最新高中數(shù)學(xué)必修五知識點大全

PAGE16/16知識點串講必修五第一章：解三角形1．1．1正弦定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。2、ABC中，A，,求證明出解：設(shè)那么有，，從而==又，所以=2評述：在ABC中，等式恒成立。3、ABC中，，求〔答案：1：2：3〕余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即從余弦定理，又可得到以下推論：2、在ABC中，，，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。3、在ABC中，假設(shè)，求角A〔答案：A=120〕1．1．3解三角形的進一步討論1、在ABC中，，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求出B；那么從而1．當A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否那么無解。2．當A為銳角時，如果≥，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：〔1〕假設(shè)，那么有兩解；〔2〕假設(shè)，那么只有一解；〔3〕假設(shè)，那么無解?！惨陨辖獯疬^程詳見課本第910頁〕評述：注意在三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且時，有兩解；其它情況時那么只有一解或無解。2、〔1〕在ABC中，，，，試判斷此三角形的解的情況。〔2〕在ABC中，假設(shè)，，，那么符合題意的b的值有_____個?！?〕在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。〔答案：〔1〕有兩解；〔2〕0；〔3〕〕3、在ABC中，，，，判斷ABC的類型。解：，即，∴。4、〔1〕在ABC中，，判斷ABC的類型。〔2〕ABC滿足條件，判斷ABC的類型。〔答案：〔1〕；〔2〕ABC是等腰或直角三角形〕5、在ABC中，，，面積為，求的值解：由得，那么=3，即，從而1.2解三角形應(yīng)用舉例1、兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，那么A、B之間的距離為多少？解略：akm某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,那么sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin〔120-C〕=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC===35從而有MB=MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。3、S=absinC，，S=bcsinA,S=acsinB4、在ABC中，求證：〔1〕〔2〕++=2〔bccosA+cacosB+abcosC〕證明：〔1〕根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k顯然k0，所以左邊===右邊〔2〕根據(jù)余弦定理的推論，右邊=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊變式練習(xí)1：在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關(guān)兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=9;a=12,S=185、如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：AB的長四邊形ABCD的面積略解〔1〕因為BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因為BDC=45，所以DAC=180-〔75+45+30〕=30，所以AD=DC=在BCD中，CBD=180-〔75+45〕=60，所以=，BD==在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以得AB=S=ADBDsin75=同理，S=所以四邊形ABCD的面積S=第二章：數(shù)列2．1數(shù)列的概念與簡單表示法1、概括數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。辯析數(shù)列的概念：“1，2，3，4，5〞與“5，4，3，2，1〞是同一個數(shù)列嗎？與“1，3，2，4，5〞呢？給出首項與第n項的定義及數(shù)列的記法：{an}2、數(shù)列的分類:有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，常數(shù)列。3、數(shù)列的表示方法：項公式列表和圖象等方法表示數(shù)列4、=2an-1+1〔n∈N，n>1〕，〔※〕式稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。2．2等差數(shù)列1、數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2、個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。3、等差數(shù)列中，假設(shè)m+n=p+q那么4、通項公式：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為：5、迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：〔迭加法〕：是等差數(shù)列，所以……兩邊分別相加得所以〔迭代法〕：是等差數(shù)列，那么有……所以6、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-〔-5〕=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，此題是要答復(fù)是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。7、某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km〔不含4千米〕計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費.令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費答：需要支付車費23.2元。2．2等差數(shù)列的前n項和1、倒序相加法求和我們用兩種方法表示：〔1〕①②由①+②，得由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式〔2〕====2、一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解：由題意知，將它們代入公式得到解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以另解：得所以②②-①，得，所以代入①得：所以有3、數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)＞與＞可知，當n＞1時，①當n=1時，也滿足①式.所以數(shù)列的通項公式為.由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.前n項和，可求出通項〔n＞1〕〔n＞1〕4、如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.5、等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值.解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以=于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.6、數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題.解：設(shè)首項是，公差為d那么：同理可得成等差數(shù)列.7、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28，…98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為其中解由m=100，得滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，…7×14即：7，14，21，28，…98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為其中答：集合m中共有14個元素，它們和等于7352.3等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：一般地，假設(shè)一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示〔q≠0〕，即：=q〔q≠0〕2、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．3、等比數(shù)列的通項公式1:等比數(shù)列的通項公式2:4、假設(shè)為等比數(shù)列，，那么．由等比數(shù)列通項公式得：，，故且，∵，∴．5、三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。解：由題意可以設(shè)這三個數(shù)分別為，得：∴，即得或，∴或，故該三數(shù)為：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．說明：三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為．6、數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前項和為80，且前項中數(shù)值最大的項為54，它的前項和為6560，求首項和公比。解：假設(shè)，那么應(yīng)有，與題意不符合，故。依題意有：得即得或〔舍去〕，。由知，數(shù)列的前項中最大，得。將代入〔1〕得〔3〕，由得，即〔4〕，聯(lián)立〔3〕〔4〕解方程組得。2.4等比數(shù)列的前n項和1、等比數(shù)列的前n項和公式：一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是由得論同上〕∴當時，①或②當q=1時，2、等比數(shù)列，求使得大于100的最小的n的值.答案：使得大于100的最小的n的值為7.3、設(shè)數(shù)列的前n項和為．當常數(shù)滿足什么條件時，才是等比數(shù)列？答案：4、等比數(shù)列中,,求.5、某商店采用分期付款元的方式促銷一款價格每臺為6000電的腦.商規(guī)店定，購置時先支付貨款的，剩余局部在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息.欠款的月利率為0.5%到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？解(1)因為購置電腦時,貨主欠商店的貨款,即6000=4000(元),又按月利率0.5%到第一個月底的欠款數(shù)應(yīng)為4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一個月底,欠款余額為4020元.(2)設(shè)第i個月底還款后的欠款數(shù)為y,那么有y=4000(1+0.5%)-y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-y=y(1+0.5%)-y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)-y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)--,整理得y=4000(1+0.5%)-.(=1,2,36)(3)因為y=0,所以4000(1+0.5%)-=0即每月還款數(shù)=(元)所以每月的款額為121.69元.第三章不等式3.1不等式與不等關(guān)系1、不等式的根本性質(zhì)：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、求證。證明：以為，所以ab>0,。于是，即由c<0，得3.2一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的定義象這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2、設(shè)一元二次方程的兩根為，，那么不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根的解集R的解集3、一個汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x〔輛〕與創(chuàng)造的價值y〔元〕之間有如下的關(guān)系：假設(shè)這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到移項整理，得因為，所以方程有兩個實數(shù)根．由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：．因為x只能取正整數(shù)，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51-59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益．4、設(shè)，，且，求的取值范圍．解：令由，及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，即，解之得．因此的取值范圍是．3．3二元一次不等式〔組〕與平面區(qū)域．1、畫出不等式2+y－6＜0表示的平面區(qū)域。解：先畫直線2+y－6＝0〔畫成虛線〕。取原點〔0，0〕，代入2+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，∴原點在2+y－6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2+y－6＜0表示的區(qū)域如圖：2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．②線性目標函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲到達最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數(shù)．③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．④可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解〔x,y〕叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解3、有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果見表．方式方式效果種類輪船運輸量／飛機運輸量／糧食石油現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸至少糧食和石油，需至少安排多少艘輪船和多少架飛機？答案：解：設(shè)需安排艘輪船和架飛機，那么即目標函數(shù)為．作出可行域，如下圖．作出在一組平行直線〔為參數(shù)〕中經(jīng)過可行域內(nèi)某點且和原點距離最小的直線，此直線經(jīng)過直線和的交點，直線方程為：．由于不是整數(shù)，而最優(yōu)解中必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)點不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)的整點〔橫、縱坐標都是整數(shù)的點〕且與原點距離最近的直線經(jīng)過的整點是，即為最優(yōu)解．那么至少要安排艘輪船和架飛機．3．4