計(jì)算機(jī)組成原理：4-4 數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算

復(fù)習(xí)思考題10對(duì)二進(jìn)制數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)右移1位，則數(shù)值乘以2;已知[X/2]補(bǔ)=C6H，設(shè)機(jī)器字長為8位，則[X]補(bǔ)=8CH

；若兩個(gè)數(shù)值位為n位長的定點(diǎn)數(shù)，采用原碼算法實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算，則乘積的數(shù)值有2n位，其符號(hào)位由異或運(yùn)算決定；第四章數(shù)值的機(jī)器運(yùn)算4.0邏輯電路基礎(chǔ)4.1基本算術(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)4.2定點(diǎn)加減運(yùn)算4.3帶符號(hào)數(shù)的移位和舍入操作4.4定點(diǎn)乘法運(yùn)算4.5定點(diǎn)除法運(yùn)算4.6規(guī)格化浮點(diǎn)運(yùn)算4.7十進(jìn)制加法器4.9運(yùn)算器和基本組成與實(shí)例補(bǔ)碼一位乘法算法流程圖

開始結(jié)束[zi]補(bǔ)+[X]補(bǔ)→[zi]補(bǔ)[zi]補(bǔ)+[-X]補(bǔ)→[zi]補(bǔ)[z]補(bǔ)=0,i=0YnYn+1=?[zi]補(bǔ)不變i=n+1？[zi]補(bǔ),Y右移一位，i=i+1011000或11YN重復(fù)n+1步，但最后一步不移位被乘數(shù)和符號(hào)(雙符號(hào))和乘數(shù)(單符號(hào))參加運(yùn)算部分積初值為0(雙符號(hào))乘數(shù)末尾附加一個(gè)0(Yn+1=0)所得乘積是2n+1位

00.00000.10110Yn+1=0+00.1101YnYn+1=10,加[-X]補(bǔ)

00.110100.0110101011右移一位+00.0000YnYn+1=11,加000.011000.00110

10101右移一位+11.0011YnYn+1=01,加[X]補(bǔ)

11.011011.1011001010右移一位+00.1101YnYn+1=10,加[-X]補(bǔ)

00.100000.01000001

01右移一位+11.0011YnYn+1=01,加[X]補(bǔ)

11.01110001

10最后一位不移位[P106例4-9][X]補(bǔ)=11.0011,[Y]補(bǔ)=0.1011,求[X·Y]補(bǔ)=？部分積

乘數(shù)YnYn+1說明[-X]補(bǔ)=00.1101[X·Y]補(bǔ)=1.01110001X·Y=-0.10001111補(bǔ)碼一位乘邏輯原理圖

R0→

R1→YnYn+1R2

計(jì)數(shù)器i

部分積z

被乘數(shù)X乘數(shù)Y

+1LDR0LDR1

T1,T2,…+1

Ti

QQ加法器RS啟動(dòng)CXf

+-Yn+1YnYn+1Yn多路開關(guān)原反1001QQ&&&被乘數(shù)寄存器R2的每位用原碼(觸發(fā)器Q端)或反碼(觸發(fā)器非Q端)經(jīng)多路開關(guān)送出；送[-X]補(bǔ)時(shí),即送R2反碼且在加法器最末位加1串行乘法器的優(yōu)劣分析?不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單；?速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時(shí)間至少是加法操作的n倍；由于乘法操作大約占全部算術(shù)運(yùn)算的1/3，故采用高速乘法部件是非常必要的。

4.4.4

陣列乘法器am-1am-2···

a1a0

)

bn-1···

b1b0

am-1b0am-2b0···

a1b0a0b0am-1b1am-2b1···

a1b1a0b1......+)am-1bn-1am-2bn-1

···a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3···

pn-1···p1p0手工方法運(yùn)算過程陣列乘法器——

是資源的重復(fù)設(shè)置，依靠器件的數(shù)量去換取運(yùn)算速度盡管器件數(shù)量大，但結(jié)構(gòu)十分規(guī)整，易于IC實(shí)現(xiàn)主要用于并行流水線運(yùn)算器等追求高運(yùn)算速度的場(chǎng)合。被除數(shù)X，其原碼為[X]原＝Xf.Xn－1…X1X0除數(shù)Y，其原碼為[Y]原＝Y(jié)f.Yn－1…Y1Y0

則有商Q＝X/Y,其原碼為[Q]原＝(Xf⊕Yf)+(0.Xn－1…X1X0/0.Yn－1…Y1Y0)商的符號(hào)運(yùn)算Qf＝Xf⊕Yf與原碼乘法一樣;商的數(shù)值部分的運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)正數(shù)求商的運(yùn)算。4.5.1

原碼一位除法設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)：4.5定點(diǎn)除法運(yùn)算1.手算運(yùn)算步驟設(shè)X=0.1001,Y=0.1011,仿十進(jìn)制除法運(yùn)算,手算求X÷Y的過程

0.1101

商Q

0.1011

0.10010

X(R0)

X小于Y，商0

－0.01011

2－1YY右移1位,-Y,商1

0.001110

R1得余數(shù)R1

－0.0

01011

2－2YY右移1位,-Y,商1

0.0000110

R2

得余數(shù)R2

－0.0

000000

2－3YY右移1位,不減Y,商0

0.00001100

R3

得余數(shù)R3

－0.0

0001011

2－4YY右移1位,-Y,商1

0.00000001

R4得余數(shù)R4得X÷Y的商Q＝0.1101,余數(shù)為R＝0.00000001。原碼除法運(yùn)算

結(jié)果與手算相同，但余數(shù)不是真正的余數(shù)，多乘了2n，故正確的余數(shù)應(yīng)為2-n×Rn，即：0.0000000100.0001第四次余數(shù)R4

01.0010被除數(shù)左移一位，2X>Y，商1+11.0101+[-Y]補(bǔ)00.0111第一次余數(shù)R1

00.1110R1左移一位，2R1>Y，商1+11.0101減Y00.0011第二次余數(shù)R2

00.0110R2左移一位，2R2<Y，商0

00.1100R3左移一位，2R3=4R2>Y，商1+11.0101減Y00.101100.1001X<Y，商000.1101原碼除法運(yùn)算1——比較法它類似于手工運(yùn)算，為便于機(jī)器實(shí)現(xiàn)，將除數(shù)右移改為余數(shù)左移。還要設(shè)置比較線路，從而增加硬件代價(jià)。X=0.1001Y=0.1011[-Y]補(bǔ)=1.0101

0.1101

0.1011

0.10010

－0.01011

0.001110

－0.0

01011

0.0000110

－0.0

000000

0.00001100

－0.0

0001011

0.00000001

原碼除法運(yùn)算2——恢復(fù)余數(shù)法它直接作減法來試探——若余數(shù)為正，表示夠減，該位商上“1”；若余數(shù)為負(fù)，表示不夠減，該位商上“0”，并要恢復(fù)原來的被除數(shù)（或余數(shù)）。恢復(fù)余數(shù)法由于要恢復(fù)余數(shù)，使得除法的步數(shù)不固定，控制比較復(fù)雜。因此，原碼恢復(fù)余數(shù)法在計(jì)算機(jī)中一般很少采用。0→CnA+B→A1→CnA＜0?A-B→AYN[X]補(bǔ)→A,[Y]補(bǔ)→B，0→C原碼除法運(yùn)算3——加減交替法若第i-1次求商的余數(shù)為Ri-1，則第i次求商操作為：

Ri=2Ri-1-Y若夠減，Ri=2Ri-1-Y＞0，商Qi=1。若不夠減，Ri=2Ri-1-Y＜0，商Qi=0，恢復(fù)余數(shù)后，Ri’=Ri+Y=2Ri-1，然后再左移一位，進(jìn)行第i+1次操作：

Ri+1=2Ri’-Y=2(Ri+Y)-Y=2Ri+2Y-Y=2Ri+Y上式表明，當(dāng)出現(xiàn)不夠減（負(fù)余數(shù)）的情況下并不需要恢復(fù)余數(shù)，可以直接做下一次操作，但操作是2Ri+Y，其結(jié)果與恢復(fù)余數(shù)后左移一位再減Y等效。

Ri+1=2Ri+(1-2Qi)×Y(Qi=0,1)補(bǔ)碼除法運(yùn)算——加減交替法補(bǔ)碼除法的被除數(shù)X、除數(shù)Y用補(bǔ)碼表示，符號(hào)位和數(shù)位一起參與運(yùn)算，商的符號(hào)位與數(shù)位由統(tǒng)一的算法求得。運(yùn)算規(guī)則1.若被除數(shù)X與除數(shù)Y同號(hào)，被除數(shù)X減去除數(shù)Y；若被除數(shù)X與除數(shù)Y異號(hào)，被除數(shù)X加上除數(shù)Y。余數(shù)R和除數(shù)Y同號(hào),商1,余數(shù)R左移一位,下次減除數(shù)Y

余數(shù)R和除數(shù)Y異號(hào),商0,余數(shù)R左移一位,下次加除數(shù)Y。重復(fù)步驟(2)，連同符號(hào)位在內(nèi)，共做n+1步。商的末位恒置1若商的數(shù)值位為n位，則運(yùn)算的最大誤差為2-n。補(bǔ)碼加減交替除法規(guī)則：[X]補(bǔ)÷[Y]補(bǔ)[X]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)第一次操作[Ri]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)上商求新余數(shù)[Ri+1]補(bǔ)的操作同號(hào)[X]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)①同號(hào)（夠減）1[Ri+1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)②異號(hào)（不夠減）0[Ri+1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)異號(hào)[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)①同號(hào)（不夠減）1[Ri+1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)-[Y]補(bǔ)②異號(hào)（夠減）0[Ri+1]補(bǔ)=2[Ri]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)00.1000

[X]補(bǔ),[Y]補(bǔ)異號(hào)，+[Y]補(bǔ)

+[Y]補(bǔ)

11.011011.1110[Ri]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)同號(hào)

11.11001.左移一位，商1

+[-Y]補(bǔ)

00.1010+[-Y]補(bǔ)

00.0110[Ri]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)異號(hào)

00.11001.0左移一位，

商0

+[Y]補(bǔ)

11.0110+[Y]補(bǔ)

00.0010[Ri]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)異號(hào)

00.0100

1.00左移一位，商0

+[Y]補(bǔ)

11.0110+[Y]補(bǔ)

11.1010[Ri]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)同號(hào)

11.0100

1.001左移一位，商1

+[-Y]補(bǔ)

00.1010+[-Y]補(bǔ)

11.11101.0011

商末位恒置1,[Ri]余數(shù)不左移

被除數(shù)X/余數(shù)R商Q說明[X]補(bǔ)=0.1000[Y]補(bǔ)=11.0110[-Y]補(bǔ)=00.1010[P116例4-13]X=0.1000,Y=-0.1010,求X÷Y。[P116例4-13]X=0.1000,Y=-0.1010,求X÷Y。[商]補(bǔ)=1.0011[余數(shù)]補(bǔ)=1.11102-4∴商=-0.1101

余數(shù)=-0.00102-41.11102-41.0110[X÷Y]補(bǔ)=1.0011+-0.00102-4-0.1010X÷Y=-0.1101+補(bǔ)碼加減交替除法算法流程圖[X]補(bǔ)→A,[Y]補(bǔ)→B0→C,0→CR0→Cn2A+B→A2C→C1→Cn2A-B→A2C→CCR+1→CRCR=n?EndN.1→CnYAs

Bs=0?A+B→AA-B→ANYAsBs=0?NY.4.6

規(guī)格化浮點(diǎn)運(yùn)算

4.6.1浮點(diǎn)加減運(yùn)算設(shè)兩個(gè)非0的規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)分別為：

A=MA×2EA

,

B=MB×2EB

A±B=(MA,EA)±(MB,EB)浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算步驟：（1）對(duì)階（2）尾數(shù)加減（3）尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化（4）舍入處理（5）溢出判斷在對(duì)階和尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化的過程中，尾數(shù)的低位部分可能會(huì)丟失，從而造成一定的誤差?！扒袛唷?、“0舍1入”法，“恒置1”法例:設(shè)x＝2010×(+0.11011011),y＝2100×(-0.10101100),求x+y解：設(shè)以補(bǔ)碼表示，階碼5位、尾數(shù)10位均采用雙符號(hào)位表示

[x]?。?001000.11011011

[y]?。?010011.01010100 ①對(duì)階浮點(diǎn)加減法運(yùn)算

使二數(shù)階碼相同（即小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊），這個(gè)過程叫作對(duì)階先求兩數(shù)階碼Ex和Ey之差，即△E=Ex－Ey

若△E=0，表示

Ex=Ey

若△E>0,Ex>Ey

若△E<0,Ex<Ey通過尾數(shù)的移動(dòng)來改變Ex或Ey，使其相等.小階向大階看齊；小階的尾數(shù)右移，每右移一位，其階碼加1對(duì)階原則 [x]浮＝0001000.11011011

[y]?。?010011.01010100 ①對(duì)階 △E＝Ex－Ey

＝[Ex]補(bǔ)＋[-Ey]補(bǔ)

＝00010＋11100

＝(11110)補(bǔ)＝(-2)10 x的階碼小，應(yīng)使Mx右移2位，Ex加2 ∴[x]?。?010000.00110110(11)

其中(11)表示Mx右移2位后移出的最低兩位數(shù)。浮點(diǎn)加減法運(yùn)算“切斷”的方法浮點(diǎn)加減法運(yùn)算

[x]浮＝0010000.00110110 [y]浮＝0010011.01010100②尾數(shù)加減

00.00110110

＋ 11.01010100 11.10001010 ∴x+y＝0010011.10001010無論加法運(yùn)算還是減法運(yùn)算，都按加法進(jìn)行操作浮點(diǎn)加減法運(yùn)算

尾數(shù)相加得：x+y＝0010011.10001010 ③尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化

尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果處理操作00.1xxxxxxx尾數(shù)已為規(guī)格化數(shù)，無需處理11.0xxxxxxx00.0xxxxxxx左規(guī)——尾數(shù)每左移一位，階碼相應(yīng)減1，直至成為規(guī)格化數(shù)為止。11.1xxxxxxx01.xxxxxxxx在定點(diǎn)加減運(yùn)算為溢出；但在浮點(diǎn)加減運(yùn)算中，只表明此時(shí)尾數(shù)的絕對(duì)值大于1，而并非真正的溢出。右規(guī)——尾數(shù)運(yùn)算的結(jié)果右移一位,階碼加110.xxxxxxxxx+y＝00

01111.00010100浮點(diǎn)加減法運(yùn)算x+y＝0001111.00010100④舍入在對(duì)階和向右規(guī)格化的過程中，尾數(shù)的低位部分可能會(huì)丟失，從而造成一定的誤差舍入處理切斷法“0舍1入”法“恒置1”法浮點(diǎn)加減法運(yùn)算

x+y＝0001111.00010100⑤溢出判斷尾數(shù)溢出尾數(shù)相加的溢出不是真正的溢出，可通過向右規(guī)格化作出調(diào)整階碼溢出——浮點(diǎn)數(shù)的溢出是以其階碼溢出表現(xiàn)出來的若階碼溢出，則要進(jìn)行相應(yīng)的處理。上溢——浮點(diǎn)數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運(yùn)算，做溢出中斷處理。下溢——超過了階碼所能表示的最小值,按機(jī)器零處理。本例中階碼符號(hào)位為00，不溢出，故得最終結(jié)果為

x＋y＝(0001111.00010100)補(bǔ)＝2011×(-0.11101100)例2：若某次運(yùn)算的中間結(jié)果為[X+Y]補(bǔ)=11001,00.0011則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行向左規(guī)格化操作：尾數(shù)為：