線性代數(shù)方程組的迭代解法

關(guān)于線性代數(shù)方程組的迭代解法第1頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法設(shè)方程組將系數(shù)矩陣分裂為：其中第2頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五如果原方程組可化為其中相應(yīng)的迭代格式上述方法稱為Jacobi迭代法，簡(jiǎn)稱J法或簡(jiǎn)單迭代法分量形式：第3頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一種改進(jìn)在J迭代公式中，計(jì)算時(shí)，利用已經(jīng)算出來(lái)的新的值，從而得到G-S迭代法。G-S迭代法的分量形式：第4頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程組解：Jacobi迭代格式第5頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五G-S迭代格式計(jì)算結(jié)果取初值Jacobi迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程組的近似解第6頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五G-S迭代法的迭代矩陣：計(jì)算結(jié)果Gauss-Seidel迭代法

要求精度迭代次數(shù)

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程組的近似解取初值由迭代公式迭代矩陣第7頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五三、Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收斂性Jacobi迭代法收斂的充要條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件是推論1：Jacobi迭代法收斂的充分條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是

如例1：利用J和G-S迭代法求解方程組第8頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五Jacobi迭代矩陣系數(shù)矩陣第9頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五Gauss-Seidel迭代矩陣第10頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五設(shè)滿足稱為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣如果且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱為弱對(duì)角占優(yōu)矩陣。設(shè)，如果能找到排列陣，使得其中與均為方陣，稱為可約的否則稱為不可約的第11頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五例如：矩陣是可約的若系數(shù)矩陣是可約的，則可通過(guò)行與列重排化為（*）式，從而可以將方程組簡(jiǎn)化為低階方程組。第12頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五（補(bǔ)充:可約矩陣的等價(jià)定義）是可約矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)下標(biāo)的非空子集，使得例如：矩陣矩陣不可約第13頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五如果嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則，且非奇異。如果不可約且弱對(duì)角占優(yōu)，則，且非奇異。自己看證明：首先證明設(shè)由條件：是弱對(duì)角占優(yōu)，交換的第k、n行與k、n列，則矩陣變?yōu)榕c不可約矛盾！第14頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五其次證明是非奇異的設(shè)則存在非零向量滿足定義下標(biāo)的集合且令對(duì)某個(gè)j顯然J非空，否則第15頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五對(duì)，有由此可知，當(dāng)時(shí)，但對(duì)于都有所以否則與弱對(duì)角占優(yōu)矛盾！與不可約矛盾第16頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五如果為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或?yàn)椴豢杉s且弱對(duì)角占優(yōu)矩陣，則求解方程組的J法和G-S法均收斂。證明：僅給出不可約且弱對(duì)角占優(yōu)矩陣G-S法的證明只要證明，其中設(shè)有一個(gè)特征值，滿足，且有

是不可約且弱對(duì)角占優(yōu)矩陣，由定理6.8：第17頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五因此注意到和的零元素和非零元素的位置完全一樣，故是不可約也是弱對(duì)角占優(yōu)矩陣矛盾！如果為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，易證其中為J法的迭代矩陣第18頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五如果是對(duì)稱矩陣，且有正的對(duì)角元，則求解方程組的J法收斂的充要條件是矩陣和均為正定的，其中證明：記其中迭代矩陣矩陣和相似，故有相同的特征值；且、、對(duì)稱第19頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五必要性設(shè)J法收斂，則記的特征值為，則的特征值為所以是對(duì)稱正定的。對(duì)而矩陣是對(duì)稱正定的同理可證第20頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五矩陣的正特征值均小于1充分性因?yàn)檎?，所以也是正定矩陣，且其特征值全部大于零。所以的特征值均小?矩陣和相似，故有相同的特征值，且特征值均小于1。第21頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五如果是對(duì)稱正定矩陣，則求解方程組的G-S法收斂。證明見(jiàn)定理6.13注：如果是對(duì)稱正定矩陣，則求解方程組的G-S法收斂，而J法不一定收斂。例2：判定用J法和G-S法求解下列方程組的收斂性：第22頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)39分，星期五解：是正定矩陣所以G-S法收斂；J法的迭代矩陣為