三角函數(shù)恒等變換

-.z.三角函數(shù)恒等變換一、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1、以下各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α圖示與α角終邊的關(guān)系一樣關(guān)于原點對稱關(guān)于*軸對稱角π-α-α+α圖示與α角終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對稱關(guān)于直線y=*對稱2、六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限注：誘導(dǎo)公式可概括為的各三角函數(shù)值的化簡公式。記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限。其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；假設(shè)是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指把α看成銳角時原函數(shù)值的符號作為結(jié)果的符號。二、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=,cosα=3、形如asinα+bcosα的化簡asinα+bcosα=sin(α+β).其中cosβ=,sinβ=三、簡單的三角恒等變換1、用cosα表示sin2,cos2,tan2sin2=;cos2=;tan2=注：上述三組公式從左到右起到一個擴(kuò)角降冪的作用；從右到左起到一個縮角升冪的作用。2、用cosα表示sin,cos,tansin=cos=tan=3、用sinα,cosα表示tantan=四、常用數(shù)據(jù):的三角函數(shù)值,,注:⑴以上公式務(wù)必要知道其推導(dǎo)思路，從而清晰地"看出〞它們之間的聯(lián)系，它們的變化形式.如等.從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式.⑵三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備.⑶三角函數(shù)恒等變形的根本策略。①常值代換：特別是用"1〞的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tan*·cot*=tan45°等。②項的分拆與角的配湊。如分拆項：;配湊角(常用角變換):、、、、等.③降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。④化弦〔切〕法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系化成弦〔切〕。⑤引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。1、三角函數(shù)式的化簡※相關(guān)※〔1〕，，，的三角函數(shù)值是化簡的主要工具。使用誘導(dǎo)公式前，要正確分析角的構(gòu)造特點，然后確定使用的誘導(dǎo)公式；〔2〕不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角，如：等。注：假設(shè)出現(xiàn)時，要分為奇數(shù)和偶數(shù)討論。〔3〕誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值；〔4〕化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結(jié)果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等。※例題解析※〖例〗化簡：思路分析：化簡時注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了，需討論是奇數(shù)還是偶數(shù)。2、三角函數(shù)的求值※相關(guān)※〔1〕六個誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系是求值的根底；〔2〕一個角的三角函數(shù)值，求其他角三角函數(shù)值時，要注意對角化簡，一般是把和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數(shù)，然后求值。※例題解析※〖例〗，求的值。思路解析：化簡條件化簡所求三角函數(shù)式，用表示代入求解3、誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用〖例1〗在ΔABC中，假設(shè)sin(2π-A)=sin(π-β)，cosA=cos(π-β)求ΔABC的三內(nèi)角。思路分析：此題首先利用誘導(dǎo)公式把所給兩個等式化簡，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=π進(jìn)展計算。注：在ΔABC中常用的變形結(jié)論有：∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，，∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.以上結(jié)論應(yīng)在熟練應(yīng)用的根底上加強(qiáng)記憶?！祭?〗是否存在α∈〔，〕，β∈〔0，π〕，使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=cos(π+β)同時成立？假設(shè)存在，求出α，β的值；假設(shè)不存在，請說明理由。思路分析：要想求出α，β的值，必須知道α，β的*一個三角函數(shù)值，因此，解決此題的關(guān)鍵是由兩個等式消去α或β的同名三角函數(shù)值。注：角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：〔1〕由三角函數(shù)值的符號確定角α所在的象限；〔2〕據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；〔3〕最后利用終邊一樣的角寫出角α的一般表達(dá)式。※相關(guān)※〔1〕三角函數(shù)式的化簡要遵循"三看〞原則①一看"角〞，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差異與聯(lián)系，把角進(jìn)展合理的拆分，從而正確使用公式；②二看"函數(shù)名稱〞，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有"切化弦〞；③三看"構(gòu)造特征〞，分析構(gòu)造特征，可以幫助我們打到變形的方向，常見的有"遇到分式要通分〞等?！?〕根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡中注意角的范圍以確定三角函數(shù)值的正負(fù)號；〔3〕對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的根本思路有：①化為特殊角的三角函數(shù)值；②化為正、負(fù)相消的項，消去求值；③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)展約分求值。※例題解析※〖例〗〔1〕化簡〔2〕求值思路解析：〔1〕從把角變?yōu)槿胧?，合理使用公式；?〕應(yīng)用公式把非角轉(zhuǎn)化為的角，切化弦。2、三角函數(shù)的給值求值問題※相關(guān)※三角函數(shù)的給值求值問題解決的關(guān)鍵在于把"所求角〞用"角〞表示。〔1〕當(dāng)"角〞有兩個時，"所求角〞一般表示兩個"角〞的和或差的形式；〔2〕當(dāng)"角〞有一個時，此時應(yīng)著眼于"所求角〞與"角〞的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把"所求角〞變成"角〞?！?〕常見的配角技巧※例題解析※〖例〗，求的值。思路解析：比擬題設(shè)中的角與待求式中的角，不難發(fā)現(xiàn)或?qū)⒆兓癁椋儆汕蠼狻?、三角函數(shù)的給值求角問題※相關(guān)※〔1〕通過先求角的*個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)。假設(shè)角的范圍是，選正、余弦皆可；假設(shè)角的范圍是，選余弦較好；假設(shè)角的范圍為，選正弦較好?！?〕解給值求角問題的一般步驟為：①求角的*一個三角函數(shù)值；②確定角的范圍；③根據(jù)角的范圍寫出所求的角?！}解析※〖例1〗如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，以O(shè)*軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A、B的橫坐標(biāo)分別為、〔1〕求tan(α+β)的值；〔2〕求的α+2β值。思路解析：由得cosα,cosβ求tanα,tanβ求tan(α+β)求tan(α+2β)求α+2β的范圍求α+2β的值?！祭?〗思路解析：4、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用〖例〗α、β為銳角，向量假設(shè)，求角的值；假設(shè)，求tanα的值。思路解析：〔1〕由，及的坐標(biāo)，可求出關(guān)于α、β的三角函數(shù)值，進(jìn)而求出角；由可求出關(guān)于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解決問題同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，求．變式1：，<*<，求的值．變