教學(xué)課件-第九章

如果積分區(qū)域?yàn)椋篴

x

b,［X－型］1

(

x)

y

2

(

x).其中函數(shù)1

(x)、2

(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分aby

2

(

x)Dy

1

(

x)bay

2

(

x)Dy

1

(

x)

f

(x,y)d

的值等于以D

為底，以曲面z

Df

(x,y)為曲頂柱體的體積．z應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立yxA(x0

)z

f

(x,

y)y

1

(x)體求體積”的方法,y

2

(x)f

(

x,

y)dy.1

D2

(

x

)

(

x

)baf

(

x,

y)d

dx得f

(

x,

y)dx.f

(

x,

y)d

1D2

(

y

)

(

y

)dcdy如果積分區(qū)域?yàn)椋篶

y

d

,［Y－型］1

(

y)

x

2

(

y).2 x

(

y)x

1

(

y)Dcdcd2x

(

y)x

1

(

y)DX型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).D3D1D2

.D3若區(qū)域如圖，則必須分割.在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式

D

D1

D2y

1

x例

1

改變積分

dx1

xf

(x,y)dy

的次序.010原式

dy1

yf

(

x,

y)dx

.010解

積分區(qū)域如圖y

2

xy

2x

x2

f

(x,y)dy的次序.dx1

dx

020例

2

改變積分10f

(

x,

y)dy原式2

y10

1

1

y2f

(

x,

y)dx

.dy解

積分區(qū)域如圖f

(

x,

y)dy

(a

0)22a0例

3

改變積分的次序.2ax2ax

xdx解=a2aa

a2

y2y2f

(

x,

y)dx0原式aa

a

y

dyf

(

x,

y)dx

0dy2a2

2f

(

x,

y)dx.2a2a22aaydyy

2axy

2ax

x2a2

x

a

y22aa2aa例

4

求

(

x2

y)dxdy

，其中D

是由拋物線Dy

x2

和x

y2

所圍平面閉區(qū)域.解兩曲線的交點(diǎn)

(0,0) ,

(1,1),2

y

x2x

yD(

x2

y)dxdy

x2x(

x2

y)dy10dx2

[)2(

1

(

102

33

.140x

y2y

x2x

y2y

x22

2例5

求

x

e

y

dxdy

，其中

D

是以(0,0),(1,1),D(0,1)為頂點(diǎn)的三角形.2解

e

y

dy

無法用初等函數(shù)表示

積分時(shí)必須考慮次序D22

yx

e

dxdy

x

e

dx2

y2dy01

y0y

y10332e

dy

10622e

y

dy2

y

1

(1

2).6

ey

1例

6

計(jì)算積分

I

2

dyye

x

dx

114

2yyye

x

dx

.dy121解y

e

x

dx

不能用初等函數(shù)表示先改變積分次序.xxy原式

I

dx e

x

dy221

1x(e

112xe

)dx

3

18

2e

e.y

xy

x2例

7

求由下列曲面所圍成的 體積，yx，z

z

xy

，yx1，x

0

，y

0

.解曲面圍成的如圖.所圍

在xoy面上的投影是

0

x

y

1,

x

y

xy,所求體積V

(x

y

xy)dD(

x

y

xy)dy001

1

xdx1012x

[)x(124

7

.二、小結(jié)二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）f

(x,y)dy.［X－型］1

2

(

x

)

(

x

)Dbaf

(

x,

y)d

dxf

(

x,

y)dx［.Ddc2

(

y

)1

(

y

)

f

(

x,

y)d

dyY－型］設(shè)

f

(

x)

[0,1]在

上連續(xù)，并設(shè)1f

(

x)dx

A，01

10x求

dx

f

(

x)

f

(

y)dy

.思考題1f

(y)dy不能直接積出,x改變積分次序.令I(lǐng)

110f

(

x)

f

(

y)dy

,xdx思考題解答則原式y(tǒng)f

(

x)

f

(

y)dx

.dy010f

(

y)dy,010f

(

x)dxx故2I

110f

(

y)dyf

(

x)dxxxf

(

y)dy010

f

(

x)dx)

f

(

y)dy]1010f

(

x)dx[(xx

21010f

(

x)dx f

(

y)dy

A

.一、填空題:1、(

x

3

3

x

2

y

y

3

)d

.其中DD

:

0

x

1,0

y

1.D2、

x

cos(

x

y)d

.其中D是頂點(diǎn)分別為

(0,0)，(

,0)

，(

,

)

的三角形閉區(qū)域

.3、將二重積分

f

(x,y)d

,其中D

是由xD軸及半圓周2

y

2

r

(

y

0)x

2所圍成的閉區(qū)域,化為先對(duì)y后對(duì)

x

的二次積分,應(yīng)為

.練習(xí)題4、將二重積分

f

(x,y)d

,其中D

是由直線Dy

x,x

2及雙曲線y

1

(x

0)所圍成的閉區(qū)x域,化為先對(duì)x

后對(duì)y

的二次積分,應(yīng)為

.5、將二次積分212

x

x

22

xf

(x,y)dy

改換積分次序,dx應(yīng)為

.sin

xxf

(x,y)dy

改換積分次序,2sin6、將二次積分0

dx應(yīng)為

.7、將二次積分ln

y1

22f

(

x,

y)dxedy1

222(

y

1)

1

dyf

(x,y)dx

改換積分次序,應(yīng)為

.二、畫出積分區(qū)域,并計(jì)算下列二重積分:1、

e

x

y

d

,其中D

是由

x

y

1所確定的閉區(qū)域.D2、(x

2

y

2

x)d

其中D

是由直線Dy

2,y

x及y

2

x

所圍成的閉區(qū)域.3、

D2xdycos

ydx00f

(

x,

y)d

2(

x)(

x

y)。4、

2

dxdy,x其y

中D

:

x

D三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D

由直線

y

12.,yx2,

xy和x

軸所圍成,它的面密度

(,)

xy22x,y求該薄片的質(zhì)量

.四、求由曲面z

x

2

2

y

2

及z

6

2x

2

y

2

,所圍成的的體積.一、1、1；2、

3

；2f

(

x,

y)dy；r

2

x

2r

r3、

dx4、0222111f

(

x,

y)dx

f

(

x,

y)dx

；ydydy5、1210y1

1

y

22

yf

(

x,

y)dx

；dy