matlab課件 第3章-控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換

第三章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換11/16/20221第三章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換11/9/20221本章內(nèi)容利用MATLAB描述在控制系統(tǒng)中常見的幾種數(shù)學模型；利用MATLAB實現(xiàn)任意數(shù)學模型之間的相互轉(zhuǎn)換；利用MATLAB求解系統(tǒng)經(jīng)過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接后的系統(tǒng)模型；利用MATLAB獲取一些典型系統(tǒng)的模型；利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散系統(tǒng)的連續(xù)化；利用MATLAB求取系統(tǒng)的特性函數(shù)。11/16/20222本章內(nèi)容利用MATLAB描述在控制系統(tǒng)中常見的幾種數(shù)學模型控制系統(tǒng)計算機仿真是建立在控制系統(tǒng)數(shù)學模型基礎(chǔ)之上的一門技術(shù)。對系統(tǒng)進行仿真，首先應(yīng)該知道系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計一個合適的控制器，使得原系統(tǒng)的響應(yīng)達到預期的效果。在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）零極點增益模型（傳遞函數(shù)模型的一種）這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進行轉(zhuǎn)換。11/16/20223控制系統(tǒng)計算機仿真是建立在控制系統(tǒng)數(shù)學模型基礎(chǔ)之上的一門技術(shù)系統(tǒng)類型一.連續(xù)和離散系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)自變量(時間)是連續(xù)變化還是離散變化，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。(1)連續(xù)系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。(2)離散系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。(3)混合系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)信號和離散信號。連續(xù)時間的數(shù)學模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型用差分方程描述。例如：一般L、R、C電路都是連續(xù)時間系統(tǒng)。數(shù)字計算機是典型的離散時間系統(tǒng)。實際上離散時間系統(tǒng)經(jīng)常與連續(xù)時間系統(tǒng)組合運用，此時稱為混合系統(tǒng)(或采樣系統(tǒng))。如自動控制系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)。11/16/20224系統(tǒng)類型一.連續(xù)和離散系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)自變量(時間)是連續(xù)變化還二.線性和非線性系統(tǒng)

根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為線性和非線性。假設(shè)系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態(tài)，在輸入信號為任意實數(shù)，和或和作用下，有式中，為輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系。那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。根據(jù)模型參數(shù)是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。例如，線性定常系統(tǒng)：11/16/20225二.線性和非線性系統(tǒng)根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時滿足齊線性時變系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)：式中，分別為系統(tǒng)輸入、輸出。11/16/20226線性時變系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)：式中，分別為系統(tǒng)輸入、輸出。1三.確定和隨機系統(tǒng)

根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈現(xiàn)的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系能夠用確定性模型描述的系統(tǒng)，稱為確定性系統(tǒng)，否則稱為隨機系統(tǒng)(或不確定性系統(tǒng))。在控制系統(tǒng)中，隨機因素可能作用在系統(tǒng)的入口，也可能作用在系統(tǒng)的出口，還可能影響系統(tǒng)模型本身。例如噪聲輸入的隨機控制系統(tǒng)，其微分方程具有如下形式。式中，分別為狀態(tài)變量和輸出變量，為輸入噪聲，通常是正態(tài)分布的白噪聲。11/16/20227三.確定和隨機系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量之間關(guān)系，控制系統(tǒng)模型可分為外部模型和內(nèi)部模型。一般地，把建立系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學模型稱為外部模型，包括時域模型和頻域模型。把建立系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量之間關(guān)系的數(shù)學模型稱為內(nèi)部模型，相應(yīng)的數(shù)學模型稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程(連續(xù)狀態(tài)空間方程或離散狀態(tài)空間方程)?？刂葡到y(tǒng)模型分類11/16/20228控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量一.連續(xù)系統(tǒng)

1．微分方程一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即式中，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，結(jié)構(gòu)參數(shù)，為輸入函數(shù)的及各階導數(shù)的初始值為它們均為實常數(shù)。已知輸出變量控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

11/16/20229一.連續(xù)系統(tǒng)1．微分方程式中，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量 稍加整理，并記 2.傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，即系統(tǒng)在t=0時已處于一個穩(wěn)定狀態(tài)，那么對式(3.1)兩邊取拉普拉斯變換后可得稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/16/202210 稍加整理，并記 2.傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/93.狀態(tài)空間描述

微分方程和傳遞函數(shù)都只描述了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而沒有考慮系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的動態(tài)運動，僅僅實現(xiàn)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系是不夠的，還必須復現(xiàn)模型的內(nèi)部變量即狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律。狀態(tài)空間描述考慮了“輸入-狀態(tài)-輸出”這一過程，引進經(jīng)典控制理論所忽略的中間內(nèi)部狀態(tài)，因此狀態(tài)空間表達式能夠完全反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，而且能夠方便處理初始條件。11/16/2022113.狀態(tài)空間描述11/9/202211在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述。狀態(tài)空間表達式包括狀態(tài)方程和輸出方程。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為=AX+BU狀態(tài)方程 (3.3)Y=CX+DU輸出方程 (3.4)——維系統(tǒng)矩陣式中——維輸入矩陣——維輸出矩陣——維直接傳遞矩陣11/16/202212在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)

——r維輸入向量，

——n維狀態(tài)向量，——m維輸出向量

11/16/202213——r維輸入向量，——n維狀態(tài)向量，——m維

對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，D，均與時間t有關(guān)，狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法是時域內(nèi)的一種矩陣運算方法，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統(tǒng)性能提供了有力工具。狀態(tài)空間分析法特別適合于用計算機來計算，有利于把工程技術(shù)人員從煩瑣的計算中解脫出來。11/16/202214對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，

二.離散系統(tǒng)1．差分方程設(shè)系統(tǒng)差分方程為(3.6)引進后移算子為

(3.7)控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

假設(shè)系統(tǒng)輸入、輸出及其內(nèi)部狀態(tài)變量均是時間序列，其中T

為離散時間間隔，為書寫簡便，用數(shù)學模型有3種形式。表示。與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，離散時間系統(tǒng)11/16/202215二.離散系統(tǒng)1．差分方程(3.6)引進后移式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)11/16/202216式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)11/9/2022．離散傳遞函數(shù)(Z傳函)假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，即則得(3.10)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(3.11)在初始條件為零時，與等價。11/16/2022172．離散傳遞函數(shù)(Z傳函)則得(3.10)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

3.離散狀態(tài)空間模型類似在連續(xù)系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式，叫做系統(tǒng)的實現(xiàn)。在離散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式，也是一種實現(xiàn)。多變量離散狀態(tài)空間表達式(3.12)11/16/2022183.離散狀態(tài)空間模型(3.12)11/9/3.1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱是提供自動控制系統(tǒng)建模、分析和設(shè)計方面函數(shù)的集合，提供傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型、狀態(tài)空間模型三種形式線性時不變(LTI)模型。有關(guān)模型表示的函數(shù)如表3-1所示。函數(shù)功能sys=tf(num，den)生成傳遞函數(shù)模型sys=zpk(z，p，k)生成零極點增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成狀態(tài)空間模型11/16/2022193.1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型MATLAB的控制系統(tǒng)工3.1.1傳遞函數(shù)num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它們都是按s的降冪進行排列的。11/16/2022203.1.1傳遞函數(shù)11/9/202220MATLAB輸入語句11/16/202221MATLAB輸入語句11/9/202221

MATLABControl工具箱中，用命令tf()可以建立一個傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點增益模型和狀態(tài)空間模型變化為傳遞函數(shù)模型。tf()函數(shù)調(diào)用格式如下：sys=tf(num，den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)(S傳遞函數(shù))；sys=tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數(shù)(Z傳遞函數(shù))；sys=tf(num，den，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數(shù)；sys=tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數(shù)；sys=tf('s')；%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數(shù)；sys=tf('z'，Ts)；%用于生成采樣周期為Ts的z有理傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)模型命令tf()調(diào)用格式11/16/202222MATLABControl工具箱中，傳遞函數(shù)輸入舉例【例3.1】

輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語句>>num=[612610];den=[12311];>>sys1=tf(num,den)Transferfunction:6s^3+12s^2+6s+10---------------------------s^4+2s^3+3s^2+s+111/16/202223傳遞函數(shù)輸入舉例【例3.1】輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸當傳遞函數(shù)的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供的多項式乘法運算函數(shù)conv()來處理，以便獲得分子和分母多項式向量，此函數(shù)的調(diào)用格式為

c=conv(a,b)其中a和b分別為由兩個多項式系數(shù)構(gòu)成的向量，而c為a和b多項式的乘積多項式系數(shù)向量。conv()函數(shù)的調(diào)用是允許多級嵌套的。11/16/202224當傳遞函數(shù)的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可【例3-2】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為【解】則可以將其用下列MATLAB語句表示

>>num=4*conv([12],[166])；>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))；>>G=tf(num,den)

11/16/202225【例3-2】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為11/9/202225【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數(shù)G=4*(s+2)*(s^2+6*s+6)/(s*(s+1)^3*(s^3+3*s^2+2*s+5))11/16/202226【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉【例3-3】對于單輸入多輸出系統(tǒng)

【解】

則可將其用下列MATLAB語句表示>>num={[32];[1025]};den=[3521];tf(num,den)Transferfunctionfrominputtooutput...3s+2#1:-----------------------3s^3+5s^2+2s+1

s^3+2s+5#2:-----------------------3s^3+5s^2+2s+111/16/202227【例3-3】對于單輸入多輸出系統(tǒng)Tr

【例3.4】給定SISO系統(tǒng)輸入為“flow”，輸出為“Temp”，傳遞函數(shù)為使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)num=[1.322.5];den=[10.51.21];sys=tf(num,den,'inputdelay',2,'inputName','flow','OutputName','Temp')運行結(jié)果：Transferfunctionfrominput"flow"tooutput"Temp":1.3s^2+2s+2.5exp(-2*s)*------------------------------s^3+0.5s^2+1.2s+111/16/202228 【例3.4】給定SISO

【例3.5】給定一個多輸入-多輸出MIMO系統(tǒng)結(jié)果為：Transferfunctionfrominput1tooutput...1#1:-------s+1

#2:2

Transferfunctionfrominput2tooutput...1#1:-------s+2

s+1#2:-------s+2MATLAB命令：num={11;2[11]};den={[11],[12];1,[12]};sys3=tf(num,den)11/16/202229 【例3.5】給定一個多輸入-多輸出MIMO系統(tǒng)MA

【例3.6】若一采樣周期為0.2s的離散MIMO傳遞函數(shù)為結(jié)果如下：Transferfunctionfrominput1tooutput...z+1#1:--------------------z^2+2z+11#2:---------2z+1

Transferfunctionfrominput2tooutput...Transferz#1:-----------z^2+22#2:----------z+1Samplingtime:0.2MATLAB命令如下：num={[11],[10];1,2};den={[121],[102];[21],[11]};sys4=tf(num,den,0.2)11/16/202230【例3.6】若一采樣周期為0.2s的離散MI3.1.2零極點增益形式零極點模型實際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點和極點的表示形式。MATLAB輸入語句K為系統(tǒng)增益，zi為零點，pj為極點11/16/2022313.1.2零極點增益形式零極點模型實際上是傳遞

在MATLABControl工具箱中，用命令zpk()可以建立零極點增益模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型變化為零極點增益模型。sys=zpk(z，p，k)sys=zpk(z，p，k，Ts)sys=zpk(z，p，k，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=zpk(z，p，k，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=zpk('s')sys=zpk('z')zpk()函數(shù)調(diào)用方法與tf()一致。零極點增益模型zpk函數(shù)調(diào)用格式11/16/202232在MATLABControl工具

【例3.7】給定一零極點增益模型，使用MATLAB表示該傳遞函數(shù)。MATLAB命令如下：z={[];-0.5};p={0.3;[0.1-j,0.1+j]};k=[1;2];sys=zpk(z,p,k,[])結(jié)果如下：Zero/pole/gainfrominputtooutput...1#1:----------(z-0.3)2(z+0.5)#2:-----------------------(z^2-0.2z+1.01)Samplingtime:unspecified11/16/202233【例3.7】給定一零極點增益模型，使用MATMATLAB工具箱中的函數(shù)poly()和roots()可用來實現(xiàn)多項式和零極點間的轉(zhuǎn)換，例如在命令窗口中進行如下操作可實現(xiàn)互相轉(zhuǎn)換。>>P=[1352];>>R=roots(P)

R=-1.2267+1.4677i-1.2267-1.4677i-0.5466>>P1=poly(R)

P1=1.00003.00005.00002.000011/16/202234MATLAB工具箱中的函數(shù)poly()和roots(例：建立下述傳遞函數(shù)模型的matlab表示>>num=[12,24,0,20];den=[24622];sys=tf(num,den)借助多項式乘法函數(shù)conv來處理：>>num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));>>den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));>>sys=tf(num,den)2）1)11/16/202235例：建立下述傳遞函數(shù)模型的matlab表示>>num=[13）零極點增益模型：4）零極點增益模型：z=[];p=[-1,-2,-3-4j,-3+4j];k=5;sys=zpk(z,p,k)z=[-3,0];p=[-1,50,-10];k=1;sys=zpk(z,p,k)11/16/2022363）零極點增益模型：4）零極點增益模型：z=[];z=[-33.1.3部分分式形式傳遞函數(shù)表示成部分分式或留數(shù)形式為極點，為各極點對應(yīng)的留數(shù)，為分子除以分母的余子式。11/16/2022373.1.3部分分式形式傳遞函數(shù)表示成部分分式或留數(shù)形式2.1.4狀態(tài)空間表達式

狀態(tài)空間模型(state-spacemodel:SS)線性定常狀態(tài)空間模型描述為式中，為狀態(tài)向量，為輸入向量，是輸出向量。11/16/2022382.1.4狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間模型(st在MATLABControl工具箱中，用命令ss()可以建立狀態(tài)空間模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和零極點增益模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。語法調(diào)用格式:sys=ss(a，b，c，d)sys=ss(a，b，c，d，Ts)sys=ss(a，b，c，d，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)sys=ss(a，b，c，d，Ts，'Property1'，Value1，...，'PropertyN'，ValueN)a，b，c，d是狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。sys為狀態(tài)空間模型對象。ss函數(shù)的調(diào)用方法與tf()、zpk()一致。11/16/202239在MATLABControl工具箱中，用命令ss【例3.8】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為>>A=[001;-3/2-2-1/2;-30-4];>>B=[11;-1-1;-1-3];>>C=[100;010];>>D=zeros(2,2);>>sys=ss(A,B,C,D)11/16/202240【例3.8】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為>>A=[001

【例3.9】狀態(tài)空間模型結(jié)果為：a=x1x2x3x1010x2001x3-5-20-1b=u1x10x20x31c=x1x2x3y1100d=u1y10Continuous-timemodel。用MATLAB表示為A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;sys=ss(A,B,C,D)11/16/202241【例3.9】狀態(tài)空間模型用MATLAB表示為

傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型和狀態(tài)空間模型之間模型轉(zhuǎn)換函數(shù)如圖所示。3.2系統(tǒng)數(shù)學模型間的相互轉(zhuǎn)換11/16/202242傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型和狀態(tài)空間

在不同的場合需要不同的模型，因此系統(tǒng)的數(shù)學模型有多種表示方式，這些數(shù)學模型需要相互轉(zhuǎn)換。MATLABcontrol工具箱提供了一系列用于模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)如表3-2所示。函數(shù)功能sys=tf(ss_sys);sys=tf(zpk_sys);ss或zpk模型轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)模型sys=zpk(ss_sys);sys=zpk(tf_sys)ss或tf模型生成零極點增益模型sys=ss(tf_sys);sys=ss(zpk_sys)tf或zpk模型生成狀態(tài)空間模型[A，B，C，D]=tf2ss(num，den)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，iu)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)[z，p，k]=tf2zp(num，den)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成零極點增益模型[num，den]=zp2tf(z，p，k)零極點增益模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)[z，p，k]=ss2zp(A，B，C，D，iu)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型[A，B，C，D]=zp2ss(z，p，k)零極點增益模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型11/16/202243在不同的場合需要不同的模型，因此系統(tǒng)的

MATLAB實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。方式1：簡單的模型轉(zhuǎn)換首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型對象類作為輸入，調(diào)用欲轉(zhuǎn)換的模型函數(shù)即可。例如：欲將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型sys=tf(num，den)； %生成傳遞函數(shù)模型。[a，b，c，d]=ss(sys)； %將傳遞函數(shù)模型作為狀態(tài)空間模型的輸入。11/16/202244MATLAB實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。11方式2：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)連續(xù)模型之間三種形式的數(shù)學模型相互轉(zhuǎn)換函數(shù)類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個函數(shù)，如圖3.2所示。函數(shù)的調(diào)用格式和功能見表3-2。傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型和狀態(tài)空間模型之間模型轉(zhuǎn)換函數(shù)如圖3.2所示。11/16/202245方式2：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)11/9/202245

3.2.1狀態(tài)空間表達式到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換

在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，給出一個根據(jù)狀態(tài)空間表達式求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的函數(shù)ss2tf()，其調(diào)用格式為[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)對多輸入的系統(tǒng)，必須具體化iu。例如，如果系統(tǒng)有三個輸入(u1，u2，u3)，則iu必須為1、2或3中的一個，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。如果系統(tǒng)只有一個輸入，則可采用[num，den]=ss2tf(A，B，C，D)或[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，1)11/16/2022463.2.1狀態(tài)空間表達式到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換*【例3-10】對于例3-8中給出的多變量系統(tǒng)，可以由下面的命令分別對各個輸入信號求取傳遞函數(shù)向量，然后求出這個傳遞函數(shù)陣。

【解】利用下列MATLAB語句>>[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)num1=01.00005.00006.00000-1.0000-5.0000-6.0000den1=1611611/16/202247*【例3-10】對于例3-8中給出的多變量系統(tǒng)，可以由下面的>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)num2=01.00003.00002.00000-1.0000-4.0000-3.0000den2=16116則可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣11/16/202248>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)3.2.2狀態(tài)空間形式到零極點形式的轉(zhuǎn)換MATLAB函數(shù)ss2zp()的調(diào)用格式為

[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)iu值的設(shè)置與ss2tf()用法相同。11/16/2022493.2.2狀態(tài)空間形式到零極點形式的轉(zhuǎn)換MATLAB函數(shù)

【例3-11】將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)和零極點增益模型。MATLAB命令：A=[010;001;-5-20-1];B=[0;0;1];C=[100];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D); %狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型printsys(num,den) %輸出傳遞函數(shù)模型[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D); %狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成零極點增益模型zpk(z,p,k) %生成零極點增益模型對象類11/16/202250【例3-11】將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)和

【例3-13】多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式包括兩個傳遞函數(shù)：Y1(s)/U1(s)、Y1(s)/U2(s)(當考慮輸入u1時，可設(shè)u2為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數(shù)形式。MATLAB命令：A=[010;011;-5.00825.1026-5.032471];B=[01;25.042;121.0053];C=[100];D=[00];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);sys1=tf(num,den)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);sys2=tf(num,den)11/16/202251【例3-13】多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式包括

傳遞函數(shù)Y1(s)/U1(s)為Transferfunction:-3.553e-015s^2+25.04s+247----------------------------------------s^3+4.032s^2–30.14s+5.008傳遞函數(shù)Y1(s)/U2(s)為Transferfunction:s^2+6.032s–17.07----------------------------------------s^3+4.032s^2–30.14s+5.008以上就是下列兩個傳遞函數(shù)的MATLAB表達式：11/16/202252傳遞函數(shù)Y1(s)/U1(s)為11/9/20

2.2.3傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達式的轉(zhuǎn)換如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，求取系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的過程又稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)。由于狀態(tài)變量可以任意地選取，所以實現(xiàn)的方法并不是唯一的，這里只介紹一種比較常用的實現(xiàn)方法。在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中稱這種方法為能控標準型實現(xiàn)方法，并給出了直接實現(xiàn)函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)11/16/2022532.2.3傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達式的轉(zhuǎn)換

【例3-14】將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間表達式num=[023;121];den=[10.41];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)結(jié)果為：A=-0.4000-1.00001.00000B=10C=2.00003.00001.60000D=0111/16/202254【例3-14】將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間表達式13.2.4傳遞函數(shù)形式到零極點形式的轉(zhuǎn)換MATLAB函數(shù)tf2zp()的調(diào)用格式為

[Z,P,K]=tf2zp(num,den)3.2.5零極點形式到狀態(tài)空間表達式的轉(zhuǎn)換MATLAB函數(shù)zp2ss()的調(diào)用格式為

[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)3.2.6零極點形式到傳遞函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換MATLAB函數(shù)zp2tf()的調(diào)用格式為

[num,den]=zp2tf(Z,P,K)11/16/2022553.2.4傳遞函數(shù)形式到零極點形式的轉(zhuǎn)換3.2.5零極

【例3-15】將傳遞函數(shù)化為零極點增益模型MATLAB代碼命令如下。num=[21];den=[341];[z,p,k]=tf2zp(num,den)結(jié)果：z=-0.5000p=-1.0000-0.3333k=0.6667因此，零點為-1/2，極點為-1/3和-1，增益為2/3，因此零極點增益模型為11/16/202256【例3-15】將傳遞函數(shù)化為零極點增益模型M

【例3-16】零極點增益模型化成狀態(tài)空間表達式MATLAB代碼命令如下。z=[-2];p=[-1-3-3];k=2;[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)11/16/202257【例3-16】零極點增益模型化成狀態(tài)空間表達3.2.7部分分式與傳遞函數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換[num,den]＝residue(P,R,H):部分分式模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型[P,R,H]=residue(num,den):傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為部分分式模型11/16/2022583.2.7部分分式與傳遞函數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換[num,

sys=append(sys1，sys2，...，sysN)子系統(tǒng)合成對角形式sys=

parallel(sys1，sys2，inp1，inp2，out1，out2)并聯(lián)連接sys=series(sys1，sys2，outputs1，inputs2)串聯(lián)連接sys=feedback(sys1，sys2)反饋連接sys=lft(sys1，sys2，nu，ny)模型連接sysc=connect(sys，Q，inputs，outputs)框圖建模3.3系統(tǒng)模型的連接在一般情況下，控制系統(tǒng)常常由若干個環(huán)節(jié)通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方式而組成，對在各種連接模式下的系統(tǒng)能夠進行分析就需要對系統(tǒng)的模型進行適當?shù)奶幚?在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了大量的對控制系統(tǒng)的簡單模型進行連接的函數(shù)。11/16/202259sys=append(sys1，sys2，

，3.3.1串聯(lián)連接在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了系統(tǒng)的串聯(lián)連接處理函數(shù)series()，它既可處理由狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)，也可處理由傳遞函數(shù)陣表示的單輸入多輸出系統(tǒng)。SISO系統(tǒng)模型的串連MIMO系統(tǒng)模型的串連11/16/202260，3.3.1串聯(lián)連接在MATLAB函數(shù)調(diào)用格式：sys=series(sys1,sys2)：求SISO系統(tǒng)sys1和sys2的串連模型sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2):求MIMO系統(tǒng)的串連，其中outputs1為sys1的輸出端口數(shù)，inputs2為sys2的輸入端口數(shù)。若MIMO系統(tǒng)有多個連接，在outputs1和inputs2為同維數(shù)向量。[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,output1,input2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[num,den]=series(num1,den1,num2,den2,output1,input2)11/16/202261函數(shù)調(diào)用格式：[a,b,c,d]=series(a1,b1,

【例3-17】求下列兩系統(tǒng)串聯(lián)后的系統(tǒng)模型>>A1=[23;-14];B1=[1;0];C1=[24];D1=1;>>A2=[03;-3-1];B2=[0;1];C2=[13];D2=2;>>[A,B,C,D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)11/16/202262【例3-17】求下列兩系統(tǒng)串聯(lián)后的系統(tǒng)模型>>對于單入單出SISO系統(tǒng)，并聯(lián)連接是指各子系統(tǒng)輸入相同，輸出是各子系統(tǒng)輸出之代數(shù)和。如圖所示。3.3.2并聯(lián)連接在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了系統(tǒng)的并聯(lián)連接處理函數(shù)parallel()。SISO系統(tǒng)模型的并連MIMO系統(tǒng)模型的并連11/16/202263對于單入單出SISO系統(tǒng)，并聯(lián)連接是指各子系統(tǒng)輸入相[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,in1,in2,out1,out2)[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

其調(diào)用格式如下：sys=parallel(sys1,sys2)：兩個SISO系統(tǒng)模型的并聯(lián)sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)：生成兩個MIMO系統(tǒng)的并聯(lián)模型，并聯(lián)輸入端口由向量in1和in2定義，并聯(lián)的輸出端口由向量out1和out2定義。in1和out1對應(yīng)sys1用于并聯(lián)的輸入、輸出端口向量，in2和out2對應(yīng)sys2用于并聯(lián)的輸入、輸出端口向量。11/16/202264[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1【例3-18】在上圖所示的SISO系統(tǒng)并聯(lián)模型結(jié)構(gòu)中，已知sys1、sys2的傳遞函數(shù)分別為：s=tf('s');%定義拉普拉斯變量ssys1=(s+1)/(s*(s^2+s+2));%定義SISO系統(tǒng)sys1的傳遞函數(shù)模型sys2=5/(5*s+1);%定義SISO系統(tǒng)的sys2的傳遞函數(shù)模型disp('并聯(lián)系統(tǒng)模型為')sys=parallel(sys1,sys2)%生成sys1與sys2的并聯(lián)模型執(zhí)行上述命令后在CommandWindows得如下結(jié)果：并聯(lián)系統(tǒng)模型為Transferfunction:5s^3+10s^2+16s+1----------------------------5s^4+6s^3+11s^2+2s11/16/202265【例3-18】在上圖所示的SISO系統(tǒng)并聯(lián)模型結(jié)構(gòu)中，已知s

【例3-19】求下列兩系統(tǒng)并聯(lián)后的系統(tǒng)模型>>num1=3;den1=[14];num2=[24];den2=[123];>>[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);>>G=tf(num,den)Transferfunction:5s^2+18s+25-----------------------s^3+6s^2+11s+1211/16/202266【例3-19】求下列兩系統(tǒng)并聯(lián)后的系統(tǒng)模型>>系統(tǒng)模型的反饋連接分SISO系統(tǒng)模型反饋連接和MIMO系統(tǒng)模型反饋連接。3.3.3反饋連接SISO系統(tǒng)模型的反饋MIMO系統(tǒng)模型的反饋11/16/202267系統(tǒng)模型的反饋連接分SISO系統(tǒng)模型反饋連接和MIMsys=feedback(sys1,sys2,sign)：生SISO系統(tǒng)sys1與sys2構(gòu)成的反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，sys2為反饋通道傳遞函數(shù)模型，反饋類型由sign指定，當sign=1為正反饋，當sign=-1為負反饋，此時sign可省略。sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)：生成MIMO系統(tǒng)的部分反饋模型，feedin指定sys1中連入反饋回路的輸入端口向量。feedout指定sys1中連入反饋回路中的輸出端口向量。feedback（）調(diào)用格式[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)11/16/202268sys=feedback(sys1,sys2,sign)：生【例】給定一個5輸入4輸出的狀態(tài)空間子系統(tǒng)sys1和一個3輸入2輸出的狀態(tài)空間反饋控制器sys2。sys1的輸出1、3和4連接到控制器sys2的輸入端，控制器sys2的輸出端連接到子系統(tǒng)sys1的輸入端4和2。則采用命令如下：feedin=[42];feedout=[134];cloop=feedback(sys1，sys2，feedin，feedout);11/16/202269【例】給定一個5輸入4輸出的狀態(tài)空間子系統(tǒng)sys1和一個3

【例3-20】求下列兩系統(tǒng)反饋連接后的系統(tǒng)模型numg=[251];deng=[123];numh=[510];denh=[110];[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);printsys(num,den)11/16/202270【例3-20】求下列兩系統(tǒng)反饋連接后的系統(tǒng)模型3.3.4系統(tǒng)的組合MATLAB的組合函數(shù)append()的調(diào)用格式為

[A,B,C,D]=append(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)11/16/2022713.3.4系統(tǒng)的組合MATLAB的組合函數(shù)appen

3.3.5根據(jù)框圖建模利用connect()函數(shù)，可以根據(jù)系統(tǒng)的方框圖按指定方式求取系統(tǒng)模型，其函數(shù)調(diào)用格式為：[A1,B1,C1,D1]=connect(A,B,C,D,Q,inputs,outputs)其中（A,B,C,D）為由函數(shù)append()生成的無連接對角方塊系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣；Q矩陣用于指定系統(tǒng)（A,B,C,D）的內(nèi)部連接關(guān)系，Ｑ矩陣的每一行對應(yīng)于一個有連接關(guān)系的輸入，其第一個元素為輸入編號，其后為連接該輸入的輸出編號，如采用負連接，則以負值表示；inputs和outputs用于指定系統(tǒng)（A1,B1,C1,D1）的輸入和輸出的編號；（A1,B1,C1,D1）為在指定輸入和輸出并按要求的內(nèi)部連接關(guān)系下所生成的系統(tǒng)。11/16/2022723.3.5根據(jù)框圖建模利用connec

【例3-21】用框圖建模法重做【例3-17】11/16/202273【例3-21】用框圖建模法重做【例3-17】1

【例3-21】用框圖建模法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/16/202274【例3-21】用框圖建模法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1

【例3-22】用框圖建模法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/16/202275【例3-22】用框圖建模法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1

【例3-23】如圖3-9所示的系統(tǒng)連接關(guān)系，建立該框圖的狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)模型。圖3-9用方框圖表示系統(tǒng)的連接關(guān)系11/16/202276【例3-23】如圖3-9所示的系統(tǒng)連接關(guān)系，Step1:定義子系統(tǒng)數(shù)學模型(傳遞函數(shù)tf、狀態(tài)空間模型ss或零極點增益模型zpk)。11/16/202277Step1:定義子系統(tǒng)數(shù)學模型(傳遞函數(shù)tf、狀態(tài)空間模Step2：建立無連接的狀態(tài)空間模型，形成一個無連接關(guān)系的對角塊(a，b，c，d)。11/16/202278Step2：建立無連接的狀態(tài)空間模型，形成一個無連接關(guān)系的Step3：指定框圖間的連接關(guān)系。11/16/202279Step3：指定框圖間的連接關(guān)系。11/9/202279Step4：選擇輸入/輸出。11/16/202280Step4：選擇輸入/輸出。11/9/202280Step5：調(diào)用connect函數(shù)，完成框圖模型的狀態(tài)空間模型。sysc=connect(sys,Q,inputs,outputs);11/16/202281Step5：調(diào)用connect函數(shù)，完成框圖模型的狀態(tài)空間Step6：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。11/16/202282Step6：將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。11/9/2

11/16/20228311/9/2022833.4典型系統(tǒng)的生成1.建立二階系統(tǒng)模型可利用MATLAB所提供的函數(shù)ord2()來建立其調(diào)用格式為

[num,den]=ord2(ωn,ζ)或

[A,B,C,D]=ord2(ωn,ζ)11/16/2022843.4典型系統(tǒng)的生成1.建立二階系統(tǒng)模型11/9/202

【例3-24】已知ζ=0.4，ωn=2.4rad/s,求二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。>>[num,den]=ord2(2.4,0.4);>>printsys(num,den)num/den=

1-------------------s^2+1.92s+5.7611/16/202285【例3-24】已知ζ=0.4，ωn=2.4ra2.純時延系統(tǒng)的Padè近似可利用MATLAB所提供的函數(shù)pade()來建立其調(diào)用格式為

[num,den]=pade(tau，n)11/16/2022862.純時延系統(tǒng)的Padè近似11/9/2022863.5系統(tǒng)的特性值在分析控制系統(tǒng)的時候，經(jīng)常用到系統(tǒng)的一些特性函數(shù)，如系統(tǒng)的增益、阻尼系數(shù)和自然頻率等等，MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了相應(yīng)的函數(shù)用來計算系統(tǒng)的特性函數(shù)，如下表所示。函數(shù)名功能damp()求系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率ddamp()求離散系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率dcgain()求連續(xù)控制系統(tǒng)的增益ddcgain()求離散控制系統(tǒng)的增益printsys()顯示或打印系統(tǒng)11/16/2022873.5系統(tǒng)的特性值在分析控制系統(tǒng)的時候，經(jīng)常用到系求系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率MATLAB函數(shù)damp()的調(diào)用格式為[wn,zeta]=damp(A)

【例3-25】連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)特征值、自然頻率和阻尼系數(shù)。>>num=[251];den=[123];>>[wn,zeta]=damp(den)>>roots(den)11/16/202288求系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率【例3-25】連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)>2.系統(tǒng)的增益MATLAB的函數(shù)dcgain()的調(diào)用格式為

K=dcgain(num,den)或K=dcgain(A,B,C,D)11/16/2022892.系統(tǒng)的增益11/9/2022893.顯示∕打印線性系統(tǒng)MATLAB的printsys()函數(shù)可按特殊格式打印出狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)。其調(diào)用格式分別為printsys(num,den,'s')

%顯示∕打印連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，默認方式；printsys(num,den,'z')

%顯示∕打印離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；printsys(A,B,C,D)

%顯示∕打印狀態(tài)空間形式的系數(shù)矩陣。11/16/2022903.顯示∕打印線性系統(tǒng)11/9/202290本章小結(jié)在進行控制系統(tǒng)的仿真之前，建立系統(tǒng)的模型表達式是關(guān)鍵的一步。對于控制系統(tǒng)，有不同的分類，在本課程中主要討論的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)的描述有不同的方法：微分方程；傳遞函數(shù)；零極點增益模式；部分分式展開；狀態(tài)空間模型等。系統(tǒng)的模型之間可以相互轉(zhuǎn)換，要求熟練掌握各種模型之間轉(zhuǎn)換的命令。模型之間可以進行連接，要求掌握常用的模型連接命令：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋及閉環(huán)。11/16/202291本章小結(jié)在進行控制系統(tǒng)的仿真之前，建立系統(tǒng)的模型表達式是關(guān)鍵習題

3-1根據(jù)SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，求其對應(yīng)的傳遞函數(shù)。11/16/202292習題3-1根據(jù)SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，

3-2由MIMO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 11/16/2022933-2由MIMO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)的傳

3-3給定系統(tǒng)為使用MATLAB求出狀態(tài)空間表達式和零極點模型11/16/2022943-3給定系統(tǒng)為使用MATLAB求出狀態(tài)空間

3-4考慮由下式定義的系統(tǒng)：式中，試求其傳遞函數(shù)Y(s)/U(s)。11/16/2022953-4考慮由下式定義的系統(tǒng)：式中，試求其傳3-5已知系統(tǒng)外部模型，其輸入是u，輸出是y，試分別寫出下列系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程：(1)(2)11/16/2022963-5已知系統(tǒng)外部模型，其輸入是u，輸出是y，試分別寫出下

3-6考慮一個MIMO系統(tǒng)求出對應(yīng)的傳遞函數(shù)。11/16/2022973-6考慮一個MIMO系統(tǒng)求出對應(yīng)的傳遞函數(shù)第三章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換11/16/202298第三章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換11/9/20221本章內(nèi)容利用MATLAB描述在控制系統(tǒng)中常見的幾種數(shù)學模型；利用MATLAB實現(xiàn)任意數(shù)學模型之間的相互轉(zhuǎn)換；利用MATLAB求解系統(tǒng)經(jīng)過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接后的系統(tǒng)模型；利用MATLAB獲取一些典型系統(tǒng)的模型；利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散系統(tǒng)的連續(xù)化；利用MATLAB求取系統(tǒng)的特性函數(shù)。11/16/202299本章內(nèi)容利用MATLAB描述在控制系統(tǒng)中常見的幾種數(shù)學模型控制系統(tǒng)計算機仿真是建立在控制系統(tǒng)數(shù)學模型基礎(chǔ)之上的一門技術(shù)。對系統(tǒng)進行仿真，首先應(yīng)該知道系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計一個合適的控制器，使得原系統(tǒng)的響應(yīng)達到預期的效果。在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）零極點增益模型（傳遞函數(shù)模型的一種）這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進行轉(zhuǎn)換。11/16/2022100控制系統(tǒng)計算機仿真是建立在控制系統(tǒng)數(shù)學模型基礎(chǔ)之上的一門技術(shù)系統(tǒng)類型一.連續(xù)和離散系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)自變量(時間)是連續(xù)變化還是離散變化，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。(1)連續(xù)系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。(2)離散系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。(3)混合系統(tǒng)——系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)信號和離散信號。連續(xù)時間的數(shù)學模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型用差分方程描述。例如：一般L、R、C電路都是連續(xù)時間系統(tǒng)。數(shù)字計算機是典型的離散時間系統(tǒng)。實際上離散時間系統(tǒng)經(jīng)常與連續(xù)時間系統(tǒng)組合運用，此時稱為混合系統(tǒng)(或采樣系統(tǒng))。如自動控制系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)。11/16/2022101系統(tǒng)類型一.連續(xù)和離散系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)自變量(時間)是連續(xù)變化還二.線性和非線性系統(tǒng)

根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為線性和非線性。假設(shè)系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態(tài)，在輸入信號為任意實數(shù)，和或和作用下，有式中，為輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系。那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。根據(jù)模型參數(shù)是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。例如，線性定常系統(tǒng)：11/16/2022102二.線性和非線性系統(tǒng)根據(jù)輸入輸出關(guān)系是否同時滿足齊線性時變系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)：式中，分別為系統(tǒng)輸入、輸出。11/16/2022103線性時變系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)：式中，分別為系統(tǒng)輸入、輸出。1三.確定和隨機系統(tǒng)

根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈現(xiàn)的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數(shù)關(guān)系能夠用確定性模型描述的系統(tǒng)，稱為確定性系統(tǒng)，否則稱為隨機系統(tǒng)(或不確定性系統(tǒng))。在控制系統(tǒng)中，隨機因素可能作用在系統(tǒng)的入口，也可能作用在系統(tǒng)的出口，還可能影響系統(tǒng)模型本身。例如噪聲輸入的隨機控制系統(tǒng)，其微分方程具有如下形式。式中，分別為狀態(tài)變量和輸出變量，為輸入噪聲，通常是正態(tài)分布的白噪聲。11/16/2022104三.確定和隨機系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量之間關(guān)系，控制系統(tǒng)模型可分為外部模型和內(nèi)部模型。一般地，把建立系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學模型稱為外部模型，包括時域模型和頻域模型。把建立系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量之間關(guān)系的數(shù)學模型稱為內(nèi)部模型，相應(yīng)的數(shù)學模型稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程(連續(xù)狀態(tài)空間方程或離散狀態(tài)空間方程)?？刂葡到y(tǒng)模型分類11/16/2022105控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量一.連續(xù)系統(tǒng)

1．微分方程一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即式中，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，結(jié)構(gòu)參數(shù)，為輸入函數(shù)的及各階導數(shù)的初始值為它們均為實常數(shù)。已知輸出變量控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

11/16/2022106一.連續(xù)系統(tǒng)1．微分方程式中，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量 稍加整理，并記 2.傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，即系統(tǒng)在t=0時已處于一個穩(wěn)定狀態(tài)，那么對式(3.1)兩邊取拉普拉斯變換后可得稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/16/2022107 稍加整理，并記 2.傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。11/93.狀態(tài)空間描述

微分方程和傳遞函數(shù)都只描述了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，而沒有考慮系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的動態(tài)運動，僅僅實現(xiàn)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系是不夠的，還必須復現(xiàn)模型的內(nèi)部變量即狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律。狀態(tài)空間描述考慮了“輸入-狀態(tài)-輸出”這一過程，引進經(jīng)典控制理論所忽略的中間內(nèi)部狀態(tài)，因此狀態(tài)空間表達式能夠完全反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，而且能夠方便處理初始條件。11/16/20221083.狀態(tài)空間描述11/9/202211在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述。狀態(tài)空間表達式包括狀態(tài)方程和輸出方程。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為=AX+BU狀態(tài)方程 (3.3)Y=CX+DU輸出方程 (3.4)——維系統(tǒng)矩陣式中——維輸入矩陣——維輸出矩陣——維直接傳遞矩陣11/16/2022109在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)

——r維輸入向量，

——n維狀態(tài)向量，——m維輸出向量

11/16/2022110——r維輸入向量，——n維狀態(tài)向量，——m維

對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，D，均與時間t有關(guān)，狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法是時域內(nèi)的一種矩陣運算方法，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統(tǒng)性能提供了有力工具。狀態(tài)空間分析法特別適合于用計算機來計算，有利于把工程技術(shù)人員從煩瑣的計算中解脫出來。11/16/2022111對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A，B，C，

二.離散系統(tǒng)1．差分方程設(shè)系統(tǒng)差分方程為(3.6)引進后移算子為

(3.7)控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型

假設(shè)系統(tǒng)輸入、輸出及其內(nèi)部狀態(tài)變量均是時間序列，其中T

為離散時間間隔，為書寫簡便，用數(shù)學模型有3種形式。表示。與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，離散時間系統(tǒng)11/16/2022112二.離散系統(tǒng)1．差分方程(3.6)引進后移式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)11/16/2022113式(3.6)可寫為(3.8)令則(3.9)11/9/2022．離散傳遞函數(shù)(Z傳函)假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，即則得(3.10)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(3.11)在初始條件為零時，與等價。11/16/20221142．離散傳遞函數(shù)(Z傳函)則得(3.10)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

3.離散狀態(tài)空間模型類似在連續(xù)系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式，叫做系統(tǒng)的實現(xiàn)。在離散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式，也是一種實現(xiàn)。多變量離散狀態(tài)空間表達式(3.12)11/16/20221153.離散狀態(tài)空間模型(3.12)11/9/3.1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱是提供自動控制系統(tǒng)建模、分析和設(shè)計方面函數(shù)的集合，提供傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型、狀態(tài)空間模型三種形式線性時不變(LTI)模型。有關(guān)模型表示的函數(shù)如表3-1所示。函數(shù)功能sys=tf(num，den)生成傳遞函數(shù)模型sys=zpk(z，p，k)生成零極點增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成狀態(tài)空間模型11/16/20221163.1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型MATLAB的控制系統(tǒng)工3.1.1傳遞函數(shù)num=[b1,b2,…,bm,bm+1]den=[a1,a2,…,an,an+1]注意：它們都是按s的降冪進行排列的。11/16/20221173.1.1傳遞函數(shù)11/9/202220MATLAB輸入語句11/16/2022118MATLAB輸入語句11/9/202221

MATLABControl工具箱中，用命令tf()可以建立一個傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點增益模型和狀態(tài)空間模型變化為傳遞函數(shù)模型。tf()函數(shù)調(diào)用格式如下：sys=tf(num，den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)(S傳遞函數(shù))；sys=tf(num，den，Ts)；%用于生成離散傳遞函數(shù)(Z傳遞函數(shù))；sys=tf(num，den，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數(shù)；sys=tf(num，den，Ts，‘Property1’，Value1，...，‘PropertyN’，ValueN)；%用于生成具有LTI模型屬性的傳遞函數(shù)；sys=tf('s')；%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數(shù)；sys=tf('z'，Ts)；%用于生成采樣周期為Ts的z有理傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)模型命令tf()調(diào)用格式11/16/2022119MATLABControl工具箱中，傳遞函數(shù)輸入舉例【例3.1】

輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語句>>num=[612610];den=[12311];>>sys1=tf(num,den)Transferfunction:6s^3+12s^2+6s+10---------------------------s^4+2s^3+3s^2+s+111/16/2022120傳遞函數(shù)輸入舉例【例3.1】輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸當傳遞函數(shù)的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供的多項式乘法運算函數(shù)conv()來處理，以便獲得分子和分母多項式向量，此函數(shù)的調(diào)用格式為

c=conv(a,b)其中a和b分別為由兩個多項式系數(shù)構(gòu)成的向量，而c為a和b多項式的乘積多項式系數(shù)向量。conv()函數(shù)的調(diào)用是允許多級嵌套的。11/16/2022121當傳遞函數(shù)的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可【例3-2】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為【解】則可以將其用下列MATLAB語句表示

>>num=4*conv([12],[166])；>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))；>>G=tf(num,den)

11/16/2022122【例3-2】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為11/9/202225【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉普拉斯變量s有理傳遞函數(shù)G=4*(s+2)*(s^2+6*s+6)/(s*(s+1)^3*(s^3+3*s^2+2*s+5))11/16/2022123【例3-2】更簡便的輸入法s=tf('s');%用于生成拉【例3-3】對于單輸入多輸出系統(tǒng)

【解】

則可將其用下列MATLAB語句表示>>num={[32];[1025]};den=[3521];tf(num,den)Transferfunctionfrominputtooutput...3s+2#1:-----------------------3s^3+5s^2+2s+1

s^3+2s+5#2:-----------------------3s^3+5s^2+2s+111/16/2022124【例3-3】對于單輸入多輸出系統(tǒng)Tr

【例3.4】給定SISO系統(tǒng)輸入