2.2 函數(shù)的單調(diào)性-2020-2021學年新高考數(shù)學一輪復習講義

§2.2函數(shù)的單調(diào)性基UHK實回扣基《ii知識訓粧基礎甌目■知識梳理1．函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為/,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意定義兩個自變量的值X],x2當x]<x2時，都有f(x])<f(x2)，那么就當x]<x2時，都有f(x])>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)說函數(shù)fx)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述門山戈~r自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f⑴在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f⑴在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.2．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y=f(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足條件仃)對于任意的x丘/,都有f(x)WM；⑵存在x0￡/,使得f(x0)=M(1)對于任意的x^/,都有f(x)三M；⑵存在x0G/,使得f(x0)=M結(jié)論M為最大值M為最小值【概念方法微思考】1．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，你還知道哪些等價結(jié)論？提示對辦1，x2WD，X]Hx2，/g_'"2)>0w(%)在d上是增函數(shù)；對冷1，x2WD，x1^x2,(x1~x2)^[f(xj1題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“廠或“X”)若定義在R上的函數(shù)f(x)，題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“廠或“X”)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(—1)<f(3)，貝y函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(X)函數(shù)y=f(x)在［1,+°)上是增函數(shù)，貝9函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+°).(X)函數(shù)y=7的單調(diào)遞減區(qū)間是(一°,0)U(0,+°).(X)x所有的單調(diào)函數(shù)都有最大值和最小值.(X)題組二教材改編—f(x2)]>0W(x)在D上是增函數(shù).減函數(shù)類似.2.寫出函數(shù)y=x+a(a>0)的增區(qū)間.x提示（—°°,—\a]和[\：a,+8）.■基礎自測2?如圖是函數(shù)y=f(x),xW［—4,3］的圖象，貝9下列說法正確的是()f(x)在［―4,—1］上是減函數(shù)，在［—1,3］上是增函數(shù)f(x)在區(qū)間(一1,3)上的最大值為3,最小值為一2f(x)在［一4,1］上有最小值一2,有最大值3當直線y=t與f(x)的圖象有三個交點時一1<t<2答案C2TOC\o"1-5"\h\z3?函數(shù)尹=-一在［2,3］上的最大值是.x一1答案24.若函數(shù)f(x)=x2—2mx+1在［2,+^)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.答案(一I2］解析由題意知，［2,+^)［m,+g),.°.mW2.題組三易錯自糾5.函數(shù)f(x)=log丄(—2x2+x)的單調(diào)增區(qū)間是；f(x)的值域是.2答案2)［3,+^)6.函數(shù)y=f(x)是定義在［一2,2］上的減函數(shù)，且f(a+1)<f(2a)，貝V實數(shù)a的取值范圍是答案［一1,1)—2Wa+1W2,解析由條件知J—2W2qW2,、a+1>2a,解得一1Wa<1.X2+1TOC\o"1-5"\h\z,x1,..7?設函數(shù)f(x)=1x是單調(diào)函數(shù).則a的取值范圍是；若f(x)的值域是R,則a=、ax，x<1答案(0,2]2x2＋111解析當x21時，f(x)=~-~=x+x，則f(x)=1—~20恒成立，xxx2:,f(x)在[1,+^)上單調(diào)遞增，.??f(x)mm=X1)=2,當x<1時,f(x)=ax,由于f(x)是單調(diào)函數(shù)，:f(x)=ax在(一8,1)上也單調(diào)遞增，且axW2恒成立，a>o,:JaW2,故a的取值范圍為(0,2],???當x21時，f(x)22,由f(x)的值域是R,可得當x=1時，ax=2,故a=2.題型突破煎題滉屢剖析童點事堆探究題型一窯維探究確定函數(shù)的單調(diào)性題型一命題點1求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)(2019?郴州質(zhì)檢)函數(shù)f⑴=ln(x2—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(—8,—2)B.(—8,1)C.(1,+呵D.(4,+呵答案D解析由x2—2x—8>0,得f(x)的定義域為{x|x>4或xv—2}.設t=x2—2x—8，則y=lnt為增函數(shù).要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t=x2—2x—8的單調(diào)遞增區(qū)間(定義域內(nèi)).函數(shù)t=x2—2x—8在(4,+^)上單調(diào)遞增，在(一8,—2)上單調(diào)遞減，???函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+-).故選D.1,x>0,⑵設函數(shù)f(x)=<0，x=o,g(x)=xfx—1),貝y函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是、一1,x<0,答案[0,1)x2,x>1,解析由題意知g(x)=10,x=1,該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0,1).、一x2,xv1,命題點2判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)f(x)==(a>0)在(一I1)上的單調(diào)性.x－1解方法一X],X2W(—1),且X]<X2，f(x)=afe]^』+占，f(X1)—f(X2)=a(]+X^])—+右)a(x^—xjt十=I、/，由于X]<X9<1,(X]—l)(x2—1)12.*.X2—X]>0,X]—l<0,X2—1<0,故當a>0時，f(X])—f(x2)>0,即f(X1)>f(X2),?°?函數(shù)f(X)在(一8,1)上單調(diào)遞減.a(X—1)—aXa萬法—f(X)=(X—1)2=—(X—^,V(x—1)2>0,a>0,.f(x)<0,故a>0時，f(%)在(一I1)上是減函數(shù).思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法定義法：利用定義判斷．導數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復合函數(shù)等可以求導的函數(shù)．圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單

調(diào)性．跟蹤訓練1(1)(2019?北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+呵上單調(diào)遞增的是(1A.y=x2B.y=2c.y=log丄x1D.y=_x2答案A1解析y=x2=Vx,y=2—x=g)x,y=log丄x，y的圖象如圖所示.x2由圖象知，只有y=x2在(0,+^)上單調(diào)遞增.(2)函數(shù)f(x)=|x—2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是答案[1,2]解析f(x)='x2—2x,x2解析f(x)=—x2+2x,x<2.畫出f(x)的大致圖象(如圖所示),

由圖知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2]函數(shù)f(x)=log丄(6x2+x—1)的單調(diào)增區(qū)間為10答案(—a，—2r1、1]解析由6x2+x—1>0得，f(x)的定義域為x<—2或x>3>?由復合函數(shù)單調(diào)性知f⑴的增區(qū)間即y=6x2+x—1的減區(qū)間(定義域內(nèi)),?\fx)的單調(diào)增區(qū)間為(一a，—2)題型二名維探究函數(shù)單調(diào)性的應用題型二名維探究函數(shù)單調(diào)性的應用命題點1比較函數(shù)值的大小11例3(1)若函數(shù)f(x)=x2，設a=log54,b=log』3,c=25，貝yf(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系是()5A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(a)>f(b)答案D11解析因為函數(shù)f(x)=x2在(0,+a)上單調(diào)遞增，而0<logi3=log53<log54<1<25,所以f(b)<f(a)<f(c).故5選D.⑵已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x—.|+1(m￡R)為偶函數(shù).記a=f(log22),b=f(log24),c=f(2m),則a,b,cc的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．c<a<bC．a(chǎn)<c<bD．c<b<a答案B解析T定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-^|+1(meR)為偶函數(shù)，.：m=0,.:/(x)=2|x|+l,.:當x^{—^,0)時，f(x)是減函數(shù)，當x￡(0,+^)時，f(x)是增函數(shù).?:a=f(log22)=f(1),b=f(log24)=f(2),c=f(2m)=f(0),:、a,b,c的大小關(guān)系為c<a<b.命題點2求函數(shù)的最值例4(1)函數(shù)f(x)=(3)—log2(x+2)在區(qū)間［—1,1］上的最大值為答案3解析由于尹=(3)x在R上單調(diào)遞減，尹=log2(x+2)在［—1,1］上單調(diào)遞增，所以f(x)在［—1,1］上單調(diào)遞減,故f(%)在［—1,1］上的最大值為f(—1)=3.⑵(2020?深圳模擬)函數(shù)尹=￥￥?的最大值為.答案I解析令“』x2+4=t,則&2:x:x2=t2—4,?=_tL設h(t)=t+*，則h(t)在［2,+^)上為增函數(shù),512?:h(t)min=h(2)=2，.?.yW5=5(x=0時取等號).22即尹最大值為5?命題點3解函數(shù)不等式力，xWO,例5(1)已知函數(shù)f(X)=L/°若f(2-xi)>f(x),貝y實數(shù)X的取值范圍是?ln(x十1),x>0,答案(-2,1)解析根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)是定義在R上的增函數(shù)..??2—X2>X,???一2VXV1.(2)已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2，貝V實數(shù)x的取值范圍是.答案(一<5,—2)U(2,V5)解析因為函數(shù)f(x)=lnx+2x在定義域(0,+^)上單調(diào)遞增，且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2—4)<2得,f(x2—4)<f(1),所以0<x2—4<1,解得一5<x<—2或2vx<j5.命題點4求參數(shù)的取值范圍例6(1)已知f例6(1)已知f(x)=(3a—l)x+4alogax,x±lxVl,是(一8,十8)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(A．A．(0,1)B(0,11-11-1一?一_C1-7

一_D答案C3a—IVO,解析由f(x)是減函數(shù)，得JoVaVl.、(3a—1)X1+4a三logal,.\7<aV1,A實數(shù)a的取值范圍是7~1x2^ra—2,xWl,已知函數(shù)f(x)=［2若f⑴在(0,+^)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為.、a—a,x>1,答案(1,2］解析由題意，得12+*a—2W0,則aW2,又y=ax—a(x>1)是增函數(shù)，故a>1,所以a的取值范圍為1<aW2.已知函數(shù)y=loga(2—ax)在［0,1］是減函數(shù)，貝V實數(shù)a的取值范圍是.答案(1,2)解析設u=2—ax,°.°a>0且aM1,函數(shù)u在［0,1］上是減函數(shù).由題意可知函數(shù)y=logau在［0,1］上是增函數(shù)，???a>1.又Ju在［0,1］上要滿足u>0,2—2—aX1>0,2—aX0>0,得a<2.綜上得1<a<2.思維升華函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略比較大?。笞钪担獠坏仁?利用函數(shù)的單調(diào)性將“T符號脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域.利用單調(diào)性求參數(shù)．依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.跟蹤訓練2(1)(2019?唐山模擬)已知函數(shù)/⑴為R上的減函數(shù)，則滿足f(11)<(1)的實數(shù)x的取值范圍是答案(—1,0)u(0,1)解析因為f(x)在R上為減函數(shù)，且f(X)<f(1)，所以*|>1，即0<|x|<1,所以0<x<1或一1<x<0.~,x21,函數(shù)f⑴千“的最大值為.、一X2+2,x<1答案2解析當x±1時，函數(shù)f(x)=1為減函數(shù)，所以f(x)在x=1處取得最大值，為f(1)=1；當x<1時，易知函x數(shù)f(x)=—x2+2在x=0處取得最大值，為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.已知函數(shù)y=logJ6—ax+x2)在［1,2］上是增函數(shù)，貝V實數(shù)a的取值范圍為.2答案［4,5)解析設u=6一ax＋x2，Vy=logu為減函數(shù)，/12函數(shù)u在［1,2］上是減函數(shù),Tu=6—ax+x2，對稱軸為x=2,aA2^2，且u>0在［1,2上恒成立.a三4,?6一2a+4>0,解得4Wa<5,A實數(shù)a的取值范圍是［4,5).課時精練N基礎保分練1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+^)上為增函數(shù)的是()尹=ln(x+2)B.尹=—\；x+1C^y=(2)xD.y=x+￡答案A解析函數(shù)y=ln(x+2)的增區(qū)間為(一2,+^),所以在(0,+^)上一定是增函數(shù).2?函數(shù)/(x)=1—x^()人.在(一1,+^)上單調(diào)遞增在(1,+^)上單調(diào)遞增0在(一1,+8)上單調(diào)遞減D.在(1,十8)上單調(diào)遞減答案B解析/(X)圖象可由尹=—2圖象沿X軸向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，如圖所示.x3.(2019-滄州七校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=log0.5(x+l)+log0.5(x-3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()(3,+^)B.(1,+^)(—I1)D.(—a,—1)答案Afx+1>0,解析由已知易得］°c即X>3,X—3>0,f(X)=log0.5(x+1)+log0.5(x—3)=log0.5(x+1)(X—3),X>3,令Z=(x+1)(x—3)，則t在［3,+^)上單調(diào)遞增，又0<0.5<1,:,f(x)在(3,+a)上單調(diào)遞減.a4?若f(x)=—x2+2ax與g(x)=X+1在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，貝V實數(shù)a的取值范圍是()A.(―1,0)U(0,1)B.(-1,0)U(0,1］C.(0,1)D.(0,1］答案Da解析因為f(x)=—x2+2ax在［1,2］上是減函數(shù)，所以aWl,又因為g(x)=X+T在【“］上是減函數(shù)，所以a>0,所以0<aW1.已知函數(shù)f(x)=x|x+2|，貝Vf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()B.［—2,1］A.［—2,0］B.［—2,1］CC.logne<log3eD.nlog3e>3logneCC．［－2，－1］D.[―2,+呵AA.ne<3eB.3e—2n<3ne—2答案答案C解析由于f(x)=x|x+2|解析由于f(x)=x|x+2|=—x2一2x,x<—2,當x2—2時，尹=x2+2x=(x+1)2—1,顯然，f⑴在］一2,—1］上單調(diào)遞減；當x<一2時，y=一x2一2x=一(x+1)2+1,顯然，f(%)在(一8,—2)上單調(diào)遞增.綜上可知，fx)的單調(diào)遞減區(qū)間是［一2,—1］.(2020?青島模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在［0,+^)上單調(diào)遞減，若f(x2—2x+a)<f(x+1)對任意的x￡［—1,2］恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()(—8,—3)(―3,+8答案D解析依題意得f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x2-2x+a)</'(x+1)對任意的xW［—1,2］恒成立，等價于x2—2x+a>x+1對任意的xW［一1,2］恒成立，等價于a>—x2+3x+1對任意的xW_、、、/3、133［一1,2］恒成立?設g(x)=—x2+3x+1(—1WxW2)，則&(%)=—卜一2、|2+才(一10%02)，當x=2時，g(x)取得最大值，且g(x)max=g(|j=143，因此a#故選D.(多選)已知n為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù)，貝％

答案CD解析已知n為圓周率，e為自然對數(shù)的底數(shù),.°.n>3>e>2,丿e>l,ne>3e，故A錯誤;0<一<l,O<e—2<1,...3e-2n>3ne...3e-2n>3ne-2，故B錯誤；*.*n>3,logne<log3e，故C正確；由n>3，可得log3e>logne，則nlog3e>3logne，故D正確.函數(shù)尹=一x2+2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為答案(一a,—1］和［0,1］(—1,0)和(1,+^)解析由于y=—x2+2x+1,x20,－x2－2x＋1，x<0，—(x—1)2+2,x20,—(x+1)2+2,x<0.畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(一g,—1］和［0,1］單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)和(1,+^).如果函數(shù)f(x)=ax2+2x—3在區(qū)間(一^,4)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.a—「11答案「一4,0解析當a=0時，f(x)=2x—3在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(—g,4)上單調(diào)遞增；當aM0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=—￡因為f(x)在(一g,4)上單調(diào)遞增，所以a<0,且一*24,解得一!<a<0.綜上，實數(shù)a的取值范圍是一￡0(2—a)x+1,x<1,f(x、一f(x)(2019?福州質(zhì)檢)如果函數(shù)f(x)=f'滿足對任意x嚴x2,都有71八2丿丸成立，那TOC\o"1-5"\h\zax,x2112x1—x2么實數(shù)a的取值范圍是.答案「22)解析對任意x,^x2，都詁(x】)—f(x2)>0,12x1—x2所以y=f(x)在R上是增函數(shù).2—a>0,3所以ia>1，解得2<a<2.、(2—a)X1+1Wa,故實數(shù)a的取值范圍是I，2)x3－1試判斷函數(shù)fx)=［-在(0,+g)上的單調(diào)性，并加以證明.x證明方法設證明方法設Ovxg,f(x)=^^=x2—x，=(x1—=(x1—x2)?^x1+x2+f(x1)—f(x2)=x1―x2?Tx2>x1>0,Ax1—x2<0,x1+x2+xx>0-：'f(x1)—f(x2)<0,即/(x1)<f(x2).故f(x)在(0,+^)上單調(diào)遞增.方法二f⑴=2x+g.當x>0時，f⑴>0,故f(x)在(0,+呵上為增函數(shù).已知函數(shù)f(x)對于任意x,yWR，總有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0時，f(x)<0.求證：f(x)在R上是奇函數(shù)；求證：f(x)在R上是減函數(shù)；2若f(1)=—3，求f(x)在區(qū)間［—3,3］上的最大值和最小值.證明T函數(shù)f(x)對于任意x,yWR總有f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0得f(0)=0,令y=—x得f(-x)=-f(x),???f(x)在R上是奇函數(shù).證明在R上任取x1>x2，則xi—x2>0，f(x］)—f(x2)=f(xJ+f(—x2)=f(x1—x2)，*.*x>0時，f(x)<0，?f(x1—x2)<0，?f(x1)<f(x2),???f(x)在R上是減函數(shù).解?:f(x)是R上的減函數(shù)，?f(x)在［-3,3］上也是減函數(shù)，?f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分別為f(-3)和f(3),而/⑶=3/(1)=—2,f(—3)=—f(3)=2,:.f⑴在［—3,3］上的最大值為2,最小值為一2.N技能提升練13．若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則實數(shù)a的取值范圍是．答案(一1,+^)解析由題意可得，存在正數(shù)x使a>x—(2)成立.令f(x)=x—(2)x,該函數(shù)在(0,+^)上為增函數(shù)，可知f(x)的值域為(一1