函數(shù)定義域及值域經(jīng)典類型總結(jié)練習(xí)題含答案

<一>求函數(shù)定義域、值域方法和典型題歸納一、根底知識(shí)整合1.函數(shù)的定義：設(shè)集合A和B是非空數(shù)集，按照*一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使得集合A中任意一個(gè)數(shù)*,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(*)與之對(duì)應(yīng)。則稱f:為A到B的一個(gè)函數(shù)。2.由定義可知：確定一個(gè)函數(shù)的主要因素是①確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系〔f〕,②集合A的取值圍。由這兩個(gè)條件就決定了f(*)的取值圍③{y|y=f(*),*∈A}。3.定義域：由于定義域是決定函數(shù)的重要因素，所以必須明白定義域指的是：〔1〕自變量放在一起構(gòu)成的集合，成為定義域。〔2〕數(shù)學(xué)表示：注意一定是用集合表示的圍才能是定義域，特殊的一個(gè)個(gè)的數(shù)時(shí)用“列舉法〞；一般表示圍時(shí)用集合的“描述法〞或“區(qū)間〞來(lái)表示。4.值域：是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系〔f〕共同作用的結(jié)果，是個(gè)被動(dòng)變量，所以求值域時(shí)一定注意求的是定義域圍的函數(shù)值的圍。〔1〕明白值域是在定義域A求出函數(shù)值構(gòu)成的集合：{y|y=f(*),*∈A}。〔2〕明白定義中集合B是包括值域，但是值域不一定為集合B。二、求函數(shù)定義域〔一〕求函數(shù)定義域的情形和方法總結(jié)1函數(shù)解析式時(shí)：只需要使得函數(shù)表達(dá)式中的所有式子有意義?！?〕常見情況簡(jiǎn)總：①表達(dá)式中出現(xiàn)分式時(shí)：分母一定滿足不為0；②表達(dá)式中出現(xiàn)根號(hào)時(shí)：開奇次方時(shí)，根號(hào)下可以為任意實(shí)數(shù)；開偶次方時(shí)，根號(hào)下滿足大于或等于0〔非負(fù)數(shù)〕。③表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)時(shí)：當(dāng)指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)一定不能為0.④根號(hào)與分式結(jié)合，根號(hào)開偶次方在分母上時(shí)：根號(hào)下大于0.⑤表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式時(shí)：底數(shù)和指數(shù)都含有*，必須滿足指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1.〔0<底數(shù)<1;底數(shù)>1〕⑥表達(dá)式中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)形式時(shí)：自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí)，只需滿足真數(shù)上所有式子大于0，且式子本身有意義即可；自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時(shí)，要同時(shí)滿足真數(shù)大于0，底數(shù)要大于0且不等于1.〔〕注：〔1〕出現(xiàn)任何情形都是要注意，讓所有的式子同時(shí)有意義，及最后求的是所有式子解集的交集?！?〕求定義域時(shí)，盡量不要對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)展變形，以免發(fā)生變化。(形如：)練習(xí)1、求以下函數(shù)的定義域：1、〔1〕〔2〕〔3〕2.抽象函數(shù)〔沒(méi)有解析式的函數(shù)〕解題的方法精華是“換元法〞，根據(jù)換元的思想，我們進(jìn)展將括號(hào)為整體的換元思路解題，所以關(guān)鍵在于求括號(hào)整體的取值圍。總結(jié)為：〔1〕給出了定義域就是給出了所給式子中*的取值圍；〔2〕在同一個(gè)題中*不是同一個(gè)*；〔3〕只要對(duì)應(yīng)關(guān)系f不變，括號(hào)的取值圍不變?！?〕求抽象函數(shù)的定義域個(gè)關(guān)鍵在于求f(*)的取值圍，及括號(hào)的取值圍。例1：f(*+1)的定義域?yàn)閇-1,1]，求f〔2*-1〕的定義域。解：∵f(*+1)的定義域?yàn)閇-1,1]；〔及其中*的取值圍是[-1,1]〕∴；〔*+1的取值圍就是括號(hào)的取值圍〕∴f(*)的定義域?yàn)閇0,2]；〔f不變，括號(hào)的取值圍不變〕∴f(2*-1)中∴∴f(2*-1)的定義域?yàn)榫毩?xí)2、設(shè)函數(shù)域?yàn)開__的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開、；_______；函數(shù)的定義_____；3、假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域?yàn)椤?.復(fù)合函數(shù)定義域復(fù)合函數(shù)形如：,理解復(fù)合函數(shù)就是可以看作由幾個(gè)我們熟悉的函數(shù)組成的函數(shù)，或是可以看作幾個(gè)函數(shù)組成一個(gè)新的函數(shù)形式。例2：分析：由題目可以看出g(*)是由y=*+1、y=*-2和y=f(*)三個(gè)函數(shù)復(fù)合起來(lái)的新函數(shù)。此時(shí)做加運(yùn)算，所以只要求出f(*+1)和f(*-2)的定義域，再根據(jù)求函數(shù)定義域要所有式子同時(shí)滿足，即只要求出f(*+1)和f(*-2)的定義域的交集即可。解：由f(*)的定義域?yàn)椤?2,3〕，則f(*+1)的定義域?yàn)椤?3,2〕，f(*-2)的定義域?yàn)椤?,4〕；，解得0<*<2所以，g(*)的定義域?yàn)椤?,2〕.〔一〕求函數(shù)值域方法和情形總結(jié)1.直接觀察法〔利用函數(shù)圖象〕一般用于給出圖象或是常見的函數(shù)的情形，根據(jù)圖象來(lái)看出y值的取值圍。練習(xí)（1）求值域。2.配方法適用于二次函數(shù)型或是可以化解成二次函數(shù)型的函數(shù)，此時(shí)注意對(duì)稱軸的位置，在定義域圍〔以a<0為例〕，此時(shí)對(duì)稱軸的地方為最大值，定義域?yàn)槎它c(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)處有最小值；對(duì)稱軸在定義域的兩邊則根據(jù)單調(diào)性來(lái)求值域。總結(jié)為三個(gè)要點(diǎn)：〔1〕含參數(shù)的二次型函數(shù)，首先判斷是否為二次型，即討論a；〔2〕a不為0時(shí)，討論開口方向；〔3〕注意區(qū)間，即討論對(duì)稱軸。例1：求解：配方：f(*)的對(duì)稱軸為*=2在[1,5]中間〔端點(diǎn)5離*=2距離較遠(yuǎn)，此時(shí)為最大值〕所以，f(*)的值域?yàn)閇2,11].練習(xí)（2）求值域。3.分式型〔1〕別離常量法：應(yīng)用于分式型的函數(shù)，并且是自變量*的次數(shù)為1，或是可以看作整體為1的函數(shù)。具體操作：先將分母搬到分子的位子上去，觀察與原分子的區(qū)別，不夠什么就給什么，化為。例2：解：由于分母不可能為0，則意思就是函數(shù)值不可能取到，即：函數(shù)f(*)的值域?yàn)?練習(xí)求值域〔3〕〔2〕利用來(lái)求函數(shù)值域：適用于函數(shù)表達(dá)式為分式形式，并且只出現(xiàn)形式，此時(shí)由于為平方形式大多時(shí)候*可以取到任意實(shí)數(shù)，顯然用別離常量法是行不通，只有另想它法〔有界變量法〕。例3：求函數(shù)解：由于即的值域.不等于0，可將原式化為〔由于〕只需,則有所以，函數(shù)值域.練習(xí)〔4〕求值域〔3〕方程根的判別式法：適用于分式形式，其中既出現(xiàn)變量*又出現(xiàn)混合，此時(shí)不能化為別離常量，也不能利用上述方法。對(duì)于其中定義域?yàn)镽的情形，可以使用根的判別式法。例4：求函數(shù)的值域解：由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，即原式可化為〔由于*可以取到任意的實(shí)數(shù)，則也就說(shuō)總有一個(gè)*會(huì)使得上述方程有實(shí)數(shù)根，即方程有根則判別式大于或等于0，注：這里只考慮有無(wú)根，并不考慮根為多少〕所以，所以，函數(shù)值域?yàn)榫毩?xí)：求值域〔5〕4.換元法通過(guò)換元將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化更便于求函數(shù)值域，一般函數(shù)特征是函數(shù)解析式中含有根號(hào)形式，以及可將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為我們熟悉的函數(shù)形式等問(wèn)題。而換元法其主要是讓我們明白一種動(dòng)態(tài)的方法來(lái)學(xué)習(xí)的一種思路，注重?fù)Q元思維的培養(yǎng)，并不是專一的去解答*類問(wèn)題，應(yīng)該多加平時(shí)練習(xí)。注：換元的時(shí)候應(yīng)及時(shí)確定換元后的元的取值圍。例5：求函數(shù)解：令的值域，帶入原函數(shù)解析式中得因?yàn)?，所以，函?shù)的值域?yàn)榫毩?xí)：求值域.〔6〕一．選擇題〔共10小題〕1．〔2007?河?xùn)|區(qū)一?！臣僭O(shè)函數(shù)f〔*〕=為B，則使A∩B=?的實(shí)數(shù)a的取值圍是〔〕的定義域?yàn)锳，函數(shù)g〔*〕=的定義域A〔﹣1，3〕．B．[﹣1，3]C〔﹣2，4〕．D．[﹣2，4]2．假設(shè)函數(shù)f〔*〕的定義域是[﹣1，1]，則函數(shù)f〔*+1〕的定義域是〔〕A．[﹣1，1]B．[0，2]C．[﹣2，0]D．[0，1]3．〔2010?〕函數(shù)的值域是〔〕A．[0，+∞〕B．[0，4]C．[0，4〕D〔0，4〕．4．〔2009?河?xùn)|區(qū)二?！澈瘮?shù)的值域是〔〕0+∞〕A〔，．B．C〔0，2〕．D〔0，．〕5．函數(shù)y=*2+4*+5，*∈[﹣3，3〕時(shí)的值域?yàn)椤病矨〔2，26〕．B．[1，26〕C〔1，26〕．D〔1，26]．6．函數(shù)y=在區(qū)間[3，4]上的值域是〔〕A．[1，2]B．[3，4]C．[2，3]D．[1，6]7．函數(shù)f〔*〕=2+3*2﹣*3在區(qū)間[﹣2，2]上的值域?yàn)椤病矨．[2，22]B．[6，22]C．[0，20]D．[6，24]8．函數(shù)的值域是〔〕且BA．y≠1}＜{y|﹣4≤y1}C{y|y≠﹣4且DR{y|y∈R．．y≠1}．9．函數(shù)y=*2﹣2*〔﹣1＜*＜2〕的值域是〔〕A．[0，3]B．[1，3]C．[﹣1，0]D．[﹣1，3〕10．函數(shù)的值域?yàn)椤病矨．[2，+∞〕B．C．D