2023屆湖南省東部六校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則()A． B． C． D．2．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是說(shuō)：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若為過(guò)橢圓中心的弦，為橢圓的焦點(diǎn)，則△面積的最大值為（）A．20 B．30 C．50 D．605．已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的充要條件是()A． B．C． D．6．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,27．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)，于不同的兩點(diǎn)，若，，則（）A．1 B． C．2 D．38．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．9．已知集合，，，則的子集共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)10．設(shè)全集，集合，則＝()A． B． C． D．11．斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為A．2 B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，（且），則__________.14．如果復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么______（為虛數(shù)單位）.15．函數(shù)的最小正周期是_______________，單調(diào)遞增區(qū)間是__________.16．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則的離心率為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍.18．（12分）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線(xiàn)l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F做直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q.若，求直線(xiàn)AB的方程.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程（不要求具體過(guò)程）；（II）設(shè)P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段的中點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線(xiàn)與曲線(xiàn)的普通方程，并求出直線(xiàn)的傾斜角；（2）記直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.22．（10分）已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【答案解析】

求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進(jìn)而求得.【題目詳解】由，得，所以，所以.故選：A【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．A【答案解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【題目詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個(gè)正放的正四面體，一個(gè)倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.3．C【答案解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.4．D【答案解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【題目詳解】由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，則的面積為，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積的最大值為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5．A【答案解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可求出和.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．C【答案解析】

先求出集合U，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可．【題目詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【答案點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義，屬于簡(jiǎn)單題．7．C【答案解析】

連接AO，因?yàn)镺為BC中點(diǎn)，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點(diǎn)共線(xiàn)可知，其表達(dá)式中的系數(shù)和，即可求出的值.【題目詳解】連接AO，由O為BC中點(diǎn)可得，，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，由三點(diǎn)共線(xiàn)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的共線(xiàn)定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.8．A【答案解析】

化簡(jiǎn)集合,，按交集定義，即可求解.【題目詳解】集合，，則.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9．B【答案解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.10．A【答案解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補(bǔ)集.【題目詳解】由解得，故，所以，故選A.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.11．C【答案解析】

設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【題目詳解】解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長(zhǎng)|AB|＝4．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系．常需要把直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，判別式找到解決問(wèn)題的突破口．12．B【答案解析】

采用排除法：通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；通過(guò)判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選A排除；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【題目詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．【答案解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【題目詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.15．，，【答案解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【題目詳解】函數(shù)，最小正周期，令，，可得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，，．故答案為：，，，．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．16．【答案解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【題目詳解】解：由已知，的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長(zhǎng)為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【答案解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立．若，則當(dāng)時(shí)；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來(lái)解決，關(guān)于第二問(wèn)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，之后進(jìn)行分類(lèi)討論，求得結(jié)果.18．（1）；（2）或.【答案解析】

（1）由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程求出的值，確定左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線(xiàn)l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線(xiàn)垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線(xiàn)的方程.【題目詳解】（1）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，，直線(xiàn)，點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離為，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意斜率不為0，又過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，，，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q，所以橫坐標(biāo)為3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直線(xiàn)方程為或.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長(zhǎng)公式，合理運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19．（I）x2=4aya>0，x-y+1=0【答案解析】

（I）利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，直接整理化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程和普通方程；（II）聯(lián)立直線(xiàn)的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【題目詳解】（I）曲線(xiàn)C：ρcos2可得ρ2cos2直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1，得x-y+1=0；（II）將x=-2+22t,y=-1+2t韋達(dá)定理：t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【答案點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識(shí)，結(jié)合等比數(shù)列，熟練運(yùn)用知識(shí)，屬于較易題.20．（1）．．（2）最大距離為．【答案解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.（2）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，設(shè)，計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到答案.【題目詳解】（1）由，得，則曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，即．直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，則到直線(xiàn)的距離為，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為．【答案點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21．（1），，直線(xiàn)的傾斜角為（2）【答案解析】

（1）由公式消去參數(shù)得普通方程，由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角；（2）求出直線(xiàn)與軸交點(diǎn)，用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，求出，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【題目詳解】（1）由，消去得的普