線性代數(shù)工業(yè)

定義：含有

n

個(gè)變量

x1

,

x2

,

…,

xn

的二次齊次函數(shù)稱為二次型．本書僅 實(shí)二次型.1

2

n

11

122

2

nn

nx2

x2x22a12

x1

x2

2a13

x1

x3f

(

x

,

x

,

L

,

x

)

a

a

L

a

L

2an1,n

xn1

xn22

2nn

nnx22a12

x1

x2

2a13

x1

x3f

(

x

,

x

,

L

,

x

)

ax2

a1

2

n

11

1x2

L

a

L

2an1,n

xn1

xn令aij

=aji，則2

aij

xi

xj

=aij

xi

xj

+aji

xi

xj

，于是f

(

x1

,

x2

,

L

,

xn

)

x1(a11

x1

a12

x2

L

a1n

xn

)221

122

21

2

n

a11

x1

a12

x2

ax

2n n

ax

n1

1

n2

2nn n

x2

(a21

x1

a22

x2

L

a2n

xn

)L

xn

(an1

x1

an2

x2

L

ann

xn

)L

a1n

xnx

a

x

L

a

(

x

,

x

,

L

,

x

)

Mx

a

x

L

a21221

2

n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

nn

n

La

L

a

(

x

,

x

,

L

,

x

)

M

aMa

n1

n2M

ML

xT

Ax對稱陣21221

2

n

1

2

n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

nn

n

La

L

af

(

x

,

x

,

L

,

x

)

(

x

,

x

,

L

,

x

)

M

aMa

n1

n2M

ML2122n

2

a11

a12a1

n

aA

a

n

1La

L

aM

M2

n

M

nn

a

L

a對稱陣A

的秩也叫做二次型f的秩．線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.對稱陣的二次型二次型的矩陣寫成矩陣形式，并求秩．(2)求出與矩陣對應(yīng)的二次型.3A

0

1

0

00

12

0

1

0

2 4

3

45

例(1)把二次型f

(

x,

y,

z)

x2

2xy

4

xz

3

y2

yz

5z2對于二次型，尋找可逆的線性變換

x1

c11

y1

c12

y2

L

c1n

yn

,使二次型只含平方項(xiàng)，即f

=

k1

y12

+

k2

y22

+

…

+

kn

yn2定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.說明：這里只 實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍.2

21

1

22

2

2n

n

x

n

cn1

y1

cm

2

y2

x

c

y

c

y

L

c

y

,L

L

L

L

L

L

L

L

Ln

L

y

.簡記為x

=C

y

，于是

f

=

xTAx=

(C

y)T

A

(Cy)=

yT

(CTAC)

y定義：設(shè)A,B

都是n

階矩陣，若有可逆矩陣P滿足P

?1AP

=B

，則稱矩陣A和B

相似．定義：設(shè)A,B

都是n

階矩陣，若有可逆矩陣C

滿足CTAC

=

B

，則稱矩陣A

和B

合同．顯然，BT

=

(CTAC)T

=

CTAT

(CT)T

=

CTAC

=

B即若A

為對稱陣，則B

也為對稱陣．R(B)

=

R(A)

．經(jīng)過可逆變換后，二次型f

的矩陣由A

變?yōu)榕cA

合同的矩陣CTAC，且二次型的秩不變．若二次型

f

經(jīng)過可逆變換

x

=

C

y

變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即f

xT

Ax問題：對于對稱陣A，尋找可逆矩陣C，使CTAC

為對角陣,（把對稱陣合同對角化）．定義：如果n

階矩陣A

滿足ATA

=E，即A?1

=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡稱正交陣．定理：設(shè)A

為n

階對稱陣，則必有正交陣P，使得P

?1AP

=PTAP

=

，其中

是以A

的n

個(gè)特征值為對角元的對角陣（不唯一）.定理：任給二次型f

(x)=xTAx

（其中A

=AT），總存在正交變換x=P

y

，使f

化為標(biāo)準(zhǔn)形1

1

2

2

n

nf

(P

y)

=

y

2

+

y

2

+

…+

y

2其中1

,2

,…,n

是f

的矩陣A

的特征值．用正交變換化二次型為

的基本步驟：(1)

A

E

0,

求出特征值1，L，n;正交化(2)求出(A-i

E)X=0

的基礎(chǔ)解系，并；(3)用上述正交化得到的列向量構(gòu)成矩陣P，則X=Py將二次型化為。例求正交變換X=PY，把二次型f

2x1

x2

2x1

x3

2x2

x3化為

。例二次型，求a,b及所通過正交變換X=PY化為用的正交變換。f

(

x

,

x

,

x

)

ax2

3x2

3x2

4

x

x1

2

3

1

2

3

2

3f

y2

2

y2

by21

2

3例方程5

x2

5

y2

3z2

2xy

6

xz

6

yz

1表示什么形狀的二次曲面。用日配方法化二次型為?！?

正定二次型定理

設(shè)有實(shí)二次型

f =

xTAx, 它的秩為r

,有兩個(gè)實(shí)的可逆變換x=Cy

及x

=Pzf

=

k11y12

+

k

y

2

+

···1

2

2r

r使+k

y

2

(k

0),r

rf

=

1z12

+

2z22

+

···+

z

2i(i

0),中正數(shù)的個(gè)數(shù)與

1

,及

1

1

2

2則

k1

,

k2

,

···

,

kr2

,

···

,

r中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.一、慣性定理這個(gè)定理稱為慣性定理,

這里不予證明.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)p稱為二次型的正慣性指數(shù)，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)q稱為負(fù)慣性指數(shù),他們的差p-q稱為符號(hào)差.若二次型f

的正慣性指數(shù)為p，秩為r,則f

的規(guī)范形便可確定為f

=

y12

+

··· +

yp2

–

yp+12

–

··· –

yn2

.定義：若二次型的 中平方項(xiàng)的系數(shù)只是1，-1,0，則稱該

為二次型的規(guī)范型。r

p

EpE定理：任意二次型都可用可逆線性變換化為規(guī)范型，且規(guī)范型唯一。定理：任意n階實(shí)對稱陣A合同于對角陣，O

其中r=R(A),p為正特征值個(gè)數(shù)。定義

10設(shè)有實(shí)二次型f(x)=xTAx,如果對任

x

0,都有

f(x)>0(顯然

f(0)=0),則稱

f為正定二次型,并稱對稱矩陣A

是正定的;如果對任何x

0

都有f(x)<0,則稱

f

為負(fù)定二次型,并稱對稱矩陣A

是負(fù)定的.二、正定二次型的定義例判斷下列二次型是否正定f

x2

x2

x21

1

2

3f

2x2

x22

1

3f

2x2

x2

x23

1

2

3例正定矩陣的主對角線上元素都大于零。f

xT

Ax正定，取x

e

(

0

,

L,

0,1,

0,L0)Ti定理：n元二次型正定的充要條件是正慣性指數(shù)等于n。推論：實(shí)對稱陣正定的充要條件是特征值全為正數(shù)。

推論：實(shí)對稱陣A正定的充要條件是A與單位陣合同。推論：若A正定，則A的行列式大于零。例設(shè)A為正定陣，證明A

E

1A的特征值全大于零，設(shè)為1，L，n