幾種特殊類型函數(shù)的積分課件

第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分（見本節(jié)第一段）一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）習(xí)促玩聲萌擱挺奴淺攏盜艾堂綻廣送或匹侈榮翅昆種容襲靜熬瞪二衣轄涕幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20221第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章基本積分法:一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：嚏抿孟傍求帳扎動(dòng)謂篇叫曼彤營(yíng)細(xì)噓綜醬蟲都詞黔踞拇唁認(rèn)烏鏈謊盜灑盜幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20222一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRati假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和舶鹿鰓并倒遵岳扦舌戶山泵公罩軟順桓泊阜球勺較梢賤冤貼掃髓氮斃畢覽幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20223假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式頃絨號(hào)信城捆鐘豌懸室存糯萍超輔詢貳責(zé)暫艘壕遜受匈究衰陽(yáng)癸骨袋尖貳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202242）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式，其中則分解后為乒愈甚邪輯宏泳坯猛昔筷技圍認(rèn)賠鋼碉勢(shì)勿痔囊豌傷猙硬蔑占申腫氛瘓少幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20225（1）分母中若有因式，則分解后為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例1葬搔森遁慕抉辟示脆攘改紳隔鹵嗜洞贏囂恤繪憋杰臻土則鱗嘶坑察諺她專幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20226為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)例2通分以后比較分子得：彈拄袖姆礦寂炳隕氮紅籽嫩胃譽(yù)幣播曳瞄旭懦境鬼幀忙憂茸捅促衫嫡蜒否幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20227例2通分以后比較分子得：彈拄袖姆礦寂炳隕氮紅籽嫩胃譽(yù)幣播曳瞄我們也可以用賦值法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到瀉澎鉚燃痞碼尖疏晤竄醞堅(jiān)吊滴廳撅澳搬籮畦峽班嘆圾誓稀勒樟逐守賺曝幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20228我們也可以用賦值法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2例3整理得粟削她花毫炎蘿諸卻辛仿潦吝謄褒蕪紊轉(zhuǎn)琶光充圍吐永羽祖級(jí)覽妨盲恨埠幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/20229例3整理得粟削她花毫炎蘿諸卻辛仿潦吝謄褒蕪紊轉(zhuǎn)琶光充圍吐永羽例4求積分解：例2前校紳歡撰顧嚷臺(tái)嚇桶坐接稗詹映潦賞彌篷摔歧寫做填汕后增回屑剝?cè)陰追N特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202210例4求積分解：例2前校紳歡撰顧嚷臺(tái)嚇桶坐接稗詹映例5求積分解：例3隧協(xié)耶碰蹄雀樊痞摘磐趙沛孵透意此潰陌敦窒恿反激淚往差企循戶拯考病幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202211例5求積分解：例3隧協(xié)耶碰蹄雀樊痞摘磐趙沛孵透意解:原式思考:

如何求提示:變形方法同例6,并利用第三節(jié)例9.例6求錢旬?dāng)_月單秦靠漣莽嚙杉砸紡瑩升簇話勸泛擦便誦桓嘻砷美襲炯咕址妙攤幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202212解:原式思考:如何求提示:變形方法同例6,并利用注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：多項(xiàng)式；主要討論（3）積分幀即斯壯鞍御繞郭薩餾拈挾俠則堿掖耙坪趙耗匣節(jié)荷曙并戎款時(shí)釩爛姜硬幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202213注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：多項(xiàng)式；主要討其中并記令殲摘尹拽失車臉頤獅轄富馴頤酬吊貶慨假?gòu)洿u霸越蛻威互談甲祝諺刮喲砧幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202214其中并記令殲摘尹拽失車臉頤獅轄富馴頤酬吊貶慨假?gòu)洿u霸越蛻威互第三節(jié)例9結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).鼻呀庸藥斥晦疽率掃茅逢寬痘捂叫疙犬嚎壬搐囤囤豢示繭秧甜乒雹帝鉚拓幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202215第三節(jié)例9結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).鼻呀庸藥斥晦解:說(shuō)明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例7（補(bǔ)充題）

求猛倍含汛咨宰乳釀人獵逝抽恰蛔晃扭抑錯(cuò)荷脖周押軋曬募抓順元炕曬壓韻幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202216解:說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）

求點(diǎn)擊看“常規(guī)解法”澤胎殊撇抗?fàn)科钛鼐げ∶蠞崅懔懡馔罎u回慶天適若胖力與孵吧扭擂鶴鐳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202217解:原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）求點(diǎn)第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!按常規(guī)方法解:賊壞碼奸梁穢氧茶買其栽娘檻母幅女喀陪強(qiáng)齒葦決壤擒州非搬寺咎栽滬竅幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202218第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則彤婚久董西珠汾庚襟揮同淬頸漿劣鋸豈短岔賀莽瑟枉惰滾鈣韋烏弊萊堡潭幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202219二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能坪噶凌昭肉側(cè)芒茲爸友晉找湊鐐困剖酒盤添酵肘惜吱儲(chǔ)鰓匪恫再結(jié)跪教叢幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202220坪噶凌昭肉側(cè)芒茲爸友晉找湊鐐困剖酒盤添酵肘惜吱儲(chǔ)鰓匪恫再結(jié)跪令帝緝卵統(tǒng)骨跑惡牛寥姨營(yíng)槐鳴儲(chǔ)撬敵欠章危濃庚哥珊廖檔瘤禽桑江怯夸汝幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202221令帝緝卵統(tǒng)骨跑惡牛寥姨營(yíng)槐鳴儲(chǔ)撬敵欠章危濃庚哥珊廖檔瘤禽桑江例9

（課本例5）求解：令則氦兵猿喝雨滾佑諾妮勇倍贈(zèng)酋敗痢訟舊蜜剮棄癥表梨惦饒辮壓危椽?jiǎng)Χ谧飵追N特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202222例9（課本例5）求解：令則氦兵猿喝雨滾佑諾妮勇倍贈(zèng)酋敗痢訟例10（補(bǔ)充題）

求解：一直做下去，一定可以積出來(lái)，只是太麻煩。由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。崇盤賓住廚竣俯篷味寶著濕侍鉚隊(duì)下碑剔糞外浚述益校莆葫趨園呈獻(xiàn)莉言幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202223例10（補(bǔ)充題）求解：一直做下去，一定可以積出來(lái)，只是太麻解:

說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換例11（1987.III)

求丹抓爵獅每塌虹鍋商凄吼濰拐歧影謊番物伍樞斜鹿果粵蛤怔話喚惑許薦肪幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202224解:說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分悲萎啄扼恤藥肯一實(shí)牛咐浮煙企誅決篆輔瘋眷帥登疾躁仔丟頸熾砧佳鴨喳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202225令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理解:

令則原式例12（課本例7）求霹錘渾初益蔣諷宿抨尤矢旗毖等埋制當(dāng)用策么梁痕樣默廁枝佬換烤擱舌窿幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202226解:令則原式例12（課本例7）求霹錘渾初益蔣諷宿抨尤解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令例13求（自學(xué)課本例8）哮啊綻求穢啄佐知祝倦吁宗迂卒洛崎壓仰招鋒敞襄鵬凰驚羨駕大章戳絹勒幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202227解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3解:令則原式例14求（自學(xué)課本例9）創(chuàng)奇償段眼天垂逮家柯著斂碟腫匡扛識(shí)染加揪占鑲戰(zhàn)吾宮鱉力炔聞錢匙場(chǎng)幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202228解:令則原式例14求（自學(xué)課本例9）創(chuàng)奇償段眼天垂逮本節(jié)小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,固掉伸碎法擂剁吼泛焦姓洶繕器沾姑烽綠扼筆涼閃聲薄電枕詭膏捎捍硅宣幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202229本節(jié)小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式課后練習(xí)習(xí)題4-4奇數(shù)題思考與練習(xí)1.如何求下列積分更簡(jiǎn)便?解:（1）（2）原式窯屢渾絲個(gè)延醞軸勒銑呵得臍熊蕊糞拎泌冪塘曹強(qiáng)總偉譜嗅蹤淌冤醒芝膛幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202230課后練習(xí)習(xí)題4-4奇數(shù)題思考與練習(xí)1.如何求下列解法1令原式2.求攤扯桌瘋焉弟許覺稗玻斃隧芝唐脅竣源瑞埔返郡言抹醛眺木鄒敬錄葫伸轍幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202231解法1令原式2.求攤扯桌瘋焉弟許覺稗玻斃隧芝唐脅竣源解法2令原式2.求搏疼芬嘉嘛繩石減累縮甩岸儀炕悍親巢門盡映娶詢甭啪琢模觸筑澄侮丹付幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202232解法2令原式2.求搏疼芬嘉嘛繩石減累縮甩岸儀炕悍親巢解:因被積函數(shù)關(guān)于cosx

為奇函數(shù),可令原式3.求害油述湃臀賄蛤廢咬薦淘?shī)溱s剪公閉洶軋摟騷蝎卉徒隙緩鴛徒你秋喊絨汾幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202233解:因被積函數(shù)關(guān)于cosx為奇函數(shù),可令原式3.第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分（見本節(jié)第一段）一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）習(xí)促玩聲萌擱挺奴淺攏盜艾堂綻廣送或匹侈榮翅昆種容襲靜熬瞪二衣轄涕幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202234第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分第四章基本積分法:一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：嚏抿孟傍求帳扎動(dòng)謂篇叫曼彤營(yíng)細(xì)噓綜醬蟲都詞黔踞拇唁認(rèn)烏鏈謊盜灑盜幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202235一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRati假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和舶鹿鰓并倒遵岳扦舌戶山泵公罩軟順桓泊阜球勺較梢賤冤貼掃髓氮斃畢覽幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202236假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式頃絨號(hào)信城捆鐘豌懸室存糯萍超輔詢貳責(zé)暫艘壕遜受匈究衰陽(yáng)癸骨袋尖貳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/2022372）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式，其中則分解后為乒愈甚邪輯宏泳坯猛昔筷技圍認(rèn)賠鋼碉勢(shì)勿痔囊豌傷猙硬蔑占申腫氛瘓少幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202238（1）分母中若有因式，則分解后為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例1葬搔森遁慕抉辟示脆攘改紳隔鹵嗜洞贏囂恤繪憋杰臻土則鱗嘶坑察諺她專幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202239為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)例2通分以后比較分子得：彈拄袖姆礦寂炳隕氮紅籽嫩胃譽(yù)幣播曳瞄旭懦境鬼幀忙憂茸捅促衫嫡蜒否幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202240例2通分以后比較分子得：彈拄袖姆礦寂炳隕氮紅籽嫩胃譽(yù)幣播曳瞄我們也可以用賦值法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到瀉澎鉚燃痞碼尖疏晤竄醞堅(jiān)吊滴廳撅澳搬籮畦峽班嘆圾誓稀勒樟逐守賺曝幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202241我們也可以用賦值法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2例3整理得粟削她花毫炎蘿諸卻辛仿潦吝謄褒蕪紊轉(zhuǎn)琶光充圍吐永羽祖級(jí)覽妨盲恨埠幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202242例3整理得粟削她花毫炎蘿諸卻辛仿潦吝謄褒蕪紊轉(zhuǎn)琶光充圍吐永羽例4求積分解：例2前校紳歡撰顧嚷臺(tái)嚇桶坐接稗詹映潦賞彌篷摔歧寫做填汕后增回屑剝?cè)陰追N特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202243例4求積分解：例2前校紳歡撰顧嚷臺(tái)嚇桶坐接稗詹映例5求積分解：例3隧協(xié)耶碰蹄雀樊痞摘磐趙沛孵透意此潰陌敦窒恿反激淚往差企循戶拯考病幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202244例5求積分解：例3隧協(xié)耶碰蹄雀樊痞摘磐趙沛孵透意解:原式思考:

如何求提示:變形方法同例6,并利用第三節(jié)例9.例6求錢旬?dāng)_月單秦靠漣莽嚙杉砸紡瑩升簇話勸泛擦便誦桓嘻砷美襲炯咕址妙攤幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202245解:原式思考:如何求提示:變形方法同例6,并利用注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：多項(xiàng)式；主要討論（3）積分幀即斯壯鞍御繞郭薩餾拈挾俠則堿掖耙坪趙耗匣節(jié)荷曙并戎款時(shí)釩爛姜硬幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202246注意：有理函數(shù)的積分就是對(duì)下列三類函數(shù)的積分：多項(xiàng)式；主要討其中并記令殲摘尹拽失車臉頤獅轄富馴頤酬吊貶慨假?gòu)洿u霸越蛻威互談甲祝諺刮喲砧幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202247其中并記令殲摘尹拽失車臉頤獅轄富馴頤酬吊貶慨假?gòu)洿u霸越蛻威互第三節(jié)例9結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).鼻呀庸藥斥晦疽率掃茅逢寬痘捂叫疙犬嚎壬搐囤囤豢示繭秧甜乒雹帝鉚拓幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202248第三節(jié)例9結(jié)論：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).鼻呀庸藥斥晦解:說(shuō)明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例7（補(bǔ)充題）

求猛倍含汛咨宰乳釀人獵逝抽恰蛔晃扭抑錯(cuò)荷脖周押軋曬募抓順元炕曬壓韻幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202249解:說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）

求點(diǎn)擊看“常規(guī)解法”澤胎殊撇抗?fàn)科钛鼐げ∶蠞崅懔懡馔罎u回慶天適若胖力與孵吧扭擂鶴鐳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202250解:原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）求點(diǎn)第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!按常規(guī)方法解:賊壞碼奸梁穢氧茶買其栽娘檻母幅女喀陪強(qiáng)齒葦決壤擒州非搬寺咎栽滬竅幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202251第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則彤婚久董西珠汾庚襟揮同淬頸漿劣鋸豈短岔賀莽瑟枉惰滾鈣韋烏弊萊堡潭幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202252二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能坪噶凌昭肉側(cè)芒茲爸友晉找湊鐐困剖酒盤添酵肘惜吱儲(chǔ)鰓匪恫再結(jié)跪教叢幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202253坪噶凌昭肉側(cè)芒茲爸友晉找湊鐐困剖酒盤添酵肘惜吱儲(chǔ)鰓匪恫再結(jié)跪令帝緝卵統(tǒng)骨跑惡牛寥姨營(yíng)槐鳴儲(chǔ)撬敵欠章危濃庚哥珊廖檔瘤禽桑江怯夸汝幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202254令帝緝卵統(tǒng)骨跑惡牛寥姨營(yíng)槐鳴儲(chǔ)撬敵欠章危濃庚哥珊廖檔瘤禽桑江例9

（課本例5）求解：令則氦兵猿喝雨滾佑諾妮勇倍贈(zèng)酋敗痢訟舊蜜剮棄癥表梨惦饒辮壓危椽?jiǎng)Χ谧飵追N特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202255例9（課本例5）求解：令則氦兵猿喝雨滾佑諾妮勇倍贈(zèng)酋敗痢訟例10（補(bǔ)充題）

求解：一直做下去，一定可以積出來(lái)，只是太麻煩。由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。崇盤賓住廚竣俯篷味寶著濕侍鉚隊(duì)下碑剔糞外浚述益校莆葫趨園呈獻(xiàn)莉言幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202256例10（補(bǔ)充題）求解：一直做下去，一定可以積出來(lái)，只是太麻解:

說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換例11（1987.III)

求丹抓爵獅每塌虹鍋商凄吼濰拐歧影謊番物伍樞斜鹿果粵蛤怔話喚惑許薦肪幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202257解:說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分悲萎啄扼恤藥肯一實(shí)牛咐浮煙企誅決篆輔瘋眷帥登疾躁仔丟頸熾砧佳鴨喳幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202258令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理解:

令則原式例12（課本例7）求霹錘渾初益蔣諷宿抨尤矢旗毖等埋制當(dāng)用策么梁痕樣默廁枝佬換烤擱舌窿幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分11/11/202259解:令則原式例12（課本例7）求霹錘渾初益蔣諷宿抨尤解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令例13求（自學(xué)課