2023年江蘇省南京市田家炳中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．偶函數(shù)關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，求（）A． B． C． D．2．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．3．設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面5．某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．6．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．7．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學(xué)生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，8．設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．19．已知函數(shù)滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．10．已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．11．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A．2 B．3 C．3.5 D．412．給出個數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計算這個數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.14．設(shè)全集，集合，，則集合______.15．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為________人.16．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某機構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果．設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數(shù)字的一種排列．定義隨機變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度．（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解．（ⅰ）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X＜4，請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解，說明理由．18．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．19．（12分）已知拋物線，焦點為，直線交拋物線于兩點，交拋物線的準線于點，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過焦點時，點恰好是的中點，且.（1）求拋物線的方程；（2）點是原點，設(shè)直線的斜率分別是，當(dāng)直線的縱截距為1時，有數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）證明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．21．（12分）已知數(shù)列滿足，，其前n項和為.（1）通過計算，，，猜想并證明數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點在拋物線上，直線與拋物線交于另一點.（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點的橫坐標；②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時，求直線的方程.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計算即可.【題目詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時，，則.故選：D.【答案點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2．A【答案解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【題目詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時取等號.故.故選：A【答案點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.3．C【答案解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱．

∵當(dāng)x≥1時，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C4．B【答案解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【題目詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【答案點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．5．B【答案解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有，扣除郁金香在兩邊有，即可求出結(jié)論.【題目詳解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有，根據(jù)分步計數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.【答案點睛】本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6．C【答案解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應(yīng)的概率.【題目詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標事件的概率.故選：C.【答案點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.7．B【答案解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．8．C【答案解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題．9．C【答案解析】

設(shè)的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進而可得.【題目詳解】解：設(shè)的最小正周期為，因為，所以，所以，所以，又，所以當(dāng)時，，，因為，整理得，因為，，，則所以.故選：C.【答案點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學(xué)生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.10．B【答案解析】

求出的表達式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【題目詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【答案點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11．C【答案解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【題目詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.【答案點睛】本題考查中位數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題.12．A【答案解析】

要計算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【題目詳解】因為計算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應(yīng)該為1，故判斷語句①應(yīng)為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【答案點睛】本題考查了補充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由已知可得，結(jié)合雙曲線的定義可知，結(jié)合，從而可求出離心率.【題目詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【答案點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題，一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計算量.14．【答案解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【題目詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【答案點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎(chǔ)題.15．【答案解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：【答案點睛】本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16．【答案解析】

利用平面直角坐標系，設(shè)出點E，F(xiàn)的坐標，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【題目詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【答案點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（?。áⅲ┓植急硪娊馕觯唬?）理由見解析【答案解析】

（1）（i）若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有種等可能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率．

（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列．

（2）假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=，三輪游戲結(jié)果都滿足“X＜4”的概率為，這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解．【題目詳解】（1）（i）若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，先考慮小孩的排序為xA，xB，xC，xD為1234的情況，家長的排序有＝24種等可能結(jié)果，其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P＝．基小孩對四種食物的排序是其他情況，只需將角標A，B，C，D按照小孩的順序調(diào)整即可，假設(shè)小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACDB，再研究yAyByCyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的，∴他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為．（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P（2）這位家長對小孩的飲食習(xí)慣比較了解．理由如下：假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由（1）可知，在一輪游戲中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三輪游戲結(jié)果都滿足“X＜4”的概率為（）3＝，這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小，∴這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解．【答案點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．18．（1）見解析（2）的最小值為【答案解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當(dāng)時，，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．當(dāng)時，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當(dāng)時，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．19．（1）（2）【答案解析】

(1)設(shè)出直線的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組，進而求得點的坐標，結(jié)合弦長即可求得拋物線的方程；(2)設(shè)直線的方程，運用韋達定理可得，可得之間的關(guān)系，再運用進行裂項，可求得，解不等式求得的值.【題目詳解】解：（1）設(shè)過拋物線焦點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，，，所以拋物線方程為（2）設(shè)直線方程為，，，，，，由得.【答案點睛】本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了韋達定理和運用裂項法求數(shù)列的和，考查了運算能力，屬于中檔題.20．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．【答案解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系，求出平面的法向量，通過計算與的夾角得出與平面所成角．【題目詳解】（I）證明：取AC的中點M，連接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP?平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵PA＝PC，CM，∴PM，∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，以M為原點，以MB，MC的方向為x軸，y軸的正方向，以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M﹣xyz，如圖所示：則A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0