講義結(jié)構(gòu)力學(xué)大學(xué)教材章節(jié)課件PPT講義221P(附例題)6

31443523第十三章矩陣位移法基本概念單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)(整體坐標(biāo)系)整體剛度矩陣(連續(xù)梁)(平面剛架)等效結(jié)點荷載計算步驟和算例忽略軸向變形的矩形剛架的整體分析上機(jī)作業(yè)（連續(xù)梁程序設(shè)計）1§13-1概述矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，以電子計算機(jī)作為計算手段，三位一體的方法。手算與電算的不同：手算：怕繁，討厭重復(fù)性的大量運算，追求機(jī)靈的計算技巧，運算次數(shù)較少的方法。電算：怕亂，討厭頭緒太多，零敲碎打的算法，追求計算過程程序化，通用性強(qiáng)的方法。

矩陣位移法（有限單元法）的基本思路是：

先將結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，然后再將這些單元按一定條件集合成整體。這樣，就使一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為有限個簡單單元的分析與集成問題。有限單元法的兩個基本環(huán)節(jié)：1）單元分析：建立單元剛度方程，形成單元剛度矩陣(物理關(guān)系)2）整體分析：由單元剛度矩陣形集成整體剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的位移法基本方程(幾何關(guān)系、平衡條件)2單元剛度矩陣是用來表示桿端力與桿端位移之間的物理關(guān)系的，不是新東西，但有幾點新考慮：重新規(guī)定正負(fù)規(guī)則，以矩陣的形式表示，討論桿件單元的一般情況。桿端局部編碼與局部坐標(biāo)系eE，A，Il局部坐標(biāo)系中的桿端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐標(biāo)系中的桿端力分量{}=Feee={}De12yx§13-2單元剛度矩陣（局部坐標(biāo)系）3單元剛度方程方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY--+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-++=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-++=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-++=qq4ee=ee（13—5）單元剛度方程（13—6）單元剛度矩陣單元剛度矩陣的性質(zhì)1）單元剛度矩陣是桿端力用桿端位移來表達(dá)的聯(lián)系矩陣。2）其中每個元素稱為單元剛度系數(shù)，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。如第個桿端位移分量=1時引起的第個桿端力2M1q三六ji?反力互等定理53）單元剛度矩陣是對稱矩陣。4）第k列元素分別表示當(dāng)?shù)趉個桿端位移=1時引起的六個桿端力分量。5）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。不存在逆矩陣{}De{}Fe正問題力學(xué)模型將單元視為“兩端有六個人工控制的附加約束的桿件”{}De控制附加約束加以指定。解的性質(zhì)為任何值時，{}De{}Fe都有唯一的解答。且總是一個平衡力系，不可能是不平衡力系。{}De{}Fe反問題將單元視為“兩端自由的桿件”。{}Fe直接加在自由端作為指定的桿端力{}Fe為不平衡力系時沒有靜力解。{}De{}Fe為平衡力系時有無窮多組解。{}De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M62v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e第二列元素變符號即第五列第一列元素變符號即第四列第二行元素變符號即第五行第一行元素變符號即第四行7特殊單元單元的某個或某些桿端位移的值已知為零。如梁單元、柱單元。特殊單元的單元剛度矩陣，可由一般單元的單元剛度矩陣刪除與零桿端位移對應(yīng)的行和列得到。為了使計算過程程序化、標(biāo)準(zhǔn)化、自動化，只采用一般單元的剛度矩陣作為標(biāo)準(zhǔn)形式。各種特殊單元的剛度矩陣有計算機(jī)程序去自動形成。某些特殊單元的剛度矩陣是可逆的。121q2q122M1M8選局部坐標(biāo)系推導(dǎo)單元剛度矩陣方便且單元剛度矩陣的形式簡單。選整體坐標(biāo)系是為進(jìn)行整體分析。按一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系來建立各單元的剛度矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxαyxyxα§13-3單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）9單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]是一正交矩陣。同理：整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣設(shè)：將（a）、（b）代入（a）（b）101））表示示在在整整體體坐坐標(biāo)標(biāo)系系第第j個桿桿端端位位移移分分量量=1時時引引起起的的第第i個桿端端力力分分量量。。2））[k]@是對對稱稱矩矩陣陣。。3）一般單元元的[k]@是奇異矩陣。。例13-1求求圖示剛剛架中各單元元在整體標(biāo)系中的單元元剛度矩陣。。設(shè)各桿的幾幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m221與比較[I][k]@，[k]@同階,性質(zhì)類似：11解：（1）求求kek1k2==×104（2）求ke11單元α=90°21單元α=0k2=×10412結(jié)點力、結(jié)點點位移、形成成總剛度矩陣陣(傳統(tǒng)位移移法)Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1=1Δ1×K11K21K31K12K22K32Δ2=1Δ2×K13K23K33Δ3=1Δ3×F=KΔK為整體剛度矩矩陣，簡稱總總剛?！?3-4連連續(xù)梁的的整體剛度矩矩陣13整體剛度矩陣陣的性質(zhì)1）總剛是結(jié)結(jié)點力用結(jié)點點位移來表達(dá)達(dá)的聯(lián)系矩陣陣。2）[K]中的元素Kij表示第j個結(jié)點位移分分量Δj=1（其它結(jié)點位移分量=0）時所產(chǎn)生生的第i個結(jié)點力。3）[K]是對稱矩陣。。4）如果引入入支承條件，，[K]是可逆矩陣。。形成整體剛度度矩陣Δ2=1K12K22K321112k121k22122k112k212結(jié)點發(fā)生單位位位移桿端發(fā)生單位位位移變形協(xié)調(diào)條件件產(chǎn)生附加約束束中約束力(總剛元素)產(chǎn)生桿端力(單剛元素)平衡條件總剛元素是由由單剛元素集合而而成K22k221k112k212K3214直接剛度法形形成總剛(剛剛度集成法)首先要注意同同一個結(jié)點位位移在整體中中與在各單元元中編碼不同同。單元結(jié)點位移移總碼按局部碼順序排列列而成的向量稱為“單元定位向量量”{λ}。e單元對應(yīng)關(guān)系：局局部碼→總碼碼單元定位向量量{λ}e12θA（1）→→1θB（2）→→2{λ}=112θB（1））→→2θB（2））→→3{λ}=223將各單單元的的單剛剛的行行列局局部碼碼（i）、（（j）換成對對應(yīng)的的結(jié)點點位移總碼碼λi、λλj，按此行行列總總碼將單剛剛元素素送入入總剛剛。即即:k(i)(j)→2112213ABC(1)(2)(1)(2)15例13-2試試求圖圖示連連續(xù)梁梁的整整體剛剛度矩矩陣[K]。。i1i2i31230123解：1）編編碼凡給定定為零的的結(jié)點點位移移分量,其其總碼碼均編編為零零。{λ}=112{λ}=2232）單單元定定位向向量{λ}=3303）求求單剛剛并集集成總總剛[k]=14i12i12i14i1(1)(2)↑↑↑124i12i12i14i1[k]=24i22i22i24i2(1)(2)↑↑↑23+4i22i22i24i2[k]=34i32i32i34i3(1)(2)↑↑↑30+4i312312300在給節(jié)節(jié)點位位移編編碼時時已經(jīng)經(jīng)考慮慮了支支承條條件。。(先處理理法)161n2312n+1對于n跨連續(xù)續(xù)梁，，有n+1個節(jié)點點，不不難導(dǎo)導(dǎo)出整整體剛剛度矩矩陣如如下：：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000[K]=[K]n+1，n+1是稀疏疏矩陣陣和帶帶狀矩矩陣。。1n2317情況復(fù)復(fù)雜：：1）結(jié)結(jié)點位位移分分量增增加到到三個個；2）各各桿方方向不不盡相相同，，要進(jìn)進(jìn)行坐坐標(biāo)變變換；；3）除除了剛剛結(jié)點點，還還要考考慮鉸鉸結(jié)點點等其其它情情況。。1、結(jié)結(jié)點位位移分分量的的統(tǒng)一一編碼碼———總碼碼yx000123040結(jié)點位位移列列陣:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T結(jié)點力力列陣陣:{F}=[F1F2F3F4]T2、單單元定定位向向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6){λ}=1[123004]T{λ}=2[123000]TACB§13-5剛剛架的的整體體剛架架矩陣陣183、單元集集成過程×104[k]=1123004[K]=123430000001230100030100500305030×104k2=×104123000+12+0－30+0+300+0－30+0+100求單剛191）結(jié)點位位移分量的的統(tǒng)一編碼碼——總碼碼鉸結(jié)點處的的兩桿端結(jié)結(jié)點應(yīng)看作半獨立的的兩個結(jié)點點（C1和C2）它們的線位位移相同，，角位移不同同，00012321AC1BD000456475C234、鉸結(jié)點點的處理線位移采用用同碼，角位移采用用異碼。2）單元定定位向量：：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①②②③次序進(jìn)進(jìn)行單元集集成：20×104[k]=11234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30[K]=104×-3000030000123000k2=×104+12+0－30+0+300+0－30+0+100k3=×104457000+12+0－30+0+300+0－30+0+100－30?211、整體剛剛度方程{F}=[K]{Δ}………（a））表示由{Δ}→{F}結(jié)點力的關(guān)系式。。反映了結(jié)結(jié)點的剛度度性質(zhì)，不涉及結(jié)構(gòu)構(gòu)上的實際際荷載。2、位移法法基本方程程→∵在給結(jié)點位位移分量編總總碼時，已考考慮了結(jié)構(gòu)的的支承連接情情況，[K]是非奇異矩陣陣?！嗳绻阎Y(jié)結(jié)構(gòu)上的結(jié)點點荷載{P}，（a））就是求結(jié)點位位移{Δ}的位移法基本本方程。{P}=[K]{Δ}……（b））注：結(jié)點力與與結(jié)點荷載的的不同。結(jié)點點力是發(fā)生給給定的結(jié)點位位移，在結(jié)點上所需需施加的力，，它與體系的的剛度有關(guān)，，由剛度方程確定。而結(jié)結(jié)點荷載是給給定的與體系系無關(guān)。由結(jié)結(jié)點荷載產(chǎn)產(chǎn)生的未知結(jié)點點位移由位移移法基本方程程求解。3、等效結(jié)點點荷載平衡方程的荷荷載{P}是作用在結(jié)點點上的集中荷荷載，當(dāng)荷載載不是結(jié)點集中荷荷載時，應(yīng)化化成等效結(jié)點點荷載。§13-6等等效結(jié)點荷荷載22↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3結(jié)點約束力{FP}=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1等效結(jié)點荷載載{P}=－{FP}{Δ}可由位移法基基本方程(b)求得.注意：非結(jié)點荷載與與等效結(jié)點荷荷載等效的條條件是，兩者者產(chǎn)生相同結(jié)點位移。除了結(jié)點位移移外，等效結(jié)結(jié)點荷載與原原荷載產(chǎn)生的的其它位移和內(nèi)力并不相相同。等效結(jié)點荷載載為位移法基基本體系附加加約束中約束束力的負(fù)值。。而約束力為各各固端力之和和。所以求結(jié)結(jié)構(gòu)等效結(jié)點點荷載應(yīng)該先求出單元的的等效結(jié)點荷荷載，它是單單元固端力的的負(fù)值。位移法方程：：234、按單元集集成法求整體體結(jié)構(gòu)的等效效結(jié)點荷載⑴局部坐標(biāo)系系中的單元固固端約束力e⑵整體坐標(biāo)系系中的單元等等效結(jié)點荷載載ee⑶整體結(jié)構(gòu)的的等效結(jié)點荷荷載{P}由各單元{P}中的元素按{λ}在{P}中進(jìn)行定位并并累加。e⑷等效結(jié)點荷荷載與直接結(jié)結(jié)點荷載疊加加，即得結(jié)構(gòu)構(gòu)的結(jié)點荷載載。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13-3求求圖示結(jié)構(gòu)構(gòu)的等效結(jié)點點荷載{P}.e解:1)求單元①單元②242)求單元①的傾角角α1=0123004單元元②②的的傾傾角角α2=90°°123000{P}=123401210-10+4+0－54125-10251））整理理原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，進(jìn)進(jìn)行行局局部部編編碼碼和和整整體體編編碼碼。。2））用用式式（（13-6））形成成局局部部坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的單單元元剛剛度度矩矩陣陣3））用用式式（（13-21））形形成成整整體體坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的單單元元剛剛度度矩矩陣陣4））用用單單元元集集成成法法形形成成整整體體剛剛度度矩矩陣陣[K]5））形形成成整整體體結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的等等效效結(jié)結(jié)點點荷荷載載6））解解方方程程[K]{Δ}={P}，，求出出結(jié)結(jié)點點位位移移{Δ}。。7））求求各各桿桿桿桿端端力力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1固端力{FP}@桿端端位位移移產(chǎn)產(chǎn)生生的的桿桿端端力力{P}計算算步步驟驟§13-7計計算算步步驟驟和和算算例例26000123000456例13-4:求求內(nèi)內(nèi)力力。。橫橫梁梁b1×h1=0.5m××1.26m,立柱柱b2×h2=0.5m××1m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m213xy解:1)原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)及及編編碼碼27e13×10－32×10－32)形成[k]283)形形成成[k]單元元①①、、③③(α=90o)坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換矩矩陣陣為為13×10－3單元②(α=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:224)形形成成[K]123+][11k③+][11k①úú?ùêê?é=][][][][][22211211kkkkK②②②②29×10－35)求求等等效效節(jié)節(jié)點點荷荷載載{P}111單元元在在整整體體坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的等等效效節(jié)節(jié)點點荷荷載載集成成等等效效節(jié)節(jié)點點荷荷載載306)解解基基本本方方程程31②7)求求桿桿端端力力單元元①①1①①①①②②②②32③③③③③②①8.492.093.044.38M圖(kN.m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24Q圖(kN)N=0.43N=－－1.24N=－－0.43N圖(kN)331））結(jié)結(jié)點點位位移移分分量量的的統(tǒng)統(tǒng)一一編編碼碼————總總碼碼在剛剛結(jié)結(jié)點點A鉸結(jié)結(jié)點點C1和C2處，，豎向向位位移移均均為為零零，，故故其其編編碼碼也應(yīng)應(yīng)為為零零，，另另外外它它們們的的水水平平位移移分分量量都都相相等等，，因因此此它它們們的水水平平位位移移應(yīng)應(yīng)采采用用同同碼碼。。00010221AC1BD000103140C232））單單元元定定位位向向量量：：{λ}=1[102103]T{λ}=2[102000]T{λ}=3[104000]T3））按按①①②②③③次次序序進(jìn)進(jìn)行行單單元元集集成成：：§13-8忽忽略略軸向向變形形時矩矩形剛剛架的的整體體分析析34×104[k]=1102103123412341021033000－30001000+050－300+0+300+0050+0100102000k2=×104102000000010050050100+12－30－30+100k3=×104104000104000+12－30－30+100[K]=104×35例13-5:求求內(nèi)力力。橫橫梁b1×h1=0.5m××1.26m,立柱b2×h2=0.5m××1m忽略軸軸向變變形的的影響響。.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解:1)原原始數(shù)數(shù)據(jù)及及編碼碼000102000103213xy36e13×10－32×10－32)形成[k]373)形形成[k]單元①①、③③(α=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩矩陣為為13×10－3單元②(α=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:224)形形成[K]12338102000①1020002.31－6.9427.8－6.94③103000103000+2.31－6.94－6.9427.8②102103102103+52.5－52.5+0+0+52.5－52.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+04.62－－6.94－－6.94－6.9455.613.9－6.9413.955.6123123[K]=10－3×395)求求等效效節(jié)點點荷載載{P}111單元在在整體體坐標(biāo)標(biāo)系中中的等等效節(jié)節(jié)點荷荷載集成等等效節(jié)節(jié)點荷荷載6)解解基本本方程程40②7)求求桿端端力單元①①1①①①①②②②②41③③③③③②①8.412.093.094.47M圖(kN.m)4.75＋1.25－－0.431.25＋1.25Q圖(kN)N=0.43N=－－1.25N=－－0.43N圖(kN)由單元元剛度度方程程求出出的桿桿端軸軸力為零零。為為什么么？根據(jù)節(jié)節(jié)點平平衡由由剪力力求軸軸力。。②①③軸向變變形影影響不不大。。42單元的的剛度度方程程(局局部坐坐標(biāo)））u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意：：①桁桁架單單元的的結(jié)點點轉(zhuǎn)角角不是基本本未知知量。。②無無須求求等效效結(jié)點荷載載。③③桿端端力是是由結(jié)結(jié)點位位移產(chǎn)生的的。§13-9桁桁架架及組組合結(jié)結(jié)構(gòu)的的整體體分析析坐標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩矩陣單元的的剛度度方程程(整整體坐坐標(biāo)））433ll10kN10kN例13-6求求圖示示桁架架內(nèi)力力(EA=常數(shù))。解：1、編編碼如如圖；；⑥①②③④⑤124{0}{0}2、形成3、形形成[k]@[k]②=[k]④=[k]②=[k]④單元①①③α=90°°[k]①=[k]③=44單元⑤⑤α=45°°[k]⑤=單元⑤⑤α=135°[k]⑥=3ll10kN10kN⑥①②③④⑤124{0}{0}4、集集成總總剛[K]5、節(jié)點點荷載456、解基基本方程程7、桿端端力計算算46補充內(nèi)容容節(jié)點位移移分量自由節(jié)點點位移分分量(基基本未知知量，相相應(yīng)的節(jié)節(jié)點荷載載已知)受約束的的位移分分量(已已知量，，相應(yīng)的的約束反反力未知知)先處理法法1、節(jié)點點位移分分量中不不含受約約束的支支座位移移，節(jié)點點力分量量中不含未知的的支座反反力。2、由單單剛考慮邊界條件[K][Δ]3、對于于具有非非剛性連連接、支支承節(jié)點點較多且且分散、、不考慮慮軸向變形的結(jié)結(jié)構(gòu)最為為方便。?？蓽p少少內(nèi)存，，提高計計算速度度。但要要對各節(jié)位位移進(jìn)行行統(tǒng)一編編碼，形形成各單單元的定定位向量量。后處理法法1、節(jié)點點位移分分量中含含有受約約束的支支座位移移，節(jié)點點力分量量中含有未知的的支座反反力。2、由單單剛考慮邊界條件[K][Δ](原始剛剛度矩陣陣,奇異異)3、每個節(jié)點位移分量數(shù)相同，的階數(shù)是節(jié)點總數(shù)乘節(jié)點位移分量數(shù)，整個分析過程便于編制通用程序。適用于節(jié)點多支座約束少，考慮軸向變形的結(jié)構(gòu)。但占用內(nèi)存大。47補充內(nèi)容容后處理法法邊界條條件的處處理在后處理法中，由于沒有考慮邊界條件，由[k]@集成的是奇異矩陣，由單元集合成的體系是自由體，具有剛體位移。沒有確定定的位移移解。位移邊界界條件處處理的三三種方法法：1、劃行行劃列法法編制程序序較復(fù)雜雜，不常常采用。。2、主對對角元置置大數(shù)法法設(shè)第i個節(jié)點位移分量(已知)0di=D0di=D為了將第第i個方程改改為:將kii置一大數(shù)數(shù)如R=1020Pi改為Rd0第i個方程變變?yōu)?該法雖為為近似處處理，程程序設(shè)計計容易實實現(xiàn)，故故被廣泛泛應(yīng)用。。RRd048補充內(nèi)容2、主對角元元置1法0di=D第i個方程變?yōu)?為了不破壞總總剛的對稱性性第i列也作相應(yīng)的的處理。為了不影響其其他方程，荷載向量也要要作相應(yīng)的改變。00····1·····0d000···1···0該法是精確的的處理方法，，被經(jīng)常采用用，但不如主主對角元置大大數(shù)簡便。491）結(jié)點位移移分量的統(tǒng)一一編碼——總總碼在剛結(jié)點A鉸結(jié)點C1和C2處，豎向位移均為為零，故其編編碼也應(yīng)為零，另另外它們的水水平位移分量都相相等，因此它它們的水平位移應(yīng)應(yīng)采用同碼。。00010221AC1BD