DFT信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用

設(shè)計(jì)一DFT一、設(shè)計(jì)題目DFT二、設(shè)計(jì)目的熟悉DFT的性質(zhì)。三、設(shè)計(jì)原理所謂信號(hào)的頻譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，使其應(yīng)用受到限制，而DFT換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)DFT間信號(hào)的頻譜。四、實(shí)現(xiàn)方法2離散傅里葉變換是有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而發(fā)展起來的（）把長(zhǎng)度為N的序列的DFT逐次分解成長(zhǎng)度較短的DFTWN(nk)的周期性和對(duì)稱性，在DFT運(yùn)算中適當(dāng)?shù)姆诸悾?2以提高運(yùn)算速度（對(duì)稱性Wnk2

nk

1;周期性Wn(rNk

WnrNWnk

Wnk，r為任意整數(shù),WnrNN

N N N1）

N N N N離散傅里葉變換的推導(dǎo)：離散傅里葉級(jí)數(shù)定義為xp

(n)

1N1xN k0

(k

j2πnkN

（1-1）N將上式兩端乘以ej2πnmN

并對(duì) n

在 0~N-1 求和可得N1

(n)ej2πnmNN

1NN1

(k)ejn(kmNN

N1

(k)

N1ejπn(km)pn0

N pn0k0

pk0

1 N n0 N1 N1 N

11-

j(km)N 因?yàn)? Nn0

j2πn(km)N

NNN 用k代替N 1-ej(kNN 用k代替

1km0 kmN所以N1x(n)ejπpNn0

N1k0

(k(km)p

N1xp Nn0N

ejnm得X (k)P

Nn0

x(n)ep

jN

（1-2）令WN

ej2π則（1-2）成為DFS

x(n)Xp

(k)N1pn0

p N

（1-3）（1-1）IDFS

(kxp

(n)

1N1Nn0

(knkp N

（1-4）式1-1-）式構(gòu)成周期序列傅里葉級(jí)數(shù)變換關(guān)系。其中x(nX(k)都是周期為Np p的周期序列，DFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。習(xí)慣上，對(duì)于長(zhǎng)為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū)，把x(0)~x(N1)稱p px(np

(0)~p

(Np

(k)的主值序列。px(nx(n)R(nx(n僅有Np N p研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究xp

(n)與x(n)是等價(jià)的，因此在主值區(qū)計(jì)算DFS和DFT是相等的，所以DFT計(jì)算公式形式與DFS基本相同。其關(guān)系為x(n)xp

(n)RN

(n) X(k)

(k)Rp

(k)所以離散傅里葉正變換XkDFTxnN1xnWnkN

0kN-1n0離散傅里葉變換DF）設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)長(zhǎng)為（0nN-，其離散傅里葉變換是一個(gè)長(zhǎng)為N的頻率有限長(zhǎng)序列0kN-，其正變換為XkDFTxnN1xnWN

0

WN-1 （

N

j）Nn0離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把有限長(zhǎng)序列當(dāng)做周期序列的主值序列進(jìn)行DFS變換，x(n)、X(k)的長(zhǎng)度均為Nx(n)確定X(k),已知X(k)可以唯一確定x(n)。雖然離散傅里葉變換是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列之間的變化，但它們是利用DFS因而隱含著周期性。構(gòu)造離散傅里葉變換的Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下：function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk快速傅里葉變換（FFT）并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為了減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法共軛對(duì)稱性：~設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，以N為周期的周期延拓列為x(n)x((n))~N~ ~ ~x(n)xe

(nxo

(n)分別為~ 1~ ~* 1 x(n)x(n)x(n) x((n))e 2 2

x*((Nn))N

(1-5)~ 1~ ~* 1 x(n)x(n)x(n) x((n))o 2 2

x*((Nn))N

(1-6)~ ~* ~ ~oo同樣可以證明，它們滿足xooe

(n)xe

(n) （1-7）x

(n)

*(n) （1-8）則有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周共軛對(duì)稱分量xep

(nxop

(n)分別定義為：x (n)~ep

(n)RN

(n)1[x((n))

x*((Nn)) ]RN N

(n) （1-9）~ 1x (n)xop

(n)RN

(n) [x((n))2

x*((Nn))N

]R(n) （1-10）N~ ~ ~由于滿足x(n)xe

(n)xo

(n)故~ ~ ~x(n)x(n)RN

(n)[xe

(n)x(n)]RN

(n)xep

(n)xop

(n) 顯然，長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)可以分解為圓周共軛對(duì)稱分量xep

(n)和圓周共軛反對(duì)稱分量xop

(n)之和，xep

(n)xop

的長(zhǎng)度皆為N。利用有限長(zhǎng)序列與周期序列的共軛對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量的關(guān)系式1-）和式1-1，以及式1-1）可以推導(dǎo)出DFT的對(duì)稱性質(zhì)DFT[x*(nX*(kX*(nK)x*(nx(n)的共軛復(fù)序列。證明：DFT

[x*(n)]

N

x*

N

x(n)WnkX*(k)

又因?yàn)閚0

Nn0

NN1 *W

ej(2πN)nN

ejn1 所以DFT[x*(n

x(n)W(Nk)n

X*(Nk)N Nn0復(fù)序列實(shí)部的DFT等于DFT的圓周共軛對(duì)稱部分，即1DFT{Re[x(n)]}Xep證明：

(k)[X(k)X*(Nk)]2DFT {Re[x(n)]} DFT 1[x(n)x*(n)]} = 12 2

{DFT [x(n)] +DFT [x*(n)] }=1[X(k)X*(Nk)]X2

(k)利用DFT的對(duì)稱性可求得cosn的DFT:0設(shè)x(n)cos0

njsin0

ne則DFT[x(n)] X(k)因?yàn)閏osnRe[x(n)]0所以

N1 jenenn0

nk N

1ejoNWNkN1ejoWkN

1ejoN1ejoWkNDFT[cos

n]DFT{Re[x(n)]}X0

(k)

X(k)X*(Nk)=2[1ejoN 1ejoWk

1cos N11ejoWk1ejoN]N2

kcos

W

cos( N1)N N12WkN

0cos0

N 0W2kN五、設(shè)計(jì)內(nèi)容 MATLAB語(yǔ)言編寫計(jì)算序列x(n)的N點(diǎn)DFTm函數(shù)文件dft.m。并與的內(nèi)部函數(shù)文件fft.m作比較。程序如下：functionXk=dft(xn,N)iflength(xn)<Nxn=[xn,zeros(1,N-length(xn))];endn=0:N-1;fork=0:N-1Xk(1,k+1)=sum(xn.*exp((-1)*j*n*k*(2*pi/N)));End運(yùn)算量估計(jì)：對(duì)于N=2M點(diǎn)序列進(jìn)行時(shí)間抽選奇偶分解FFT計(jì)算，需分M級(jí)，每級(jí)計(jì)算N/2級(jí)需N/2N次復(fù)加，因此總共需要進(jìn)行：復(fù)乘：2

MNlog2

N 復(fù)加：NMNlog N2直接計(jì)算N點(diǎn)的DFT，需要N2N(N-1)N值越大，時(shí)間抽選奇偶分解FFTN=2048FFT算法比直接計(jì)算DFT300多倍可以用一下Matlab程序比較DFT和FFT的運(yùn)算時(shí)間N=2048;M=11;x=[1:M,zeros(1,N-M)];t=cputime;y1=fft(x,N);Time_fft=cputime-tt1=cputime;y2=dft(x,N);Time_dft=cputime-t1t2=cputime;運(yùn)行結(jié)果：Time_fft=0.0469Time_dft=15.2031由此可見FFT算法比直接計(jì)算DFT速度快得多

x(n)作如下譜分析：x(nx(n成為有限長(zhǎng)序列N(0nN1)，寫程序計(jì)算出x(n)的N點(diǎn)DFT X(k),畫出時(shí)域序列圖xn～n和相應(yīng)的幅頻圖X(k)~k。程序如下：（假設(shè)N150≤n≤14時(shí),編寫程序，計(jì)算出X(n15DFTn=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=fft(xn,15);subplot(2,1,1);stem(n,xn);grid;subplot(2,1,2);stem(n,abs(Xk));grid;將(1)x(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)至M點(diǎn)，長(zhǎng)度M,（可以取兩次值，一次取較小的整數(shù)，一次取較大的整數(shù)，編寫程序計(jì)算x(n)的M點(diǎn)DFT,畫出時(shí)域序列圖和兩次補(bǔ)零后相應(yīng)的DFT幅頻圖。（假設(shè)M20M65，即分別補(bǔ)50500，得補(bǔ)零后20點(diǎn)的xn165點(diǎn)的序列xn120點(diǎn)DFTXk1和xn265點(diǎn)DFTXk2）n=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1=0:19;xn1=[xn,zeros(1,5)];n2=0:64;xn2=[xn,zeros(1,50)];Xk1=fft(xn1,20);Xk2=fft(xn2,65);subplot(3,1,1);stem(n,xn);grid;subplot(3,1,2);stem(n1,abs(Xk1));grid;subplot(3,1,3);stem(n2,abs(Xk2));grid;(2)用補(bǔ)零DFT計(jì)算(1)中Nx(n)X(ej并畫出相應(yīng)的幅頻圖X(ej)~。假設(shè)M取15）n=0:14;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1=0:149;xn3=[xn,zeros(1,135)];Xk3=fft(xn3,150);plot(n1,abs(Xk3));grid;研究高密度譜與高分辨率頻譜。對(duì)連續(xù)確定信號(hào)xa

(t)6.5103t)7103t)9103t)以采樣頻率fs=32kHz對(duì)信號(hào)x(t)采樣得離散信號(hào)x(n)，分析下列三種情況的幅頻特性。ax(n)長(zhǎng)度取N=16x(n)16DFTX(k,并畫出相應(yīng)X(k)~k。x(n)N=1645DFT計(jì)算x(n)的頻譜X1(eX1(ej)~。x(n長(zhǎng)度取為45Mx(nX(e2并畫出相應(yīng)的幅頻圖X(ej)~。2程序如下：t=(0:15);xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(2*pi*7*10^3*t*T)+cos(2*pi*9*10^3*t*T);Xk=fft(xn,16);subplot(2,1,1);stem(t,xn);grid;subplot(2,1,2);stem(t,abs(Xk));grid;T=1/(32*10^3);t=(0:15);n1=0:45;xn1=[xn,zeros(1,30)];Xk1=fft(xn1,46);subplot(2,1,1);stem(n1,xn1);grid;subplot(2,1,2);plot(n1,abs(Xk1));grid;T=1/(32*10^3);t=[0:45];xn=cos(2*pi*6.5*10^3*t*T)+cos(