課件及試題高等代數(shù)II

高等代數(shù)

IIAdvanced

Linear

Algebra主講教師:高峽理科樓1478S助教:馬一方馬衛(wèi)軍大課

周二

5

-

6

節(jié)

周四

3

-

4節(jié)二教107習(xí)題課周一10-11

節(jié)三教

107

三教

303??

/index.jsp講義資料設(shè)

R

是整環(huán),a

R

非零非可逆.

若由a

=b

c

(b,c

R

)

都能推出b

或c

可逆,則稱a

是R

的不可約元.若

R

的每個(gè)(非零非可逆)元素都能唯一地寫成不可約元的乘積,

則稱

R是唯一分解整環(huán)

(

UFD

).定理:

若

R

是

UFD,

則

R

[

x

]

也是

UFD.例: K

[

x

]

是

UFD

K

[

x1

,

x2

]

是

UFD

…

K[x1

,x2

,…,xn

]是UFD即K[x1

,x2

,…,xn

]每個(gè)次數(shù)

1

的多項(xiàng)式可唯一地寫成不可約多項(xiàng)式的乘積.第七章多項(xiàng)式環(huán)6

多元多項(xiàng)式字符

x1

,

x2

,

x3

的多項(xiàng)式

:f

(

x1

,

x2

,

x3

)

=

1

+

x1

–

3

x

3

+

x1

x2

x3

+

x

72

1g

(

x1

,

x2

,

x3

)

=

x

3

+

x

3

+

x

3

–

3

x1

x2

x31

2

3設(shè)K

是數(shù)域,x1

,x2

,…,xn

形式符號(不定元)稱為第(i

1

,i

2

,…,i

n

)次項(xiàng)系數(shù)i

1

!

i

n稱a為字符Kx1

,x2

,…,xn

的多項(xiàng)式,i

n!

xnd1

dn1

2n1xx2i

ia

i

!

i

1

21

nf

(

x ,

x ,

!

,

x )

!

i

1

0 i

n

0設(shè)K

是數(shù)域,x1

,x2

,…,xn

形式符號(不定元)第(i1

,i2

,…,in

)次項(xiàng)i1

+i2

+…+in

稱為單項(xiàng)式的全次數(shù),deg

f

=系數(shù)非零單項(xiàng)式全次數(shù)的最大值i

n!

xnd1

dn1

2n1x2!

x

i

1

0 i

n

0i

ia

i

!

i

1

21

nf

(

x ,

x ,

!

,

x )

若多項(xiàng)式

f

所有單項(xiàng)式的全次數(shù)都為

m

,則稱

f

是m次齊次多項(xiàng)式.例:a0

0a1

x1

+a2

x2

+

…+

an

xnx

3

+

x

3

+

x

31

2

3–

3

x

x

x1

2

30

次齊次1

次齊次3

次齊次齊次多項(xiàng)式m

次多項(xiàng)式

f

都可唯一地寫成f

=

f

0

+

f1

+

f2

+

…

+

fm其中

f

i

是i

次齊次多項(xiàng)式,

稱為

f

的i

次齊次部分.n

元多項(xiàng)式的齊次成分按齊次成分排序f

(

x1

,

x2

)=1

次部分2

次部分121a0

+

a10

x1

+

a11

x2

+

a20

x

2

+

a x

x

+

a1

2x

222

2+an0

x

n++

a+

a

xx

n1n1

12n-1x

+nn

2n

次部分若則n

元多項(xiàng)式的加法21i

i

inx

!

xi

1

!

i

n

12

na

xi1

,

!

,

inj1

,

!

,

jnf

x

j1

xjnnj2

!xj

1

!

jn

1

2gbin21i

1

,

!

,

i

ni

1

!

i

nni2ii

1

!

i

n

1!

x)

x

x

bf

g

(

a若則n

元多項(xiàng)式的乘法21i

i

inx

!

xi

1

!

i

n

12

na

xi1

,

!

,

inj1

,

!

,

jnf

x

j1

xjnnj2

!xj

1

!

jn

1

2gbkn21nk2kk

1

!

k

n

1!

xx

xcf g

a

i

1

!

i

n

b

j

1

!

jnc

k

1

!

k

n

!k

1

,

!

,

k

ni

1

j1

k

1i

n

jn

k

n若fg=

f

0

+

f1

+

f2

+

…

+

fm=

g

0+

g1

+

g2

+

…

+

gn則f

g=+

(f0

g

0

+

(

f1

g

0

+

f0

g1

)f2

g0

+

f1

g1

+

f0

g2

)

+…

+

fm

gn全體字符x1

,x2

,…,xn

的系數(shù)在K

中的多項(xiàng)式,在多元多項(xiàng)式加法、乘法運(yùn)算下,構(gòu)成交換幺環(huán),記作

K[x1

,x2

,…,xn

].可逆元?帶余除法?滿足消去律(整環(huán))?唯一分解性質(zhì)?f

(x1

,x2

,…,xn

)的單項(xiàng)式與字符x1

,x2

,…,xn的指數(shù)向量(

i1

,

i2

,

…

,

in

)一一對應(yīng)iix2

2

!xn

nix1

1a

i

!

i1

n若有

i1

= j1

,

…,

is-1

=

js-1

,則規(guī)定is

>

js

(

1

s

n

)( i1

,

i2

,

…

,

in

)

>

( j1

, j2

,

…

, jn

)全體n

元指數(shù)向量被排成一條隊(duì)若有(

i1

,

i2

,

…

,

in

)( j1

, j2

,

…

,

jn

)則(

i1

,

i2

,

…

,

in

)>

( j1

, j2

,

…

, jn

)>

( k1

,

k2

,

…

,

kn

)>

( k1

,

k2

,

…

,

kn

)傳遞性作業(yè)：4

月9

日交§7.93,6,

8,11§7.102,3,

6,14補(bǔ)充題:1,2補(bǔ)充題:1.求橢圓曲線y

2

=x3

+5的四個(gè)有理點(diǎn).注:若有理數(shù)

x

,

y

滿足曲線方程,

則稱點(diǎn)(

x,

y

)

是曲線的有理點(diǎn).2.

證明:

在曲線

x

3

+

3

xy+

y

3

=

1

上有且僅有一組點(diǎn)

{

A

,

B

,

C

},

使得ABC

是正三角形.在字典排序法下,

多項(xiàng)式

f

(

x1

,

x2

,

…,

xn

)第一個(gè)系數(shù)非零的單項(xiàng)式稱為

f

的首項(xiàng).例:5

2

2

22

x1

x2

x3

+

x1

x3

+

3

x1

x2在字典排序法下23

x1

x22

2

5+

x1

x3

+ 2

x1

x2

x3若有( i1

,

i2

,

…

,in

)(

k1

,

k2

,

…

,

kn

)則(

i1

+

k1

,

…

,

in

+

kn

)>>

( j1

, j2

,

…

, jn

)(

m1

,

m2

,

…

,

mn

)> (

j1+

m1

,

…

,

jn+

mn

)向量加法保持次序定理:

在

K[

x1

,

…,xn

]

中,

非零多項(xiàng)式乘積的首項(xiàng)等于多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積.證:設(shè)在字典排序法下1f

=

a

x

p1+a

0x

p2

x

pn2ng

=

b

x

q1

x

q21

2x

qn+b

0n則p1+q1

p2+q2f

g

=

a

b

x1

x2xnpn+qn

+f

=

f

0

+

f1

+

f2

+

…

+

fm

,g

=

g

0

+

g1

+

g2

+

…

+

gn

,fm

0gn

0則f

g

=

f0

g

0

+

(

f1

g

0

+

f0

g1

)+

(

f2

g0

+

f1

g1

+

f0

g2

)

+…+

fm

gnfm

0

,

gn

0

fm

gn

0deg(

f

g

)

= deg(

f

)

+

deg(

g

)命題:

f

,

g

K[

x1

,

x2

,

…,

xn

],

有deg(

f

+

g

)

max

{

deg(

f

)

,

deg(

g

)

}deg(

f

g

)

= deg(

f

)

+

deg(

g

)約定:(

–

∞

)

+

n

=

–

∞

,(

–

∞

) +

(

–

∞

) =

–

∞

n

Z

,

n

0推論1.K[x1

,x2

,…,xn

]中無零因子,即非零多項(xiàng)式的乘積仍是非零多項(xiàng)式.推論

2.

K[

x1

,

x2

,

…,

xn

]

滿足消去律.h

0

,

h

f

=

h

g

f

=

g推論

3.

K[

x1

,

x2

,

…,

xn

]

的可逆元為零次多項(xiàng)式

(

非零常數(shù)

).定理: n

元多項(xiàng)式環(huán)

K[

x1

,

x2

,

…,

xn

]

是唯一分解整環(huán)

(

UFD

),

即每個(gè)次數(shù)

1

的n

元多項(xiàng)式都能唯一地寫成不可約多項(xiàng)式的乘積.推論: K[

x1

,

x2

,

…,xn

]

中任意多個(gè)多項(xiàng)式都有最大公因式.例:

齊次多項(xiàng)式

f

(

x1

,x2

,…

,xn

)

的因式也是齊次多項(xiàng)式

.證:

設(shè)

f

=

h

g=

(

hs

+

hs

+1

+

…

+

hm

)

(

gt

+

gt

+1

+

…

+

gr

)=

hs

gt

+ (

hs

gt

+1

+

hs

+1

gt

) +

…

+

hm

grhs

0

,

gt

0hm

0

,

gr

0

hs

gt

0

hm

gr

0f

齊次

s

+

t

=

m

+

r

s

=

m, t

=

r定理:

設(shè)幺環(huán)

R

是數(shù)域

K

的擴(kuò)環(huán)

,t1

,交換,,tn

R

兩兩可則

: K[

x1

,

x2

,

…,

xn

]

→

Rf

(

x1

,

x2

,

…,

xn

)

!f

(

t1

,

t2

,良定義且保持加法與乘法運(yùn)算,t),n(

f

+

g

)

=

(

f

)

+

(

g

)

,即(

f

g

)

=

(

f

)

(

g

)

,

f

,

gK[x1

,x2

,…,xn

]中的等式都是恒等式,放在任何環(huán)上也都成立;

反過來,

其它環(huán)上的等式,

不一定能搬到

K[

x1

,x2

,

…,

xn

]中來.例:

在

K[

x

,

y

]

中,多項(xiàng)式x

,y

互素(最大公因式為1);不存在u

,v

K[x

,y

],使得u

x

+

v

y

=1

.證:比較兩邊常數(shù)項(xiàng)…法則能用n元多項(xiàng)式表達(dá)的函數(shù)叫做n

元多項(xiàng)式函數(shù).例:

f

(

x

,

y

)

=

x

+

x

3

–

x

y

2

R[

x

,

y

]

,R2則

f

:

R(

a

,

b

)

!

a

+

a

3

–

a

b

2是R2

上的一個(gè)2

元多項(xiàng)式函數(shù)則f

:R2

R(

a

,

b

)

!

a

+

a

3

–

a

b

2是R2

上的一個(gè)2

元多項(xiàng)式函數(shù)引理:

若

f

K[

x1

,

x2

,

…,

xn

]

滿足f

(

a1

,

a2

,

…,an

)

=

0

,

a1

,

…,

an

K則

f

是零多項(xiàng)式

.證:

對n

做歸納.

當(dāng)n=

1

時(shí),

由f

(

a

)

=

0

,

a

K

一元多項(xiàng)式f

(x

)有無窮多個(gè)根

f

(x

)是零多項(xiàng)式設(shè)引理對n

–1

元多項(xiàng)式都成立,f是n元多項(xiàng)式的情況.若

f

0,

則f =

u0

(

x1

,

…

,

xn-1

)

+

u1

(

x1

,

…

,

xn-1

)

xnn+

…

+

um

(

x1

,

…

,

xn-1

)

x

m其中um

(x1

,…,xn-1

)

0.由歸納假設(shè),

存在

a1

,

…

,

an-1

K

,

使得um

(a1

,

a2

,

…

,an-1

)

0.于是u0

(

a1

,

…

,

an-1

)

+

u1

(

a1

,…,

an-1

)

xnn+

…

+

um

(a1

,

…

,

an-1

)

x

m是

xn的非零多項(xiàng)式,

故存在

an

K

,

使得u0

(a1

,

…,an-1

)

+

u1

(

a1

,

…,an-1

)ann+

…

+

um

(a1

,

…

,

an-1

)

a

m

0

.即這與題設(shè)f

(

a1

,…,an-1

,

an

)

0

.,

故

f

是零多項(xiàng)式

.定理:若K

是數(shù)域,

則

K[

x1

,

…,

xn

]

中不同的多項(xiàng)式給出Kn

上不同的多項(xiàng)式函數(shù).多項(xiàng)式函數(shù)相加,相乘Kn(

a1

,

…

,

an

)(

a1

,

…,

an

)

K!

f

(

a1

,

…,

an

)

+

g

(

a1

,

…,

an)!

f

(

a1

,

…,an

)

g

(

a1

,

…,

an

)結(jié)果仍是多項(xiàng)式函數(shù).Kn

上的多項(xiàng)式函數(shù)在函數(shù)加法,乘法下構(gòu)成環(huán),稱為n

元多項(xiàng)式函數(shù)環(huán),記作Kn,

polK[

x1

,

…,

xn

]f

(

x1

,

…,

xn

)!Kn,

polf既單又滿,

保持加法,

乘法運(yùn)算,

是K

上的n

元多項(xiàng)式環(huán)到n

元多項(xiàng)式函數(shù)環(huán)的同構(gòu).推論:Kn,

pol

也是唯一分解整環(huán)(UFD)形式表達(dá)式Kn

到K

的函數(shù)f

在Kn

上若點(diǎn)

(

c1

,

…,

cn

)

Kn

滿足f

(

c1

,

…,

cn

)

=

0

,則稱(c1

,…,cn

)是n元多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn).n

=2,n

=3,f

在K2上的零點(diǎn)集構(gòu)成代數(shù)曲線;f

在K3上的零點(diǎn)集構(gòu)成代數(shù)曲面…多元多項(xiàng)式的零點(diǎn)K2

上的三次光滑曲線經(jīng)有理變換都能寫成E

:

y

2

=

x

3

+

a

x

+

b這里

x

3

+

a

x

+

b

無重根,

即

4

a3

+

27b

2

0

.若有理數(shù)

x,

y

滿足曲線方程,

則稱

(

x

,y

)是橢圓曲線的有理點(diǎn).例:橢圓曲線例:橢圓曲線上的有理點(diǎn)E

:

y2

=

x

3

–

5

x

+

8f

(

x

)

=

x

3

–

5

x

+

8例:橢圓曲線上的有理點(diǎn)PRP

+QE

:

y

2

=

x

3

–

5

x

+

8Q第七章多項(xiàng)式環(huán)一元多項(xiàng)式環(huán)整除性與最大公因式不可約多項(xiàng)式與唯一分解性質(zhì)重因式C,R

與Q

上的不可約多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式對稱多項(xiàng)式有限域滿足

f

(

x

,y)

=

f

(

y

,x

)

的

2

元多項(xiàng)式稱為字符

x

,

y

的對稱多項(xiàng)式.x

+

y,

x

y

;x

3

+y

3

+

3

x

y定理:

所有

x

,

y的對稱多項(xiàng)式都能唯一地寫成

x

+

y

,

x

y

的多項(xiàng)式.集合{1,2,…,n

}到自身的雙射稱為置換

:

{

1,

2,

…,

n

}

{

1,

2,

…,

n

}1,

2,

…,

n

!

i1

,

i2

,

…,

inn

元置換與

n

元排列

一一對應(yīng),

共有

n

!

個(gè)i1

,

i2

,

…,

in置換與排列若多項(xiàng)式

f

(

x1

,

…

,

xn

)

在字符

x1

,

…

,

xn的任意置換下保持不變,

即則稱f

(x1

,…,xn

)是對稱多項(xiàng)式.f

(

xσ(1)

,

xσ(2)

,

!

,

xσ(n)

)

f

(

x1

,

x2

,

!

,

xn

)

σ對稱多項(xiàng)式例:字符x

,y

,z

的對稱多項(xiàng)式x

+

y

+

z

,x

y

+y

z

+z

y

,x

3

+

y

3

+

z

3x

y

z

;(

x

+

y

+

z

)5

+

3

(

x

y+

y

z

+

z

y)

x

yz

…作業(yè)：4

月16

日交§7.11

2(2),§7.12

3,3(4),

4,

56,

10,

11補(bǔ)充題:

1,

2補(bǔ)充題:求以下多項(xiàng)式在F2[x]中的分解x

5

+

x

+

1

, x

6

+

x

+

1

.求有限域

F2

上的多項(xiàng)式函數(shù)

,

使得f

(

x

,

y

,

z

)

=

“

if

x

then

y

else z

”g(x

,

y

,

z

)

=

“

maj(

x

,

y

,

z

)

”1

:

=

x1

+

x2

+

…+

xn2

:

=

x1

x2…+x1

x3

+…+

xn-1

xn…x1

x2

…

xnn

:

=

t1

t2tn1

2

n=

x

t1+…+

tn12x

t2+…+

tnnx

tn

+

…初等對稱多項(xiàng)式首項(xiàng)定理:每個(gè)n

元對稱多項(xiàng)式都能唯一地寫成h

(

1

,

…

,

n

)的形式,

其中

h

(

x1

,

…,xn

)

是n

元多項(xiàng)式,1

,…,n

是x1

,…,xn

的初等對稱多項(xiàng)式.對稱多項(xiàng)式基本定理3

3

3x1

+

x2

+

x3

–

3

x1

x2

x32

2

2=

–

3

x1

x2

–

3

x1

x3

–

3

x1

x2

–

9

x1

x2

x32

2

2–

3

x1

x3

–

3

x2

x3

–

3

x2

x3在字典排序法下,3

2

2

2x1

x1

x2

x1

x3

x1

x2

x1

x2

x32

x x

2

x

3

x

x

x x

2

x

31

3

2

2

3

2

3

3–

(x1

+

x2

+

x3

)33

3

3x1

+

x2

+

x3

–

3

x1

x2

x32

2

2=

–

3

x1

x2

–

3

x1

x3

–

3

x1

x2

–

9

x1

x2

x32

2

2–

3

x1

x3

–

3

x2

x3

–

3

x2

x33

(

x1

+

x2

+

x3

)

(x1

x2

+x1

x3

+x2

x3

)=

3

(x

2

x

+

x

2

x

+

x x

2

+

3

x

x

x1

2

1

3

1

2

1

2

3+

x1

x

2

+

x

2

x

+

x x

2

)3

2

3

2

3–

(x1

+

x2

+

x3

)33

3

33–

3

x1

x2

x3

=

1

–

3

1

2x1

+

x2

+

x3= (

x1

+

x2

+

x3

)3–

3

(

x1

+

x2

+

x3

)(

x1

x2

+

x1

x3

+x2

x3

)=

(

x1

+

x2

+

x3

)(

x

2

+

x

2

+

x

21

2

3–

x1

x2

–

x1

x3

–

x2

x3

)=

(

x1

+

x2

+

x3

)(

x1

+

w

x2

+

w2

x3

)(

x1

+

w2

x2

+

w

x3

) (

w3

=

1

)問題:

任給單項(xiàng)式

xk2k1x1

2nknx

,能否用

1

,…,

n

構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式,

使其首項(xiàng)恰為給定的單項(xiàng)式

?3例:

h

(

1

,

2

,

3

)

的首項(xiàng)

=

x

3

?對稱多項(xiàng)式的首項(xiàng)有何特點(diǎn)?引理:

對稱多項(xiàng)式

f

的首項(xiàng)1c x

k1x

k22x

knn一定滿足

k1

k2

…

kn

.若有

k1

< k2

,

則f

(

x1

,

x2

,

…,

xn

)

=

f

(

x2

,x1

,

…

,xn

)k1

k2=

x1

x2k1

k2=

x2

x1x3

k3x3

k3xnkn

+

…xnkn

+

…引理:

任給整數(shù)

k1

k2

…

kn

0

,

以下對稱多項(xiàng)式的首項(xiàng)為2k

knxk1x1

:

2xnk

–

k k

–

k1

2

2

3kn-1–

knkn

1

2n-1

n= (

x1

+

…

)

k1–

k2

(

x1

x2

+

…

)

k2–

k3xn-1

+

…

)

kn-1

–

kn

(

x1

x2(

x1

x2xn

)

kn=

x

k1

x

k21

2xnkn+

…定理:

每個(gè)

n

元對稱多項(xiàng)式f

都寫成1

,…,n

的多項(xiàng)式.全次數(shù)

deg

f

的n

元單項(xiàng)式只有有限多個(gè)

,1knx2

n,將它們按字典法排序.

若

f

的首項(xiàng)是k212cx

k1

x

k

k

…

k

.則對稱,1f

–

c

k1–

k2

k2–

k3n仍

kn2

n且有更靠后的首項(xiàng);

重復(fù)以上過程…定理:n

元對稱多項(xiàng)式都能唯一地寫成h

(

1

,

…,

n

)的形式,

其中

h

(

x1

,

…,xn

)

是n

元多項(xiàng)式,1

,

…,

n

是

x1

,

…,

xn

的初等對稱多項(xiàng)式.對稱多項(xiàng)式基本定理1

:

=

x1

+

x2

+

…+

xn2

:

=

x1

x2…+

x1

x3

…+

xn-1

xn…n

:

=

x1

x2

…

xn(

y

–

x1

)

(

y

–

x2

)

…

(

y

–

xn

)= y

n

–

1

y

n-1+

2

y

n-2+

…

+

(

–

1

)n

n初等對稱多項(xiàng)式首項(xiàng)唯一性:

若有非零多項(xiàng)式

h

(x1

,

…

,xn

)

,使得H(x1

,…,xn

)=h(1

,…,n

)=0.則有c1

,…,cn

K,

0.記1

,

2

, ,

n是使得

h

(

c1

,

…

,

cn

)

y

n

–

c1

y

n-1

+

…+

(

–

1)n

cn的n個(gè)復(fù)根.

則H

(

1

,

…,

n

)

=

h

(

c1

,

…

,

cn

)

0

,!在

K[x1

,

…,

xn

]

中,

對稱多項(xiàng)式在加減法和乘法下封閉,構(gòu)成

K[x1

,

…,xn

]的子環(huán),

稱為

n

元對稱多項(xiàng)式環(huán).推論:n

元對稱多項(xiàng)式環(huán)=K[

1

,…,

n

]n

元對稱多項(xiàng)式環(huán)例:在K[

x

1,

x

2,

x

3

]中,

由全體

10

次齊次多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式構(gòu)成的實(shí)線性空間的維數(shù)是

;其中由全體

10

次齊次對稱多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式構(gòu)成的子空間的維數(shù)是

.待定系數(shù)法:

x

3

+

x

3

+

x

3

–

3

x

x

x1

2

3

1

2

33=

1

+

c1

1

2

+

c2

3(

x1

,

x2

,

x3

)(

1

,

2

,

3

)(

1

0

0

) (

1

1

0

) (

1

1

1

)(

1

0

0

) (

2

1

0

)

(

3

3

1

)1 8

+2c1

27

+

9c1+

c21

2

0

3

+

c

+

c

1

1

1

2

2

33

3

3x1

+

x2

+x3

–

3

x1x2x3

c1

=

–

3

,

c2

=

0

(

x

θi

)1

i

nf

=

a0

x

n

+

a1

x

n-1

+

…+an

=

a0的判別式定義為一元多項(xiàng)式j(luò)i0

(

θ1

i

j

nθ

)2disc(

f

)

=

a

2n2

i

<

j

(xi

–

xj

)2

=

h(

1

,

…,

n

)利用根與系數(shù)關(guān)系,

1

+

2

+

+

=n

1

22n-2n–

a1

/

a0

;…= (

–

1

)n

an

/

a02disc(

f

)

=

a0i

<

j

(

i

–

j

)2n-2

n=

a0

h(

–

a1

/

a0

,

a2

/

a0

,

…,

(–

1

)

an

/

a0

)例:

求

f

=

a0

x

2

+

a1

x

+

a2

的判別式.解:于是(

x1

–

x2

)

22=

1

–

4

22

2disc(

f

)

=

a0

(

(

–a1

/

a0

)

–

4

a2

/

a0

)2=

a1

–

4

a0

a2例:

求

f

=

a0

x

3

+

a1

x

2

+

a2

x

+

a3

的判別式.解:(

x1

–

x2

)2

(

x2

–x3

)2

(

x3

–

x1

)22

2

3

3

2=

1

2

–

4

1

3

–

4

2

+

18

1

2

3

–

27

3于是2

2disc(

f

)

=

a1

a2

+

18

a0

a1

a2

a33

3

2

2–

4

a1

a3

–

4

a0

a2

–

27

a0

a3n321αn-1αn-1αn-1αn-1α2α2

α2

α2n"3"2"1"

(

αk

αl

)1

l

k

n1α11α21α3!!1αn!!nn1

α

!1αn-1αn-1αn-12"n21αn-1αn-1αn-111!11α1!α1α2!αn1α2!"""""!ns1!s1s2!""sn-1sn!sn-1sn"s2n2

(

αk

αl

)21

l

kn牛頓公式:1記

sk

=

x

k

+x

k

+…+

x

k

,2

nk

=

1,

2…當(dāng)k>n

時(shí),有sk

–

1

sk-1

+

2

sk-2

+

…+

(

–1)n

n

sk-n

=

0當(dāng)1

k

n

時(shí),有sk

–

1

sk-1

+

2

sk-2

+

…+

(–

1

)k-1

k-1

s1+

(

–1

)k

k

k

=

0

(

x

αi

)1i

mf

=

a0

x

m

+

a1

x

m-1

+

…+am

=

a0b0

(

x

βj

)1

jnji

(

α

β

)1i

m1

jnres(

f

,

g

)

=

a

n

b

m0

0g

=

b0

x

n

+

b1

x

n-1

+

…

+

bn

=(m,n

1)的結(jié)式定義為定理:res(

f

,

g

)

=a0

a1

!

ama0

a1

!

am"

"

"a0

a1

!

amb0

b1

b2

!

bn"

"

"

"b0

b1

b2

!

bnn

行m

行證:

記bn

S

b0am

a0"b2

!a1

!

ama

a

!

a0

1

m"

"

"a0

a1

!b1

b2

!

bn"

"

"b0

b1m+n

階n

行m

行在S

的右邊乘Vandermonde

矩陣VV

mmα

mn-1

1α

mn-11

n""1

!α1

!1

!αm1α

2α

2"

"1

!β1

!1

!nβn1β

2β

2!!β

mn-1

β

mn-1得到對角分塊矩陣

diag{

V1

,

V2

}00"000"01m

m""1g(α

)

!mg(α

)g(α1)α

m-1!

g(α

)α

m-1n1n

n1

1f

(β

)βn2f

(β

)β

n2f

(β

)β

n10"00"0n

n"1

1"f

(β

)!

f

(β

)!

f

(β

)βn1!!!!!!取行列式,

得

|

S

|

|

V

|

=

|

V1

|

|

V2

|其中|

V

|

(

αi

αj

)

(βi

βj

)

(βj

αi

)1

i

m1

jnβj

)i

ji

jf

(βn

)

(

βii

j|

V1

|

f

(

β1

)

!i

j(β

j

αi

)

(β

i

β

j

)0

a

n1

i

m1

j

n于是|

V2

|

g(

α1

)

!

g(

αm

)

(

αi

αj

)i

j

i

j(

αi

β

j

)

(

αi

α

j

)0

b

m1

i

m1

j

njiβ )

res(

f

,

g

)1i

m1

jn|

S

|

a

n

b

m

(

α0

00res(

f

,

g

)

=

a

n1≤

i

≤m

i

g(

)res(

g

,

f

) =

(

–

1)mn

res(

f

,

g

)res(

f

g

,

h

)

= res(

f

,

h

)

res(

g

,

h

)若

h

C[

x

], deg(

f

–

hg

)

=

r

>0,

則res(

g

,

f

)

=

b0m-r

res(

g

,

f

–

hg

)f

=

a0

x

m

+

a1

x

m-1

+

…+am

=

a0

(

x

αi

)ji0

(

α1i

j

m

α

)2a

2m21i

m的判別式定義為多項(xiàng)式disc(

f

)

=注意到

f

(i

)

=a0

(

αij

i

αj

)1

i

m j

i0

a

2m1ji

(

α

α

)1

i

mi

f

'

(

α

)0=

a

m1ji0

(

α

α

)2

(1)m(m-1)/2

a

2m11i

j

m故

a0

disc(f

)

=

(

–

1

)

m(m-1)/2

Res(

f

,

f

)res(

f

,

f

)例:利用結(jié)式解方程組f

(

x

,

y

)

=

0g(

x

,

y

)

=

0記f

=

a0

(x)

y

m

+

a1

(x)

y

m-1

+

…+am

(x)g

=

b0

(x) y

n

+

b1

(x)

y

n-1

+

…

+

bn

(x)若(

x,

y

)

是方程組的一組解,

則…若(

x

,

y

)

是方程組的一組解,

則以下方陣的列向量線性相關(guān),

行列式為

0

.

ymn1

a

(x)a

(x)b0

(x)a0

(x)a1

(x)a

(x)0"b2

(x)

!ma

(x)!1"am

(x)a

(x)

!"m

"!

a

(x)

nymn2

!ynyn1!b

(x)

11bn

(x)0b1(x)

b2

(x)

!"

"

"b0

(x)

b1(x)=

0第七章多項(xiàng)式環(huán)一元多項(xiàng)式環(huán)整除性與最大公因式不可約多項(xiàng)式與唯一分解性質(zhì)重因式C,R

與Q

上的不可約多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式對稱多項(xiàng)式有限域非零元素都可逆的交換幺環(huán)(0

1)稱為域.無限域:數(shù)域Q,R,C,…有理函數(shù)域Q(x),C(

x,y),…有限域: Fp

= Z

/pZ下面介紹從整環(huán)構(gòu)造域的兩種方法…回憶從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)的過程Z

Q

=

{

a

/

b

|

b

0

}這里約定:a

/

b =

c/

d

a

d

=

c

ba

/

b

+

c

/

d

=

(

a

d

+

c

b

)

/

b

da

/

b

c/

d

= a

c

/

b

d加法,乘法不依賴代表元的選取設(shè)

R

=

Z

, K[

x

]

,

…

是整環(huán),

在集合{

(

a

,

b

)

|

a

,

b

R

,

b

0

}上定義等價(jià)關(guān)系(驗(yàn)證!)(

a

,

b

)

(

c

,

d

)

a

d

=

c

b集合

{(a

,b

)|

a

,b

R

,b

0}被劃分成一個(gè)個(gè)等價(jià)類.等價(jià)類中的任一個(gè)元素都叫做該等價(jià)類的代表元.用a

/b

表示

(a,b)所在的等價(jià)類.記

K

= {

(

a

,

b

)

|a

,

b

R

,

b

0

}

/

= {

a

/

b

| a

,

b

R

,

b

0

}在K

上定義加法,乘法a

/

b

+c/

d

=

(

a

d

+cb

)

/

b

da

/

b

c

/

d

= a

c

/

b

d這些運(yùn)算不依賴于代表元的選取

,

滿足整環(huán)的公理,

且非零元

a

/

b

(

a

,

b

0

)

在

K中都可逆.K

在以上加法,

乘法下構(gòu)成域,

稱為

R

的分式域.整環(huán)

R

可通過單射

a

!

a

/

1

嵌入到

K

中,R

可看成K

的子域.若整數(shù)a,b被正整數(shù)m除有相同的余數(shù),則稱a

,b

模m

同余,a

b

mod

m

m

|

a

–

b用

a

表示與

a模m

同余的所有整數(shù)構(gòu)成的集合,

稱為

a

的剩余類a

=

{

b

Z

|

b

a

mod

m

}剩余類的代表a

=

{

b

Z

|

b

a

modm

}剩余類的代表不唯一,a

=

b

有a

b

modm

.剩余類的一

元模m同余是Z上的等價(jià)關(guān)系.在此關(guān)系下,全體整數(shù)被劃分為m

個(gè)剩余類:0

=

{

a

|

a

0

mod

m

}1

=

{

a

|

a

1

mod

m

}…

…m

–

1

=

{

a

|

a

m

–

1

mod

m

}剩余類的運(yùn)算在集合

Z

/

mZ

={

0

,

1

,

…,

m

–

1

}

上定義兩種運(yùn)算

---

剩余類加法與乘法:a

+

b

=

a

+

b

,

a

b

=

a

b剩余類的運(yùn)算不依賴代表元的選取:a

a

mod

m

,

b

bmod

m

a

b

a

b

mod

m

,

a

b

a

bmod

m集合

Z

/

mZ

=

{

0

, 1

,

…,

m

–

1

}

在剩余類的加法與乘法下構(gòu)成的交換幺環(huán),稱為模

m

的剩余類環(huán).其中

0

為加法零元素, 1

為乘法單位元Z/mZ={0, 1,…,

m

–1

}的可逆元為{

a

| (

a

,

m

)

=

1

}

.(a

,m

)=1

存在u

,v

Z,使得u

a

+

v

m

=

1

u

a

=

1

.m

為素?cái)?shù)

Z

/mZ

的非零元都可逆Z/mZ

的零因子Z/mZ={0, 1,…,

m

–1

}的零因子為{

a

| (

a

,

m

)

>

1

}

.若(

a

,

m

)

=

c

>

1

,

記

m

=

b

c

, 1

<

b

<

m

.則

m

=

c

b

|

a

b

,

故

a b

=

0

.

a

是零因子.推論:

若m

>

1是合數(shù)

, Z

/

mZ

不是整環(huán).Z/6

Z

加法表0123450012345112345022345001235501234Z/6

Z

不是整環(huán)可逆元零因子012345000000010123452024024303030340420425054321Z/5

Z

是整環(huán)可逆元01234000000無零因子1012342024321若p

是素?cái)?shù), Z

/pZ

沒有非平凡零因子,故Z

/

pZ

是整環(huán).Z/pZ的非零元素都可逆.非零元都可逆的交換幺環(huán)(0

1)稱為域.無限域:數(shù)域Q,R,C,Q(x)…有限域: Fp

= Z

/

pZ注: Z

, Z

/6Z

,

M3(

K

)

都不是域域一定是整環(huán),即滿足消去律若

a

0

,

b,c

是域中元素,

滿足

a

b

=

a

c,則有

b

=

a

-1

(

a

b

)

=

a

-1

(

a

c

)

=

c整環(huán)不一定是域,

但有限整環(huán)都是域.域F

的全體非零元在乘法下構(gòu)成交換群,記為F*設(shè)

1F

是域

F

的單位元.

若對一切正整數(shù)

m,都有1F

+

1F

+

…+1F

0

,m

個(gè)則稱域F

的特征(char

F)為0.否則存在最小的正整數(shù)

m

,

使得1F

+

1F

+

…

+

1F

=

0

,m

個(gè)這樣的整數(shù)m

一定是素?cái)?shù),稱為域F

的特征,記為char

F.為什么m

一定是素?cái)?shù)?若m=k

l

,1

<

k

,

l

<

m

,1F

+

1F

+

…

+

1Fm

個(gè)=

( 1F

+

1F

+

…+

1F

)( 1F

+

1F

+

…+

1F

)k

個(gè)

l

個(gè)這與m

的取法=0特征大于0

的域設(shè)F是一個(gè)特征

p

>

0

的域.

則有對

a

F

,

有

p

a

=

a

+

a

+

…

+

a

=

0

.若

0

a

F

且

m

a

=

0

, m

Z

,則有p

|

m.若m

=

k

p

+r, 0

<

r

<

p

,

則r

a

=0

.r

a

=

(

r

1F

)

a

=

0

r

1F

=

0

,特征大于0

的域設(shè)F是一個(gè)特征

p

>

0

的域.

則有{0,1F

,1F+1F,…,(p

–1)1F

}對F

的四則運(yùn)算封閉,構(gòu)成F

的子域.對任意

u

,

v

F

[

x

]

,

有(

u

+

v

)

p

=

u

p

+

v

p設(shè)F

是一個(gè)域, x

是形式符號

(不定元).形式表達(dá)式an

x

n

+

an-1

x

n-1

+ +

a1

x

+

a0ai