數(shù)值分析教學課件：7-1－7-2Newton-Cotes求積公式

第七章微積分的數(shù)值計算方法NumericaldifferentiationAndNumericalintegrationNumericalAnalysis1傳統(tǒng)方法的困境數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的一般形式代數(shù)精度問題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分是微積分學中的基本問題。返回章

7.1基本概念Basicconcepts

2對于積分但是在工程技術(shù)和科學研究中,常會見到以下現(xiàn)象:傳統(tǒng)方法的困境Difficulties

Thedefiniteintegralofafunctionhasnoexplicitantiderivativeorantiderivativeisnoteasytoobtain.SotheNewton-Leibnizprincipleisnotsuitabletobeused.3以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計算方法--------數(shù)值積分正是為解決這樣的困難而提出來的，不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。4數(shù)值積分的基本思想

Theideasofnumericalintegration

數(shù)值積分----是計算定積分的具有一定精度的近似值的各種計算方法。

從幾何上看，就是計算曲邊梯形面積的近似值。

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由積分中值定理知，在積分區(qū)間內(nèi)存在一點ξ，成立Dxi=xi-xi1所以6

問題在于點的具體位置一般是不知道的，因而難以準確算出的值.

這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法.最簡單的辦法，是用許多小矩形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-0所示，這就是----矩形公式：Thegoalistoapproximatethedefiniteintegraloff(x)byevaluatingf(x)atafinitenumberofnodes.7圖7-0矩形規(guī)則yxa=x0x1x2xixi+1xn-1xn

=bf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)(1)Rectangularrule:8圖7-1梯形規(guī)則xa=x0x1x2xixi+1xn-1xn

=byf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)

如果改用許多小梯形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-1，就會更精確些，這就是----梯形公式。9(2)Trapezoidalrule:10數(shù)值積分的一般形式

TheGeneralformula

數(shù)值積分的一般形式是：其中，fi

----是函數(shù)f(x)在節(jié)點xi上的函數(shù)值，它可能以列表形式給出，也可以是由函數(shù)的解析式計算出的函數(shù)值；Ai----稱為節(jié)點xi上的權(quán)系數(shù)。

正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。(3)11

最常用的一種方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù)插值型求積公式Thequadraturebyinterpolatingpolynomial

12(1)為數(shù)值求積公式.Ak為求積系數(shù),且僅與求積節(jié)(結(jié))點xk有關(guān).1314因此定義代數(shù)精度的概念:Thedegreeofprecision

定義1.

若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度.代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度15形如（1）的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的.定理1

事實上，這時公式(1)對于插值基函數(shù)應(yīng)準確成立，即有注意到因而16注1

梯形公式具有一次代數(shù)精度，矩形公式具有0代數(shù)精度.注2

能利用代數(shù)精度定義滿足的條件，可以構(gòu)造具有一定代數(shù)精度的數(shù)值積分公式。

欲使求積公式(1)具有次代數(shù)精度，則只要令它對都準確成立，就得到17例1.試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:18因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度

191．Newton-Cotes公式2．常用的NC公式3.Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性

7.2Newton-Cotes求積公式Newton-Cotesformulas201、Newton-Cotes數(shù)值求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式各節(jié)點為21其中而因此對于定積分有22令即有n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(誤差)23注意是等距節(jié)點24所以Newton-Cotes公式化為25262、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式(1).梯形(trapezia)公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為27上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為28第二積分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度故29(2).Simpson公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為30上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項為Simpson公式具有3次代數(shù)精度31(3).Cotes公式及其余項Cotes系數(shù)為32求積公式為上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式記為Cotes公式的余項為Cotes公式具有5次代數(shù)精度33一般的有因此，N-C積分，對偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)為n階代數(shù)精度34

常用的NC公式表中

觀察這些公式的代數(shù)精度次數(shù)，自然會得出結(jié)論：梯形規(guī)則簡單，有1次代數(shù)精度；再增加一個節(jié)點，就是具有3次代數(shù)精度的Simpson規(guī)則；而Simpson3-8規(guī)則又增加一個節(jié)點，精度卻沒有提高。所以，人們一般只用到前兩個方法。35Cotes系數(shù)的性質(zhì):36三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)考察Cotes系數(shù)因此用Newton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由其值可以精確給定37記而理論值為3839即Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證因此,在實際應(yīng)用中一般不使用高階Newton-Cotes公式而是采用低階復合求積法(下節(jié))40

7.2復化求積法

CompositeNumericalintegration直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復合方法然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加41一、復化求積公式各節(jié)點為記為42由積分的區(qū)間可加性,可得復化求積公式43復化梯形公式:44

其余項所以使

于是復化梯形公式余項為

由于,且45稱為復化Simpson公式/復化拋物線公式46于是當時，與復化梯形公式相似有

其余項47例1.解:為簡單起見,依次使用8階復合梯形公式、4階復合Simpson公式.可得各節(jié)點的值如右表

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.8414709848分別由復合梯形、Simpson公式有49原積分的精確值為精度高精度低

比較二個公式的結(jié)果50二、復合求積公式的余項和收斂的階我們知道,兩個求積公式的余項分別為單