電路理論-第7章

7.1

一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅有動態(tài)元件初始儲能產生的電壓和電流。uC

(0－)=U07.1.1.RC電路的零輸入響應uR

uC

0

Cdui

Cdtu =

Ri零輸入響應iS(t=0)–RC+–C+u

R

uCRC

d

uCd

t

u

0uC

(0

)

U

01RCp

特征根R特征方程RCp+1=0

1

tRCCu

(t)

Aept

Ae則代入初始值u

(0 )

Ae0C

＋A=U0t上頁下頁2RCuC

(t)

U0e

t

00

e

tRCu

U

CR

R

tRCi

t

001

U

du

Cdt

t

或

i

C

CU

eRC

tuC

(t)

U0et

0

I0e7.1.1

RC電路的零輸入響應t0uCOI0tiO①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。連續(xù)函數(shù)躍變表明U0

eRC

(

)

RC

RuC

(0

)=U—

0iS(t=0)–C

t

–RC+

+uC

R

uR上頁下頁3uc0

2Uo0.368

Uo0.135

Uo7.1.1

RC電路的零輸入響應t0uCOI0tiO令

=RC,

稱

為一階電路的時間常數(shù)。①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。連續(xù)函數(shù)躍變②響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關。表明U

上頁下頁4

RC

F

Q

A

S

S

V

V

tτ2τ3τ4τ5τ…

∞vc0.368Uo0.135Uo0.050Uo0.018Uo0.007Uo…

0

:工程上認為, 經過

3

5

過渡過程結束。t3

4

5

＝

t2－

t11112

1

u

(t

)C

1ttdu

t

U 0

e

u

(t

)

0

C

1

Cdt

t

tU0tuCOt1t2

tuC

U0e時間常數(shù)

的幾何意義：t1時刻曲線的斜率等于7.1.1

RC電路的零輸入響應能量關系2C

ow

(0

)

1

CU

2t=02上頁下頁52212Uo0

tRCRiR

dt

0

R(

R

e)

dt

CUoRw

(0,

)

電阻吸收（消耗）能量：電容放出能量67.1.2

RL電路的零輸入響應特征方程

Lp+R=0Lp

R特征根A=

iL(0+)=

I0US

I0iL

(0

)

iL

(0

)

R1

R

Ri

L

0

t

0di

LLd

tLi

(t)

Ae

ptptL

RtiL

(t)

I0e

I0et

0t>0iLL–+uLRtI0iLO連續(xù)函數(shù)躍變-RI0uLtO

=R/L,

稱

為RL電路的時間常數(shù)LS(t=0)L–+uLR

i1+

RUS-上頁下頁20RW

i

Rdt③

能量關系:

電感不斷

能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設

iL(0+)=I02012電感放出能量：LI電阻吸收（消耗）能量：∞tL

/

R

)2

Rdt0∞(I0

e20

1

LI2iL–+uLR7.1.2

RL電路的零輸入響應一階電路的零輸入響應dy

ay

0dt

t

ty(t

)

Ke

y

(0

)e

ty(t)

y(0

)e t

0關鍵求：y(0

)任意變量的零輸入響應:初始值：y(0)時間常數(shù)：上頁下頁7時間常數(shù)（The

Time

Constant）線性電阻電路CeqReq一階電路：同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)RC

電路

RL

電路c

Req

Ceq線性電阻電路LeqReqReq

L

LeqRC

電路c

Req

CeqRL

電路eqLeqL

R上頁下頁8例圖示電路中的電容原充有24V電壓，求S閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC

零輸入響應問題，有+uC

45F—i1t

>0等效電路C

C

tRCt

0u

u（0）ei3

SC2365F

+—i2i1uc

(0)

24

V

RC

54s

20

s

t20

VuC

24e1

C

t20Ai

u

4

6e120

A2

3

1t

0

t分流得

i

i

4e20

A上頁下頁923

ti3

i1

2e例題分析u

t=0例7-1-2

P141例題分析含受控源電路ReqRd例7-1-3

P142兩電容可等效為一個電容，電路可化為一階電路t∞時,

uC1

()

=uC1

()=0.5U0上頁下頁10造成V

損壞。例題t=0時,打開開關S，求uV

。（電壓表量程：50V）iL

eL

4

t

0s

4104

sR

RV

10000u

R

i

10000e2500tV

t

0V V

LuV

(0+)=－

10000V解

iL

(0+)

=

iL(0－)

=

1

A

t

/iLS(t=0)–VL=4HR=10VRV+10V例題分析上頁下頁11u

+–

10k

t小結①一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初始值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。7.1

一階電路的零輸入響應y(t)

y(0

)e

RC電路：

uC

(0+)

=

uC

(0－)

RL電路：

iL(0+)=

iL(0－)②衰減快慢取決于時間常數(shù)。

=

R

C

=

L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。③同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。④一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。RC電路RL電路上頁下頁12動態(tài)元件初始能量為零，由t

>0時刻電路中外加激勵作用所產生的響應。duRC

Cdt

uC

US方程：7-2一階電路的零狀態(tài)響應解答形式為：uC

uCp

uCh7.2.1直流電源激勵下的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應iS(t=0)C–+uC+USR–非齊次線性常微分方程與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解。uC

(0－)=0uCp

US特解（強制分量）u

CpRC上頁下頁13duCdtuC

US的特解7.2.1直流電源激勵下的零狀態(tài)響應全解A=

－

US由初始條件

uC

(0+)=0

定積分常數(shù)

AtRCuC

(t

)

uCp

uCh

U

S

Aet

tRC

)RCuC

(0+)=US+A=

0uC

US

USe

US(1edu

Udt

R(t

0)

tRCi

C

C

S

e從以上式子可以得出

t

RCuCh

Ae變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定。RCduC

u

0

的通解dtC通解（

分量，暫態(tài)分量）u

C

h上頁下頁14－USuChuCpUStiOuC①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（分量）表明+②響應變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；③響應與外加激勵成線性關系。上頁下頁15

t

uC

(t)

(1

e

RC

)ε

(t)e

ε(t)

tRC1Ri(t)

激勵為單位階躍函數(shù)時，電路中產生的零狀態(tài)響應。階躍響應iC–+uCRuC

(0－)=0ε

(t

)7.2.2

階躍響應tuC1

tO

O1/Rit上頁下頁16s(t)

uC

(t)

(1

e

RC

)ε

(t)7.2.3

正弦電源激勵下的零狀態(tài)響應diL L

RiL

UsmSin(t

)t

0

tiL

iLp

Ke

特解(穩(wěn)態(tài)解)：

LpLmii (

t

)

ISin(

t

)時間常數(shù)：R

Lin(

0

i

)

K

0

K

Iini∵

iL

(

0

)

iL

(

0

)

K

IpuSLiLus=Usmsin(t+)in(t

i

)

UsmSin(t

) t

0LILmCos(t

i

)

RI(

L

)2

R2

I

in(

t

iZsm

)

U

Sin(

t

)

tdtiL(0+)=iL(0－)=0L

tg1

RuSLiLR

RKt=0Li

I in(

t

i)

ket

0ZUsmLmI

i,

z(L)2

R2~

頁 下頁L17

ti

I

in(

t

i

)

I

in(

i

)et

0L

ti

I

in(

t

i

)

I

in(

i

)et

0tiLipihiLLmUsmI

i,

z(L)2

R2合閘角

與響應z

z當

=

或

=

(

=0

)ii

I

Sin(

t

) t

0L

Lm

izi22(

)Z

tg1

RL當

ti

I

in(

t

i

)

?ILmeLt

0iLLK

Rt=0uS7.2.3

正弦電源激勵下的零狀態(tài)響應上頁下頁187.2.4

零狀態(tài)響應的線性特性和時不變性激勵x1(t)時零狀態(tài)響應為y1(t);激勵x2(t)時零狀態(tài)響應為y2(t)線性特性(linear

property):激勵K1x1(t)時零狀態(tài)響應為K1

y1(t);激勵K1x1(t)和K2x2(t)共同作用時零狀態(tài)響應為:K1

y1(t)

+

K2

y2(t)時不變性(time-invariance

property):激勵x1(t)延遲t0

→x1(t-t0)時,零狀態(tài)響應為y1(t)也延遲為:y1(t-t0)dt

dt上頁下頁19dx1

(t)

dy1

(t)1100t

ty

(t)dtx

(t)dt

7.2.4

零狀態(tài)響應的線性特性和時不變性例7-2-4

P149uSC–+uC+–R(1)

us

(t)

(t)

(t

1)

3(t

1)

(t

3)V

(t)

2(t

1)

3(t

3)

Vtt

t

1

t

3

(1

e

RC

)ε

(t)+2(1

e

RC

)ε

(t

1)

3(1

e

RC

)ε

(t

3)s(t)

(1

e

RC

)ε

(t)uc

(t)

s(t)

2s(t1)

3s(t

3)(2)us

(t)

(t)1RCds(t)

1dt

RC

t

te

RC

ε

(t)+(1

e

RC

)

(t)

20uc

(t)

dt∵(t)

d(t)

te

RC

ε

(t)~

頁 下頁7.3

一階電路的全響應電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。RC

duCdt

uC

US以RC電路為例，電路微分方程：全響應解答為

uC(t)

=

uCp+

uCh特解

uCp=

US

通解

t

RCuCh

KeuC

(0

)=UK=U0

-

US由初始值定AC

(0+)=K+US=i1.

全響應S(t=0)C–R

+uCuC

(0－)=U0+US–RC

ttuC

US

AeRC

US

(U0

US)et

0強制分量(穩(wěn)態(tài)解)分量(瞬態(tài)解)上頁下頁21全響應

=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+分量(瞬態(tài)解)2.

全響應的兩種分解方式①

著眼于電路的兩種工作狀態(tài)

物理概念清晰7.3

一階電路的全響應全響應

=

零狀態(tài)響應

+

零輸入響應(t

0)

t

tC

S

0u

U

(1

e

)

U

e

②著眼于因果關系便于疊加計算零輸入響應零狀態(tài)響應+US–uC

(0－)=U0C

C+US–S(t=0)

R

S(t=0)

RuC

(0－)=0+S(t=0)C+US–RuC

(0－)=U0上頁下頁227.3.3

一階電路的三要素法

ty

(t

)

y

(0)

y

p

(0)

e

y

p

(t

)條件:電路有新的穩(wěn)定狀態(tài).初始值y(0+)穩(wěn)態(tài)值yp時間常數(shù)τuc(0-

),

iL(0-

)uc(0+

),

iL(0+

)t=0-t=0+y(0+

)uc(0+

),

iL(0+

)t

yp(t)同一一階電路的電路變量有相同的時間常數(shù).c

Req

CeqeqLeqLR

RC

circuit:RL

circuit:

tDC

:

y

(t

)

y

(

)

[

y

(0)

y

(

)]e

上頁下頁23例7-3-1

P152例題分析求：iR2=?

注意解題步驟例7-3-2

P153

求

uo(t)=?上頁下頁2425例

R1=1,

R2=2,

R3=2,C=3F,

Us1=2V,

Us2=2V,Is=1A,

=2.

求t>0

u3(t)=?解:

u

(

0

)

U

R

(

i

)c

s

2

2

Us2

R2

Is

2V_uC

+S

(t=0)iC+u3_R2R1U+_US212+S1

_IS

iR3t

=0-c_

u

(0-)+i+u3_R2R1IS+_US2

iR3332

32R

RR

R(

1

1

)u

(

0

)

2

US2

ii

U

u

(

0

)

(

2

)S1

3R1

R33u

(0

)

3V例題分析~

頁 下頁t

=0+iR2R1+_US2-2V

iR3+_+_US1+u3(0+)_u

(

0

)

u

(

0

)

2Vc

cu3

(0+)=?3u

(0

)

3V1

US1US2u3

(

)

US2

iR2RR2

6Vt

:eqooRiio

u

R3

io

(

1

)io

R2

8

=

ReqC=24S3

33

3

t

u

(

t

)

u

(

)＋u

(0+

)－u

(

)e

_3+

uoioi_+

R2uR1

iR3例

R1=1,

R2=2,

R3=2,s1

s2C=3F,

U =2V,

U

=2V,例題分析_uC

+S

(t=0)+uiC3_R2R1+Is=1A,

=2.

求t>0

u3(t)=?US1

_+_US12IS

iR3i

iR1+_US2R3+上頁下頁26_US1+

R2u3()_24

tu3

(

t

)

3e

6

(

V

) t

0NR

是線性電阻電路。圖（a）中,

C=1F,

Uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;圖（b）中,

L=1H,

iL(0)=0,

求

ub(t).+_+Vs

_ub(t)NRL(b)+_+_Vsua(t)NRC(a)解::Fig.(a)c

=ReqC=0.5Req=0.5

Fig.(b)1LR

0,5

L

eq

2sReqReq上頁下頁27例題分析+_+Us

_ub(t)NRL+_+Us

_ua(t)NRC(a)+_+Us

_ua(t)NRt=0

uc(0)=0+上頁下頁28_+Us

_ub(t)NR(b)t

uL()=0(a)ua(0)=0.75-1=-0.25(V)(b)ub()=

ua(0)

=-0.25(V)圖（a）中,uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;圖（b）中,iL(0)=0例題分析+_+Us

_ub(t)NRL+_+Us

_ua(t)NRC(b)t=0

iL(0)=0(a)t

ic()=0+_+Us

_ua(t)NR(a)ua()=0.75-0=0.75(V)+_+Us

_ub(t)NR(a)ub(0)=

ua()

=0.75(V)圖（a）中,Uc(0)=0,

ua=(0.75-e-2t)V;圖（b）中,iL(0)=0上頁下頁29例題分析Solution:∵+_+Us

_ub(t)NRL(b)+_+Us

_ua(t)NRC(a)L

2sub()=

ua(0)

=-0.25(V)ub(0)=

ua()

=0.75(V)上頁下頁30

t2

(e0.5t

0.25)Vbu

(t)

0.75

(0.25)

e

(0.25)NR

是線性電阻電路。圖（a）中,

C=1F,

Uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;圖（b）中,

L=1H,

iL(0)=0,

求

ub(t).例題分析開關閉合前電路已經達到穩(wěn)態(tài).

R1=1,

R2=2,

R3=3,C1=1F,

C2=2F,

Is=1A,

求

t>0時

,

uc1

,

uc2

,

i1

,

i2

,

i.C1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0C1+uc1i1R1C2+uc2i2R3R2i=

i1+

i2

+

Is上頁下頁31例題分析uC

1(0－)=(R2+R3)IS=5V，uC2(0－)=R3IS=3VC1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0R1IsR2R3+uc1+uc2t=0τ1=R1C1=1s，

uC

1C

1(0+)=

u

(0－)=5VC1+uc1i1R1

t上頁下頁32

5e

t

V

t

0c1

c1u

u

(0

)eucR1i1

1

5e

t

At

0t>0例題分析例題分析C1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0C2+uc2t>0i2R3R2R=R2//R3=1.2Ω2=RC2=2.4suC

2(0+)=uC

2(0－)=3V2

.4

t

uc

2

5

e

V

t

0A

t2.4Si

I

i1

i2

1

5e

t

1.5et

0u

c

2上頁下頁33R

t

2

.4i2

1

.5

eA

t

0例題分析例7-3-3

P153-154

三要素法

用電荷守恒參見例7-1-3例7-3-4

P154-155uc(0+)

uc(0-)

電容電壓跳變及電荷守恒C

u (

0

)

C

u1 c

1

2

c2(

0

)

C

u1 c

1(

)

C

u (

)2

c2t

KVLuc1

(

)

uc

2

(

)uc1

(

0

)

3V上頁下頁34uc2

(

0

)

01 c

1

2 c

2

(

0

)

C

u (

0 )

C

u (

0

)C

u (

0

)

C

u1 c

1

2 c

2t

KVLuc2

(

0

)

uc1

(

0

)

12t

0

KVL

RCequc1

(

)

12Vuc2

(

)

0

C1

//

C2

1

2

3FCeqN0++U-SiSu-CC已知兩電源共同作用下的全響應：u =[100

–

60e-0.1t+40

2

sin(t+45o)]

VuC=(80

–40

2

sin45o)e-0.1t

+402

sin(t+45o)

VuC=40e-0.1t

+402

sin(t+45o)

V35

ty(t)=[y(0+)

–yp(0+)]e

τ+yp(t)uC(0+)=100

–

60+40

2

sin45o

=80VuCi=80e-0.1tuC=[100

+

(80–100)e-0.1t]=100

–

20e-0.1t

V

tτ+

yp(t)(3)

y(t)=

ke例題分析isUs正弦電源直流電源求零輸入響應；求is=0時的全響應；求us=0時的全響應。C保持uc(0)不變,求367.4

二階電路7.4.1

二階電路的零輸入響應LC C

RC C

uC

0d2udu已知：

uC(0-)=U0

iL(0-)=0以電容電壓為變量：電路方程：RiL

uL

uC

0L

Li

C

duC

u

L

diLdtdt初始條件：

uC(0+)=U0C

Ct

0dt

2

dtduC

ic

(0+

)

iL

(0+

)

=0dt特征方程：

LCp2

RCp

1

0R22LR

4L

/

Cp

21RR2L2L

LC

(

)

特征根：012LLC令：

R

，

02p

2RLC-iL+uC~

頁 下頁7.4.1

二階電路的零輸入響應1,2012L(

R

)22L

LCp

R

2

2特征根：LCR

2過阻尼情況臨界阻尼欠阻尼情況零狀態(tài)響應的三種情況(1)0

u

(t)

k

e

p1t

k

e

p2tp1

,p1為不相等的實根c

1

2LCR

2(2)0

p1

,p1為不相等共軛復數(shù)cd22d

0t

t

)其中:

L上頁下頁37CR＝2(3)0＝1

1p

,p

為相等的實數(shù)u

(t)

(k

t

k

)etc

1

2方程解的形式:方程解的形式:

u

(t)

Ke

sin(方程解的形式:LC(1)

R

2u

(t)

K

ep1t

K

ep2tC

1

2C

u

(0 )

U0

K1

K2

U0(0

)

p1K1

p2

K2

0duCdt

K1U

0p2p2

p1

p

1

U

0

K2p2

p11

22

1CU

0(

p

e

p

t

p

e

p

t

)p2

p1u（

t）L

CU

0(e

p

t12

e

p

t

)i

i

C

duC

dt L(

p2

p1

)1

2上頁下頁381

2LuU0(

p

e

pt

p

e

p

t

)

L

diLdt

(

p2

p1)7.4.1

二階電路的零輸入響應方程的通解:能量轉換關系0

<

t

<

tmuC

減小，i

增加。t

>tmuC減小，i

減小。tU0uCtm2tmuLiCORLC+-RLC+-7.4.1

二階電路的零輸入響應上頁下頁39(2)

R

2uC

的解答形式：經常寫為：u

Ket

sin(

t

)C

d共軛復根2

K

e

jdt

)u

K

e

p1t

K

e

p2t

et

(K

e

jdtC

1

2

10d2（

L

p

2－2

j0Cd

2）C

0

0u

(0

)

U

K

sin

UduC(0

)

0

K

()

sin

K

cos

0

dt0dt0sin(d

t

)uC（t）

U

eωdω0ω，ω０，的關系上頁下頁407.4.1

二階電路的零輸入響應iL0t0.5TTuCU00d0U

e-tU0

e-tLd欠阻尼情況（振蕩性放電）7.4.1

二階電路的零輸入響應LC(2)

R

200

dd2（

p

2－2

jC

0ddu（t）

0

U

et

sin(

t

)dLdi

U

0e

t

sin(

t

)

LL

0上頁下頁41ddu

0

U

et

sin(

t

)

2）

欠阻尼情況（振蕩性放電）uL-U0iLuC0t0.5TTU0t1

t2欠阻尼情況（振蕩性放電）能量交換情況(0

t

t1)RLC++u-Li

-

uC(t1

t

t2)RLC++-uLi

-

uC2(t

t

0.5T)RLC++-uL-

uCiC(2)

R

20

d7.4.1

二階電路的零輸入響應L

2

2d

02（

p

－

j

2）~頁2下頁特例：R=0

時1，

π2LC

0

，d

0

Lu

U

sin(

t

90

)

uC

0

di

U

0sin(d

t)d

L等幅振蕩tOL+C-7.4.1

二階電路的零輸入響應上頁下頁43LC(3)

R

21

22Lp

p

R

K

t)etuC

(K12120

1

0(0

)

0

K

()

K

0uC

(0 )

U

K

U

dtduC

K

U1

0K

2

U0相等負實根C上頁下頁44L

0u

U

e

t

(1

t)C

0

U0

te

ti

C

duCdt

Lu

L

di

U

e

t

(1

t)dt7.4.1

二階電路的零輸入響應45LCR

2LCR

2LCR

2

t12

K

K

t

e

uCp定常數(shù)duC

(0

)dt可推廣應用于一般二階電路小結過阻尼情況臨界阻尼欠阻尼情況~

頁 下頁由初始條件方程解的形式:uC

(t

)

K1e1p

t

K

e

u2p

t2Cp方程解的形式:

uC

t方程解的形式:

uC

Ke

sin(d

t

)

uCp

uC(0)46例7.4.1.

電路如圖，t=0

時打開開關。求uC并畫出其變化曲線。.5Ω10Ω10Ω50V+100μF

-+

-0.5Hvc

iLt=0i

(0-)=5As1,2

25

j139duddtdt

dt[C c

]

25C c

uc

0(3)

0.5cu

Ke25t

sin(

139t

)L(2)

uc(0+)=25V20Ω

t=0-5Ω20Ω10Ω10Ω50V+

-iL+uC-解:(1)

uc(0-)=25ViC(0+)=

-iL(0+)=

-5A20Ω10Ω10Ω-+25V5AiCt=0+10Ω10Ω-+20Ωv

CLCt

>0iL7.4.1

二階電路的零輸入響應dvdt

duci

(0

) c

(0

)

c

5

104t=0+~

頁 下頁d

2

ududts+106=0dt

250s250 c

2500

c

106

uc

047cu

Ke25

t

sin(

139t

)

K

sin

25139K

cos

25

K

sin

5

104K

358，

176Dcu

358e25

t

sin(

139t

176D

)V t

0cdt(4)

u

(

0

)

25

duc

5

104d

tuC358250~

頁 下頁481例:+-1F11Fu0-++

0.5-5(t)

d

du2(u1–5)

+

(u1

–

u0)

+

dt

(u1

–

u0)=0(u0-u1)

+

dt

0

=0u0(0+)=0dt+du0

(0

)=0d2u0

du0dt2+

3

dt

+

2u0

=10（t0）例題分析u0(t)=(–10e-t

+

5e–2t

+5)

(t)u

(t

)

k

et

k

e2t

5o

1

2p2

3

p

2

0p1

1,

p2

2ou

()

5

uo

(0)

k1

k2

5

0

du o

(0)

k

2k

0

1

2

dtdy

(0

)上頁下頁49dt3.求二階電路全響應的步驟①列寫t

>0+電路的微分方程。②求齊次方程的通解。③求非齊次方程的特解。④全響應=齊次方程的通解+非齊次方程的特解y(0

)⑤由初始值定常數(shù)。7.4.2

二階電路的零狀態(tài)響應與全