最新高中數(shù)學必修三主要內(nèi)容

第一章算法初步1.1算法與程序圖框算法的含義：在數(shù)學中，主要研究計算機能實現(xiàn)的算法，即按照某種機械程序步驟一定可以得到結果的解決問題的程序。比方解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。例子：例1任意給定一個大于1的整數(shù)n，試設計一個程序或步驟對n是否為質數(shù)做出判定。算法分析：根據(jù)質數(shù)的定義，很容易設計出下面的步驟：第一步：判斷n是否等于2，假設n=2，那么n是質數(shù)；假設n>2，那么執(zhí)行第二步。第二步：依次從2至〔n-1〕檢驗是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，假設有這樣的數(shù)，那么n不是質數(shù)；假設沒有這樣的數(shù)，那么n是質數(shù)。這是判斷一個大于1的整數(shù)n是否為質數(shù)的最根本算法。例2用二分法設計一個求議程x2–2=0的近似根的算法。算法分析：回憶二分法解方程的過程，并假設所求近似根與準確解的差的絕對值不超過0.005，那么不難設計出以下步驟：第一步：令f(x)=x2–2。因為f(1)<0，f(2)>0，所以設x1=1，x2=2。第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，假設那么，那么m為所長；假設否，那么繼續(xù)判斷f(x1)·f(m)大于0還是小于0。第三步：假設f(x1)·f(m)>0，那么令x1=m；否那么，令x2=m。第四步：判斷|x1–x2|<0.005是否成立？假設是，那么x1、x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；假設否，那么返回第二步。例3寫出解二元一次方程組的算法2x+y=1②解：第一步，②-①×2得5y=3；③第二步，解③得y=3/5；第三步，將y=3/5代入①，得x=1/5學生做一做：對于一般的二元一次方程組來說，上述步驟應該怎樣進一步完善？老師評一評：此題的算法是由加減消元法求解的，這個算法也適合一般的二元一次方程組的解法。下面寫出求方程組的解的算法：第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③第二步：解③，得；第三步：將代入①，得。此時我們得到了二元一次方程組的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一個算法：第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；第二步：計算與第三步：輸出運算結果?？梢娎蒙鲜鏊惴ǎ佑欣谏蠙C執(zhí)行與操作。根底知識應用題例4寫出一個求有限整數(shù)列中的最大值的算法。解：算法如下。S1先假定序列中的第一個整數(shù)為“最大值〞。S2將序列中的下一個整數(shù)值與“最大值〞比擬，如果它大于此“最大值〞，這時你就假定“最大值〞是這個整數(shù)。S3如果序列中還有其他整數(shù)，重復S2。S4在序列中一直到?jīng)]有可比的數(shù)為止，這時假定的“最大值〞就是這個序列中的最大值。學生做一做寫出對任意3個整數(shù)a,b,c求出最大值的算法。老師評一評在例2中我們是用自然語言來描述算法的，下面我們用數(shù)學語言來描述此題的算法。S1max=aS2如果b>max,那么max=b.S3如果C>max,那么max=c.S4max就是a,b,c中的最大值。綜合應用題例5寫出求1+2+3+4+5+6的一個算法。分析：可以按逐一相加的程序進行，也可以利用公式1+2+…+n=進行，也可以根據(jù)加法運算律簡化運算過程。解：算法1：S1：計算1+2得到3；S2：將第一步中的運算結果3與3相加得到6；S3：將第二步中的運算結果6與4相加得到10；S4：將第三步中的運算結果10與5相加得到15；S5：將第四步中的運算結果15與6相加得到21。算法2：S1：取n=6；S2：計算；S3：輸出運算結果。算法3：S1：將原式變形為(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；S2：計算3×7；S3：輸出運算結果。小結：算法1是最原始的方法，最為繁瑣，步驟較多，當加數(shù)較大時，比方1+2+3+…+10000，再用這種方法是行不通的；算法2與算法3都是比擬簡單的算法，但比擬而言，算法2最為簡單，且易于在計算機上執(zhí)行操作。學生做一做求1×3×5×7×9×11的值，寫出其算法。老師評一評算法1；第一步，先求1×3，得到結果3；第二步，將第一步所得結果3再乘以5，得到結果15；第三步，再將15乘以7，得到結果105；第四步，再將105乘以9，得到945；第五步，再將945乘以11，得到10395，即是最后結果。算法2：用P表示被乘數(shù)，i表示乘數(shù)。S1使P=1。S2使i=3S3使P=P×iS4使i=i+2S5假設i≤11，那么返回到S3繼續(xù)執(zhí)行；否那么算法結束。1、寫出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個算法。2、寫出求1至1000的正數(shù)中的3倍數(shù)的一個算法〔打印結果〕1、解：算法如下S1計算△=b2-4acS2如果△〈0，那么方程無解；否那么x1=S3輸出計算結果x1，x2或無解信息。2、解：算法如下：S1使i=1S2i被3除，得余數(shù)rS3如果r=0，那么打印i，否那么不打印S4使i=i+1S5假設i≤1000,那么返回到S2繼續(xù)執(zhí)行，否那么算法結束。1、寫出解不等式x2-2x-3<0的一個算法。解：第一步：x2-2x-3=0的兩根是x1=3，x2=-1。第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集為{x|-1<x<3}。評注：該題的解法具有一般性，下面給出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步驟〔為方便，我們設a>0〕如下：第一步：計算△=；第二步：假設△>0，示出方程兩根〔設x1>x2〕，那么不等式解集為{x|x>x1或x<x2}；第三步：假設△=0，那么不等式解集為{x|x∈R且x}；第四步：假設△<0，那么不等式的解集為R。2、求過P(a1,b1)、Q(a2,b2)兩點的直線斜率有如下的算法：第一步：取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；第二步：假設x1=x2；第三步：輸出斜率不存在；第四步：假設x1≠x2；第五步：計算；第六步：輸出結果。3、寫出求過兩點M(-2,-1)、N(2,3)的直線與坐標軸圍成面積的一個算法。解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；第二步：計算；第三步：在第二步結果中令x=0得到y(tǒng)的值m，得直線與y軸交點(0,m)；第四步：在第二步結果中令y=0得到x的值n，得直線與x軸交點(n,0)；第五步：計算S=；第六步：輸出運算結果程序框圖的概念：是一種用規(guī)定的圖形，指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。根本概念：〔1〕起止框圖：起止框是任何流程圖都不可缺少的，它說明程序的開始和結束，所以一個完整的流程圖的首末兩端必須是起止框?！?〕輸入、輸出框：表示數(shù)據(jù)的輸入或結果的輸出，它可用在算法中的任何需要輸入、輸出的位置。圖1-1中有三個輸入、輸出框。第一個出現(xiàn)在開始后的第一步，它的作用是輸入未知數(shù)的系數(shù)a11,a12,a21,a22和常數(shù)項b1,b2,通過這一步，就可以把給定的數(shù)值寫在輸入框內(nèi)，它實際上是把未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項的值通知給了計算機，另外兩個是輸出框，它們分別位于由判斷分出的兩個分支中，它們表示最后給出的運算結果，左邊分支中的輸出分框負責輸出D≠0時未知數(shù)x1,x2的值，右邊分支中的輸出框負責輸出D=0時的結果，即輸出無法求解信息?！?〕處理框：它是采用來賦值、執(zhí)行計算語句、傳送運算結果的圖形符號。圖1-1中出現(xiàn)了兩個處理框。第一個處理框的作用是計算D=a11a22-a21a12的值，第二個處理框的作用是計算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。〔4〕判斷框：判斷框一般有一個入口和兩個出口，有時也有多個出口，它是惟一的具有兩個或兩個以上出口的符號，在只有兩個出口的情形中，通常都分成“是〞與“否〞〔也可用“Y〞與“N〞〕兩個分支，在圖1-1中，通過判斷框對D的值進行判斷，假設判斷框中的式子是D=0，那么說明D=0時由標有“是〞的分支處理數(shù)據(jù)；假設D≠0，那么由標有“否〞的分支處理數(shù)據(jù)。例如，我們要打印x的絕對值，可以設計如下框圖。5.三種根本結構：p=(2+3+4)/2開始p=(2+3+4)/2開始s=√p(p-2)(p-3)(p-4)輸出s結束例2：一個三角形的三邊分別為2、3、4，利用海倫公式設計一個算法，求出它的面積，并畫出算法的程序框圖。算法分析：這是一個簡單的問題，只需先算出p的值，再將它代入公式，最后輸出結果，只用順序結構就能夠表達出算法。程序框圖：2〕條件結構：一些簡單的算法可以用順序結構來表示，但是這種結構無法對描述對象進行邏輯判斷，并根據(jù)判斷結果進行不同的處理。因此，需要有另一種邏輯結構來處理這類問題，這種結構叫做條件結構。它是根據(jù)指定打件選擇執(zhí)行不同指令的控制結構。例3：任意給定3個正實數(shù)，設計一個算法，判斷分別以這3個數(shù)為三邊邊長的三角形是否存在，畫出這個算法的程序框圖。算法分析：判斷分別以這3個數(shù)為三邊邊長的三角形是否存在，只需要驗收這3個數(shù)當中任意兩個數(shù)的和是否大于第3個數(shù)，這就需要用到條件結構。程序框圖：3〕循環(huán)結構：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：〔1〕一類是當型循環(huán)結構，如圖1-5〔1〕所示，它的功能是當給定的條件P1成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P1是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P1不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，從b離開循環(huán)結構?！?〕另一類是直到型循環(huán)結構，如以下圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P2是否成立，如果P2仍然不成立，那么繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P2成立為止，此時不再執(zhí)行A框，從b點離開循環(huán)結構。例4：設計一個計算1+2+…+100的值的算法，并畫出程序框圖。算法分析：只需要一個累加變量和一個計數(shù)變量，將累加變量的初始值為0，計數(shù)變量的值可以從1到100。程序框圖：1.2算法的根本語句輸入語句輸出語句賦值語句條件語句循環(huán)語句輸入語句輸出語句賦值語句條件語句循環(huán)語句INPUTINPUT“x=〞;xy=x^3+3*x^2-24*x+30PRINTxPRINTyEND〔一〕輸入語句在該程序中的第1行中的INPUT語句就是輸入語句。這個語句的一般格式是：INPUTINPUT“提示內(nèi)容〞；變量其中，“提示內(nèi)容〞一般是提示用戶輸入什么樣的信息。如每次運行上述程序時，依次輸入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，計算機每次都把新輸入的值賦給變量“x〞,并按“x〞新獲得的值執(zhí)行下面的語句。INPUT語句不但可以給單個變量賦值，還可以給多個變量賦值，其格式為：INPUTINPUT“提示內(nèi)容1，提示內(nèi)容2，提示內(nèi)容3，…〞；變量1，變量2，變量3，…例如，輸入一個學生數(shù)學，語文，英語三門課的成績，可以寫成：INPUT“數(shù)學，語文，英語〞；a，b，c注：①“提示內(nèi)容〞與變量之間必須用分號“；〞隔開。②各“提示內(nèi)容〞之間以及各變量之間必須用逗號“，〞隔開。但最后的變量的后面不需要。〔二〕輸出語句在該程序中，第3行和第4行中的PRINT語句是輸出語句。它的一般格式是：PRINTPRINT“提示內(nèi)容〞；表達式同輸入語句一樣，表達式前也可以有“提示內(nèi)容〞。例如下面的語句可以輸出斐波那契數(shù)列：PRINTPRINT“TheFibonacciProgressionis：〞；11235813213455“…〞此時屏幕上顯示：TheFibonacciProgressionis：11235813213455…輸出語句的用途：〔1〕輸出常量，變量的值和系統(tǒng)信息?！?〕輸出數(shù)值計算的結果?！妓伎肌剑涸谥谐绦蚩驁D中的輸入框，輸出框的內(nèi)容怎樣用輸入語句、輸出語句來表達？〔學生討論、交流想法，然后請學生作答〕參考答案：輸入框：INPUT“請輸入需判斷的整數(shù)n=〞；n輸出框：PRINTn；“是質數(shù)。〞PRINTn；“不是質數(shù)。〞〔三〕賦值語句用來說明賦給某一個變量一個具體確實定值的語句。除了輸入語句，在該程序中第2行的賦值語句也可以給變量提供初值。它的一般格式是：變量變量=表達式賦值語句中的“=〞叫做賦值號。賦值語句的作用：先計算出賦值號右邊表達式的值，然后把這個值賦給賦值號左邊的變量，使該變量的值等于表達式的值。注：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B〞“B=A〞的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算?！踩缁啞⒁蚴椒纸?、解方程等〕④賦值號“=〞與數(shù)學中的等號意義不同?！妓伎肌剑涸谥谐绦蚩驁D中的輸入框，哪些語句可以用賦值語句表達？并寫出相應的賦值語句?！矊W生思考討論、交流想法?！场纠}精析】〖例1〗：編寫程序，計算一個學生數(shù)學、語文、英語三門課的平均成績。分析：先寫出算法，畫出程序框圖，再進行編程。算法：程序：開始開始輸入a,b,c結束輸出yINPUTINPUT“數(shù)學=〞;aINPUT“語文=〞;bINPUT“英語=〞;cy=(a+b+c)/3PRINT“Theaverage=〞;yEND〖例2〗：給一個變量重復賦值。A=10A=A+10A=10A=A+10PRINTAEND[變式引申]：在此程序的根底上，設計一個程序，要求最后A的輸出值是30?！苍撟兪降脑O計意圖是學生加深對重復賦值的理解〕A=10A=A+15A=10A=A+15PRINTAA=A+5PRINTAEND〖例3〗：交換兩個變量A和B的值，并輸出交換前后的值。分析：引入一個中間變量X,將A的值賦予X,又將B的值賦予A，再將X的值賦予B，從而到達交換A，B的值?！脖确浇粨Q裝滿水的兩個水桶里的水需要再找一個空桶〕INPUTINPUTAINPUTBPRINTA，BX=AA=BB=XPRINTA，BEND〖補例〗：編寫一個程序，要求輸入一個圓的半徑，便能輸出該圓的周長和面積。〔取3.14〕分析：設圓的半徑為R，那么圓的周長為，面積為，可以利用順序結構中的INPUT語句，PRINT語句和賦值語句設計程序。程序：INPUTINPUT“半徑為R=〞；RC=2*3.14*RS=3.14*R^2PRINT“該圓的周長為：〞；CPRINT“該圓的面積為：〞；SEND〔四〕條件語句條件語句的作用：在程序執(zhí)行過程中，根據(jù)判斷是否滿足約定的條件而決定是否需要轉換到何處去。需要計算機按條件進行分析、比擬、判斷，并按判斷后的不同情況進行不同的處理。算法中的條件結構是由條件語句來表達的，是處理條件分支邏輯結構的算法語句。它的一般格式是：〔IF-THEN-ELSE格式〕滿足條件？滿足條件？語句1語句2是否IFIF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF當計算機執(zhí)行上述語句時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行THEN后的語句1，否那么執(zhí)行ELSE后的語句2。其對應的程序框圖為：〔如上右圖〕在某些情況下，也可以只使用IF-THEN語句：〔即IF-THEN格式〕滿足條件？滿足條件？語句是否IFIF條件THEN語句ENDIF〖例2〗：編寫程序，使得任意輸入的3個整數(shù)按從大到小的順序輸出。INPUTINPUT“a，b，c=〞;a，b，cIFb>aTHENt=aa=bb=tENDIFIFc>aTHENt=aa=cc=tENDIFIFc>bTHENt=bb=cc=tENDIFPRINTa，b，cEND算法分析：用a，b，c表示輸入的3個整數(shù)；為了節(jié)約變量，把它們重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具體操作步驟如下。第一步：輸入3個整數(shù)a，b，c.第二步：將a與b比擬，并把小者賦給b，大者賦給a.第三步：將a與c比擬.并把小者賦給c，大者賦給a，此時a已是三者中最大的。第四步：將b與c比擬，并把小者賦給c，大者賦給b，此時a，b，c已按從大到小的順序排列好。第五步：按順序輸出a，b，c.〔四〕循環(huán)語句滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體是否〔1〕WHILE語句的一般格式是：WHILEWHILE條件循環(huán)體WEND其中循環(huán)體是由計算機反復執(zhí)行的一組語句構成的。WHLIE后面的“條件〞是用于控制計算機執(zhí)行循環(huán)體或跳出循環(huán)體的。當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型〞循環(huán)。其對應的程序結構框圖為：〔如上右圖〕〖思考〗：直到型循環(huán)又稱為“后測試型〞循環(huán)，參照其直到型循環(huán)結構對應的程序框圖，說說計算機是按怎樣的順序執(zhí)行UNTIL語句的？〔讓學生模仿執(zhí)行WHILE語句的表述〕從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。〖提問〗：通過對照，大家覺得WHILE型語句與UNTIL型語句之間有什么區(qū)別呢？〔讓學生表達自己的感受〕區(qū)別：在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，而在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體?！纠}精析】〖例3〗：編寫程序，計算自然數(shù)1+2+3+……+99+100的和。分析：這是一個累加問題。我們可以用WHILE型語句，也可以用UNTIL型語句。由此看來，解決問題的方法不是惟一的，當然程序的設計也是有多種的，只是程序簡單與復雜的問題。i=1sum=0i=1sum=0WHLIEi<=100sum=sum+ii=i+1WENDPRINTsumENDi=1sum=0DOsum=sum+ii=i+1LOOPUNTILi>100PRINTsumEND1.3算法案例輾轉相除法：1.輾轉相除法例1求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)?！卜治觯?251與6105兩數(shù)都比擬大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù)〕解：8251＝6105×1＋2146顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0那么37為8251與6105的最大公約數(shù)。以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0；第二步：假設r0＝0，那么n為m，n的最大公約數(shù)；假設r0≠0，那么用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個商q1和一個余數(shù)r1；第三步：假設r1＝0，那么r1為m，n的最大公約數(shù)；假設r1≠0，那么用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2；……依次計算直至rn＝0，此時所得到的rn－1即為所求的最大公約數(shù)。練習：利用輾轉相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)〔答案：53〕2.更相減損術我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。更相減損術求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。假設是，用2約簡；假設不是，執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比擬，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，那么這個數(shù)〔等數(shù)〕就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉相減，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98與63的最大公約數(shù)是7。練習：用更相減損術求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)?！泊鸢福?2〕3.比擬輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別〔1〕都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯?！?〕從結果表達形式來看，輾轉相除法表達結果是以相除余數(shù)為0那么得到，而更相減損術那么以減數(shù)與差相等而得到4.輾轉相除法與更相減損術計算的程序框圖及程序利用輾轉相除法與更相減損術的計算算法，我們可以設計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)輾轉相除法與更相減損術求最大公約數(shù)，下面由同學們設計相應框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，并在計算機上驗證自己的結果。〔1〕輾轉相除法的程序框圖及程序程序框圖：程序：INPUT“m=〞;mINPUT“n=〞;nIFm<nTHENx=mm=nn=xENDIFr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND3.秦九韶計算多項式的方法例設計利用秦九韶算法計算5次多項式當時的值的程序框圖。解：程序框圖如下：4.排序直接插入排序：冒泡排序：進位制互相轉化：把余數(shù)從下往上排列即可。第二章統(tǒng)計2.1隨機抽樣簡單隨機抽樣的概念：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本〔n≤N〕,如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的時機都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本。【說明】簡單隨機抽樣必須具備以下特點：〔1〕簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的?！?〕簡單隨機樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N?！?〕簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的。〔4〕簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣?！?〕簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為n/N。最常用的簡單隨機抽樣法：抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。抽簽法的一般步驟：〔1〕將總體的個體編號?！?〕連續(xù)抽簽獲取樣本號碼。隨機數(shù)法的定義：利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣，叫隨機數(shù)表法，這里僅介紹隨機數(shù)表法。怎樣利用隨機數(shù)表產(chǎn)生樣本呢？下面通過例子來說明，假設我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行。第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000，001，…，799。第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7〔為了便于說明，下面摘取了附表1的第6行至第10行〕。1622779439495443548217379323788442175331572455068877047447676301637859169555671998105071753321123429786456078252420744385760863244094727965449174609628735209643842634916421763350258392120676128673580744395238791551001342996602795490528477270802734328第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀〔讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等〕，得到一個三位數(shù)785，由于785＜799，說明號碼785在總體內(nèi)，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916，由于916＞799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，…，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本?！菊f明】隨機數(shù)表法的步驟：〔1〕將總體的個體編號。〔2〕在隨機數(shù)表中選擇開始數(shù)字?！?〕讀數(shù)獲取樣本號碼。系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的定義：一般地，要沉著量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的假設干局部，然后按照預先制定的規(guī)那么，從每一局部抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣?！菊f明】由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特證：〔1〕當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣。〔2〕將總體分成均衡的假設干局部指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k＝[].〔3〕預先制定的規(guī)那么指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的根底上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號。1、在抽樣過程中，當總體中個體較多時，可采用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣，系統(tǒng)抽樣的步驟為：〔1〕采用隨機的方法將總體中個體編號；〔2〕將整體編號進行分段，確定分段間隔k(k∈N)；〔3〕在第一段內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法確定起始個體編號L；〔4〕按照事先預定的規(guī)那么抽取樣本。2、在確定分段間隔k時應注意：分段間隔k為整數(shù)，當不是整數(shù)時，應采用等可能剔除的方剔除局部個體，以獲得整數(shù)間隔k。分層抽樣一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣?！菊f明】分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求：〔1〕分層：將相似的個體歸人一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原那么?！?〕分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等。二、分層抽樣的步驟：〔1〕分層：按某種特征將總體分成假設干局部?！?〕按比例確定每層抽取個體的個數(shù)?！?〕各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取?！?〕綜合每層抽樣，組成樣本。【說明】〔1〕分層需遵循不重復、不遺漏的原那么?！?〕抽取比例由每層個體占總體的比例確定?！?〕各層抽樣按簡單隨機抽樣進行。用樣本的頻率分布估計總體分布頻率分布的概念：頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為：計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表畫頻率分布直方圖頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖?？傮w密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息。莖葉圖的概念：當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間局部像植物的莖，兩邊局部像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖?！惨娬n本P6１例子〕莖葉圖的特征：〔１〕用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。〔２〕莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。〖例1〗：下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高(單位ｃｍ)(1)列出樣本頻率分布表﹔(2)一畫出頻率分布直方圖;(3)估計身高小于134ｃｍ的人數(shù)占總人數(shù)的百分比.。分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題。解：〔１〕樣本頻率分布表如下：122126122126130134138142146150158154身高〔cm〕o0.010.020.030.040.050.060.07頻率/組距9090100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036〔3〕由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19，所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的19%.〖例2〗：為了了解高一學生的體能情況,某校抽取局部學生進行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？假設次數(shù)在110以上〔含110次〕為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由。分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：〔1〕由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因為頻率=所以〔2〕由圖可估計該學校高一學生的達標率約為〔3〕由可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中處于最中間的一個數(shù)據(jù)；樣本數(shù)據(jù)的標準差的算法：、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)。、算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：、算出〔２〕中的平方。、算出〔３〕中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。、算出〔４〕中平均數(shù)的算術平方根，，即為樣本標準差。其計算公式為：顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。方差：2．3變量間的相關關系散點圖：第三章概率3.1隨機事件的概率根本概念：〔1〕必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；〔2〕不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；〔3〕確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S確實定事件；〔4〕隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；〔5〕頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P〔A〕，稱為事件A的概率。〔6〕頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率。概率的幾個根本性質：1〕必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2〕當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3〕假設事件A與B為對立事件，那么A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)〔3〕正確理解和事件與積事件，以及互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系.3.2古典概率根本領件、古典概率模型、隨機數(shù)、偽隨機數(shù)的概念；古典概型的概率計算公式：P〔A〕=；例1擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，求擲得奇數(shù)點的概率。分析：擲骰子有6個根本領件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。解：這個試驗的根本領件共有6個，即〔出現(xiàn)1點〕、〔出現(xiàn)2點〕……、〔出現(xiàn)6點〕所以根本領件數(shù)n=6，事件A=〔擲得奇數(shù)點〕=〔出現(xiàn)1點，出現(xiàn)3點，出現(xiàn)5點〕，其包含的根本領件數(shù)m=3所以，P〔A〕====0.5小結：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：〔1〕所有的根本領件必須是互斥的；〔2〕m為事件A所包含的根本領件數(shù)，求m值時，要做到不重不漏。例2從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。解：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果組成的根本領件有6個，即〔a1，a2〕和，〔a1，b2〕，〔a2，a1〕，〔a2，b1〕，〔b1，a1〕，〔b2，a2〕。其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品〞這一事件，那么A=[〔a1，b1〕，〔a2，b1〕，〔b1，a1〕，〔b1，a2〕]事件A由4個根本領件組成，因而，P〔A〕==例3現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：〔1〕如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；〔2〕如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：〔1〕為返回抽樣；〔2〕為不返回抽樣．解：〔1〕有放回地抽取3次，按抽取順序〔x,y,z〕記錄結果，那么x,y,z都有10種可能，所以試驗結果有10×10×10=103種；設事件A為“連續(xù)3次都取正品〞，那么包含的根本領件共有8×8×8=83種，因此，P(A)==0.512．〔2〕解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，根本領件不同，按抽取順序記錄〔x,y,z〕，那么x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為10×9×8=720種．設事件B為“3件都是正品〞，那么事件B包含的根本領件總數(shù)為8×7×6=336,所以P(B)=≈0.467．解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序〔x,y,z〕記錄結果，那么x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但〔x,y,z〕，〔x,z,y〕，〔y,x,z〕，〔y,z,x〕，〔z,x,y〕，〔z,y,x〕，是相同的，所以試驗的所有結果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的根本領件個數(shù)為8×7×6÷6=56，因此P(B)=≈0.467．小結：關于不放回抽樣，計算根本領件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不管選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否那么會導致錯誤．3.3幾何概型〔1〕幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型；〔2〕幾何概型的概率公式：P〔A〕=；〔3〕幾何概型的特點：1〕試驗中所有可能出現(xiàn)的結果〔根本領件〕有無限多個；2〕每個根本領件出現(xiàn)的可能性相等．例題分析：課本例題略例1判以下試驗中事件A發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型?！?〕拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點〞的概率；〔2〕如課本P132圖3．3-1中的(2)所示，圖中有一個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否那么乙獲勝，求甲獲勝的概率。分析：此題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型那么是在試驗中出現(xiàn)無限多個結果，且與事件的區(qū)域長度有關。解：〔1〕拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；〔2〕游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影局部〞，概率可以用陰影局部的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型．例2某人欲從某車站乘車出差，該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率．分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事