學(xué)習(xí)潛能視角下的中考數(shù)學(xué)考查探析

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束浩東陳清華郭軍成

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛在能力.文章在分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能組成成分的基礎(chǔ)上，以2021年中考數(shù)學(xué)試題為例總結(jié)了學(xué)習(xí)潛能的考察視角——即時學(xué)習(xí)能力、知識遷移能力、歸納概括能力及探究創(chuàng)新能力四個方面的考察.最終歸納了以考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能為目標(biāo)的試題命制時應(yīng)當(dāng)遵循的六個原則：公允性、簡單性、適切性、發(fā)展性、時代性和導(dǎo)向性.

中考數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)潛能;知識遷移;探究創(chuàng)新;命題原則

中考作為九年義務(wù)教育的終結(jié)性考試，發(fā)揮著學(xué)業(yè)檢測和區(qū)分選拔的雙重功能.基于選拔而審視中考數(shù)學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)選拔的標(biāo)準(zhǔn)就是考生是否具備進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和能力素養(yǎng).換言之，即通過中考數(shù)學(xué)試題來檢驗考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.本文擬以中考數(shù)學(xué)題為例，探析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察方式，歸納命題原則，以期為中考數(shù)學(xué)命題提供參考.

1潛能與學(xué)習(xí)潛能概念界定

“能力〞一詞經(jīng)?；钴S在群眾視野當(dāng)中，常指一個人完成某項任務(wù)所表達(dá)出來的綜合素質(zhì).在心理學(xué)中“能力〞特指人們成功地完成某種活動所具備的特性心理特征，它會直接影響人的活動效率.能力根據(jù)表現(xiàn)形式可以劃分為實際能力和潛在能力兩種類型，實際能力指個人當(dāng)前實際能夠做到的，主要通過知識技能來表現(xiàn)，反映了學(xué)習(xí)的成就或訓(xùn)練的結(jié)果;潛在能力并非指個人已經(jīng)形成的實際能力，而是指未來可能發(fā)展的心理特征基礎(chǔ)，主要用來預(yù)計將來的表現(xiàn)[1].潛能即所謂“潛在的能力〞，最早由古希臘哲學(xué)家亞里士多德提出，它是相對于“現(xiàn)實〞的概念，意為可能性的存在.這種可能性的存在一旦在現(xiàn)實中得以實現(xiàn)，便成為現(xiàn)實性[2].心理學(xué)上認(rèn)為人從一出生就有向外界學(xué)習(xí)（模仿）的能力，這是一個人學(xué)習(xí)能力的基本表達(dá).學(xué)習(xí)潛能，顧名思義是指一個人潛在的學(xué)習(xí)能力，而把學(xué)習(xí)的范圍具體限定在學(xué)校的教育教學(xué)上則特指學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域?qū)W習(xí)上尚未外顯的而更進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必備的潛在能力.

2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的內(nèi)涵外延

所謂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能，即指學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛在能力.基于考察而審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能是指學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)新知識與方法的能力;也是指學(xué)生面對陌生的數(shù)學(xué)問題情境時，能夠有效地基于新情境，聯(lián)想已有的知識與方法，并將這些知識與方法運用于解決問題的能力[3].

基于上述分析，從選拔性考試的視角出發(fā)可以認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能主要表現(xiàn)在以下幾個方面：一是即時學(xué)習(xí)能力，即指在有限的時間內(nèi)能夠快速理解新知識（新概念）、自主學(xué)習(xí)新方法并綜合所學(xué)知識解決實際問題;二是學(xué)習(xí)遷移能力，即面對新的問題情境能夠基于已有的知識、方法及經(jīng)驗積累進(jìn)行合理的遷移以解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題;三是歸納概括能力，即面對全新的情境材料能夠歸納概括出一般性的規(guī)律或結(jié)論;四是探究創(chuàng)新能力，即能夠把握相關(guān)問題情境的核心，綜合運用所學(xué)知識和活動經(jīng)驗等進(jìn)行合理探究并創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題.

3數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察視角

3.1即時學(xué)習(xí)能力的考察是檢測數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的基本表達(dá)

3.1.1定義新概念，考察數(shù)學(xué)理解能力

概念是思維的細(xì)胞，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)[4].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程總是與數(shù)學(xué)知識緊湊相連，而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系橋梁.因而，數(shù)學(xué)概念理解水平的高低對于知識的把握和能力的發(fā)展至關(guān)重要.基于此，以定義新概念的形式考察即時學(xué)習(xí)（理解）能力是檢測學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的重要依托.

例1（2021年重慶市中考數(shù)學(xué)第24題）假如一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字一致，個位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“合和數(shù)〞，并把數(shù)M分解成M=A×B的過程，稱為“合分解〞.

例如：由于609=21×29，21和29的十位數(shù)字一致，個位數(shù)字之和為10，

所以609是“合和數(shù)〞.

又如：由于234=18×13，18和13的十位數(shù)字一致，但個位數(shù)字之和不等于10，

所以234不是“合和數(shù)〞.

（1）判斷168，621是否為“合和數(shù)〞，并說明理由;

（2）把一個四位“合和數(shù)〞M進(jìn)行“合分解〞，即M=A×B，A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為P（M），A的各個數(shù)位數(shù)字之和與B的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為Q（M）.令G（M）=P（M）Q（M），當(dāng)G（M）能被4整除時，求出所有滿足條件的M.

評注試題通過定義一個學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中尚未存儲的新概念——“合和數(shù)〞為背景材料，命制情境化試題，考察考生的數(shù)學(xué)理解能力.通過題設(shè)條件對“合和數(shù)〞的定義以及所舉兩個案例確切理解“合和數(shù)〞這樣一個全新的概念是問題求解的關(guān)鍵.第（1）問根據(jù)“合和數(shù)〞定義進(jìn)行驗證即可，旨在落實對基礎(chǔ)知識的考察;第（2）問具有一定的難度與區(qū)分度，需要考生把握A，B兩數(shù)各數(shù)位數(shù)字之間的特征及關(guān)聯(lián).合理設(shè)置未知數(shù)、尋覓數(shù)字之間的等量關(guān)系建立方程是正確求解問題的前提條件.此題以定義的新概念為載體檢測了考生數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展水平，凸顯對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察.

3.1.2引入新方法，考察自主學(xué)習(xí)能力

學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)新知識、新方法的能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的重要表達(dá)，即時學(xué)習(xí)能力指學(xué)生能夠合理借助已有知識或方法的學(xué)習(xí)經(jīng)歷或?qū)W習(xí)體驗，快速把握面對的數(shù)學(xué)新知識或新方法，并將其納入自身已有的知識網(wǎng)絡(luò)或方法體系之中[5]，反映在中考數(shù)學(xué)考場上，則特指考生在限時應(yīng)答的環(huán)境中快速學(xué)習(xí)題干材料所提供的新知識、新方法進(jìn)而完成試題的求解.

例2（2021年隨州市中考數(shù)學(xué)第15題）2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導(dǎo)量子計算機(jī)“祖沖之〞號的相關(guān)研究成果.祖沖之是我國南北朝時期優(yōu)良的數(shù)學(xué)家，他是第一個將圓周率π準(zhǔn)確到小數(shù)點后第七位的人，他給出π的兩個分?jǐn)?shù)形式：227（約率）和355113（密率）.同時期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法〞是程序化尋求準(zhǔn)確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為ba和dc（即有baxdc，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則b+da+c是x的更為準(zhǔn)確的近似值.例如：已知157150π227，則利用一次“調(diào)日法〞后可得到π的一個更為準(zhǔn)確的近似分?jǐn)?shù)為：157+2250+7=17957;由于17957≈3.1404π，17957π227，可以再次使用“調(diào)日法〞得到π的更為準(zhǔn)確的近似分?jǐn)?shù)……現(xiàn)已知75232，則使用兩次“調(diào)日法〞可得到2的近似分?jǐn)?shù)為.

評注此題以未見于學(xué)生當(dāng)下已有學(xué)習(xí)經(jīng)歷的新方法為背景，介紹了運用“調(diào)日法〞尋求準(zhǔn)確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，要求考生運用該方法求解2的近似分?jǐn)?shù).根據(jù)題設(shè)材料確切把握問題的本質(zhì)，即時學(xué)習(xí)并把握“調(diào)日法〞的求解原理是解決問題的前提.此題基于情境創(chuàng)設(shè)、知識獲取、信息整合與轉(zhuǎn)化檢測考生面對數(shù)學(xué)新知識、新方法時即學(xué)即用能力的發(fā)展水平，有效落實了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察.

3.2學(xué)習(xí)遷移能力的考察是檢測數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的有效路徑

所謂遷移就是一種學(xué)習(xí)對另外一種學(xué)習(xí)的影響，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)無非就是為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，使學(xué)生學(xué)會舉一反三，把一種學(xué)習(xí)中形成的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到另一種學(xué)習(xí)中去，即學(xué)會自我學(xué)習(xí)[4].而自主學(xué)習(xí)能力對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)義務(wù)教育后續(xù)階段數(shù)學(xué)課程乃至終身發(fā)展都至關(guān)重要.因而通過創(chuàng)設(shè)新情境，以檢測知識（經(jīng)驗）遷移能力為依托考察考生學(xué)習(xí)遷移能力發(fā)展水平也是選拔性考試檢測數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的有效路徑.

例3（2021年江西省中考數(shù)學(xué)第20題）圖1是新冠肺炎疫情期間測溫員用“額溫槍〞對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直.量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5cm.

（1）求∠ABC的度數(shù);

（2）測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭的距離范圍為3～5cm.在圖（2）中，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間的距離為50cm.問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)，并說明理由.（結(jié)果保存小數(shù)點后一位）

（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，2≈1.414.）

評注此題結(jié)合當(dāng)下社會熱點，以新冠疫情期間體溫測量過程中“測溫槍〞的使用為載體，創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，命制情境化試題.試題將“測溫槍〞這一儀器抽象成數(shù)學(xué)模型，考察解直角三角形的實際應(yīng)用，有效檢測了考生面對新的問題情境是否能夠基于已有的知識、方法及經(jīng)驗積累進(jìn)行合理的遷移以解決相關(guān)問題.試題精心擷取背景材料，奇妙融入日常生活資源，彰顯數(shù)學(xué)知識廣泛應(yīng)用價值的同時也潤物無聲般地檢測了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.

3.3歸納概括能力的考察是檢測數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的良好載體

歸納是從個別的事物或經(jīng)驗事實出發(fā)推出一般的概念、法則等;概括表現(xiàn)為找出一類事物本質(zhì)特性并且把本質(zhì)特性推廣到同類事物中去[4].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出：“數(shù)學(xué)作為對于客觀對象抽象概括而漸漸形成的科學(xué)語言與工具.〞[6]由此觀之，歸納概括能力在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中具有重要地位，一定程度上可視為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的前提條件.從這一層面上來看，歸納概括能力也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的重要組成因子，這也應(yīng)是中考考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的重要一環(huán).

例4（2021年懷化市中考數(shù)學(xué)第16題）觀測等式：

2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，….已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199.若2100=m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是.

評注正確求解此題需要根據(jù)材料所給的3組等式歸納概括出一般性的規(guī)律：

21+22+23+…2n=2n+1-2;并依據(jù)此規(guī)律求解出：21+22+…+299=2100-2=m-2，

21+22+…2199=2200-2=（2100）2-2=m2-2，故所求和式的值為m2-m.試題旨在考察考生根據(jù)已有材料，概括規(guī)律、歸納結(jié)論的能力，進(jìn)而考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.

例5（2021年自貢市中考數(shù)學(xué)第16題）某學(xué)?！疤依畈蛷d〞把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題.小紅在餐廳就餐時，思考了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳〞的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是.

5*36=3018482*67=1442569*25=4510554*86=密碼

評注此題求解過程中根據(jù)材料歸納出一般性的規(guī)律a*bc=ac/bc/acbc是關(guān)鍵，因此4*86=244872.此題以無線網(wǎng)密碼為背景，基于情境創(chuàng)設(shè)、信息獲取、規(guī)律探究檢驗學(xué)生歸納概括能力發(fā)展水平，落實對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察.

3.4探究創(chuàng)新能力的考察是檢測數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的重要依托

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的特點[6].而普通高中教育的任務(wù)則是在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生更進(jìn)一步發(fā)展，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)課程基本理念之一就是“提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，以促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識的發(fā)展〞.毫無疑問，實現(xiàn)這一切的前提必需以學(xué)生個人的學(xué)習(xí)潛能為基礎(chǔ)，以自身的主動探究為依托.這也應(yīng)當(dāng)是中考數(shù)學(xué)將考生探究創(chuàng)新能力的考察提升到表達(dá)其選拔功能的意義所在！

例6（2021年杭州市中考數(shù)學(xué)第19題）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC這三個條件中選擇其中一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答.

解答：

問題：如圖3，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在AB邊上

（不與點A，點B重合），點E在AC邊上（不與點A，點C重合），

連接BE，CD，BE與CD相交于點F.若，

求證：BE=CD.

評注此題是一道典型的結(jié)構(gòu)不良問題，考生無論選取三個條件中的

哪一個均可以借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識或方法完成待證結(jié)論的證明.結(jié)構(gòu)不良試題所具有的條件或部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失或冗余，目標(biāo)界定不明確，具有多種解決方法、途徑，具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)，涉及的概念、規(guī)矩或原理不確定等特征[7]，使其在考察學(xué)生的探究創(chuàng)新能力方面作用尤為明顯.

例7（2021年揚州市中考數(shù)學(xué)第27題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計了一份活動單：已知線段BC=2，使用作圖工具作∠BAC=30°，嘗試操作后思考：

（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢〞學(xué)習(xí)小組通過操作、觀測、探討后匯報：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B，C除外），……小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D4）.

（1）小華同學(xué)提出了以下問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為;

②△ABC面積的最大值為;

（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖4所示的弓形內(nèi)部，我們記為A′，請你利用圖4證明∠BA′C30°;

（3）請你運用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖5，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P在直線CD的左側(cè)，且tan∠DPC=43.

①線段PB長的最小值為;②若S△PCD=23S△PAD，則線段PD長為.

評注此題以數(shù)學(xué)探究活動為依托進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，命制情境化試題.以問題為導(dǎo)向，分層設(shè)問，要求考生根據(jù)已知條件類比、模仿、創(chuàng)新并綜合運用所學(xué)知識，建立合理的數(shù)學(xué)模型，摸索問題求解策略.預(yù)設(shè)情境活動說明，試題能夠基于信息獲取與轉(zhuǎn)化、知識遷移、類比探究和創(chuàng)新意識等考察學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.

4數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察原則

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的考察必需依靠于承載考察內(nèi)容、落實考察目標(biāo)的相關(guān)問題情境，基于以上分析，筆者認(rèn)為以考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能為目標(biāo)的試題命制時應(yīng)當(dāng)遵循以下幾個原則.

4.1公允性原則

公允性原則指的是，基于考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的試題其背景材料、解決試題所需的知識與方法應(yīng)當(dāng)為所有考生所熟悉、或為所有考生所不熟悉[8]，既包括材料解讀的公允、試題解答的公允也應(yīng)當(dāng)包括思維過程的公允.例如案例7中僅要求填寫相關(guān)問題的答案，一定程度上忽略了學(xué)生的思維過程，這就必然導(dǎo)致“會而不全〞與“毫無頭緒〞的考生享受“同等待遇〞，一定程度上有違考試的公允性.

4.2簡單性原則

簡單性原則是指以考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能為目標(biāo)而選取的背景材料應(yīng)當(dāng)簡單明白，既包括問題闡述形式上的簡單，也包括情境材料內(nèi)容長度上的簡單.例如案例2的背景材料內(nèi)容過于冗長，特別是作為客觀題，如此長篇累牘適合與否尚有待商榷.

4.3適切性原則

適切性原則是指針對意在考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的具體試題而言，試題的難度、題型、設(shè)問方式、在整張試卷中的位置乃至試題的立意、表述形式等均應(yīng)做到適合、妥帖，符合學(xué)生的思維和認(rèn)知發(fā)展水平，符合義務(wù)教育階段教學(xué)實際，杜絕偏題、怪題的現(xiàn)象.

4.4發(fā)展性原則

發(fā)展性原則是指以考察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能為目標(biāo)的試題命制時應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展為指導(dǎo)思想，聚焦學(xué)生更進(jìn)一步學(xué)習(xí)所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)關(guān)