拉氏變換傅里葉變換

積分變換第一章付里葉變換第二章拉普拉斯變換§1.1付氏積分§1.2付氏變換§1.3付氏變換的公式和性質(zhì)§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)§2.1拉普拉斯變換的概念§2.2拉氏變換的基本公式和性質(zhì)§2.3拉氏逆變換§2.4拉氏變換的應(yīng)用(一)付氏級數(shù)稱實(shí)系數(shù)R上的實(shí)值函數(shù)f（t）在閉區(qū)間[a,b]上滿足狄利克萊（DirichLet）條件，如果它滿足條件：⑴在[a,b]上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；⑵f（t）在[a,b]上只有有限個(gè)極值點(diǎn)。§1.1付氏積分第一章付里葉變換

從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在上滿足狄利克雷條件，那么在上fT(t)可以展成付氏級數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級數(shù)的三角形成為

其中稱為頻率，頻率ω對應(yīng)的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，nω稱為fT(t)的n次諧波頻率。(二)付氏級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

在fT(t)的間斷點(diǎn)t0處，式(1.1.1)的左端代之為

即(三)付氏積分

任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T→+∞時(shí)轉(zhuǎn)化而來的。

這個(gè)公式稱為函數(shù)f(t)的付里葉積分公式

付氏積分定理若f(t)在(-∞，+∞)上滿足下列條件：

2°則積發(fā)存在,并且在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處

1°在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件；而在f(t)的間斷點(diǎn)t0處，應(yīng)以代替該式左端的f(t)。

注非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1°，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級數(shù)。滿足付氏積分定理的第2°條,才能保證存在。§1.2付氏變換(一)定義1.1.1設(shè)f(t)和F(ω)分別是定義在R上的實(shí)值和復(fù)值函數(shù)，稱它們是一組付里葉變換對，如果成立并稱F(ω)為f(t)的象函數(shù)或付里葉變換，記為F[f(t)]；稱f(t)為F(ω)的象原函數(shù)或付里葉逆變換，記為F-1[F(ω)](二)積分變換的作用(三)δ函數(shù)及其付氏變換

1.δ函數(shù)的定義

(1)(狄拉克)滿足一列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為δ函數(shù)。

(2)普通函數(shù)序列極限形式的定義其中

(3)廣義函數(shù)形式的定義

若f(t)為無窮次可做函數(shù)，則3.δ函數(shù)在積分變換中的作用(1)有了δ函數(shù)，對于點(diǎn)源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來對待。(2)盡管δ函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個(gè)無窮次可做的函數(shù)的乘積在(-∞,+∞)上的積分都有確定的值。(3)δ函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對可積條件的(即不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以利用δ函數(shù)而得到。

這種頻譜圖稱為離散頻譜，也稱為線狀頻譜(四)付氏變換的物理意義——頻譜

1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜(一)常用函數(shù)付里葉變換公式§1.3付氏變換的公式和性質(zhì)(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個(gè)公式(三)付氏變換的性質(zhì)

1．線性性質(zhì)。

設(shè)F=，F(xiàn)=，和為常數(shù)，則b2．位移性質(zhì)該性質(zhì)在無線電技術(shù)中也稱為時(shí)移性質(zhì)。3．對稱性質(zhì)

若，則

4．相似性質(zhì)若，則5．象函數(shù)的位移性質(zhì)若，則

象函數(shù)的位移性質(zhì)在無線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)。

6.翻轉(zhuǎn)性質(zhì)若，則

7.微分性質(zhì)

若f在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)時(shí)，，則推論若（k=1,2,…,n）在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且=0，k=0,1,2,…(n-1),則有8.象函數(shù)的微分性質(zhì)若，則一般地，有若當(dāng)時(shí)，=,則如果，則9.積分性質(zhì)其中10.象函數(shù)的積分性質(zhì)若，則11.乘積定理

若，，則

其中，均為t的實(shí)函數(shù)，、分別為、的共軛函數(shù)。

12.能量積分

若，則

該等式又稱為巴塞瓦等式。

13.卷積定理

設(shè)，都滿足付氏積分定理中的條件，且，，則

§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)一、卷積的意義

若已知函數(shù)f1(t)，f2(t)，則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t)*f2(t)，即二、卷積的性質(zhì)第二章拉普拉斯變換§2.1拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)ｔ0時(shí)有定義，而且積分

（s是一個(gè)復(fù)參量），在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分決定的函數(shù)可寫為

稱為的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）或象函數(shù)，記為，即又稱為的拉普拉斯逆變換（簡稱為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記

即二、拉氏變換的存在定理

拉氏變換存在定理設(shè)函數(shù)f(t)滿足下列條件：

1°當(dāng)t＜0時(shí)，f(t)=0；

2°f(t)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，且都是第一類間斷點(diǎn)；

3°f(t)是指數(shù)級函數(shù)。

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此時(shí)上式右端的積分絕對收斂而且一致收斂，同時(shí)在此半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。關(guān)于拉氏變換存在定理，做如下的幾點(diǎn)說明：(1)從物理應(yīng)用觀點(diǎn)來看，條件2°、3°都是容易滿足的。實(shí)用上所考察的物理過程，往往是用時(shí)間函數(shù)來描述的，并且是從某一時(shí)刻開始，因此可以選這時(shí)刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如sint，若要對它進(jìn)行拉氏變換則應(yīng)把它理解為sintu(t)。(2)工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。(3)如果f(t)為指數(shù)級函數(shù)，則其增長指數(shù)不唯一。三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問題

f(t)在t=0包含了脈沖函數(shù)，我們就必須區(qū)分這個(gè)積分區(qū)間包括t=0這一點(diǎn)，還是不包括t=0這一點(diǎn)。假如包括，我們把積分下限記為0-；假如不包括，我們把積分下限記為0+，于是得出了不同的拉氏變換。記§2.2拉氏變換的基本公式和性質(zhì)一、常用函數(shù)的拉氏變換公式

當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，有

[注]①Γ函數(shù)具有如下的遞推公式

當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)，②(9)設(shè)是[0，+∞)上的周期為T的函數(shù)，即則的拉氏變換為二、拉氏變換的性質(zhì)

設(shè)

則有

(1)線性性質(zhì)（設(shè)α、β為常數(shù)）（2）位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)）

（3）延遲性質(zhì)

若t<0時(shí)，則對任一非負(fù)實(shí)數(shù)有

亦可寫為

[注]中的意味著（當(dāng)時(shí)）

只有此式成立時(shí)才能使用延遲性質(zhì)，這一點(diǎn)容易被忽略，因而造成錯(cuò)誤，為了避免出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。故將延遲性質(zhì)寫為(2.2.16)式的形式。

(4)微分性質(zhì)

推論

=

特別地，當(dāng)初值時(shí)，有

(5)積分性質(zhì)

推論

(6)象函數(shù)微分性質(zhì)

一般地，有

(7)象函數(shù)積分性質(zhì)

若積分收斂，則

一般地，有

[注]由象函數(shù)的積分性質(zhì)得即

利用此式，可計(jì)算右端的廣義積分。這是拉氏變換的應(yīng)用之一。

在上式中令s=0，如果收斂，存在，則有

(8)卷積定理

[注]付氏變換中的卷積定理包含兩個(gè)公式，而拉氏變換中卷積定理只含一個(gè)公式。

(9)初值定理

若存在，則

(10)終值定理

若的所有奇點(diǎn)全在s平面的左半部，則

(11)相似性質(zhì)（設(shè)a為正實(shí)數(shù)）

§2.3拉氏逆變換

定理2.3.1若函數(shù)f(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件。β0為收斂坐標(biāo)，則L-1[F(s)]由下式給出其中t為f(t)的連續(xù)點(diǎn)。

如果t為f(t)的間斷點(diǎn)，則改成：

這里的積分路線是平行于虛軸的任一直線Res=β(＞β0)稱(2.3.1)