最新高中數(shù)學(xué)第三章基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)3.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算教案新人教B版必修1

PAGEPAGE14內(nèi)部文件，版權(quán)追溯3.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析在初中，學(xué)生已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)．從本節(jié)開(kāi)始我們將在回憶平方根和立方根的根底上，類(lèi)比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把整數(shù)指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)，進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，再推廣到無(wú)理指數(shù)冪，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類(lèi)比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪)等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，表達(dá)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．三維目標(biāo)1．通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)．2．掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類(lèi)比的能力．3．掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化〞的數(shù)學(xué)思想．通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又效勞于生活的哲理．4．能熟練地運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解．(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．(3)運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值．教學(xué)難點(diǎn)：(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解．(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.碳14測(cè)年法．原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平．而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失．對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半)．引出本節(jié)課題．思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的．這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書(shū)本節(jié)課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題))eq\a\vs4\al((1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？,(2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a＞0，,①\r(5,a10)＝\r(5,(a2)5)＝a2＝a\f(10,5)；,②\r(a8)＝\r((a4)2)＝a4＝a\f(8,2)；,③\r(4,a12)＝\r(4,(a3)4)＝a3＝a\f(12,4)；,④\r(2,a10)＝\r(2,(a5)2)＝a5＝a\f(10,2).,(3)利用2的規(guī)律，你能表示以下式子嗎？,\r(4,53)，\r(3,75)，\r(5,a7)，\r(n,xm)x>0，m、n∈N＋，且n>1.,(4)你能用方根的意義來(lái)解釋3的式子嗎？,(5)你能推廣到一般的情形嗎？)討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00無(wú)意義；a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)；am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．實(shí)質(zhì)上①eq\r(5,a10)＝aeq\f(10,5)，②eq\r(a8)＝aeq\f(8,2)，③eq\r(4,a12)＝aeq\f(12,4)，④eq\r(2,a10)＝aeq\f(10,2)結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫(xiě)成了eq\f(10,5)，eq\f(8,2)，eq\f(12,4)，eq\f(10,2)，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變．根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式)．(3)利用(2)的規(guī)律，eq\r(4,53)＝5eq\f(3,4)，eq\r(3,75)＝7eq\f(5,3)，eq\r(5,a7)＝aeq\f(7,5)，eq\r(n,xm)＝xeq\f(m,n).(4)53的四次方根是5eq\f(3,4)，75的三次方根是7eq\f(5,3)，a7的五次方根是aeq\f(7,5)，xm的n次方根是xeq\f(m,n).結(jié)果說(shuō)明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的．(5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示為eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n)，即aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)．綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書(shū)：規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題))①負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？②你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？③你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？④綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？⑤分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a＞0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理指數(shù)冪呢？討論結(jié)果：①負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N＋)．②既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類(lèi)比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)．③規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．④教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：有時(shí)我們把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)成根式，即＝eq\r(n,am)(a＞0，m、n∈N＋)，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\r(n,am)(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．⑤假設(shè)沒(méi)有a＞0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？如＝eq\r(3,－1)＝－1，＝eq\r(6,－12)＝1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的．因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無(wú)a＞0的條件，比方式子eq\r(3,a2)＝|a|eq\f(2,3)，同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上．⑥規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，(3)(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用例如))思路1例1求值：(1)；(2)；(3)(eq\f(1,2))－5；(4).活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫(xiě)成冪的形式，8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52，eq\f(1,2)寫(xiě)成2－1，eq\f(16,81)寫(xiě)成(eq\f(2,3))4，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)．解：(1)(2)(3)(4)點(diǎn)評(píng)：本例主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算，要按規(guī)定來(lái)解．在進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如8eq\f(2,3)＝eq\r(3,82)＝eq\r(3,64)＝4.變式訓(xùn)練求值：3eq\r(3)·eq\r(3,3)·eq\r(6,3).解：3eq\r(3)·eq\r(3,3)·eq\r(6,3)＝3·3eq\f(1,2)·3eq\f(1,3)·3eq\f(1,6)＝31＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝32＝9.例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示以下各式的b.(1)b5＝32；(2)b4＝35；(3)b－5n＝π3m(m、n∈N＋)．活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，先化為根式，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)．解：(1)b＝eq\r(5,32)＝；(2)b＝±eq\r(4,35)＝±；(3)b＝eq\r(－5n,π3m)＝(m，n∈N＋)．點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先化為根式，再把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算．對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).變式訓(xùn)練用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示以下各式中的x.(1)x6＝5；(2)x3＝42；(3)x－3＝π2.答案：(1)x＝±；(2)x＝；(3)x＝思路2例1計(jì)算以下各式：(1)(eq\r(3,25)－eq\r(125))÷eq\r(4,25)；(2)eq\f(a2,\r(a)·\r(3,a2))(a＞0)．活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比擬難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法那么計(jì)算，最后寫(xiě)出解答．解：(1)(2)eq\f(a2,\r(a)·\r(3,a2))＝eq\f(a2,a\f(1,2)·a\f(2,3))＝a2－eq\f(1,2)－eq\f(2,3)＝aeq\f(5,6)＝eq\r(6,a5).變式訓(xùn)練求以下各式的值：(1)；(2)2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12).活動(dòng)：學(xué)生觀察以上幾個(gè)式子的特征，既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法那么計(jì)算，如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，對(duì)(1)應(yīng)由里往外，，對(duì)(2)化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．例2計(jì)算以下各式的值：(1)[(a－eq\f(3,2)b2)－1·(ab－3)eq\f(1,2)·(beq\f(1,2))7]eq\f(1,3)；(2)；(3)(eq\r(a)eq\r(3,b2))－3÷eq\r(b－4a－1).活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上三個(gè)式子的特征，然后交流解題的方法，把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生，強(qiáng)化解題步驟，對(duì)(1)先進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法，對(duì)(2)把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式，然后通分化簡(jiǎn)，對(duì)(3)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)，進(jìn)行積的乘方，再進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算．變式訓(xùn)練比擬eq\r(5)，eq\r(3,11)，eq\r(6,123)的大?。顒?dòng)：學(xué)生努力思考，積極交流，教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路，由于根指數(shù)不同，應(yīng)化成統(tǒng)一的根指數(shù)，才能進(jìn)行比擬，又因?yàn)楦笖?shù)最大的是6，所以我們應(yīng)化為六次根式，然后，只看被開(kāi)方數(shù)的大小就可以了．解：因?yàn)閑q\r(5)＝eq\r(6,53)＝eq\r(6,125)，eq\r(3,11)＝eq\r(6,121)，而125＞123＞121，所以eq\r(6,125)＞eq\r(6,123)＞eq\r(6,121)，所以eq\r(5)＞eq\r(6,123)＞eq\r(3,11).點(diǎn)評(píng)：把根指數(shù)統(tǒng)一是比擬幾個(gè)根式大小的常用方法.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．(1)以下運(yùn)算中，正確的是()A．a(chǎn)2·a3＝a6B．(－a2)3＝(－a3)2C．(eq\r(a)－1)0＝0D．(－a2)3＝－a6(2)以下各式①eq\r(4,(－4)2n)，②eq\r(4,－4)2n＋1)，③eq\r(5,a4)，④eq\r(4,a5)(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是()A．①②B．①③C．①②③④D．①③④(3)(eq\r(3,\r(4,a6)))2·(eq\r(4,\r(3,a6)))2等于()A．a(chǎn)B．a(chǎn)2C．a(chǎn)3D．a(chǎn)4(4)把根式eq\r(5,(a－b)－2)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為()A．(a－b)－eq\f(2,5)B．(a－b)－eq\f(5,2)C．(a－eq\f(2,5)－b－eq\f(2,5))D．(a－eq\f(5,2)－b－eq\f(5,2))(5)化簡(jiǎn)(aeq\f(2,3)beq\f(1,2))(－3aeq\f(1,2)beq\f(1,3))÷(eq\f(1,3)aeq\f(1,6)beq\f(5,6))的結(jié)果是()A．6aB．－aC．－9aD．9a2．計(jì)算：(1)0.027－eq\f(1,3)－(－eq\f(1,7))－2＋256eq\f(3,4)－3－1＋(eq\r(2)－1)0＝__________.(2)設(shè)5x＝4,5y＝2，那么52x－y＝__________.3．x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)83.因?yàn)閤＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因?yàn)閤＜y，所以x－y＝－2×3eq\r(3)＝－6eq\r(3).所以原式＝eq\f(12－6,－6\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))化簡(jiǎn)活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解，根據(jù)此題的特點(diǎn)，注意到：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))活動(dòng)：教師：本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲？請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流．同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn)：(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\r(n,am)(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)．(3)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r、s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)，②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)，③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)說(shuō)明兩點(diǎn)：①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只說(shuō)明這種規(guī)定的合理性，其中沒(méi)有推出關(guān)系．②整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理指數(shù)冪也同樣適用．因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用來(lái)計(jì)算．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本本節(jié)練習(xí)B2、3.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來(lái)穩(wěn)固加深對(duì)這一概念的理解，用觀察、歸納和類(lèi)比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒(méi)有合理的解釋?zhuān)虼硕喟才乓恍┚毩?xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，穩(wěn)固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))[備選例題]例1，探究以下各式的值的求法．點(diǎn)評(píng)：對(duì)“條件求值〞問(wèn)題，一定要弄清與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換〞或“求值后代換〞兩種方法求值．例2a＞0，對(duì)于0≤r≤8，r∈N＋，式子(eq\r(a))8－r·(eq\f(1,\r(4,a)))r能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？活動(dòng)：學(xué)生審題，考慮與本節(jié)知識(shí)的聯(lián)系，教師引導(dǎo)解題思路，把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法那么計(jì)算，即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行冪的乘方，化為關(guān)于a的指數(shù)冪的情形，再討論，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作法．16－3r能被4整除才行，因此r＝0,4,8時(shí)上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪．點(diǎn)評(píng)：此題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時(shí)，可由范圍的從小到大依次驗(yàn)證，決定取舍．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果可以化為根式形式或保存分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(設(shè)計(jì)者：郝云靜)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理指數(shù)冪呢？回憶數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實(shí)數(shù)．并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，增添的數(shù)是無(wú)理數(shù)．對(duì)無(wú)理指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來(lái)．既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書(shū)本堂課的課題——無(wú)理指數(shù)冪．思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的開(kāi)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：無(wú)理指數(shù)冪．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題))①我們知道eq\r(2)＝1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…是eq\r(2)的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…是eq\r(2)的什么近似值？②多媒體顯示以以下圖表：同學(xué)們從下面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？eq\r(2)的過(guò)剩近似值5eq\r(2)的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……5eq\r(2)的近似值eq\r(2)的缺乏近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……③你能給上述思想起個(gè)名字嗎？④一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如5eq\r(2)，根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎？⑤借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎？活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生答復(fù)，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋?zhuān)捎枚嗝襟w顯示輔助內(nèi)容：?jiǎn)栴}①：從近似值的分類(lèi)來(lái)考慮，一方面從大于eq\r(2)的方向，另一方面從小于eq\r(2)的方向．問(wèn)題②：對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)．問(wèn)題③：上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近．問(wèn)題④：對(duì)問(wèn)題給予大膽猜想，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋?zhuān)畣?wèn)題⑤：在③④的根底上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般．討論結(jié)果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，這些數(shù)都小于eq\r(2)，稱(chēng)eq\r(2)的缺乏近似值，而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，這些數(shù)都大于eq\r(2)，稱(chēng)eq\r(2)的過(guò)剩近似值．②第一個(gè)表：從大于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)時(shí)，5eq\r(2)就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于5eq\r(2)的方向逼近5eq\r(2).第二個(gè)表：從小于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)時(shí)，5eq\r(2)就從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于5eq\r(2)的方向逼近5eq\r(2).從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字說(shuō)明一方面5eq\r(2)從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于5eq\r(2)的方向接近5eq\r(2)，而另一方面5eq\r(2)從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于5eq\r(2)的方向接近5eq\r(2)，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近5eq\r(2)，即逼近5eq\r(2)，所以5eq\r(2)是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示5eq\r(2)的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是5eq\r(2)一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51.4＜51.41＜51.414＜51.4142＜51.41421＜…＜5eq\r(2)＜…＜51.41422＜51.4143＜51.415＜51.42＜51.5.充分說(shuō)明5eq\r(2)是一個(gè)實(shí)數(shù)，再如(eq\f(1,2))eq\r(3)，3π等都是實(shí)數(shù)．③逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí)．④根據(jù)②③我們可以推斷5eq\r(2)是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜想一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)．⑤無(wú)理指數(shù)冪的意義：一般地，無(wú)理指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)．我們規(guī)定了無(wú)理指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題))eq\a\vs4\al(1為什么在規(guī)定無(wú)理指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？,2無(wú)理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么是怎樣的？是否與有理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么相通呢？,3你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法那么嗎？)活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類(lèi)比，歸納．對(duì)問(wèn)題(1)回憶我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說(shuō)明．對(duì)問(wèn)題(2)結(jié)合有理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么，既然無(wú)理指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無(wú)理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么應(yīng)當(dāng)與有理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么類(lèi)似，并且相通．對(duì)問(wèn)題(3)有了有理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么和無(wú)理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法那么自然就得到了．討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，假設(shè)a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無(wú)法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無(wú)理指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂．(2)因?yàn)闊o(wú)理指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理指數(shù)冪．類(lèi)比有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理指數(shù)冪的運(yùn)算法那么：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s都是無(wú)理數(shù))．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是無(wú)理數(shù))．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是無(wú)理數(shù))．(3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用例如))思路1例1利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算(精確到0.001)：0．21.52；3.14－2；；5eq\r(2).解：所以0.21.52≈0.087,3.14－2≈0.101,≈2.126,5eq\r(2)≈9.739.點(diǎn)評(píng)：不同的計(jì)算器，按鍵的功能和位置不一定相同.變式訓(xùn)練利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算函數(shù)值．f(x)＝2.72x，求f(－3)，f(－2)，f(－1)，f(1)，f(2)，f(3)(精確到0.001)．解：就可分別得到：0.135164359,0.367647059,2.72,7.3984,20.123648.所以f(－2)≈0.135，f(－1)≈0.368，f(1)≈2.72，f(2)≈7.398，f(3)≈20.124.2化簡(jiǎn)以下各式：點(diǎn)評(píng)：注意運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)(式中字母均為正實(shí)數(shù))：(1)3xeq\r(2)(2x－eq\r(2)yz)；(2)(xeq\f(1,α)y)α(4y－α)．活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡(jiǎn)，即假設(shè)能化為常數(shù)那么化為常數(shù)，假設(shè)不能化為常數(shù)那么應(yīng)使所化式子到達(dá)最簡(jiǎn)，對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)(2)由里向外，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律．解：(1)3xeq\r(2)(2x－eq\r(2)yz)＝(3×2)xeq\r(2)－eq\r(2)yz＝6yz；(2)(xeq\f(1,α)y)α(4y－α)＝4xeq\f(1,α)·α·yα·y－α＝4xyα－α＝4x.思路2例計(jì)算：活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)解題，另外要注意整體的意識(shí)，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)根式的運(yùn)算常?；蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行，對(duì)(2)充分利用指數(shù)冪的運(yùn)算法那么來(lái)進(jìn)行，對(duì)(3)那么要根據(jù)單項(xiàng)式乘法和冪的運(yùn)算法那么進(jìn)行，對(duì)(4)要利用平方差公式先因式分解，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)．點(diǎn)評(píng)：在指數(shù)運(yùn)算中，一定要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)以下各式：(2)(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．活動(dòng)：學(xué)生觀察式子的特點(diǎn)，特別是指數(shù)的特點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路，這兩題要注意分解因式，特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用，對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)提示：對(duì)(1)考查x2與xeq\f(2,3)的關(guān)系可知x2＝(xeq\f(2,3))3，立方關(guān)系就出來(lái)了，公式便可運(yùn)用，對(duì)(2)先利用平方差，再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差，再分解因式，組織學(xué)生討論交流．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))解析：根據(jù)此題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危驗(yàn)?1＋2－eq\f(1,32))(1－2－eq\f(1,32))＝1－2－eq\f(1,16)，所以原式的分子、分母同乘(1－2－eq\f(1,32))，依次類(lèi)推，所以eq\f(1－2－\f(1,2)1＋2－\f(1,2),1－2－\f(1,32))＝eq\f(1－2－1,1－2－\f(1,32))＝eq\f(1,2)(1－2－eq\f(1,32))－1.答案：A3．計(jì)算eq\r(a＋2\r(a－1))＋eq\r(a－2\r(a－1))(a≥1)．解：原式＝eq\r(\r(a－1)＋12)＋eq\r(\r(a－1)－12)＝eq\r(a－1)＋1＋|eq\r(a－1)－1|(a≥1)．此題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對(duì)值，作為思考留作課下練習(xí)．4．設(shè)a＞0，x＝eq\f(1,2)()，那么(x＋eq\r(1＋x2))n的值為_(kāi)_________．答案：aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，.活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)利用運(yùn)算性質(zhì)，然后再求值，要有預(yù)見(jiàn)性，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路，必要時(shí)給予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝eq\f(10α,10β)＝eq\f(3,4)；10－2α＝(10α)－2＝3－2＝eq\f(1,9)；＝(10β)eq\f(1,5)＝4eq\f(1,5).點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和運(yùn)算法那么是解決此題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))(1)無(wú)理指數(shù)冪的意義．一般地，無(wú)理指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．(3)逼近的思想，體會(huì)無(wú)限接近的含義．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題3－1A1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))無(wú)理指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，