最新高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識點(diǎn)總結(jié)人教版

PAGE高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識點(diǎn)總結(jié)〔復(fù)習(xí)專用〕人教版富寧一中PAGE39-必修1第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素確實(shí)定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性說明：(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比擬它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。非負(fù)整數(shù)集〔即自然數(shù)集〕記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于〞的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}4、集合的分類：〔1〕．有限集含有有限個(gè)元素的集合〔2〕．無限集含有無限個(gè)元素的集合〔3〕．空集不含任何元素的集合例：二、集合間的根本關(guān)系1.“包含〞關(guān)系—子集注意：有兩種可能〔1〕A是B的一局部，；〔2〕A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等〞關(guān)系(5≥5，且5≤5，那么5=5)實(shí)例：設(shè)A=B={-1,1}“元素相同〞結(jié)論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且BA那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作〞A交B〞)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作〞A并B〞)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補(bǔ)集〔1〕補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集〔即〕，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集〔或余集〕〔2〕全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。四、函數(shù)的有關(guān)概念1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各局部都有意義的x的值組成的集合.〔6〕指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意：〔1〕構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等〔或?yàn)橥缓瘮?shù)〕〔2〕兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法那么，不管采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的根底。3.函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．集合C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的假設(shè)干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2)畫法A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.B、圖象變換法〔請參考必修4三角函數(shù)〕常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4．了解區(qū)間的概念〔1〕區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；〔2〕無窮區(qū)間；〔3〕區(qū)間的數(shù)軸表示．5．什么叫做映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法那么f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A→B〞給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法那么f是確定的；②對應(yīng)法那么有“方向性〞，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，那么應(yīng)滿足：〔Ⅰ〕集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；〔Ⅱ〕集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；〔Ⅲ〕不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.補(bǔ)充一：分段函數(shù)〔參見課本P24-25〕在定義域的不同局部上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號括起來，并分別注明各局部的自變量的取值情況．〔1〕分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；〔2〕分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),那么y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)7．函數(shù)單調(diào)性〔1〕．增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b，當(dāng)a<b時(shí)，都有f(a)<f(b)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間〔睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念〕如果對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值a，b，當(dāng)a<b時(shí)，都有f(a)＞f(b)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b；當(dāng)a<b時(shí)，總有f(a)<f(b)?！?〕圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：任取a，b∈D，且a<b；2作差f(a)－f(b)；3變形〔通常是因式分解和配方〕；4定號〔即判斷差f(a)－f(b)的正負(fù)〕；5下結(jié)論〔指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕．(B)圖象法(從圖象上看升降)_(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8．函數(shù)的奇偶性〔1〕偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．〔2〕．奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．注意：1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，那么－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量〔即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱〕．3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，那么f(x)是偶函數(shù)；假設(shè)f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，那么f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，假設(shè)不對稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù).假設(shè)對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比擬困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式〔1〕.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應(yīng)法那么，二是要求出函數(shù)的定義域.〔2〕.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)表達(dá)式較簡單時(shí)，也可用湊配法；假設(shè)抽象函數(shù)表達(dá)式，那么常用解方程組消參的方法求出f(x)10．函數(shù)最大〔小〕值〔定義見課本〕〔1〕、利用二次函數(shù)的性質(zhì)〔配方法〕求函數(shù)的最大〔小〕值.〔2〕、利用圖象求函數(shù)的最大〔小〕值〔3〕、利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大〔小〕值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減那么函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增那么函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章根本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)〔一〕指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根〔nthroot〕，其中>1，且∈*．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)，的次方根用符號表示．式子叫做根式〔radical〕，這里叫做根指數(shù)〔radicalexponent〕，叫做被開方數(shù)〔radicand〕．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號－表示．正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±〔>0〕．由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。注意：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪．3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)〔1〕·；〔2〕；〔3〕．〔二〕指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)〔exponentialfunction〕，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過定點(diǎn)〔0，1〕自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢是越來越陡圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

〔1〕在[a，b]上，值域是或；

〔2〕假設(shè)，那么；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；

〔3〕對于指數(shù)函數(shù)，總有；

〔4〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么；二、對數(shù)函數(shù)〔一〕對數(shù)1．對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：〔—底數(shù)，—真數(shù)，—對數(shù)式〕說明：eq\o\ac(○,1)注意底數(shù)的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意對數(shù)的書寫格式．兩個(gè)重要對數(shù)：eq\o\ac(○,1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；eq\o\ac(○,2)自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式 指數(shù)式對數(shù)底數(shù) ←→冪底數(shù)對數(shù) ←→指數(shù)真數(shù) ←→冪〔二〕對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，且，，，那么：〔1〕·＋；〔2〕－；〔3〕．注意：換底公式〔，且；，且；〕．利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論〔1〕；〔2〕．〔二〕對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是〔0，+∞〕．注意：eq\o\ac(○,1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意區(qū)分。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．eq\o\ac(○,2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域?yàn)椤?，＋∞〕圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域?yàn)镽函數(shù)圖象都過定點(diǎn)〔1，0〕自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0三、冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．〔1〕所有的冪函數(shù)在〔0，+∞〕都有定義，并且圖象都過點(diǎn)〔1，1〕；〔2〕時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；〔3〕時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)的零點(diǎn)：eq\o\ac(○,1)〔代數(shù)法〕求方程的實(shí)數(shù)根；eq\o\ac(○,2)〔幾何法〕對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)．１〕△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．２〕△＝０，方程有兩相等實(shí)根〔二重根〕，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．３〕△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．必修2立體幾何初步1.特殊幾何體外表積公式〔c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線〕2.柱體、錐體、臺體的體積公式3.球體的外表積和體積公式：；4．空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖〔光線從幾何體的前面向后面正投影〕；側(cè)視圖〔從左向右〕、俯視圖〔從上向下〕注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1平面含義：平面是無限延展的2三個(gè)公理：〔1〕公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為LA·αALA·αB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).C·C·B·A·α符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。P·P·αLβ符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).空間中直線與直線之間的位置關(guān)系共面直線1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>a∥ca=>a∥cc∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4注意點(diǎn)：①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?！?.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：〔1〕直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)〔2〕直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)〔3〕直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，那么線面平行。符號表示：aαbβ=>a∥αa∥b平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號表示：aβbβa∩b=P=>β∥αa∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：〔1〕用定義；〔2〕判定定理；〔3〕垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行那么線線平行。符號表示：a∥αaβ=>a∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。PaL2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線〞這一條件不可無視；b)定理表達(dá)了“直線與平面垂直〞與“直線與直線垂直〞互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直?！?.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。第三章直線與方程〔1〕直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°〔2〕直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：〔P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2〕注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。〔3〕直線方程①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：〔〕直線兩點(diǎn)，④截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：〔A，B不全為0〕注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：〔b為常數(shù)〕；平行于y軸的直線：〔a為常數(shù)〕；〔6〕兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否?！?〕兩條直線的交點(diǎn)相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合〔8〕兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，那么〔9〕點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離〔10〕兩平行直線距離公式兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，那么與的距離為第四章圓與方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程〔1〕標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)>，點(diǎn)在圓外當(dāng)=，點(diǎn)在圓上當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi)〔2〕一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形?！?〕求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，假設(shè)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；假設(shè)利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：〔1〕設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，那么有；；〔2〕過圓外一點(diǎn)的切線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，那么過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和〔差〕，與圓心距〔d〕之間的大小比擬來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)必修3第一章：算法初步1：算法的概念〔1〕算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法〞通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.〔2〕算法的特點(diǎn):=1\*GB3①有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.=2\*GB3②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.=3\*GB3③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為假設(shè)干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.=4\*GB3④不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對于一個(gè)問題可以有不同的算法.=5\*GB3⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.2：程序框圖〔1〕程序框圖根本概念：=1\*GB3①程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾局部：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。=2\*GB3②構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是〞或“Y〞；不成立時(shí)標(biāo)明“否〞或“N〞。學(xué)習(xí)這局部知識的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)那么，畫程序框圖的規(guī)那么如下：1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是〞與“否〞兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。AB3：AB〔1〕順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由假設(shè)干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種根本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的表達(dá)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。〔2〕條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框?！?〕循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：=1\*GB3①一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。=2\*GB3②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，那么繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。A成立A成立不成立P不成立P成立App當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)〞。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。4：輸入、輸出語句和賦值語句〔1〕輸入語句圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容〞；變量INPUT“提示內(nèi)容〞，變量圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容〞；變量INPUT“提示內(nèi)容〞，變量=2\*GB3②輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；=3\*GB3③“提示內(nèi)容〞提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；=4\*GB3④輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；=5\*GB3⑤提示內(nèi)容與變量之間用分號“；〞隔開，假設(shè)輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號“，〞隔開。〔2〕輸出語句PRINT“提示內(nèi)容〞；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp“提示內(nèi)容〞，變量PRINT“提示內(nèi)容〞；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp“提示內(nèi)容〞，變量=2\*GB3②輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；=3\*GB3③“提示內(nèi)容〞提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；=4\*GB3④輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符?！?〕賦值語句變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量=1\*GB3①賦值語句的一般格式變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量=2\*GB3②賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；=3\*GB3③賦值語句中的“＝〞稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量；=4\*GB3④賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；=5\*GB3⑤對于一個(gè)變量可以屢次賦值。注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B〞“B=A〞的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算?！踩缁啞⒁蚴椒纸?、解方程等〕④賦值號“=〞與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。5：條件語句〔1〕條件語句的一般格式有兩種：=1\*GB3①IF—THEN—ELSE語句；=2\*GB3②IF—THEN語句。否是滿足條件？語句1語句2=1\*GB3①IF—THEN—ELSE語句IF—THEN否是滿足條件？語句1語句2IFIF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF圖1圖2分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件〞表示判斷的條件，“語句1〞表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2〞表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，那么執(zhí)行THEN后面的語句1；假設(shè)條件不符合，那么執(zhí)行ELSE后面的語句2。=2\*GB3②IF—THEN語句滿足條件？語句是否滿足條件？語句是否〔圖4〕IFIF條件THEN語句ENDIF〔圖3〕注意：“條件〞表示判斷的條件；“語句〞表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，假設(shè)條件不符合那么直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。6：循環(huán)語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型〔WHILE型〕和直到型〔UNTIL型〕兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句?！?〕WHILE語句=1\*GB3①WHILE語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體否是WHILE條件循環(huán)體WEND=2\*GB3②當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測試型〞循環(huán)?！?〕UNTIL語句滿足條件？循環(huán)體是否=1\*GB3①UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是滿足條件？循環(huán)體是否DODO循環(huán)體LOOPUNTIL條件=2\*GB3②直到型循環(huán)又稱為“后測試型〞循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：〔先由學(xué)生討論再歸納〕當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)7：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)〔1〕輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：=1\*GB3①用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；=2\*GB3②假設(shè)＝0，那么n為m，n的最大公約數(shù)；假設(shè)≠0，那么用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；=3\*GB3③假設(shè)＝0，那么為m，n的最大公約數(shù)；假設(shè)≠0，那么用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；……依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù)。〔2〕更相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在?九章算術(shù)?中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：=1\*GB3①任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。假設(shè)是，用2約簡；假設(shè)不是，執(zhí)行第二步。=2\*GB3②以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比擬，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，那么這個(gè)數(shù)〔等數(shù)〕就是所求的最大公約數(shù)?！?〕輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：=1\*GB3①都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。=2\*GB3②從結(jié)果表達(dá)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法表達(dá)結(jié)果是以相除余數(shù)為0那么得到，而更相減損術(shù)那么以減數(shù)與差相等而得到8：秦九韶算法與排序〔1〕秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0==(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。〔2〕兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序=1\*GB3①直接插入排序根本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比擬，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．〔由于算法簡單，可以舉例說明〕=2\*GB3②冒泡排序根本思想：依次比擬相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比擬第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比擬第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)直到比擬最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.9：進(jìn)位制〔1〕概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比方：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，假設(shè)k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：，而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計(jì)1：簡單隨機(jī)抽樣〔1〕總體和樣本=1\*GB3①在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．=2\*GB3②把每個(gè)研究對象叫做個(gè)體．=3\*GB3③把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．=4\*GB3④為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一局部：，，，研究，我們稱它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．〔2〕簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同〔概率相等〕，樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的根底。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法?！?〕簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：=1\*GB3①抽簽法=2\*GB3②隨機(jī)數(shù)表法=3\*GB3③計(jì)算機(jī)模擬法=3\*GB3③使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度?！?〕抽簽法:=1\*GB3①給調(diào)查對象群體中的每一個(gè)對象編號；=2\*GB3②準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽；=3\*GB3③對樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查〔5〕隨機(jī)數(shù)表法：2：系統(tǒng)抽樣〔1〕系統(tǒng)抽樣〔等距抽樣或機(jī)械抽樣〕：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取。K〔抽樣距離〕=N〔總體規(guī)?！?n〔樣本規(guī)模〕前提條件：總體中個(gè)體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)那么分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，比照幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差異，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合?！?〕系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊筝^低，實(shí)施也比擬簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。3：分層抽樣〔1〕分層抽樣〔類型抽樣〕：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志〔性別、年齡等〕劃分成假設(shè)干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的方法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：=1\*GB3①先以分層變量將總體劃分為假設(shè)干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。=2\*GB3②先以分層變量將總體劃分為假設(shè)干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本?！?〕分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：=1\*GB3①以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。=2\*GB3②以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。=3\*GB3③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量?！?〕分層的比例問題：抽樣比==1\*GB3①按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。=2\*GB3②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比擬。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，那么需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互關(guān)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的時(shí)機(jī)相等從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾局部，按事先確定的規(guī)那么在各局部抽取再起時(shí)局部抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)較多分成抽樣經(jīng)總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾局部組成4：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征〔1〕樣本均值：〔2〕樣本標(biāo)準(zhǔn)差：用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比擬合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可防止的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。〔3〕眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)〔可以是多個(gè)〕?！?〕中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為1.5時(shí)所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)值〔只有一個(gè)〕。注意：=1\*GB3①如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變=2\*GB3②如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍=3\*GB3③一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間的應(yīng)用；“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分〞中的科學(xué)道理5:用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1：頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。具體步驟如下：第一步：求極差，即計(jì)算最大值與最小值的差.第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)確實(shí)定沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，需要嘗試、選擇，力求有適宜的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn).太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多.一般來說，容量不超過100的組數(shù)在5至12之間.組距應(yīng)最好“取整〞，它與有關(guān).注意：組數(shù)的“取舍〞不依據(jù)四舍五入，而是當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，組數(shù)=［］+1.=2\*GB3②頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各個(gè)小長方形上端的重點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。=3\*GB3③總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。2：莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長出來的數(shù)。例：例如：為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下〔單位：kg〕.56.569.56561.564.576716663.55666.56464.57658.559.563.5657074.57273.556677068.56455.572.566.557.565.5687175687657.56071.56268.562.56659.55769.57464.55963.564.567.5736861.5676863.558557266.574635965.562.569.5726055.57064.55864.575.568.564626470.55762.56565.558.567.570.5656971.57362586666.5706359.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對相應(yīng)的總體分布作出估計(jì).解：按照以下值的差〔1〕求最大值與最小計(jì).在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，極差是76－55=21.〔2〕確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11.〔3〕決定分點(diǎn).根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了防止一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開〞的.這樣，所得到的分組是［54.5，56.5〕，［56.5，58.5〕，…，［74.5，76.5〕.〔4〕列頻率分布表.分組頻數(shù)頻率累計(jì)頻率［54.5，56.5〕20.020.02［56.5，58.5〕60.060.08［58.5，60.5〕100.100.18［60.5，62.5〕100.100.28［62.5，64.5〕140.140.42［64.5，66.5〕160.160.58［66.5，68.5〕130.130.71［68.5，70.5〕110.110.82［70.5，72.5〕80.080.90［72.5，74.5〕70.070.97［74.5，76.5〕30.031.00合計(jì)1001.00〔5〕繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方如圖2－2－3所示.連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.如圖2－2－4所示.例2：某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)發(fā)動每場比賽得分情況如下甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.上述的數(shù)據(jù)可以用以下圖來表示，中間數(shù)字表示得分的十位數(shù)，兩邊數(shù)字分別表示兩個(gè)人各場比賽得分的個(gè)位數(shù).圖2－2－5通常把這樣的圖叫做莖葉圖.請根據(jù)上圖對兩名運(yùn)發(fā)動的成績進(jìn)行比擬.從這個(gè)莖葉圖上可以看出，甲運(yùn)發(fā)動的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運(yùn)發(fā)動的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是25.因此甲運(yùn)發(fā)動發(fā)揮比擬穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.用莖葉圖表示有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn):其一，從統(tǒng)計(jì)圖上沒有信息的損失，所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.但莖葉圖只能表示兩位的整數(shù)，雖然可以表示兩個(gè)人以上的比賽結(jié)果〔或兩個(gè)以上的記錄〕，但沒有兩個(gè)記錄表示得那么直觀，清晰.6：變量間的相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系交相關(guān)關(guān)系。對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。〔1〕回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個(gè)變量呈正相關(guān)；假設(shè)從左上角到右下角的區(qū)域，那么稱這兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)。設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：。。。。。。所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數(shù)。。。。。。?！?〕回歸直線過的樣本中心點(diǎn)第三章：概率1：隨機(jī)事件的概率及概率的意義〔1〕必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；〔2〕不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；〔3〕確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S確實(shí)定事件；〔4〕隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；〔5〕頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P〔A〕，稱為事件A的概率?！?〕頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率2：概率的根本性質(zhì)〔1〕必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1〔2〕事件的包含、并事件、交事件、相等事件〔3〕假設(shè)A∩B為不可能事件，即A∩B=，那么稱事件A與事件B互斥；〔4〕假設(shè)A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；〔5〕當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；假設(shè)事件A與B為對立事件，那么A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)〔6〕互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：=1\*GB3①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；=2\*GB3②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；=3\*GB3③事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；=4\*GB3④事件A發(fā)生B不發(fā)生；=5\*GB3⑤事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3：根本領(lǐng)件〔1〕根本領(lǐng)件：根本領(lǐng)件是在一次試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的根本結(jié)果中的一個(gè)，它是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件。〔2〕根本領(lǐng)件的特點(diǎn)：=1\*GB3①任何兩個(gè)根本領(lǐng)件是互斥的=2\*GB3②任何事件〔除不可能事件外〕都可以表示成根本領(lǐng)件的和。4：古典概型：〔1〕古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，這種模型滿足兩個(gè)條件：=1\*GB3①試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。=2\*GB3②所有根本領(lǐng)件必須是有限個(gè)?！?〕古典概型的解題步驟；①求出總的根本領(lǐng)件數(shù)；②求出事件A所包含的根本領(lǐng)件數(shù)，然后利用公式5：幾何概型〔1〕幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型；〔2〕幾何概型的概率公式：；〔3〕幾何概型的特點(diǎn)：=1\*GB3①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果〔根本領(lǐng)件〕有無限多個(gè)；=2\*GB3②每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)。其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，值域該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨即事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0，那么它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，那么它出現(xiàn)的概率為1，但他不是必然事件。綜上可得：必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。概率為1的事件不一定為必然事件；概率為0的事件不一定為不可能事件。必修4第一章三角函數(shù)〔初等函數(shù)二〕2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，那么稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，那么原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域．5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是．7、弧度制與角度制的換算公式：，，．8、假設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，那么，，．9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，那么，，．10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．11、三角函數(shù)線：，，．PvxPvxyAOMT；．13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，，．，，．，，．，，．口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．，．，．口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．14、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左〔右〕平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長〔縮短〕到原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長〔縮短〕到原來的倍〔橫坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖象．函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長〔縮短〕到原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左〔右〕平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長〔縮短〕到原來的倍〔橫坐標(biāo)不變〕，得到函數(shù)的圖象．函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，那么，，．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為的向量．單位向量：長度等于個(gè)單位的向量．平行向量〔共線向量〕：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法那么的特點(diǎn)：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法那么的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．=3\*GB2⑶三角形不等式：=4\*GB2⑷運(yùn)算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，那么．18、向量減法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法那么的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，那么．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，那么．19、向量數(shù)乘運(yùn)算：=1\*GB2⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．=2\*GB2⑵運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，那么．20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．設(shè)，，其中，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線．21、平面向量根本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使．〔不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底〕22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．23、平面向量的數(shù)量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，那么=1\*GB3①．=2\*GB3②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，那么．假設(shè)，那么，或．設(shè)，，那么．設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，那么．第三章三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸〔〕；=6\*GB2⑹〔〕．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵〔，〕．=3\*GB2⑶．26、，其中．必修5第一章解三角形1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，那么有．2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．〔正弦定理主要用來解決兩類問題：1、兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、兩角和一邊，求其余的量?！尝輰τ趦蛇吅推渲幸贿吽鶎Φ慕堑念}型要注意解的情況?！惨唤?、兩解、無解三中情況〕如：在三角形ABC中，a、b、A〔A為銳角〕求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想DbsinADbsinAAbaC當(dāng)無交點(diǎn)那么B無解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)那么B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)那么B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a<bsinA，那么B無解當(dāng)bsinA<a≤b,那么B有兩解當(dāng)a=bsinA或a>b時(shí)，B有一解注：當(dāng)A為鈍角或是直角時(shí)以此類推既可。3、三角形面積公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推論：，，．(余弦定理主要解決的問題：1、兩邊和夾角，求其余的量。2、三邊求角)CABD6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)、、是的角、、的對邊，那么：=1\*GB3①假設(shè)，那么；CABD=2\*GB3②假設(shè)，那么；=3\*GB3③假設(shè)，那么．正余弦定理的綜合應(yīng)用：如下圖：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C、D兩點(diǎn)，并測得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。此題解答過程略附：三角形的五個(gè)“心〞；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn)第二章數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列〔即：an+1>an〕．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列〔即：an+1<an〕．7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列〔即：an+1=an〕．8、擺動數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系的公式．10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)〔或前幾項(xiàng)〕間的關(guān)系的公式．11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．符號表示:。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①②2()③(為常數(shù)12、由三個(gè)數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，那么稱為與的等差中項(xiàng)．假設(shè)，那么稱為與的等差中項(xiàng)．13、假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，那么．14、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．15、假設(shè)是等差數(shù)列，且〔、、、〕，那么；假設(shè)是等差數(shù)列，且〔、、〕，那么．16、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．③17、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①假設(shè)項(xiàng)數(shù)為，那么，且，．=2\*GB3②假設(shè)項(xiàng)數(shù)為，那么，且，〔其中，〕．18、如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：〔注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號位上的值同號〕注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①②(，)③(為非零常數(shù)).④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}〔〕成等比數(shù)列.19、在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么稱為與的等比中項(xiàng)．假設(shè)，那么稱為與的等比中項(xiàng)．〔注：由不能得出，，成等比，由，，〕20、假設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，那么．21、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．22、假設(shè)是等比數(shù)列，且〔、、、〕，那么；假設(shè)是等比數(shù)列，且〔、、〕，那么．23、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：①．②24、對任意的數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：[注]：①〔可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件〔即常數(shù)列也是等差數(shù)列〕→假設(shè)不為0，那么是等差數(shù)列充分條件〕.②等差{}前n項(xiàng)和→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→假設(shè)為零，那么是等差數(shù)列的充分條件；假設(shè)不為零，那么是等差數(shù)列的充分條件.③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.〔不是非零，即不可能有等比數(shù)列〕附