函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

主持人各位老師，大家好！江蘇省高中數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)課程—模塊2-8-將邀請(qǐng)張松年老師點(diǎn)評(píng)，張松年老師是（蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組成員南京市金陵中學(xué)高級(jí)教師，南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人）本節(jié)課將用2課時(shí)就《函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I》部分予以解讀。在第1課時(shí)，我們將就如下問題進(jìn)行討論：1.在新課標(biāo)理念下，如何進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)？2.在新課程理念下，如何引入函數(shù)的性質(zhì)？3.關(guān)于“映射”概念的處理，新教材和以前的教材有著明顯的區(qū)別，能不能請(qǐng)張老師介紹一下“映射”的教學(xué)要求？4.教材在習(xí)題中提供了很多探究拓展的內(nèi)容，比如在“映射的概念”這一節(jié)的習(xí)題中提供了一個(gè)有關(guān)紐扣的閱讀題，對(duì)這類習(xí)題我們?cè)撊绾翁幚砟兀亢?，下面?qǐng)張老師給予具體的講解。主持人：張老師，在新課標(biāo)理念下，我們?cè)撊绾芜M(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)呢？張松年：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的“靈魂”。函數(shù)概念的引入，需要教師創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)情境。從貼近學(xué)生實(shí)際出發(fā)，教材給出了三個(gè)具體的實(shí)例，供選擇使用。三個(gè)例子分別用解析法、列表法和圖象法給出，意在呼應(yīng)下一節(jié)將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的三種表示方法。教學(xué)中，教師也可以結(jié)合學(xué)生的具體情況，例如生活環(huán)境、文化背景、知識(shí)水平等，再補(bǔ)充一些實(shí)例，如本地區(qū)參加中考的人數(shù)與年份的關(guān)系、家庭年收入與年份的關(guān)系、某人身高與年齡的關(guān)系、加油站給汽車加油時(shí)油量與金額的關(guān)系，等等。學(xué)生在初中時(shí)已經(jīng)對(duì)函數(shù)有了初步的感受和認(rèn)識(shí)，盡管這樣的認(rèn)識(shí)是描述性的，是傳統(tǒng)意義上的定義。進(jìn)入高中后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合的概念，因此，對(duì)函數(shù)的近代定義的引入和函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，可以從讓學(xué)生利用集合語言描述函數(shù)特征開始，例如，可以設(shè)計(jì)如下問題：問題1：在上面的例子中，是否存在函數(shù)關(guān)系？為什么？問題2：在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表達(dá)式和圖象的作用是什么？問題3：如何用集合語言闡述幾個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)？第一個(gè)小問題，你的結(jié)論是否正確地概括了這些例子的共同特征？第二個(gè)小問題，你在初中學(xué)習(xí)的函數(shù)都有這樣的特征嗎？第三個(gè)小問題，你現(xiàn)在對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與初中時(shí)相比是否有本質(zhì)上的差異？在進(jìn)一步體會(huì)兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫單值對(duì)應(yīng)，領(lǐng)悟函數(shù)就是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的單值對(duì)應(yīng)?！皢沃祵?duì)應(yīng)”是函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的根本特征。“箭頭圖”給出了“單值對(duì)應(yīng)”從一個(gè)集合到另外一個(gè)集合的方向性，應(yīng)突出“輸入”與“輸出”的關(guān)系。對(duì)于一些特殊的簡單函數(shù)，應(yīng)嘗試讓學(xué)生用母語進(jìn)行解釋，尤其是用自己的語言對(duì)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則進(jìn)行描述，這有利于學(xué)生理解函數(shù)的形式化特點(diǎn)。在構(gòu)建函數(shù)的概念時(shí)，要重點(diǎn)突出一個(gè)對(duì)象對(duì)另一個(gè)對(duì)象的依賴關(guān)系。建立函數(shù)，必須交代定義域。但是，對(duì)定義域和值域不作過多技巧要求和訓(xùn)練。在函數(shù)定義的教學(xué)過程中，需突出以下幾點(diǎn)：①集合A與集合B都是非空數(shù)集；②對(duì)應(yīng)法則的方向是從A到B；③強(qiáng)調(diào)“非空”、“每一個(gè)”、“唯一”這三個(gè)關(guān)鍵詞。教學(xué)中，要注意培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感。用課本中旁注的示意圖幫助學(xué)生理解符號(hào)f(x)的意義：對(duì)應(yīng)法則f對(duì)自變量x作用。應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)符號(hào)“y＝f(x)”是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，它表示“f對(duì)x作用得到y(tǒng)”。對(duì)于一些特殊的簡單函數(shù)f(x)，應(yīng)嘗試讓學(xué)生根據(jù)解析式，用母語對(duì)對(duì)應(yīng)法則“f”的含義進(jìn)行解釋。例如，對(duì)“函數(shù)f(x)＝2x＋1，x∈R”，其中對(duì)應(yīng)法則“f”的含義是“2倍加1”，“函數(shù)f(x)”的含義是“實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)x的2倍加1”教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生注意體會(huì)f(a)與f(x)的區(qū)別和聯(lián)系。一般地，f(a)是f(x)在x＝a時(shí)的一個(gè)函數(shù)值，因此，f(a)是一個(gè)常數(shù)，而f(x)是一個(gè)變量。形式化、符號(hào)化，是數(shù)學(xué)的重要特征，用y＝f(x)這個(gè)等式來表示函數(shù)，不僅簡單，而且也可以加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解。主持人：那么張老師，在新課程理念下，如何引入函數(shù)的性質(zhì)呢？張松年：學(xué)習(xí)函數(shù)的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)，會(huì)用符號(hào)描述、表示函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的基本性質(zhì)包含定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和周期性，這里主要指函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，需要學(xué)生從圖形的直觀感受、生活體驗(yàn)出發(fā)，上升到數(shù)量關(guān)系的精確描述。因此，需要利用我們熟悉的函數(shù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，并逐步引導(dǎo)學(xué)生深入地認(rèn)識(shí)?？梢栽诹信e生活中的實(shí)例，感受自然界中一些變化趨勢(shì)、優(yōu)美的對(duì)稱結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，再結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)圖象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究函數(shù)性質(zhì)的必要。例如，可以設(shè)計(jì)如下問題串：問題1：函數(shù)y＝2x中x的變化對(duì)y的變化有何影響？第一小問題，當(dāng)x增大時(shí)，y怎樣變化？函數(shù)的圖象是由點(diǎn)組成的，如何用函數(shù)的圖象的特征描述x，y的這一關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述x，y的這一關(guān)系？第二個(gè)小問題，當(dāng)x的取值相反時(shí)，y的取值如何？如何用圖象的特征描述x，y的這一關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述x，y的這一關(guān)系？問題2：如何用數(shù)量關(guān)系來描述函數(shù)y＝x2中x的變化對(duì)y的變化的影響？第一個(gè)小問題，當(dāng)x增大時(shí)，y也隨著增大嗎？如何用函數(shù)圖象的特征描述x，y的這一關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述x，y的這一關(guān)系？第二個(gè)小問題，當(dāng)x的取值相反時(shí)，y的取值如何？如何用圖象的特征描述x，y的這一關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述x，y的這一關(guān)系？問題3：你能否模仿描述函數(shù)y＝2x，y＝x2性質(zhì)的方法，談?wù)勀銓?duì)函數(shù)y＝的認(rèn)識(shí)？這樣的方法適用于描述其它函數(shù)的性質(zhì)嗎？在上述問題解決的基礎(chǔ)上，抽象出偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念。關(guān)于函數(shù)的奇偶性，教學(xué)中也可以通過提出如下問題進(jìn)行引入：問題4：函數(shù)y＝f(x)，x∈D與函數(shù)y＝f(－x)，x∈D是同一個(gè)函數(shù)嗎？答：一般地，函數(shù)y＝f(x)，x∈D與函數(shù)y＝f(－x)，x∈D是不一樣的，但對(duì)于有些特殊的函數(shù)y＝f(x)，x∈D，函數(shù)y＝f(－x)，x∈D與y＝f(x)，x∈D是一樣的，即對(duì)任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)。也就是說，函數(shù)y＝f(x)，x∈D的對(duì)應(yīng)法則f對(duì)定義域D上任意兩個(gè)相反的量作用，得到相同的函數(shù)值。同樣，對(duì)于有些特殊的函數(shù)y＝f(x)，x∈D，對(duì)應(yīng)法則f對(duì)定義域D中任意兩個(gè)相反的量作用，得到的函數(shù)值也相反，即f(－x)＝－f(x)，x∈D。從而導(dǎo)出偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義。在說明函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生利用符號(hào)來描述，例如，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)遞增性，符號(hào)語言“對(duì)任意的x∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)”是對(duì)自然語言“在區(qū)間I中，隨著x的增大，f(x)也增大”的精確刻畫。這樣，學(xué)生在說明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，就有了一個(gè)形式化的模式，便于書寫說明。教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容，將“自然語言”和“符號(hào)語言”這兩種描述方式進(jìn)行對(duì)比，養(yǎng)成運(yùn)用符號(hào)語言的習(xí)慣。主持人：張老師，關(guān)于“映射”概念的處理，新教材和以前的教材有了明顯的區(qū)別，您能給我們介紹一下“映射”的教學(xué)要求嗎？張松年：以前的教材是用映射來定義函數(shù)，而新教材則把映射看成是函數(shù)概念的推廣。函數(shù)只能建立在數(shù)集上，而一般映射可以建立在任意集合上。顯然，現(xiàn)在的處理是先特殊再一般，其目的是考慮與初中知識(shí)的銜接，同時(shí)更符合人的認(rèn)知規(guī)律。映射中的問題背景和例子的安排，目的是從學(xué)生身邊說起，再抽象到一般的字母，讓學(xué)生體會(huì)到映射的一般性。值得注意是例題暗示了數(shù)字化的用意，看似平常，卻反映了人們?cè)谔剿?、發(fā)明中的聰明才智。事實(shí)上，從數(shù)學(xué)的發(fā)展史上來看，是先有函數(shù)的概念，再有映射的概念，是通過對(duì)函數(shù)概念的一般化，得到了更一般的對(duì)應(yīng)關(guān)系——映射。因此，映射比函數(shù)更抽象。相對(duì)而言，后一種處理方法更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且和初中內(nèi)容的銜接也比較自然。新教材對(duì)映射的要求是：了解映射的概念，會(huì)借助圖形理解映射的概念，并了解函數(shù)是一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)先從學(xué)生熟悉的對(duì)應(yīng)入手，選擇生活中和數(shù)學(xué)中的“一對(duì)一”、“一對(duì)多”、“多對(duì)一”、“多對(duì)多”的對(duì)應(yīng)實(shí)例，通過圖示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較，逐步歸納、概括出映射的基本特征，進(jìn)而辨析映射和函數(shù)的關(guān)系。需要特別指出的是，新教材中沒有涉及到象和原象的概念，更沒有映射的分類和抽象的命名，教學(xué)中應(yīng)加以注意，不要隨意拓寬、加深。主持人：那么張老師，教材在習(xí)題中提供了很多“探究·拓展”的內(nèi)容，比如在“映射的概念”這一節(jié)的習(xí)題中提供了一個(gè)有關(guān)紐扣的閱讀題，對(duì)于這類習(xí)題應(yīng)該如何處理呢？張松年：習(xí)題中“探究·拓展”內(nèi)容設(shè)計(jì)的目的和要求，在教材前面的“致同學(xué)”中，說明得很清楚。為了激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生在掌握基本內(nèi)容后，可以選擇一部分內(nèi)容作探究，不要求每個(gè)學(xué)生都能解決。如果條件允許，可組織小組匯報(bào)、交流等，教師可以給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和點(diǎn)評(píng)?！坝成涞母拍睢币还?jié)的習(xí)題中，有一個(gè)有關(guān)紐扣對(duì)應(yīng)的閱讀題，通過紐扣和扣眼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅能使學(xué)生更加形象地理解映射的概念，而且感受了映射的分類，它讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到對(duì)應(yīng)關(guān)系充斥在我們的周圍。主持人：這節(jié)課，我們請(qǐng)張松年老師解讀的問題有。1.在新課標(biāo)理念下，如何進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)？2.在新課程理念下，如何引入函數(shù)的性質(zhì)？3.關(guān)于“映射”概念的處理，新教材和以前的教材的明顯的區(qū)別，張老師我們介紹了一下“映射”的教學(xué)要求。4.教材在習(xí)題中提供了很多探究拓展的內(nèi)容，張老師以有關(guān)紐扣的閱讀題為例，給我們介紹了一下這類習(xí)題的處理方式？那么張老師，您能否針對(duì)檢測(cè)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成狀況，給我們幾道樣題呢？張松年,我們來看一下下面幾道題：1.求下列函數(shù)的定義域：

考查對(duì)函數(shù)定義域的理解，這是求函數(shù)定義域的最基本的模型。2.已知函數(shù)求下列各函數(shù)值：(1)f(－2)；

(2)f(1)；

(3)f(f(2))；

(4)f(f(－3)).考查對(duì)函數(shù)概念的理解和對(duì)應(yīng)法則的理解。3.畫出函數(shù)的圖象，指出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論。考查對(duì)函數(shù)的圖象、單調(diào)性的理解。4.已知函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的表達(dá)式?？疾閷?duì)函數(shù)奇偶性的理解。主持人：謝謝張老師的講解。在這里我們留給學(xué)員若干個(gè)問題，請(qǐng)大家課后討論。1.初高中的“函數(shù)”含義有什么區(qū)別？教學(xué)中應(yīng)如何做好銜接？2.函數(shù)的性質(zhì)對(duì)研究函數(shù)的值域、最大(小)值有什么幫助？3.函數(shù)的形式化特點(diǎn)是從本章中哪幾個(gè)方面體現(xiàn)出來的？4.本章中體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想方法有哪些？函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（2）

主持人：各位老師，大家好！江蘇省高中數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)課程—模塊2-8—將邀請(qǐng)張松年老師予以解讀，張松年老師是蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組成員南京市金陵中學(xué)高級(jí)教師南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人這一講將用2個(gè)課時(shí)就《函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I》部分予以重點(diǎn)討論。在上一講當(dāng)中，張老師主要為我們解讀了下面幾個(gè)問題：第一是在新課標(biāo)理念下，如何進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)？第二是在新課程理念下，如何引入函數(shù)的性質(zhì)？第三是關(guān)于“映射”概念的處理，新教材和老教材的這樣一個(gè)明顯的區(qū)別，介紹了一下“映射”的教學(xué)要求。第四是關(guān)于教材中很多探究拓展的內(nèi)容，張老師以“映射的概念”這一節(jié)當(dāng)中的一個(gè)有關(guān)紐扣的閱讀題，談了談對(duì)這類習(xí)題的處理方式。今天這節(jié)課，我們將就如下問題進(jìn)行討論：1。關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)達(dá)到什么要求？2。教材在這一章安排了函數(shù)與方程的內(nèi)容，有什么用意？3。關(guān)于函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)，應(yīng)注意哪些問題？4。數(shù)據(jù)擬合是一個(gè)新內(nèi)容，在以前的教材中從未涉及過，對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)要求是什么？下面我們請(qǐng)張老師具體地講解。主持人

張老師，請(qǐng)你先跟我們來談一談指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)這些內(nèi)容應(yīng)該達(dá)到什么樣的要求呢？張松年：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系的函數(shù)模型，是體驗(yàn)函數(shù)模型運(yùn)用過程和方法的重要載體。要通過對(duì)具體數(shù)式的分析，使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、對(duì)數(shù)的概念和意義，掌握有理指數(shù)冪、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，了解并掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。從指數(shù)、指數(shù)函數(shù)到對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，是一種相似；從指數(shù)函數(shù)到冪函數(shù)，是另外一種相似。根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、對(duì)數(shù)都是具體的對(duì)應(yīng)法則，是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方、二次根式、整數(shù)指數(shù)冪的意義及運(yùn)算法則。有了這些知識(shí)作準(zhǔn)備，通過實(shí)際問題引出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說明了擴(kuò)張指數(shù)取值范圍的必要性，由此先將平方根與立方根的概念擴(kuò)充到n次方根，將二次根式擴(kuò)充到一般根式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式，再類比整數(shù)指數(shù)冪的意義、運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義、運(yùn)算性質(zhì)做了嚴(yán)格的規(guī)定。這樣，就將根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，從而將根式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，簡化了運(yùn)算過程，降低了難度。

由于知識(shí)的局限性，對(duì)于實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算，教材沒有做嚴(yán)格的闡述，只是在“閱讀”材料中，通過對(duì)的意義的探究，介紹有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪，讓學(xué)生感覺到“當(dāng)?shù)讛?shù)為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪也是有意義的，也是一個(gè)實(shí)數(shù)。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪同樣適用”，從而將指數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生留下想象的空間，不要做過高的要求和不必要的介紹。對(duì)數(shù)的本質(zhì)還是指數(shù)，這是在不同的情境下指數(shù)的另一種身份。要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在N＝ab(其中N，a＞0，b∈R)中，在這個(gè)里面三個(gè)量a，b，N是相關(guān)的，只要知道其中的兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量?！爸繿，b，求N”與“知道N，b，求a”都是求冪的問題，而“知道a，N，求b”的問題，就是求對(duì)數(shù)的問題。應(yīng)知道學(xué)生認(rèn)知分析、比對(duì)下列關(guān)系圖，弄清楚指數(shù)冪與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系。

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是形式化的定義，不要過分強(qiáng)調(diào)這種形式化，要求學(xué)生判斷一些函數(shù)是不是某類函數(shù)，如“y=22x是不是指數(shù)函數(shù)”等，其實(shí)，這種形式的函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)與底數(shù)是有關(guān)系的，如“y=22x不是以2為底的指數(shù)函數(shù)，但它是以4為底的指數(shù)函數(shù)”。在知識(shí)的呈現(xiàn)方式上，不要過度強(qiáng)調(diào)理性推導(dǎo)。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)是通過它們的圖象直觀體現(xiàn)的，由于知識(shí)的局限性，還不可能進(jìn)行嚴(yán)格的代數(shù)論證。掌握函數(shù)的圖形，對(duì)了解和掌握函數(shù)的性質(zhì)具有形象、生動(dòng)的優(yōu)勢(shì)，因此，應(yīng)教會(huì)學(xué)生畫、觀察這些函數(shù)的圖象，有意識(shí)通過函數(shù)的圖象的直觀性來尋找解決問題的方法。關(guān)于“反函數(shù)”的概念，只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解，只要說明定義“對(duì)于某個(gè)常數(shù)a（a＞0，a≠1），指數(shù)函數(shù)y=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)”，即“兩個(gè)底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”。對(duì)一般的反函數(shù)概念不作要求?；榉春瘮?shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象間關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的性質(zhì)，只通過具體函數(shù)來討論。冪函數(shù)是生活中既熟悉又陌生的一類函數(shù)模型，這是因?yàn)樗毡榇嬖谟谖覀兩磉叄兄鴱V泛的實(shí)際應(yīng)用；它的解析式雖然簡單，但其性質(zhì)卻比較復(fù)雜。新教材對(duì)冪函數(shù)y＝xn只限于研究n＝－1，1，2，3，1/2時(shí)，幾個(gè)具體函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)。由于學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的經(jīng)歷，給出冪函數(shù)的概念后，可以讓學(xué)生畫出五個(gè)冪函數(shù)的圖象，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象，合作探究冪函數(shù)的性質(zhì)。事實(shí)上，只要學(xué)生弄清楚了這幾個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)于n取其他分?jǐn)?shù)時(shí)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)也能研究。至于指數(shù)的變化對(duì)冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的影響，有條件的學(xué)校，可以利用Excel、幾何畫板等工具作動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生有感性認(rèn)識(shí)即可。教材中留有許多思考和旁白，沒有做過多的研究，對(duì)一些問題的解決過程也是沒有作詳細(xì)的闡述，旨在為學(xué)生的合理探索留下了空間，為學(xué)有余力的學(xué)生提供繼續(xù)發(fā)展的平臺(tái)。在教學(xué)過程中，可以根據(jù)實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生進(jìn)行探索、交流、合作、比較。通過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的相似性研究和整體化處理，達(dá)到螺旋上升的目的。主持人：張老師，關(guān)于函數(shù)模型及其應(yīng)用的教學(xué)，我們應(yīng)該注意哪些問題呢？張松年：函數(shù)模型及其應(yīng)用主要是指建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，分四個(gè)層次：一、建立函數(shù)模型，刻畫實(shí)際問題；二、給出半數(shù)學(xué)化的函數(shù)模型，利用初始量和待定系數(shù)法確定函數(shù)模型，解決實(shí)際問題；三、根據(jù)已知的一些函數(shù)模型，建立新的函數(shù)模型，解決實(shí)際問題；四、根據(jù)實(shí)際背景建立新的函數(shù)模型，解決實(shí)際問題。教材通過三個(gè)例題，介紹了前三個(gè)層次，第四個(gè)層次給學(xué)生留下空間，在練習(xí)中體現(xiàn)。利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的一般程序是：實(shí)際問題->函數(shù)模型->數(shù)學(xué)解決->回歸實(shí)際。其中建立函數(shù)模型(建模)是關(guān)鍵，包括信息提取(分析問題中存在的“數(shù)”的特性)、引進(jìn)符號(hào)、建立目標(biāo)函數(shù)(將普通語言“翻譯”成數(shù)學(xué)語言)三個(gè)方面。建立函數(shù)模型的關(guān)鍵是找出變量之間的依賴關(guān)系，而尋找變量之間的依賴關(guān)系之前，必須確定哪些量是不變的，哪些量是變的。必須注意的是：不能忽視函數(shù)的定義域，定義域由實(shí)際意義來決定。數(shù)學(xué)解決包括分析模型(建模)、解決模型(解模)兩個(gè)方面，即分析、研究函數(shù)模型的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決值域、求值、變化趨勢(shì)、最優(yōu)化等等問題?；貧w實(shí)際就是作答，即將數(shù)學(xué)化解決的結(jié)果再實(shí)際化。總之，利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題實(shí)際上就是兩次“翻譯”：將普通語言“翻譯”成數(shù)學(xué)語言和將數(shù)學(xué)結(jié)論“翻譯”成實(shí)際結(jié)果。主持人：張老師，教材當(dāng)中在這一章專門安排了一個(gè)函數(shù)與方程的內(nèi)容，那么這一個(gè)是什么用意呢？張松年：教材在這一章安排了函數(shù)與方程的內(nèi)容的用意是：通過一元二次方程的解的幾何意義、用二分法求一些簡單方程的近似解等實(shí)例，了解函數(shù)與方程之間的關(guān)系，會(huì)利用函數(shù)知識(shí)分析問題、解決問題，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地表述問題以及問題的解決過程，使學(xué)生明白函數(shù)與方程是研究事物變化的重要工具，逐步形成利用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)觀察事物的理性思維能力、辯證思維能力、分析問題和解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)表達(dá)、交流的能力。求方程的近似解，是函數(shù)知識(shí)、思想、方法的具體應(yīng)用，目的是體會(huì)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新思維和理性思維的目的?！岸址ā笔乔蠓匠探平獾囊环N常見的方法，盡管這個(gè)解也許不準(zhǔn)確，但可以通過有效的方法控制精確度，解決一些實(shí)際問題。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意：重在對(duì)原理的認(rèn)識(shí)，在體現(xiàn)基本初等函數(shù)工具性作用時(shí)，突出理性分析和推理過程，會(huì)用函數(shù)的知識(shí)、方法結(jié)合函數(shù)的圖象判斷方程的解所在的范圍，能進(jìn)行初步的估算，在精度上不要對(duì)學(xué)生提出要求。主持人：那么張老師，“數(shù)據(jù)擬合”是一個(gè)新內(nèi)容，在以前的教材中從未涉及，那么對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)要求是什么？張松年：教材把數(shù)據(jù)擬合列為鏈接內(nèi)容，有條件的學(xué)?？梢赃x擇使用。本節(jié)內(nèi)容主要通過實(shí)際問題說明數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測(cè)、規(guī)劃方面的應(yīng)用，初步感受運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的一些簡單問題