必修二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題-空間幾何角及距離地計(jì)算

必修二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題——空間幾何角及距離地計(jì)算..必修二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題——空間幾何角及距離地計(jì)算..13/13必修二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題——空間幾何角及距離地計(jì)算..標(biāo)準(zhǔn)合用立體幾何專題：空間角和距離的計(jì)算一線線角01．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=90，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成角的余弦值。B1C1D1F11BCA02．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD與底面成300角，（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求異面直線AE與CD所成角的大??；PEBCAD二．線面角1．正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)分別為BB、CD的中點(diǎn)，且正方體的棱長為2，（1）求直11111線DF和AB和所成的角；（2）求DF與平面AED所成的角。11D1C1A1B1DFECAB2．在三棱柱ABC-ABC中，四邊形AABB是菱形，四邊形BCCB是矩形，CB⊥AB，AB=4，111111111C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1與平面BCC1B1所成角的大小。B1C1A1BC三．二面角A文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，（1）證明AB1∥平面DBC1；（2）設(shè)AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角的大小。B1C11BCDA02．ABCD是直角梯形，∠ABC=90，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，，（1）求面SCD與面SBA所成的二面角的大??；（2）求SC與面ABCD所成的角。SADBC3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠00A1AC=60，∠A1AB=45，求二面角B—AA1—C的大小。B1C1A1BCA四空間距離計(jì)算（點(diǎn)到點(diǎn)、異面直線間距離）1.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中點(diǎn)，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求證：MN上異面直線AC和BC1的公垂線；（2）求異面直線AC和BC1間的距離；11A1B1DNCMP（點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離）2．點(diǎn)P為矩形ABCD所AB文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用在平面外一點(diǎn)，PA⊥面ABCD，Q為線段AP的中點(diǎn)，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）點(diǎn)Q到直線BD的距離；（2）點(diǎn)P到平面BDQ的距離；03．邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=60，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求E到平面PBC的距離。（線到面、面到面的距離）4.已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠0ABC=90，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，（1）求側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大??；（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大??；（3）求側(cè)棱B1B和側(cè)面A1ACC1距離；B1C1A1BCA5．正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，點(diǎn)M在AC上搬動，點(diǎn)N在BF上搬動，若CM=NB=a（0a2），（1）求MN的長；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最??；立體幾何中的向量問題空間角與距離基礎(chǔ)自測1.已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0），n=（0，1，1），則兩平面所成的二面角為.文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用答案45°或135°2.二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則該二面角的大小為.答案60°以下列圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD所成角的余弦值等于.11答案1554.以下列圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCO—A′B′C′D′，A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為.答案2a25.（2008·福建理，6）以下列圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.答案105例1（2008·海南理，18）以下列圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.求DP與CC′所成角的大小;求DP與平面AA′D′D所成角的大小.解以下列圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.則DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.設(shè)DH=(m,m,1)(m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°,由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH,DA〉,可得2m=2m21.解得m=2,所以DH=（2,2,1）.222202011(1)由于cos〈DH,CC〉=222,=122所以〈DH,CC〉=45°,即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是DC=(0,1,0).文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用2021101,由于cos〈DH,DC〉=22=122所以〈DH,DC〉=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.例2在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，以下列圖.求點(diǎn)B到平面CMN的距離.解取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.以下列圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M（1，3，0），N（0，3，2）.∴CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）.設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則CMn3x3y0，取z=1，MNn-x2z0則x=2,y=-6,∴n=（2，-6，1）.nMB∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d=42.n3例3（16分）以下列圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上搬動.1）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的地址關(guān)系，并說明原由；2）求證：無論點(diǎn)E在BC邊的哪處，都有PE⊥AF；3）當(dāng)BE為何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°.1）解當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，∴EF∥PC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC.4分2）證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系則P（0，0，1），B（0，1，0），文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用F（0，1，1），D（3，0，0）.2設(shè)BE=x，則E（x，1，0），11PE·AF=（x，1，-1）·（0，，）=0，∴PE⊥AF.10分3）解設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）mPD01,1x12分由，得m=,1.mPE033而AP=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°,∴sin45°=2mAP=，2mAP∴1=1,14分1x221133得BE=x=3-2或BE=x=3+2＞3（舍去）.故BE=3-2時(shí)，PA與平面PDE所成角為45°.16分以下列圖，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD.1）求二面角B-AD-F的大??；2）求直線BD與EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD與兩圓所在的平面均垂直，AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依題意可知，ABFC是正方形，∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小為45°;（2）以O(shè)為原點(diǎn)，CB、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（以下列圖），則O（0，0，0），A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，32，0），∴BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用cos〈BD,EF〉=BDEF=01864=-82.BDEF1008210設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則cos=|cos〈BD,EF〉|=82.10即直線BD與EF所成的角的余弦值為82.102.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長為22，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn).1）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；2）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離.1）證明建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（22，22，0），E（22，2，0），F(xiàn)（2，22，0），D1（0，0，4），B1（22，22，4）.EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），DD1=（0，0，4），EF·BD=0，EF·DD1=0.EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知D1B1=（22，22，0），EF=（-2，2，0），BE=（0，-2，-4）.1設(shè)平面B1EF的法向量為n,且n=(x,y,z)則n⊥EF,n⊥B1E即n·EF=（x，y，z）·（-2，2，0）=-2x+2y=0，n·B1E=（x，y，z）·（0，-2，-4）=-2y-4z=0，令x=1,則y=1,z=-2,∴n=(1,1,-2)44∴D1到平面B1EF的距離DBn2222==1617.d=n121222174以下列圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).1）求直線AC與PB所成角的余弦值；2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用解方法一（1）建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、1E(0，，1)，從而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.設(shè)AC與PB的夾角為，則cos=ACPB=3=37，ACPB2714AC與PB所成角的余弦值為37.14（2）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x,0,z）,則NE=（-x，1，1-z），由NE⊥平面PAC可2得x,1z(0,0,2)00，即,1NEAP2,NEAC0x,1z(3,1,0)0,12化簡得z10,∴x31603xz12即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0，1），從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，3.66方法二（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，AE，BD，則OE∥PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.在△AOE中，AO=1，OE=1PB=7，AE=1PD=5，2222∴由余弦定理得751437,cos∠EOA=471412即AC與PB所成角的余弦值為37.14(2)在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=.連接PF,則在Rt△ADF中,6DF=AD=23,cosADF3文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用3AF=AD·tan∠ADF=.設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連接NE，則NE∥DF.DF⊥AC，DF⊥PA，DF⊥平面PAC，從而NE⊥平面PAC.N點(diǎn)到AB的距離為1AP=1，2N點(diǎn)到AP的距離為1AF=3.26一、填空題1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則sin〈DB1,CM〉的值等于.答案210152.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為.答案24（2008·全國Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于.答案23是二面角—AB—棱上的一點(diǎn)，分別在、平面上引射線PM、PN，若是∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角—AB—的大小為.答案90°5.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為.答案35106.以下列圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是.答案60°以下列圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為.答案45正四棱錐S—ABCD中,O為極點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是.答案30°二、解答題9.以下列圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).求AB與平面BDF所成角的正弦值.解以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）.BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）.設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=（2，a，b），n⊥DF，n⊥BD，∴

nDF0nBD0即(2,a,b)(1,2,0)0(2,a,b)(0,2,1)0解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與BA的夾角為-，2∴cos（-）=BAn2,0,02,1,2=2,=2BAn233即sin=2,故AB與平面BDF所成角的正弦值為2.3310.在五棱錐P—ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=DEA=90°.1）求證：PA⊥平面ABCDE；2）求二面角A—PD—E的余弦值.（1）證明以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AE、AP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0），AP·AB=0·2a+0·0+2a·0=0，AP⊥AB.同理AP⊥AE.又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.2）解設(shè)平面PAD的法向量為m=(1,y,z),則m·AD=0，得a+2ay=0，∴y=-1.2又m·AP=0，得2az=0，∴z=0.m=（1，-1，0）.2再設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,1,z),而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a），則n·ED=0，得ax=0，∴x=0.又n·PD=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.文案大全標(biāo)準(zhǔn)合用n=（0，1，1）.令二面角A—PD—E的平面角為，則cos=-mn=12=10，mn5104210故二面角A—PD—E的余弦值是.以下列圖，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC.（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大??；（2）當(dāng)k取何值時(shí)，二面角O—PC—B的大小為？3解∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，從而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，以O(shè)為原點(diǎn)，建立以下列圖空間直角坐標(biāo)系O—xyz.1）設(shè)AB=a，則PA=a，PO=2a，2A（2a，0，0），B（0，2a，0），22C（-2a，0，0），P（0，0，2a），22則D（-2a，0，2a）.44∵PA=(2a，0，-2a)，BD=(-2a，-2a，2a)，22424∴cos〈PA,BD〉=PABD=1a21a23,44=-PABD323a2則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為3.32）設(shè)AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，OB=(0，2a，0)為平面POC的一個(gè)法向量.2不如設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），∵A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(-2a，0，0)，P(0，0，h)，222∴BC=(-2a,-2a,0),PC=(-2a,0,-