數(shù)值計(jì)算方法計(jì)劃試題集及

數(shù)值計(jì)算方法計(jì)劃》試題集及數(shù)值計(jì)算方法計(jì)劃》試題集及14/14數(shù)值計(jì)算方法計(jì)劃》試題集及《計(jì)算方法》期中復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)算求得3f(x)dx_________(1)。1,用三點(diǎn)式求得f答案：2.367，2、f(1)1,f(2)2,f(3)1，則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為，拉格朗日插值多項(xiàng)式為。L2(x)12)(x3)2(x1)(x3)12)答案：-1，(x(x1)(x223、近似值x*0.231關(guān)于真值x0.229有(2)位有效數(shù)字；4、設(shè)f(x)可微,求方程xf(x)的牛頓迭代格式是()；xn1xnxnf(xn)1f(xn)答案5、對(duì)f(x)x3x1,差商f[0,1,2,3](1),f[0,1,2,3,4](0)；6、計(jì)算方法主要研究(截?cái)?誤差和(舍入)誤差；7、用二分法求非線性方程fx)=0在區(qū)間ab內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為((,)ba(2n1)；、已知f(1)＝，f(2)＝，f(4)＝，則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為)；823111、兩點(diǎn)式高斯型求積公式0

11[f(31)f(31)]f(x)dxf(x)dx≈(022323)，代數(shù)精度為(5)；y346101)2(x1)312、為了使計(jì)算x1(x的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)y10(3(416t)t)t,t1，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式20011999式改寫(xiě)為x2改寫(xiě)為20011999。13、用二分法求方程f(x)x3x10在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為，。1xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為14、計(jì)算積分，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。15、設(shè)f(0)0,f(1)16,f(2)46,則l1(x)l1(x)x(x2)，f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為N2(x)16x7x(x1)。bf(x)dxnAkf(xk)16、求積公式a高斯型)k0的代數(shù)精度以(求積公式為最高，擁有(2n1)次代數(shù)精度。5、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求f(x)dx(12)。171、設(shè)f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三點(diǎn)式求f(1)()。1819、若是用二分法求方程x3x40在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分（10）次。S(x)x30x11(x1)3a(x1)2b(x1)c1x320、已知2是三次樣條函數(shù)，則a=(3)，b（3），c=（1）。=21、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1,,xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則nnlk(x)(1)，xklj(xk)(xj)，當(dāng)n2時(shí)k0k0n(xk4xk23)lk(x)(x4x23)。k022、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上擁有直到_____2_____階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。23、改變函數(shù)f(x)x1x(x1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確1fxx1x。24、若用二分法求方程fx0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分10次。Sx2x3,0x1x3ax2bxc,1x2是3次樣條函數(shù)，則25、設(shè)a=3,b=-3,c=1。1exdx26、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0106，要求誤差不高出，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，最少用477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。27、若f(x)3x42x1，則差商f[2,4,8,16,32]3。28、數(shù)值積分公式選擇題

12[f(1)8f(0)f(1)]f(x)dx。19的代數(shù)精度為21、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B)。A．2B．5C．3D．42、舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B．模型正確值與用數(shù)值方法求得的正確值C．觀察與測(cè)量D．?dāng)?shù)學(xué)模型正確值與實(shí)質(zhì)值3、3.141580是π的有(B)位有效數(shù)字的近似值。A．6B．5C．4D．74、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀察C．截?cái)郉．舍入x315、用1+3近似表示x所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。A．舍入B．觀察C．模型D．截?cái)?、-324．7500是舍入獲取的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A．5B．6C．7D．8、設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)。7A．–0．5B．0．5C．2D．-28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A．3B．4C．5D．29、(D)的3位有效數(shù)字是0.236×102。(A)0.0023549××10－2(D)235.54×10－110、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，則f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)與x交點(diǎn)的橫坐(B)y=x與y=(x)交點(diǎn)的橫坐(C)y=x與x的交點(diǎn)的橫坐(D)y=x與y=(x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插多式的余是(B),牛插多式的余是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,?,xn)(x－x1)(x－x2)?(x－xn－1)(x－xn)，Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)()(B)(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,?,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)?(x－xn－1)(x－xn)，f(n1)()(D)Rn(x)f(x)Pn(x)n1(x)(n1)!12、用牛切法解方程f(x)=0，初始x0足(A),它的解數(shù)列{xn}n=0,1,2,?必然收到方程f(x)=0的根。13、求方程x3―x2―1=0在區(qū)[1.3,1.6]內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)成以下形式，并建立相的迭代公式，迭代公式不收的是(A)。x21,迭代公式:xk111(A)x1xkx1,迭代公式:xk111212(B)xxk(C)x31x2,迭代公式:xk1(12)1/3xkx31x2,迭代公式:xk11x2xk21(D)xkkbnCi(n)f(x)dx(ba)f(xi)(n)14、在牛-柯特斯求公式：ai0中，當(dāng)系數(shù)Ci是，公式的定性不能夠保，因此用中，當(dāng)（）的牛-柯特斯求公式不使用。（1）n8，（2）n7，（3）n10，（4）n6，23、有以下數(shù)表x012f(x)-2-12所確定的插多式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次15、取31.732算x(31)4，以下方法中哪一種最好？（）1616(A)28163；(B)(423)2；(C)(423)2；(D)(31)4。S(x)x30x22(x1)3a(x2)b2x4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為(26、已知)(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。16、由以下數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是（）１２３-1(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。b17、形如af(x)dxA1f(x1)A2f(x2)A3f(x3)的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。18、計(jì)算3的Newton迭代格式為()xk1xk3xk1xk3xk1xk2xk1xk3(A)2xk；(B)22xk；(C)2xk；(D)3xk。19、用二分法求方程x34x2100在區(qū)間[1,2]內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為11032，則對(duì)分次數(shù)最少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。9kli(k)20、設(shè)li(x)是以xkk(k0,1,L,9)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k0()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，最少擁有()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。S(x)x30x22(x1)3a(x2)b2x4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為(21、已知)(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程x32x50在x2周邊有根，以下迭代格式中在x02不收斂的是()xk125x2xk35xk132xk5xkxk1xk3xk5k13x22(A)；(B)；(C)；(D)。k22、由以下數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。23、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認(rèn)為正確的在后邊的括弧中打，否則打）1、已知觀察值(xi，，，，，m),用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式Pn(x)時(shí)，yi)(i012Pn(x)的次數(shù)n能夠任意取。()、用x2產(chǎn)生舍入誤差。2近似表示cosx()21-(xx0)(xx2)、(x1x0)(x1x2)表示在節(jié)點(diǎn)x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()34、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。()3112535、矩陣A=125擁有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。()四、計(jì)算題：1A[f(1)f(1)]B[f(1)f(1)]f(x)dx1、求、使求積公式122的代數(shù)精度盡量高,ABI21并求其代數(shù)精度；利用此公式求dx(保留四位小數(shù))。1x答案：f(x)1,x,x2是精確建立，即2A2B22A12A1,B8B3得2991f(x)dx1[f(1)f(1)]8[f(1)f(1)]求積公式為19922當(dāng)f(x)x3時(shí)，公式顯然精確建立；當(dāng)f(x)x421時(shí)，左=5，右=3。因此代數(shù)精度為3。2、已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項(xiàng)式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小數(shù)）。L3(x)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求f(x)的二次擬合曲線p2(x)，并求f(0)的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a21510a13正規(guī)方程組為10a034a2416、已知sinx區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差盡量小，即應(yīng)使|3(x)|盡量小，最湊近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足上述要求。即取節(jié)點(diǎn){0.5,0.6,0.7}最好，實(shí)質(zhì)計(jì)算結(jié)果sin，且7、構(gòu)造求解方程ex10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，談?wù)撈涫諗啃裕⒏蟪鰜?lái)，|xn1x|104n。答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.且f(x)ex100對(duì)x(，)，故f(x)0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程f(x)0變形為則當(dāng)x(0,1)時(shí)1exe(x)ex)|(x)|1(2101010，故迭代格式收斂。取x00.5，計(jì)算結(jié)果列表以下：n01231278720.0964247850.089877325n45670.0905959935173400.0905259500.090525008且滿(mǎn)足|x7x6|0.00000095106.因此x*0.090525008.、已知以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xif(xi)試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。x時(shí)，f(x)1解：當(dāng)x，則f(x)e，且0exdx有一位整數(shù).0<<1e要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R1(n)(f)11042.R(n)(f)(ba)3f()由112n2，只要即可，解得因此n68，因此最少需將[0,1]68等份。12、取節(jié)點(diǎn)x00,x10.5,x21,求函數(shù)f(x)ex在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項(xiàng)式P2(x),并估計(jì)誤差。P2(x)e0(x0.5)(x1)e(x0)(x1)解：(00.5)(01)1)f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1又x[0,1]|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|故截?cái)嗾`差3!。14、給定方程f(x)(x1)ex10解析該方程存在幾個(gè)根；用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程(x1)ex10（1）改寫(xiě)為x1ex（2）作函數(shù)f1(x)x1，f2(x)ex的圖形（略）知（2）有唯一根x*(1,2)。2)將方程（2）改寫(xiě)為x1exxk11exk構(gòu)造迭代格式x0(k0,1,2,)計(jì)算結(jié)果列表以下：k123456789xk3199264763)(x)1ex，(x)ex當(dāng)x[1,2]時(shí)，(x)[(2),(1)][1,2]，且因此迭代格式xk1(xk)(k0,1,2,)對(duì)任意x0[1,2]均收斂。15、用牛頓(切線)法求3的近似值。取x0=1.7,計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：3是f(x)x230的正根，f(x)2x，牛頓迭代公式為xn1xnxn23xn1xn3)2xn2(n0,1,2,，即2xn取x0=1.7,列表以下：123、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)及f(1，5)的近16似值，取五位小數(shù)。L2(x)2(x1)(x2)3(x1)(x2)4(x1)(x1)解：(11)(12)(11)(12)(21)(21)117、n=3,用復(fù)合梯形公式求0exdx的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計(jì)。110[e02(e13e23)e1exdxT3解：023f(x)ex,f(x)ex，0x1時(shí)，|f(x)|e最少有兩位有效數(shù)字。20、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：19253038解：span{1,x2}解方程組ATACATyATA43391ATy其中33913529603C解得：因此a，b1exdx時(shí)，試用余項(xiàng)估21、（15分）用n8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算0計(jì)其誤差。用n8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似值。RT[f]bah2f()11e01解：12128276822、（15分）方程x3x10在x周邊有根，把方程寫(xiě)成三種不同樣的等價(jià)形式（1）1xn111對(duì)應(yīng)迭代格式xn11；(2)x11x3x3xnx對(duì)應(yīng)迭代格式xn；（3）xx31對(duì)應(yīng)迭代格式xn1xn31。判斷迭代格式在x01.5的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算x1.5周邊的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。1(x2解：（1）(x)1）3（）1，故收斂；3，(x)11（2）2x21（）1，故收斂；x，（3）(x)3x2，（）321，故發(fā)散。選擇（1）：x0，x1，x21.3309，x31.3259，x4，x51.32476，x625、數(shù)值積分公式形如1xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度0C4[0,1]，推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x)1xf(x)dxS(x)，并估計(jì)誤差。盡量高；（2）設(shè)f(x)0解：將f(x)2,x3A3,B7,B1,D11,x,x分布代入公式得：20203020H3(xi)f(xi)構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)滿(mǎn)足H3(xi)f(xi)i0,1其中x00,x111f(x)H3(x)f(4)()2(x1)2有：0xH3(x)dxS(x)x，4!27、（10分）已知數(shù)分公式：hh[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]f(x)dx02，確定分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x)1然精確建立；hh2h[0h]h2[1f(x)xdx1]x，022；h2h3h22h31f(x)x2，0xdx32[0h]h[02h]22h12；f(x)x3hx3dxh4h[0h3]1h2[03h2]；，04212f(x)x4hx4dxh5h[0h4]1h2[04h3]h5，052126；因此，其代數(shù)精確度3。28、（8分）已知求a(a0)的迭代公式：明：所有k1,2,,xka，且序列xk是減的，從而迭代程收。xk11(xka)12xkaak0,1,2明：2xk2xk故所有k1,2,,xka。xk11(1a)1(11)1因此xk1xk，即序列xk是減有下界，從而迭代又xk2xk22程收。29、（9分）數(shù)求公式數(shù)精度是多少？

33[f(1)f(2)]f(x)dx02可否插型求公式？什么？其代p(x)x2x112f(1)f(2)解：是。因f(x)在基點(diǎn)1、2的插多式2133[f(1)f(2)]p(x)dx02。其