相似三角形經典大題

..相似三角形1.如圖,已知一個三角形紙片,邊的長為8,邊上的高為,和都為銳角,為一動點〔點與點不重合,過點作,交于點,在中,設的長為,上的高為．〔1請你用含的代數式表示．〔2將沿折疊,使落在四邊形所在平面,設點落在平面的點為,與四邊形重疊部分的面積為,當為何值時,最大,最大值為多少？[答案]解：〔1〔2的邊上的高為,當點落在四邊形內或邊上時,=〔0當落在四邊形外時,如下圖,設的邊上的高為,則所以綜上所述：當時,,取,當時,,取,當時,最大,MMNCBEFAA12．如圖,拋物線經過三點．〔1求出拋物線的解析式；〔2P是拋物線上一動點,過P作軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與相似？若存在,請求出符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由；[答案]解：〔1該拋物線過點,可設該拋物線的解析式為．將,代入,得解得此拋物線的解析式為．〔2存在．如圖,設點的橫坐標為,則點的縱坐標為,當時,,．又,①當時,,即．解得〔舍去,．②當時,,即．解得,〔均不合題意,舍去當時,．類似地可求出當時,．當時,．綜上所述,符合條件的點為或或．3．如圖,已知直線與直線相交于點分別交軸于兩點．矩形的頂點分別在直線上,頂點都在軸上,且點與點重合．〔1求的面積；〔2求矩形的邊與的長；〔3若矩形從原點出發(fā),沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移,設移動時間為秒,矩形與重疊部分的面積為,求關于的函數關系式,并寫出相應的的取值范圍．AADBEOCFxyy〔G[答案]〔1解：由得點坐標為由得點坐標為∴由解得∴點的坐標為∴〔2解：∵點在上且∴點坐標為又∵點在上且∴點坐標為∴〔3解法一：當時,如圖1,矩形與重疊部分為五邊形〔時,為四邊形．過作于,則AADBEORFxyyM〔圖3GCADBEOCFxyyG〔圖1RMADBEOCFxyyG〔圖2RM∴即∴∴即當時,如圖2,為梯形面積,∵G〔8－t,0∴GR=,∴當時,如圖3,為三角形面積,4．如圖,矩形中,厘米,厘米〔．動點同時從點出發(fā),分別沿,運動,速度是厘米／秒．過作直線垂直于,分別交,于．當點到達終點時,點也隨之停止運動．設運動時間為秒．〔1若厘米,秒,則______厘米；〔2若厘米,求時間,使,并求出它們的相似比；〔3若在運動過程中,存在某時刻使梯形與梯形的面積相等,求的取值范圍；〔4是否存在這樣的矩形：在運動過程中,存在某時刻使梯形,梯形,梯形的面積都相等？若存在,求的值；若不存在,請說明理由．DDQCPNBMADQCPNBMA[答案]解：〔1,〔2,使,相似比為〔3,,即,當梯形與梯形的面積相等,即化簡得,,,則,〔4時梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可,則,把代入,解之得,所以．所以,存在,當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．5．如圖,已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā),分別沿AB、BC勻速運動,其中點P運動的速度是1cm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當點Q到達點C時,P、Q兩點都停止運動,設運動時間為t〔s,解答下列問題：〔1當t＝2時,判斷△BPQ的形狀,并說明理由；〔2設△BPQ的面積為S〔cm2,求S與t的函數關系式；〔3作QR//BA交AC于點R,連結PR,當t為何值時,△APR∽△PRQ？[答案]解：<1>△BPQ是等邊三角形,當t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因為∠B=600,所以△BPQ是等邊三角形.<2>過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=<6-t>×t=－t2+3t；<3>因為QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因為∠C=600,所以△QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因為∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因為△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當t=時,△APR～△PRQ6．在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA＝90o,CB＝3,OA＝6,BA＝3eq\r<5>．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．〔1求點B的坐標；〔2已知D、E分別為線段OC、OB上的點,OD＝5,OE＝2EB,直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；〔3點M是〔2中直線DE上的一個動點,在x軸上方的平面內是否存在另一個點N．使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,請求出點N的坐標；若不存在,請說明理由．AABDE〔第26題圖1FCOMNxy.7．在圖15-1至圖15-3中,直線MN與線段AB相交圖7圖7-2ADOBC21MN圖7-1ADBMN12圖7-3ADOBC21MNO于點O,∠1

=

∠2

=

45°．〔1如圖15-1,若AO

=OB,請寫出AO與BD數量關系和位置關系；〔2將圖15-1中的MN繞點O順時針旋轉得到圖15-2,其中AO

=

OB．求證：AC

=

BD,AC

⊥BD；〔3將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3,求的值．[答案]解：〔1AO=

BD,AO⊥BD；圖4ADOBC21MNEF〔2證明：如圖4,過點B作BE∥CA交圖4ADOBC21MNEF又∵AO

=

OB,∠AOC

=∠BOE,∴△AOC

≌

△BOE．∴AC

=

BE．又∵∠1

=

45°,∴∠ACO

=

∠BEO

=

135°．∴∠DEB

=

45°．∵∠2

=

45°,∴BE

=

BD,∠EBD

=

90°．∴AC

=

BD．延長AC交DB的延長線于F,如圖4．∵BE∥AC,∴∠AFD=

90°．∴AC⊥BD．〔3如圖5,過點B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO=

∠ACO．又∵∠BOE=

∠AOC,AOBC1DAOBC1D2圖5MNE∴．又∵OB=kAO,由〔2的方法易得BE=BD．∴．10．如圖,已知過A〔2,4分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為M、N,若點P從O點出發(fā),沿OM作勻速運動,1分鐘可到達M點,點Q從M點出發(fā),沿MA作勻速運動,1分鐘可到達A點。〔1經過多少時間,線段PQ的長度為2？〔2寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數關系式和t的取值范圍；〔3在P、Q運動過程中,是否可能出現PQ⊥MN？若有可能,求出此時間