數(shù)值分析教學課件：2-1Gauss消去法

第二章解線性方程組的直接法數(shù)值分析2.1線性方程組的一般形式與直接法思想2.2Gauss消去法華長生制作12.1線性方程組與直接法實際問題中的線性方程組分類：按系數(shù)矩陣中零元素的個數(shù)：稠密線性方程組稀疏線性方程組按未知量的個數(shù)：高階線性方程組低階線性方程組(如1000)(80%)按系數(shù)矩陣的形狀對稱正定方程組三角形方程組三對角占優(yōu)方程組華長生制作2一、直接法概述直接法是將原方程組化為一個或若干個三角形方程組的方法，共有若干種．對于線性方程組其中系數(shù)矩陣未知量向量常數(shù)項------------(1)華長生制作3根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若determinantal行列式的記號若用初等變換法求解,則對其增廣矩陣作行初等變換:經(jīng)過n-1次華長生制作4同解即以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法則都是三角形方程組上述方法稱為直接三角形分解法------------(2)華長生制作5不論是Gauss消去法還是直接三角形分解法,都歸結為解三角形方程組.二、三角形線性方程組的解法若記下三角形線性方程組上三角形線性方程組華長生制作6即前推方向華長生制作7其解為華長生制作8其解為:回代方向華長生制作9K

由消元過程和回代過程構成高斯(Gauss)消去法.基本思想用矩陣行的初等變換將方程組系數(shù)矩陣A約化為簡單的三角形矩陣,然后回代求解.2.2Gauss消去法華長生制作102.2Gauss消去法一、消元與回代計算對線性方程組對其增廣矩陣施行行初等變換:華長生制作11定義行乘數(shù)（消元因子）：華長生制作12且華長生制作13定義行乘數(shù)華長生制作14華長生制作15(n次除法及次乘法)華長生制作16二、Gauss消去法的運算量計算機作乘除運算所耗時間要遠遠多于加減運算且在一個算法中，加減運算和乘除運算次數(shù)大體相當故在衡量一個算法的運算量時只需統(tǒng)計乘除的運算次數(shù)乘法次數(shù)：除法次數(shù)：華長生制作17全部回代過程需作乘除法的總次數(shù)為于是Gauss消去法的乘除法運算總的次數(shù)為數(shù)量級華長生制作18Gauss消去法乘除法約為2700次而如果用Cramer法則的乘除法運算次數(shù)約為或用行列式定義用行列式性質華長生制作19Tobecontinued!華長生制作20數(shù)值分析第二章解線性方程組的直接法

2.2Gauss列主元消去法華長生制作21

Gauss列主元消去法例1.用Gauss消去法解線性方程組(用3位十進制浮點數(shù)計算）解:本方程組的精度較高的解為用Gauss消去法求解(用3位十進制浮點數(shù)計算)一、Gauss列主元消去法的引入華長生制作22回代后得到與精確解相比,該結果相當糟糕究其原因,在求乘數(shù)時用了很小的數(shù)0.0001作除數(shù)主元華長生制作23如果在求解時將1,2行交換,即回代后得到這是一個相當不錯的結果!華長生制作24例2.解線性方程組(用8位十進制尾數(shù)的浮點數(shù)計算)解:這個方程組和例1一樣,若用Gauss消去法計算會有小數(shù)作除數(shù)的現(xiàn)象,若采用換行的技巧,則可避免華長生制作25絕對值最大不需換行華長生制作26經(jīng)過回代后可得事實上,方程組的準確解為華長生制作27例2所用的方法是在G