザ。134已知4階行列式?行列式ハ的第4行第ノ列的元素的代數(shù)余子式。所以ん]+Aa2+A43+A)4=r[4+l(-4)]=(-D55解方程71=234110401-31-6-6=-(-6-(-3))=3.。，=0.a{1%解:因&：：1a；-1xa"a2a2"~'

ザム0—1a2-l??,4,-10ザ_]ベ“T1%ー],*-417%"(n+l)x(fi+l)X布グ??,%：11f(-l)"2 2.《ー1ムー1故由出）可得:-1 6!-,-1a,2-l 422Tハn-\ 1a\一1x=(7產(chǎn)ハハT1生-]***6求出使一平面上三個(gè)點(diǎn)（X”弘）,（ち,ル），（芻，%）位于同一直線上的充分必要條件?【解】設(shè)平面上的直線方程為ax\-by\-c=Q(aル不同時(shí)為0)按題設(shè)有axx+by\+c=0,<ax2+by2+c=0,

ax3+by3+。=0,則以ab。為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為る弘1ちド2「〇七ル1上式即為三點(diǎn)（あ,口）,（ち,％），（ス3，%）位于同一直線上的充分必要條件?習(xí)題ニ（A類）1212設(shè)4：212112344 3 2 1母」21-210-10-161r43261r43234-21-212][〇-103152827913(1)計(jì)算3A-B'2ArSB若硼足A^B求X若乃商足(2L4-K+2(B-Y旬求?363解:3A-B匕(AES解:匕(AES3392422AB屈4242461385-21 6+221111-10-5+221111-10-5-1(2)因A^B則^B-A即4 3星-210-1(3)因?yàn)?10101010TT24322計(jì)算下列矩陣的乘積.【解】1210103 10101012-1(6)002100-230003000-3(3) (10)；2-10(3) (10)；-2104-206-303 3⑷41內(nèi)~+a22x1+6(33X3+(%2+?2i)XlX2+(。13+。31)ズ環(huán)3+(め3+。32)ちエ3q5 225 22-4-430-9a\\ a\l 4?+“13(5)622j 。22 。22+。23 ；003設(shè)ス=一031 。32 七+旬一003設(shè)ス=求(1)/5-2N；⑵AB-BA；(3)(N+5)(N-5)=Nユ一5Z嗎?(2)AB—BA=【解】(2)AB—BA=-3-3G4E9(ArBナ星A4G4E9(ArBナ星A4舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的.⑴若ス2=0,則ス=0；則メ=。或Z=E：（3）若メx=/y,a^o,則x=y.【解】(1)以三階矩陣為例,取ス=,42=0,但正〇(3)令ス=令N=(1)解:（00=0則上4K但孽Y5計(jì)算:(2)cos。-sin。sin。cos(1)以三階矩陣為例,取ス=,42=0,但正〇(3)令ス=令N=(1)解:（00=0則上4K但孽Y5計(jì)算:(2)cos。-sin。sin。cos。（厶為正整數(shù)）,則當(dāng)わ2時(shí),cos6D=-一sin。sin。cos。cos。-sin。sin。cos。cos26-2sincos2sin61coscos26coscos26sin20-sin2。cos2。cosm3設(shè)Df-—sinmOsinmOcosm0成立,則cos。sin。-sin。cos6cosm6cos。-sinmOsin6sin。cosmO+cos，sinm3-sincosm3設(shè)Df-—sinmOsinmOcosm0成立,則cos。sin。-sin。cos6cosm6cos。-sinmOsin6sin。cosmO+cos，sinm3-sincos0-cosmOsin0cosm0cos0-sinm0sin0cosm0sinm0一sin機(jī)タcosm0cos(m+1)6sin(/n+1)0-sin(加+1)0cos(〃?+1)。,cos。故有:* .c-sm0sin6cos。cosk0sinん。-sinん6cosk01(3)令全、A當(dāng)后2時(shí),有:1假設(shè)Df,A1

mA1kA6設(shè)ス=(辦正整數(shù)),則12/1mA-a—c解:由已知條件,成立，則1 0(m+l)A1-c，求INI.A的伴隨矩陣為A*=-(a2+b2+c2+d2)—a-c-d--(a2+b2+c2+d2)A又因?yàn)楗ぅ?|/|E,所以有~(a2+b2+c2+d2)A2=\A\E,且冋<0,

\-(a2+b2+c2+d2)A2\=(a2+b2+￠2+メ)4同冋=同4囘M(jìn)=一43+b2+c2+J2)4=-(a2+b2+c2+d2)2.7.己知線性變換弘=-3z]+z2,

%=2&+ス3,

$=_Z2+3z3,斗弘=-3z]+z2,

%=2&+ス3,

$=_Z2+3z3,利用矩陣乘法求從z?z2,Z3到和々,七的線性變換?【解】已知從而由&,ス2,馬到玉,ち43的線性變換為%,=-4Z]+2z2+z3,

イx2=12Zi-4z2+9z3,

x3=-10Z]—z2+16z3.8設(shè)ス,8為〃階方陣,且ス為對稱陣,證明:5覚6也是對稱陣.【證明】因?yàn)楝樈榉疥嚗釣閷ΨQ陣,即4ラ1所以(BAB,=BAB=BAB故也為對稱陣.9設(shè)スB為a階對稱方陣,證明:血對稱陣的充分必要條件是出丑4【證明】已知メア片所以(BAB,=BAB=BAB故也為對稱陣.9設(shè)スB為a階對稱方陣,證明:血對稱陣的充分必要條件是出丑4【證明】已知メア片則反之,因則=8若力是對稱陣,即(AB,三姐AB=(Ad'=BA=^84(A9'=SA=^B^AB所以,皿對稱陣.IQA為ハ階對稱矩陣,⑴以是對稱矩陣.⑵血上!是對稱矩陣,助邱介反對稱矩陣,證明:曲田4是反對稱矩陣.【證明】因ス^4B=一タ故畫書?B=-B63刃

043破=湎-回‘4A-AB

=-BArA-G4ShSr=(A3'+CST=BAAAB=-54M-《3=-G4SHS4.所以戶是對稱矩陣,曲曲是對稱矩陣,曲歸4是反對稱矩陣.1L求與4J1可交換的全體二階矩陣.01ab【解】設(shè)與ス可交換的方陣為 ,則由caa+cb+d

cdaa+bcc+da+cb+d

cdaa+bcc+d11abab1101cdcd01ab由對應(yīng)元素相等得アaれ即與ム可交換的方陣為一切形如 的方陣,其中a60a10012求與401201-2為任意數(shù).可交換的全體三階矩陣.【解】由于00021-3a\b\c:'00o"'00o'aXムcja2b2c2002=002a2b2c24C3_01-3_01-3_?3b3C3.0g2ムー3(?|00 00c22b2-3c2=2a32b3 2c30c32b3-3c3a2-3a3b2-3b3c2-3c3_q=0,2ムー3q=0,2a3=0,生一3a3二0，c2=2b3{3=b2-34,202-3c2=2c3,2b3—3c=c2—3c3,所以。[0 0即與4可交換的一切方陣為0b22b3其中q也也為任意數(shù).0b3b2-3b3c2=2b3,c3=b2-34?a2=a3=b]=c}=0,13求下列矩陣的逆矩陣.⑴(3)-12_25_12345-4-1-2-1⑵④-100-112121002123'2100310-004!【解】a)-5--2-21；②-100-1-2101-21000"（3）]_6--12-7_-3264140一-1-2_④~2ー丄~2丄2ー丄-60丄300丄51丄,8-24-124.14利用逆矩陣,解線性方程組玉+ち+ち=1,

<2x2+2x3=1,

?/一ち=2.ス1 ”「M【解】因〇22x21-1111,而022H021-10玉X215證明下列命題:(1)若ス碗同階可逆矩陣,則(四?4/.⑵若ス可逆,則ス可逆且(㈤*.(3)若AA4I則(乃‘=04尸.【證明】(D因?qū)θ我夥疥嘽均有ざ=が=1cl目而厶E均可逆且同階,故可得\A\-\B\-BA^\AB\E(SA)二(A3*AB(AA)=SB'A?)A=(ABス㈤@=|ノト\B\(AB*.,z IA#ft151^ft(AB*4/.(2)由于44=以萬故ズ=|スN’,從而価’)*=|HI(A'Y'^\A\-'A于是A(A')*~\A\A\Ay'^=E所以ば)*=￠4廠.⑶因44W故ス可逆且A^4.由⑵び尸=64')*,得(Ar'=(A)*=(A)f.16已知線性變換xl=2yl+2y2+y3,-ち=3必+%+5ル,

x3^3y,+2y2+3y3,求從變量占,ち,七到變量x,%，カ的線性變換.【解】已知且IH=1Wft故ス可逆,=ay,-4-493-7X,2-4-7Y=A'X=63所以從變量x,,x2,x3到變量弘,ル，ル的線性變換為

M=-7%-4x2+9x3,<y2=6x,+3x2—7x3,%=3f+2x2-4x3,1ス解下列矩陣方程.3-10【解】Q）令.宀1ス解下列矩陣方程.3-10【解】Q）令.宀2-61.由于スt=3-1-21故原方程的惟ー解為故原方程的惟ー解為X=A'B=3-1-2\\4-618-2-20712而X=A'B=3-1-2\\4-618-2-20712而2￥01-1300-4-22 21/—2 21/—2E|=1-1-1230=一1W〇,1即42み」『逆,故0 10 11-12 2B=(Z-2E)-，=1-1-1211-1-4-3"ir4-5-313-82-912—6-6919設(shè)機(jī)次多項(xiàng)式/(x)=4+%x+…+a,"x'"記ハ⑷=a°E+%/+…+生メ"’〃⑷稱為方陣Z的〃?次多項(xiàng)式.證明Ak=證明Ak=，f(A)=/(A)m)J;②設(shè)ス=尸ー男尸,證明ガ=P4*pT,f(B)=Pf(A)P-'.【證明】r2〇 ;3 0⑴/2=勺,，ス、ク,即上^和ユ時(shí),結(jié)論成立.〇雙［〇相今假設(shè)Ak那么Ak+'=AkA=彳所以,對一切自然數(shù)A都有Ak=

f(A)^a0E+atA+-+amAmTOC\o"1-5"\h\zス[「4 ] 「"11」L4」 L 不ー_。〇+《ス+…+も" 〇. 0 劭+aル+…+4”芯="(4) "ーーハる)」(2)由⑴與士P一,用得B^P'.15=(B^p]y=Rip',4f(B)=a0E+a}B+-+amBm=a0E+qP/pT+…+amPA"'p-'=P(aQE+%>1+???+amA"')P''=P/(A)P-'.TOC\o"1-5"\h\z-1-4 -1〇2Q 設(shè)P-，P=/.其中P= ,A=,求ス，1 1 021 .114 ,【解】因尸7可逆,且ア7=— ,故由ス=尸，尸73-1-1/°=(P/尸ーヅ=P(4°)PTr-1-41Fl011J|_0210]_r-1-41Fl011J|_0210]_3丄343丄-3_1-1+2'2-31-2101364-340—4+2吐]ー「_1-1+2'2-31-2101364-34021?設(shè)〃階方陣A的伴隨矩陣為A\證明:（1）若丨ス1=0,則丨4，I=0；【證明】（D若UM則必有1/Hi因若丨ズ陰。則有ス（乃一1W由此又得a=^ae^a(A)~i=ih(Ay'=a這與丨ズ陰0是矛盾的,故當(dāng)\A\=a則必有丨A\=O.⑵由aA=\a\e兩邊取行列式,得\A\\A\=\A\",若則IAHA\-'若若=Q由①知也有IA\=\A\-\22設(shè)520210A=007005\A\k&為正整數(shù)）.求⑴AB；⑵54；(3)A-；④【解】-232000-10900(1)AB=0 04613—0 0329-1-20 0'-250 0(3)A-'=0 0-230 05-723用矩陣分塊的方法,'1980 0"30130 0(2)BA=003314005222_糾メF=（-げ.證明卜一列矩陣可逆,并求其逆矩陣.-1200025000(1)003000001000001-2010202013(3)001000001000001【解】Q）對⑷故如下分塊'003-10021(2)2100-23004〇0a2其中4-1_225,*3000100014,4的逆矩陣分別為4T=5-21=工300100001所以ノ可逆,且*5)000-21000A-'=A-i=00丄300?0001000001同理(2)0038丄-8A-'=-4-i-ター00丄4丄4414-1-丄5丄500_253500(3)20丄~20-1A-1—0丄20]_23-200100000100000124用初等變換將卜.列矩陣化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。"3(1)31解:(1)'32-432貝12-1"12-0-4-00-106014000*1-1：2-2厶2-4-2-4；2-1H 「1や，1))3|_3-1r[l+2(-l)-10_c[3+l(-6)](2)2-f2-42-4FlLo0'IOC01c000卜1(-2)]12336-40='10-1210-242006-110631也3+2(—1)]7o-,_r[2(-D]10E,O一? a00-12100000〇130T2-1"2_4r[2+1(-3)]00'16O-041 ，(2,3)〉000c[3+210\20(-4)]r[2-42,4)、306-113 0 6 3 1-1 -1 2 1 00 3 0 0 1030Tl0 0 0 0 0-1-1210'0 3 0 0 10 0 0 1 00 0 0 0 0'1002-1'010030010000000r[3+l(-3)]030-41\r[4+l(-3)]イ3+2(-1)]03001-1-1210300000-40000-1200'3001O-100r[3+(-：)] 4)叩+3(T)]、'1C、（へc[4+l(-2)]c[5+l(l)]c[5+2(-3)]L0 0 0100 0 00010000'0100000100"00000しIん,リノc(3,4)'e3o'ooo25利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣。

3-20-132102 21(1)315(2)1-2-3-2323J 1_31 21-i11r-11221110(3)-401； (4)〇11006 -1-11-一1000解:(D對(N|E)イ'32110〇'315010た初等行變換:イ2+1(-1)]-302 11 001-14-110 r[2(-l)]3230013211 001-41 -イ300+1(-1)]叩+3(-01)]° 2-1 ° 1J r[3(1[ 2 〇 ,f3 20 2 2010-1-12)]叩+2(-2)]°° 1-10_ 2rz23002010-1-1°° 0221-22|9 2|一ィ2+3(4)]小生,〇°i-丄〇丄_ 2 2_7 2 3'1006 3-2010-1-12〇〇】-丄〇!2 2 _'7 2_3-6 3-2所以A'=-1-12〇!へ1——0 —L2 2J(2)對(/IE)作初等行變換:'3-20-11000"-1-2-3-20010"02 2 101002(1,3)ゝ02 2 101001-2-3-200103-20-11000312 10001312 10001己+3(sュ2+3(—モユ4+3耳j〇。一。01。。。。ヽ二?s1〇 〇 〇 1〇 〇 1 〇〇 1 〇 〇1 1151311 ,ハハ〇L5|2-|oo5—5丨ー5|一二 512Hl?5|3二165135135|2-IS〇〇〇ュ1+2(2)〕ュ3+2(-4)〕工4+2117)-〇〇〇1 71 2 411 55 11 1110003 118 6 1心+4(7]010011110 11 11100107 79 3 6r[2+4(—)]10000111 55 11 1138 19 6 10r[3+4(--)]1111111110--10--0--04443+2(1)],301——1-U082 811100-182 8r[2+3(3)]100102叩+3(2)]〉0102-13ヘ11100-——18281 71 2 47111 55 11 11-1—243 118 6 1118所以,A'=11110 11 111_-3——6 110〇7 79 3 61179へ,11 55 11 11/ -3-6く8 19 6 10j-8 19-61011111111_一1--112 21〇〇ー叫)]1 0--40——04解:（3）-40 1010“1，2);-112 21 006 -1-10016 -1-100 11 0--〇-丄〇1 0--0——042+1(11)]4444イ3+1(-6)]:02--1-—0壯ダ、301——1-U04482 80-1-0 - 10-1-0 - 12222F1〇〇1043(8)]ヽ0102-100141238

'100000 0 1-,[l+2(-l)]、010000 1-1001001-1000011-10 0-11所以-462 20 1-1-11022-134181111100o-"1111100011100100r[2+l(-l)]00 0-1-11001100001043+K-i)]00-1-1-101010000001彳4+1(—1)]0-1-1-1-1001-11所以-462 20 1-1-11022-134181111100o-"1111100011100100r[2+l(-l)]00 0-1-11001100001043+K-i)]00-1-1-101010000001彳4+1(—1)]0-1-1-1-1001(4)1r(2,4)1-100111-1-1-10-1-1000001010100r[2(-D]r[3(-l)]r[4(-1)]r[/+3(-l)]

z=1,210001100り-111001001100-1生+4(-1)]0110010-10110-10001001-111-10〇,i=1,2,300011-100111101001000010000010010011-110001 01-1-100 0'11111110所以110010000001001-101-101-10026求トー列矩陣的秩。-011-1202-2-20(1)0-1-1111101-1(2)-1-2032104-206-11001100141412 6 8 20102 56104219173)； (4)0013 67 6 3 4 11231432353015205_4563277(1010110010101100(5)011000110101-0102解:(D40-111-10イ3+2(1)]ハ彳4+2(—1)]ハ0'00；011-12--2-20-1110 1 -110 1-1-1-1(42(1)]1aaaa1aa)) oaa\aaaa\"110 1 -1'01-1-100-1-1 1 1-T0「(1,4)「(3,，0り、11-12■110 1 -f01-1-10002 0 200-20 10-20102 0 2_, 110 1-1d3(-)] o1-1-1oj4+3(2)]110 1 -101-1-100010 1000 0 3'1101o-01-1-1000100000 0 11 0 0 0 0-010-100 0 10 00 0 0 0 10 0 0 0"100000_竺i]!))00衛(wèi)+3(1)]010 10-20 1101-f1-1-10010 100 0 11 1 0 1 〇ー010-100 0 10 00 0 0 0 1一1 0 0 0 〇ー010000010000001r[l+4(l)]ィ3+4(-1)]44+2(1)]c[4+l(-l空,5)ゝノ」)]'-100010000010所以/?(A=4

1-12101-12102-24-20000-40(2)4306-11r[2+l(-2)[3+l(-3)]03001'1-121イ'1-121イ3+2(7)]000-4030003001000000010c[2+l(l)]()3001c[3+l(-2)]00000c[4+l(-l)]〇ー-1-12100000-40廠[4+3(7)]1030-411r[2(--)]00000—4■10000'_c[2+5(-3)]、.000100000100000'10000'01000c(2,4)00100c(3,5)00000所以=&'1412 6 82''00 000"610421917610421917(3)4巾+3(-2)]7 6 3 417 6 341353015205r[4+3(-5)]00 000_所以/?(4=2'1001(4)40001 4'02 513 6r[4+l(-l)]'10010001 4'02 513 61245r[4+2(-2)]3143263277_'100010001r[5+1 4-2 53 61(-4)]r[4+30205(-3)]3132862861'10014'0102500136r[5+2(-5)])0039180061836r[5+3(-6)]0000000000所以タ（M=3

10100101001100001-100(5)4:〇1100イ2+1(-1)]:0110000110001100101101011-1010〇ー'1010001-100ィ3(!)]01-100r[3+2(-l)]00200 Z.―>00100イ5+2(-1)]00110001100011100111巾+3(—1)]「1"+3(1)]30r[4+3(-l)] 0r[5+3(-l)] 0_0所以/?(4=51 a aa 1 a(6)4a a \a a a當(dāng)“1時(shí)〇レ咽亠]0\—aへ >0i=2,3,4Lr[4+3(-2a)]、0000'10000100—00100011a 0m+1(ー。)]ハ小=2,3,4[01 a a\-a a a2 l+a a—1 a 1+a\ a a a0 1 -1 00 0 1 -10001+3。ー-10〇00a a1—a?ユ—ca-a"\—ci~(aa-a2a-a211a01史+3(T)L,°。43+4(7)][0。相關(guān)列變換、)000'1000)100必)010)001ai-a2—a2-a2a a-1 01 -1a1+a'10 0 001 0 000 1 0000l+3a當(dāng)aW1且。。一丄時(shí),=4

3當(dāng)ナ1時(shí),7?(ね=七當(dāng)q=ー丄時(shí),/?(4)=ふ3

-1| 2-a -324-24-2a-63-1| 2-a -324-24-2a-63J|_-36-3a-94-a-44-a-48-3a-60-4因?yàn)?=-1杉。所以當(dāng)為M壬意實(shí)數(shù)時(shí),均有/?(AB\-B9—4—6(聯(lián))1.C2C3C4C5設(shè)矩陣,物2階單位矩陣,矩陣B滿足由狹2E則出wr211解:因?yàn)椁?且B^Q.E則BAr&^.E/2」5(ArB=2E_ キ204011 1 1-又A-E^,所以-11 211—1在 f|萬セ1-12-26設(shè)44t3,耽3階非零矩陣,且份。則t=3-11解:因?yàn)锳B=Q且現(xiàn)非零矩陣,則有U|=a反證法證明以上結(jié)論。如果\a\^a則ス可逆,存在Aa^e因?yàn)锳B=O所以AAB=O^￥0與畝非零矩陣矛盾。故有IH=0>12-2又4：4t3,所以1図=0031図=0011日?-8)+7xll=7(^"8+ll)W(/+3)所以川7.已知矩陣k14=11k14=11k 1 1的秩為3則k1 k 1 1 1 k解由于R（A）=3,則同=0,即k111111111111k11=（A+3）1k11=(ん+3)0k-\0011k111k100k-\1111k111k000k-1=（ん+3）（セ一I），=0.由此得左=一3或、=1.當(dāng)な=1時(shí),顯然有R（A）=1；當(dāng)た=一3時(shí),4的左上角的3階子式-3 1 11-3 1=一16マ0.1 1-3故當(dāng)且僅當(dāng)た=—3時(shí),夕（4）=3.102則7?(AB8設(shè)ス為4X3矩陣,且R(4=2則7?(AB-103102解:因?yàn)?目=：020=1VQ所以B可逆。-103所以R(AB刃SN3設(shè)方陣A滿足ゴTL2E加證明:A及用セE都可逆,并求ズ及Wセカフ證明:因?yàn)閮?chǔ)ームー2E=0,所以A丄(A—E)=E,兩邊取行列式.則|川!(A-E)=1/0所以|A|wO,所以A可逆,パ=；(A-E).又イーん-2E=0得ガ=4+2后,由a可逆,則Az可逆,所以AせE可逆(A+2E尸=(ぷ尸=(パ)2=(?&_&)=*_2A+E)1Q設(shè)メ是雄介方陣,滿足44'=E,且\A\<0,求⑷轟解：|ム田=|Z+44，|=|Z(E+H)|=|厶|J/'+同ヰス|?|(/+E)'|=IH|a田所以(l-|Z|)|/+E|=0,因?yàn)?-IH戸。(UIO)所以弘田=a1L若3階方陣那伴隨矩陣為微且㈤巧，求的|(3ス尸ー2/*|值。解:14丄2/?C4=SA*A=\A\'E所以/*=14Iか所以(3ス尸ー24*二ースー］ー214|スー|=(--1)4-=一ラ4ー則|(3ス尸ー2/|=_耕=(_|)3.グ=_県ヽ12設(shè)4= 2.. ,其中口尸巴”。ノエ,ノ=1,2,…,〃).證明:與a可交換的只能是對角矩陣.

4/2…斯,、證:設(shè)8=a21a22.…a2?與A可交換.<??1%2 ノag”oc}ai2…レ?則"=%%a2a22…,郎=、磔ga2a2…ag”oc}ai2…レ?則"=%%a2a22…,郎=、ー"--"I一"一"Z 一"一""ノ %2a2 a”.％ノ由A8=BA可得,a{ia{=aViai,由a’H%,iWj,所以當(dāng)i#1,%=0,i=2,3,…,〃,同’斯、理可得為.=0(，ケノズ,ノ=2,3,?ー,〃)所以8= 2; 是對角矩陣.、 里,“13設(shè)A為n階方陣介2),ズ為A的伴隨矩陣,試證:(1)當(dāng)R(A)=n時(shí),R6)=n(2)當(dāng)R(A)=n-l時(shí),R@=L(3)當(dāng)R(A)<n-l時(shí)，R6)F證明:(D由マ(A)=〃，所以A可逆.而AA*=同￡所以「A*=E,所以A?可逆，即??(A*)=〃.Ml(2)下面先證明一個(gè)矩陣秩的性質(zhì).設(shè)矩陣A、B所以秩°=秩。 =秩(E)+秩(-A8)gB)ぜ。丿="+秩(AB)〇、 (A〇、而秩W秩 ，故秩A厥后n厥(AB)(0B) [EB)由R(A)=n-1(則IAI=U所以AA*=|/4|E=0,所以秩A脈A*Wn即秩A*W1又R(A)f-1,所以A的所有!r-1階子式不為。即A?有非零元素，即秩A能1,故秩A*=l.(3)由R(A)VlI,故A的所有n-1階子式為。即A的所有元素為Q從而秩(A*)-Q習(xí)題三(A類).設(shè)<11=(1,1,0),a2=(0,1,1),a3=(3,4,0),求a『a2及3a付2aa3.解:a「a2=(1,1,0)<0,1,1)=(10,-1),3a什2a2-a3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2).設(shè)3(a「a)+2(a2+a)=5(a3+a),其中a|=(2,5,1,3),a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1).求a.解:由3(ara)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得:a=-(3a)+2a2-5a3),BPa=l(6,12,18,24)6 6=(1,2,3,4).(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X.判別下列向量組的線性相關(guān)性.⑴?=(2,5),a2=(-l,3);(2)%=(1,2), 々2=(2,3),“3=(4,3);?=(1,1,3,1)/2=(4,1,-3,2),a3=(l,0,-l,2);?=(1,1,2,2,1),。2=(0,2,1,5,-1)〃3=(2,0,3,-1,3),a4=(l,1,0,4,-l).解：(1)線性無關(guān);(2)線性相關(guān);(3)線性無關(guān);(4)線性相關(guān)..設(shè)ゐ,。2,。3線性無關(guān),證明；ai,ai+a2,a?+々2+43也線性無關(guān).證明;設(shè)ム?+k,(of1+4)+た3(?+4+a3)=0,即(k]+k-,+ム).+(ん2+%)な2+ん3a3=〇.由1,ロZ,生線性無關(guān),有kt+k2+k3=0,

<k2+k3-0,

ム=0?所以ム=ん2=ム=〇,即囚,名+二2,q+4+生線性無關(guān)..問“為何值時(shí),向量組a=(1,2,3),a2=(3,-1,2)',%=(2,3,a)線性相關(guān),并將ク3用線性表示.132解:閨=2—13=7(5—a),當(dāng)“=5時(shí),"必+丄彩32a.作一個(gè)以(1,0,1,〇)和(1,-1,0,0)為行向量的秩為4的方陣.解:因向量(1,0,0,0)與(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)線性無關(guān),所以(1,OQO)可作為方陣的ー個(gè)行向量,因(1,0,0』)與(1,0,1,0),(1,-1,0,0),(1,0,0,’1010、1-100所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個(gè)行向量.所以方陣可為1000ゝ1001ノ0)線性無關(guān),8.設(shè)ク,生,…,名的秩為，且其中每個(gè)向量都可經(jīng)見,見,…,4線性表出,證明:名,名,…,ス為因,火,…,4的ー個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若 見,生,…,％ (1)線性相關(guān),且不妨設(shè)aヽ,％,…,a,(/<r) (2)是⑴的ー個(gè)極大無關(guān)組,則顯然(2)是必,02,…,砥的ー個(gè)極大無關(guān)組,這與G,生，…，名的秩為r矛盾,故6,以2,…,%必線性無關(guān)且為ス,住!,…,久的」一個(gè)極大無關(guān)組..求向量組?=(i,i,i4),？=(1」次,1),生=(1，2,ロ)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把以,外,火按列排成矩陣ん并對其施行初等變換.-11r-111-111-111A=112—>001T001T0k-101k10k-\00k-\0001k1101-kl-k00l-k000當(dāng)人1時(shí),名,生,生的秩為2,名,區(qū)為其一極大無關(guān)組.當(dāng)とナ1時(shí),%,區(qū),見線性無關(guān),秩為3,極大無關(guān)組為其本身..確定向量は=(2,a,か,使向量組片=(1,1,0),夕2=(1,1,1),夕3與向量組a=(0,1,1),

。2=(1,2,1),。3=(1，°，-1)的秩相同,且タ3可由。1。2，以3線性表に【解】由于/=(%,%&)=B/=(%,%&)=B=(月,夕2，夕3)=-011--120"120一0-1-111-1000"112"'11 211a一01b01b00a—2而殯ス)=2,要使R(N)=R(8尸2,需“-2=0,即。=2,又-0112--120 ac=(以,火,火,43)=120aT011 211 b_000b-a+2要使區(qū)可由4，氏，生線性表出,需ル。+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求,即は=(2,2,0)..求下列向量組的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組.⑴a產(chǎn)(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,-6),a3=(l,-3,-4,-7);a|=(6,4,1,-1,2),a2=(1,0,2,3,-4),a3=(l,4,-9,-6,22),a4=(7,1,0,-1,3)；a|=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(l,-1,2,〇),a5=(2,1,5,6).解:(1)把向量組作為列向量組成矩陣A,應(yīng)用初等行變換將A化為最簡形矩陣B,則’1 4P‘14 1ヽ<141>(11>1092-1-30-9-501-へ, 5A=T—>901=B1-5-40-9-59000ゝ3-6-7；、〇-18一10ノ〇〇ノ00 0、〇0〇,可知R(A)=R(B：=2,B的第!,2列線性無關(guān),由于A的列向量組與B的對應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系,故與B對應(yīng)的A的第1,2列線性無關(guān),即a1,a2是該向量組的ー個(gè)極大無關(guān)組.(2)同理,

'64110214-97、10Tク0-115540-97ヽ10’1002-9〇、71T01-82-11-85540-13-6-105~15-105-15-1ゝ2-4223丿、?！?401ノ、。00q2-90ヽ01-57q2-9〇、'100〇、11ar*01-500100000_45—>0010070010=BTT00010001240010TTゝ〇00〇丿、〇00〇ノ(000 0'10312ヽ'10312ヽ'10312ヽ'10312、-130-110330301101011014=T—>2172501101000-4-400011ゝ421406ノ1022-4-2；、〇〇000ノ、〇〇0〇,可知R(A尸R(B)=3,取線性無關(guān)組a1,a3,a5為該向量組的ー個(gè)極大無關(guān)組.可知R(A)=R(B)=4,A的4個(gè)列向量線性無關(guān),即aha(3升司理,2,a夕a4是該向量組的極大無關(guān)組.12.求下列向量組的ー個(gè)極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(l)ai=(l,l,3,l),a2=(-l,1,-1,3),a3=(5,-2,8,-9),a4=(-1,3,1,7);(2)at=(1,1,2,3),a2=(1,-1,1,1),a3=(1,3,3,5),a4=(4,-2,5,6),a5=(-3,-l,-5,-7).解:(1)以向量組為列向量組成A,應(yīng)用初等行變換化為最簡形式.a1-115-2-1、3(\-15-1)—?'1-1572-O2/10013271202-74013-18102-7400000020013-9704-148丿0000ゝ/、〇00〇ノノA==B,可知,aレa2為向量組的ー個(gè)極大無關(guān)組.X]ー爲(wèi)=5設(shè)a3設(shè)a3=X,a*a2,即〈西+ム=-23/-x2=8解得,玉=-,x2為+3x2=-9Xj—%2=—]設(shè)a4=x設(shè)a4=x3ai+x4a2,即《~ 解得,王=1,ち=23%|—%2=1=Bx3 7xx+3x2=7=Bx3 7+ち=1 人2,即X]=2,X2=?1,令a4=X3Q]+X4Q2,-x2=3+あ=4 人可得:く可得：く2,即X]=1,X2=3,令Q5=x5ai+x6a可得:く可得：く2,-x2=-2即X|=-2,X2=-1,所以a3=2a,-a2-x2=-1a4=a1+3a2,a5=-2ara2.設(shè)向量組ザ,％,…,a”與月,夕2,…,a秩相同且a，％，…，％（能經(jīng)后，夕2,…，仇線性表出.證明q,《，ち與?,ガ2,…,我’等價(jià)?【解】設(shè)向量組a,,a2,（1）與向量組TOC\o"1-5"\h\zタメ2,???,氏 （2）的極大線性無關(guān)組分別為火,火,…,a, （3）和4％…,4 ⑷由于（1）可由（2）線性表出,那么（1）也可由（4）線性表出,從而（3）可以由（4）線性表出,即ra=Z%タノ 0=1,2,…/）.

因（4）線性無關(guān),故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是同セ0,可由（*）解出2（ノ=1,2,…,尸）,即（4）可由（3）線性表出,從而它們等價(jià),再由它們分別同（1）,（2）等價(jià),所以（1）和（2）等價(jià)..設(shè)向量組aレa2,…,a$的秩為ロ,向量組BレB2,…,Bt的秩為な,向量組aレa2,…,aBレB2,-,B,的秩為わ,試證:maxgE注!'3、h+功.證明:設(shè)asi,…，名“為ai,a2,…，as的ー個(gè)極大線性無關(guān)組,Bu,B必…,ガイ為BレB2,…,3的ー個(gè)極大線性無關(guān)組.ロ”…，ム為aレa2? Bi，B2，…,3的一個(gè)極大線性無關(guān)組,則a,レ…，4,和Bu，…，B9可分別由い,…，ユ線性表示,所以,“《口,なぐら即max{n,r2}Wh,又へ，…，4,可由&$レ…，asrl,Ptl,-,9セ2線性表示及線性無關(guān)性可知:hWri+n..已知向量組a|=（l,4,a,a），，a2=（a,l,q,a）',a3=（a,a,l,a）',a4=（4,a,a,l）’的秩為3,試確定a的值.解:以向量組為列向量，組成矩陣A,用行初等變換化為最簡形式:qaa4ヽ<1aaaヽ'l+3aaaaヽa1aaTa~\\-a00T0I-a00aa1aa-l0l-a0001ー〃0aa1ノゝa-l001”、〇001”由秩A=3.可知aWl,從而l+3a=0,即a=--.316,求下列矩陣的行向量組的ー個(gè)極大線性無關(guān)組.2531174375945313225311743759453132759454134253220480215-1203-131104-1【解】（1）矩陣的行向量組%的ー個(gè)極大無關(guān)組為囚,%,區(qū);峙（2）矩陣的行向量組?的一個(gè)極大無關(guān)組為?,名,生.a、17.集合Vi=｛（xpx2,---,xn）!玉,め,…,x“WR且X1+?め+…+x.=0｝是否構(gòu)成向量空間?為什么?【解】由（0,〇,…,〇）G匕知修非空,設(shè)以=3,め,…,x.）e匕,尸=（ア],%,…,以）eV”keR）則a+j3=（xt+yi,x2+y2,---,xn+yn）ka-（kx1,kx2,---,kxn）.因?yàn)椋ㄓ?到）+（ス2+%）+…+（ム+%）=（%+ち+…+ム）+（-+為+…+券）=°，

kx｝+kx2-\1-H〃=k（x]+あ+???+ス〃）=0,所以a+夕￡ドメaw匕,故匕是向量空間..試證:由6=（i,i,o）,%=（i,o,i）,%=（o,i,i）,生成的向量空間恰為r3.【證明】把火,%,%排成矩陣A=（a],a2,以3）,則110\A\=!〇1=-2。〇,

011所以ク,%,。3線性無關(guān),故ス,區(qū),區(qū)是R3的ー個(gè)基,因而生成的向量空間恰為R3..求由向量因=（1,2,1,0）,%=（1,1,1,2）,生=（3,4,3,4）,%=（1,1,2,1）,as=（4,5,6,4）所生的向量空間的ー組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃嘇=（al,a2,ai,a4,a5）-11314''\1314--11314'214150-1-2-1-30-1-2-1-3一11326T00012-?0001202414_0241400000.?.%,名,a,是ー組基,其維數(shù)是3維的.

.設(shè)見=(1,1,0,0)&=(1,0,1,1),片=(2,-1,3,3),夕2=(0,1,-LT),證明:ム(《,生)=ム(片,の.【解】因?yàn)榫仃?=(q,%,瓦—)一112 0-'1 1 20-10-110-1-31T013-100 00013-1_00 00由此知向量組名,生與向量組男,尾的秩都是2,并且向量組と,夕2可由向量組a，內(nèi)線性表出.山習(xí)題ジ知這兩向量組等價(jià),從而名也可由4,向線性表出?所以厶3，%)=厶(ガメ2)..在R3中求一個(gè)向量ケ,使它在下面兩個(gè)基(1)俑=(1,0,1),a2=(-1,0,0)a3=(0,1,1)(2)^=(0-1,1),⑸=(1,-1,0)A=(1,0,1)下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)ア在兩組基下的坐標(biāo)均為(あ,ス2,ム)，即X, x}/=(al,a2,a3)ち=電,即外あ,'1-10001_101即-2_リ!"七一1 1x2-2_リ!"七一1 1x2=0,0 0x3k,xl3k(k為任意實(shí)數(shù))Xj=k,X)—故/=玉ヨ+x2￡2+x3￡3=(k2k,-3k).22.驗(yàn)證a=(l,-l,0),a2=(2』,3),a3=(3,l,2)為R3的一個(gè)基,并把4=(5,0,7),

優(yōu)=(-9,-8,-13)用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè)A=(a,,a2,a}),3=(自,夕ユ)，又設(shè)B\=る烏+々必+W，優(yōu)=ち4+x22a2+ら氏,(ス血)=(?,%%)卬(ス血)=(?,%%)卬X2\工3】記作則B=AX.記作則B=AX.因有スcE,故囚,生,。3因有スcE,故囚,生,。3為R,的ー個(gè)基,且23-13-3-2夕I=2%+3%一%,夕2=3%一3生一20;.(B類)1.A2.B3.C4.D5.〃=2,b=4.abc^O.設(shè)向量組aレa厶aコ線性相關(guān),向量組a2,a3,a4線性無關(guān),問:a?能否由a方a3線性表示?證明你的結(jié)論.Q4能否由aI,Q2,a3線性表示?證明你的結(jié)論.

解:（1）由向量組a”a2,a3線性相關(guān),知向量組aレaa3的秩小于等于2,而aシa3,a4線性無關(guān),所以a厶a3線性無關(guān),故a方a3是aレaムa3的極大線性無關(guān)組,所以a1能由a2,a3線性表ホ.（2）不能.若aく可由a”a2, 線性表示,而a2,￠>3是aレa2,a3的極大線性無關(guān)組,所以a4可由a2,a3線性表示.與a2,a3,aく線性無關(guān)矛盾..若a,,a2，…,an,an+1線性相關(guān),但其中任意n個(gè)向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)ki,k2,…,kn,kn+l,使kis+k2a2"1—i-kn+ian+i=O.證明:因?yàn)閍”a2，…，an,am線性相關(guān),所以存在不全為零的k”k2,-,kn,院+i使kia]+k2a2+---+kn+lan+1=0若k1=0,則k2a2+…+-a什產(chǎn)〇,由任意n個(gè)向量都性線無關(guān),貝リk2="=kn+i=0,矛盾.從加W0,同理可知kH0,i=2,…,n+1,所以存在n+1個(gè)全不為零的數(shù)ki,k2，…,照,匕+L使k冏+k2a升…+kn+ian+1=O..設(shè)A是nXm矩陣,B是mXn矩陣，其中n<m,E為n階單位矩陣.若AB=E，證明:B的列向量組線性無關(guān).證明:由第2章知識知,秩AWn,秩BWn,可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì),n=秩EWmin｛秩A,秩B｝〈n,所以秩B=n,所以B的列向量的秩為n,即線性無關(guān).習(xí)題四（A類）.用消元法解下列方程組.x[+2x2+2x3=2,

2xx[+2x2+2x3=2,

2x}+5x2+2x3=4,

X]+2x2+4x3=6;%+2x2+4x4=2,

3%j+2x2+2x3-3ム=1,

xl+2x2+3x3-3x4=8;【解】⑴4-23614-23620421ヽ1102122-31322-3123-38123-38_123114-2360-32-1-5（一1）?セーム0-12-9-20-25-62一14-23614-23601-292ら+3り、01-2920-32-1-5ね+2り00-42610-25-62001 126吐タ14-23614-23601-292マ+41、01-29200112600112600-42610007425%+4x2-2x3+3x4=6x2-2x3+9x4=2x3+12x4=674x4=25所以~74211

x2= 274144

x,= 742574⑵玉+2x2+2x3=2①く2須+5x2+2x3=4②x1+2x2+4x3=6③解②-?X2得犬2-213=0③YD得2%3=4得同解方程組卜］+2x2+2x3=2④

山⑥得由⑤得由④得得お=2,山⑥得由⑤得由④得得x2=2x3=4,x1=2—2xj_2x?=_]0,(x1K2?X3)T=(-10,4,2)r.(1)X1+3x2+2x3=0,&+5尤(1)X1+3x2+2x3=0,&+5尤2+尤3=0,3%+5x2+8x3=0;るー玉+3Xj-x2+5x3-x4=0,x2-2x3+3x4=0,x2+8x3+x4=0,演+3x2-9x3+7ム=0；%+x2+2x3+2x4+7x5=0,2x,+3x2+4x3+5x43x(+5x2+6x3+8x4=0,=0;(4)%+2ち-2x3+2x4-x5=0,X1+2x2-x3+3x4-2x5=0,2X]+4x2-7x3+x4+x5=0.【解】⑴X1+3x2+2x3=0,

玉+5x2+x3=0,

3X1+5x2+8x3=0.X1+3x2+2x3=02x2-x3=0得基礎(chǔ)解系為_7

~2(2)系數(shù)矩陣為

1-15-111-233-18113-97りFゝ1-15-102-7402-7404-148勺ーりか“スF%-2りA=1000-12005-7

0

0-1400「(7)=2.ュ其基礎(chǔ)解系含有4-R(/)=2個(gè)解向量.x1000-12005-7

0

0-1400「(7)=2.ュ其基礎(chǔ)解系含有4-R(/)=2個(gè)解向量.xt—x2+5x3—x4=0

2x2-7xi+4x4=0=>-1-2013--x72%3須基礎(chǔ)解系為(3)得同解方程組3

一5

7210-1-201りー2ハキー3彳7-147玉+ち+2尤3+2x4+7x5=0,

x2+x4-14x5=0,

7x5=0=>x5=0.得基礎(chǔ)解系為7-14-21(-2,0,1,0,0)T,(-l,-1,0,1,0).(4)方程的系數(shù)矩陣為■12-22-1"'12-22-1A=12-13-2e)001 1-124-71 1_00-3-33■12-22-rへ+3り)0011-iR(/)=2,00000_ュ基礎(chǔ)解系所含解向量為n-/?M)=5-2=3個(gè)取x取x4為自由未知量丹+爲(wèi)+2x3=1,丹+爲(wèi)+2x3=1,2%-x2