考研概率全程筆記

概率論基礎知識第一章隨機事件及其概率-隨機事件§1幾個概念1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為酶醺；(1)試驗可在相同條件下市:復進行(2)試驗的可能結果不止一個,且所有可能結果是已知的:(3)每次試驗哪個結果出現(xiàn)是未知的:隨機試驗以后簡稱為試驗，并常記為E。例如：E,：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)：E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。2、隨機事件：在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機事件:常記為A,B,C例如，在Ei中，A表示'‘擲出2點”，B表示“擲出偶數(shù)點”均為隨機事件。3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發(fā)生的事情稱為必然事件,記為Q。每次試驗都不可能發(fā)生的事情稱為|不可能事件|，記為①。例如，在Ei中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事件,以后，隨機事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為［W。4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為廢四加例如，在&中，“擲出1點”，“擲出2點”，……，"擲出6點”均為此試驗的基本事件。由基本事件構成的事件稱為恒踵廷|，例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點”便是復合事件。5、樣本空間：從集合觀點看，稱構成基本事件的元素為|樣本點常記為e.例如，在日中，用數(shù)字1,2,……，6表示擲出的點數(shù)，而由它們分別構成的單點集{1},{2},…{6}便是Ei中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗的樣本點有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}顯然，任何事件均為某些樣本點構成的集合。例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點”的事件便可表為{2,4,6}。試驗中所有樣本點構成的集合稱為樣本空間。記為Q。例如，在Ei中,Q={1,2,3,4,5,6)在E2中，C={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}在E3中，Q={0,1,2, }例1,一條新建鐵路共10個車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。

此試驗樣本空間所有樣本點的個數(shù)為N2P2“產(chǎn)90.（排列：和順序有關，如北京至天津、天津至北京）此試驗樣本空間所有樣本點的個數(shù)為N2P2“產(chǎn)90.（排列：和順序有關，如北京至天津、天津至北京）若觀察的是取得車票的票價，則該試驗樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為練= =45（組合）例2.隨機地將15名新生平均分配到三個班級中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗的樣本空間所有樣本點的個數(shù)為15)(10卜者練15!5!561第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列§2事件間的關系與運算1、包含：“若事件A的發(fā)生必導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為AUB或BZ）A。例如，在Ei中,令A表示“擲出2點”的事件,即人=｛2｝B表示''擲出偶數(shù)”的事件，即B=｛2,4,6｝則AuB2、相等：若AUB且BCA,則稱事件A等于事件B,記為A=BA=B例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A表示“取得到少有3張紅桃”的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=BA=B3、和：稱事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件為A與B的和事件簡稱為和，記為AUB，或A+B例如，甲，乙兩人向目標射擊，令A表示“甲擊中目標”的事件，B表示“乙擊中目標”的事件，則AUB表示“目標被擊中”的事件。推廣：U4=4U4U……U4=人4，……4至少有一個發(fā)組有限個J1（Ja=4U4U=｛A,4 至少有一個發(fā)生）無窮可列個"-14、積：稱事件A與事件B同時發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡稱為積，記為ACIB或AB。例如，在E3中，即觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令人=｛接到偶數(shù)次呼喚｝,B=｛接到奇數(shù)次呼喚｝,則AnB=｛接到6的倍數(shù)次呼喚｝

推廣:=444=｛44, 4同時發(fā)生｝任意有限個2-1=44 =｛4,出 同時發(fā)生｝i-l 無窮可列個5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡稱為差，記為A-B。A-B例如，測量晶體管的B參數(shù)值，令A=｛測得B值不超過50｝,B=｛測得B值不超過100｝,則A-B=巾，B-A=｛測得B值為50<BW100｝A-B6、互不相容：若事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=4>,則稱A與B是互不相容的。AB0例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：若人=｛紅燈亮）,B=｛綠燈亮｝,則A與B便是互不相容的。AB07、對立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對立事件，記為N顯然工UN=C，ACZ=4>例如，從有3個次品，7個正品的10個產(chǎn)品中任取3個，若令A=｛取得的3個產(chǎn)品中至少有一個次品｝,則月=｛取得的3個產(chǎn)品均為正品｝。§3事件的運算規(guī)律1、交換律AUB=BUA；ACB=BCA2、結合律(AUB)UC=AU(BUC)；(APB)nC=AD(BAC)3、分配律AD(BUC)=(ACB)U(AAC),AU(BAC)=(AUB)D(AUC)4、對偶律AUB=A[}B,AC\B=A\^B,此外，還有一些常用性質(zhì)，如AUBDA,AUBDB(越求和越大)；AHBCA,ADBCB(越求積越小)。若AUB,則AUB=B,ACB=AA-B=A-AB=AB等等。

例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進行檢驗，令Aj=｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,試用事件的運算符號表示下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有兩次取得合格品）D=｛三次中最多有一次取得合格品）解：a=AiAzA3b=4U4U&c=44&U444UQ=44U4&U兌2“3表示方法常常不唯一，如事件B又可表為B=4石耳U耳U4石耳U U4^43U44川U 或§=耳豆耳例4,一名射手連續(xù)向某一目標射擊三次，令Aj=｛第i次射擊擊中目標｝,i=l,2,3,試用文字敘述下列事件：4U4，￡，4U4U&44&4-&4U4,4U不解：&U4=（前兩次射擊中至少有一次擊中目標J石=｛第二次射擊未擊中目標）4U4U區(qū)=（三次射擊至少有一次擊中目標JA1A2A3=（三次射擊都擊中目標）A3-A2=｛第三次擊中目標但第二次未擊中目標｝而石=（前兩次均未擊中目標冊主:而再=可石）411豆=（前兩次射擊至少有一次未擊中目標）例5,下圖所示的電路中，以A表示“信號燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點，I,II,III.閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關系。解，不難看出有如下一些關系：BCC.A.BDa.ABCuBD=A,BA=O,等-事件的概率§1概率的定義所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P（A）o規(guī)定P（A）》O,P（Q）=k1、古典概型中概率的定義古典概型：滿足下列兩條件的試驗模型稱為古典概型。（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同；例如：擲一勻稱的骰子，令人=｛擲出2點｝=｛2｝,B=｛擲出偶數(shù)總）=｛2,4,6｝o此試驗樣本空間為。=｛1,2,3,4,5,6｝,于是，應有1=P（Q）=6P（A）,即P（A）=-.而P(B)=3P(A)=38而P(B)=3P(A)=38所含的基本事件數(shù)6 基本事件總數(shù)定義1：在古典概型中，設其樣本空間Q所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為N。而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為Na，則事件A的概率便定義為：pg3/包含基本事件數(shù)⑷_亞-基本事件總數(shù)例1，將?枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗的樣本空間。={(H,H,H)(H.H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H.T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}.可見N0=8令人={恰有一次出現(xiàn)正面},貝ijA={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}可見，令Na=3故尸⑷=絲=之練8例2,(取球問題)袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；(2)無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球；(3)一次取球：從袋中任取3個球。在以上三種取法中均求A=1恰好取得2個白球}的概率。解(1)有放回取球N°=8X8X8=83=512(袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等)N.= 5x5x3= 5231=225A9 0I“ (先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取尸⑷="=竺=0,44N0=8x7x6=4(2)無放回取球 (3)NN0=8x7x6=4(2)無放回取球 (3)Na= 5x4x3=(3)一次取球 招=—=56Q(3J3!5!故P(A)=-A=3363}3, 故產(chǎn)(4)=&2^4=180 練JNa= =30“211八J^.0(3.22.054% ； 56屬于取球問題的一個實例:設有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為=0.1377（屬于一次取球模型）例3（分球問題）將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率（nWN）。解：令人=｛恰有n個盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)=0.1377（屬于一次取球模型）例3（分球問題）將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率（nWN）。解：令人=｛恰有n個盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)先從N個盒子里選n個盒子，然后在n個盒子里n個球全排列（卜故尸（⑷=以一N*屬于分球問題的一個實例:全班有40名同學，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令人=｛40個同學生日皆不相同｝,則有4n(365練=365?%=Io40! 故尸（＜）=」（可以認為有365個盒子，40個球）例4（取數(shù)問題）從0,1,…….9共十個數(shù)字中隨機的不放回的接連取四個數(shù)字,并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四個數(shù)排成一個偶數(shù)：（2）四個數(shù)排成一個四位數(shù)：（3）四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)；解：令人=｛四個數(shù)排成一個偶數(shù)｝,B=｛四個數(shù)排成一個四位數(shù)｝,C=｛四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)｝練=4=10x9x8x7；紇=5x9x8x7,故產(chǎn)(5)5x9x8x72 =0.510x9x8x7與=4 =10x9x8x7-9x8x7,故P(B)10x9x8x7-9x8x710x9x8x7=0.95x9x8x7-4x8x7,故P(C)5x9x8x7-4x8x7,故P(C)=5x9x8x7-4x8x7八 0.45610x9x8x7例5（分組問題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？

解：令人=｛有人手里有13張黑桃｝,B=｛有人手里有4張A牌）52)(39M26Ml3)131313132）（39）的03、同13加于是2）（39）的03、同13加于是P(A)=匕=N0故p（B）=必=不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì):1°P(A)202°P(Q)=1X J.3°若A|,A2, , A”兩兩互不相容，則尸(」4)=2尸(4)2-1 2-12、概率的統(tǒng)計定義頻率：在n次重愛試驗中，設事件A出現(xiàn)了以次，則稱：力（/）=工為事件A的頻率。頻率具有一n定的穩(wěn)定性。示例見下例表試驗者拋硬幣次數(shù)n正面（A）出現(xiàn)次數(shù)以正面（A）出現(xiàn)的頻率工（卬=工n德?摩爾根204810610.5180浦豐404021480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998定義2：在相同條件下，將試驗重復n次，如果隨著重復試驗次數(shù)n的增大，事件A的頻率MA）越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p

不難證明頻率有以下基本性質(zhì)：1。工(⑷20 2。〃Q)=13°若A”a2,……，兩兩互不相容，則/(04)=之工(4)￡-13、概率的公理化定義(數(shù)學定義)定義3：設某試驗的樣本空間為C,對其中每個事件A定義一個實數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理：1°P(A)20(非負性) 2°P(Q)=1(規(guī)范性)9 _3°若A],Ax……，An……兩兩互不相容，則尸(JA,)=W產(chǎn)(4)(可列可加性，簡稱可加性)則稱P(A)為A的概率4、幾何定義定義4：假設Q是Rn(n=l,2,3)中任何一個可度量的區(qū)域，從Q中隨機地選擇一點，即Q中任何一點都有同樣的機會被選到，則相應隨機試驗的樣本空間就是。，假設事件A是Q中任何一個可度量的子集，則P(A)==u(A)/u(Q)§2概率的性質(zhì)性質(zhì)1：若AUB,則P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差證：因為：AUb所以：B=AU(B-A)且AA(B-A)=<t>,由概率可加性得P(B)=P[AU(B-A)]=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A)性質(zhì)2：若AUB,則P(A)WP(B)——概率的單調(diào)性證：由性質(zhì)1及概率的非負性得OWP(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)<P(B)性質(zhì)3：P(A)W1證明：由于AUC,由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P(A)性質(zhì)4：對任意事件A,P(%)=1-P(A)證明：在性質(zhì)1中令B=Q便有P(刁)=P(Q-A)=P(Q)-P(A)=1-P(A)性質(zhì)5：P(<t>)=0證：在性質(zhì)4中，令A=Q,便有P(。)=P(Q)=1-P(Q)=1-1=0

性質(zhì)6(加法公式)對任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)證：由于AUB=AU(B-AB)性質(zhì)6(加法公式)對任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)證：由于AUB=AU(B-AB)且AC(B-AB)=。(見圖)由概率的可加性及性質(zhì)1便得P(AUB)=P[AU(B-AB)]=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)推廣：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例6設10個產(chǎn)品中有3個是次品，今從中任取3個，試求取出產(chǎn)品中至少有一個是次品的概率。解：令C=｛取出產(chǎn)品中至少有一個是次品｝,則守=｛取出產(chǎn)品中皆為正品｝,于是由性質(zhì)4得P(C)=1-P(C)=1-7 171--=—=0.712424例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35,而同時下雨的概率為0.15,問在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按題意所要求的是P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6例8.設A,B,C為三個事件，」知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。解：由于ABCuAB故0<P(ABC)<P(AB)=0從而P(ABC)=0于是所求的概率為P(A\JB\JC)=F(工)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC')—+—+——Q—0——+0444 8三條件概率§i條件概率的概念及計算

在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為P(A/B)。條件概率P(A/B)與無條件概率P(A)通常是不相等的。例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職工人員結構如下：人數(shù)男女總和非熟練工人401050其他職工210240450總和250250500現(xiàn)從該廠中任選一職工，令人=｛選出的職工為非熟練工人｝,B=｛選出的職工為女職工｝顯然，=—；而500 500 500尸(〃)=〃_=/空=電型，隔/)=12=蜂=迪25025%尸⑻VA/505%o玉)定義1設A、B為兩事件，如果定義1設A、B為兩事件，如果P(B)>0,為在事件B發(fā)生的條件下，事件A尸⑻的條件概率。同樣，如果P(A)>0,則稱產(chǎn)(%)=為在事件A發(fā)生條件下,事件B的條件概率條件概率的計算通常有兩種辦法：(1)由條件概率的畬義計算(通常適用于古典概型)，⑵山條件概率的定義計算。例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次品管，每次取一只，當發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？解：令A=｛第一次取的是好的晶體管｝,B=｛第二次取的是好的晶體管｝按條件概率的含義立即可得：P(%)=|按條件概率的定義需先計算：尸⑷=9=之,尸(3)=生2」；于是尸(%)=斗駕=?3=2105 10x93 產(chǎn)⑷3/9例3：某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時還能正常工作的概率為0.87.有一塊集成電路已工作了2000小時，向它還能再工作1000小時的概率為多大？解：令A=｛集成電路能正常工作到2000小時｝,B=｛集成電路能正常工作到3000小時｝

已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87且3U4,既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87按題意所要求的概率為：產(chǎn)(%)=￡殷=絲2=0.926尸⑷0.94§2關于條件概率的三個重要公式.乘法公式定理1：如果產(chǎn)仍)>0,則有網(wǎng)48)=尸@)尸(%),如果產(chǎn)⑷>0,則有尸58)=尸")尸窗)例4：已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為一級的概率.解：令A=｛任取一件產(chǎn)品為一級品｝,B=｛任取一件產(chǎn)品為合格品｝,顯然AaB,即有AB=A故P(AB)=P(A).提，所要求的概率便為尸⑷=P(AB)=尸(8)產(chǎn)出)=96%X75%=72%例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個報警系統(tǒng)a和b,每個報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)a有效的概率為0.92,系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為0.85,試求：(1)當發(fā)生意外時，兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.解：令A=｛系統(tǒng)a有效｝B=｛系統(tǒng)b有效｝已知P⑷=0.92,P⑶=0.93,尸%)=085對問題(1),所要求的概率為U5)= =1.85-P｛AB｝,其中P｛AB｝~P[B-BA) (見圖)=產(chǎn)⑻-P(BA)=尸⑶-尸(N)尸%)=0.93-0.08xQ.85=0,862于是P(^U5)=1.85-0.862=0,988對問題⑵'所要求的概率為：尸(%)=需=巖需=嘴歲="薩=°期推廣：如果尸(小&…4-i)〉o,則有產(chǎn)(44…4)二尸⑷4%僅J產(chǎn)［%4.?4J

證:由于4n44n…n&V4］，故尸(4)2-44)2…2尸(4出…和》。所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得4M…4)=尸(4/4必%出…4J=取夕4加例6：10個考簽中有4個難簽，三個人參加抽簽(無放回)甲先，乙次，丙最后，試問(1)甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少？(2)甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？解：令A,B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，對問題(1),所求的概率為:N血)=y)P(%X%j*X白￡$=0。33對問題(2),甲抽得難簽的概率為：P(A)=—=0.410P?=P（ABUAB）-P（AB）+P（AB）=產(chǎn)（月）尸%）+尸（月）尸%）乙抽得難簽的概率為4364=—X—+—X—=04

109109 ■尸（C）=P（ABCUABCUABC\JABC）=P{ABC）+尸@5C）+P（ABC）+P（ABC）丙抽得難簽的概率為I尸俗0=明尸%H%/十―其中"）=/ 小犯”尸⑷尸（%蛇》鬲x個尸僅犯"尸疑%H%J=白令^=i于是p（c）=—+-+—+-=—=0.4301010610.全概率公式完備事件里|：如果一組事件在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個,

即UHi= =武=J）.則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組2-1例如，在擲一顆骰子的試驗中，以下事件組均為完備事件組：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②[1,2,3},{4,5},{6};③A,N(A為試驗中任意一事件)定理2：設Hi，//?，…耳.為一完備事件組，且尸（耳J>O（i=12…則對于任意事件A有產(chǎn)口）=力（區(qū)）產(chǎn)2-1產(chǎn)口）=力（區(qū)）產(chǎn)2-1證：由于U=Q且對于任意i*j9Hin;/1=1于是A=AC=A（|jHi）=ChNi）且對于任意W 于是由概率的可加性及2-1 2-1rrX 黑乘法公式便得：尸⑷"u典卜》%.例7,某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如下:由全概率公式便得所求的概率為根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為例7,某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如下:由全概率公式便得所求的概率為根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4,中國勝日本的概率為0.9,而日本勝美國的概率為0.5,求中國得冠軍的概率。解：々H={日本勝美國）,豆={美國勝日本）,A={中國得冠軍}尸⑷=尸⑻尸（％）+尸（研為卜05x0.9+0,5x0,4=0,65尸⑷=尸⑻尸（％）+尸（研為卜05x0.9+0,5x0,4=0,65例8,盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時，從盒中任取3個使用，用后放會盒中,第二次比賽時，再取3個使用，求第二次取出都是新球的概率解：令H?={第一次比賽時取出的3個球中有i個新球}i=O,1,2,3,A={第二次比賽取出的3個球均為新球}口m…法

葉P）于是P(H0)=融，P(H1)=m…法

葉P）胃胃(3)(si而p%。尸p(%1)hp(%?)Hp磔由全概率公式便可得所求的概率.即演出即LIPU.即演出即LIPU3貝葉斯公式定理3：設Hi,H2 H”為一完備事件組，且P(Hj>O(i=1,2,…證:由乘法公式和全概率公式即可得到產(chǎn)("%)=筆蛾證:由乘法公式和全概率公式即可得到產(chǎn)("%)=筆蛾例9：某種診斷腕癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95,不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為0.95,并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？y (先驗概率)解：令H=｛做實驗的人為癌癥患者｝,可=｛做實驗的人不為癌癥患者),A=｛實驗結果反應為陽性｝,｛實驗結果反應為陰性｝,由貝葉斯公式可求得所要求的概率:例10：兩信息分別編碼為X和丫傳送出去，接收站接收時，X被誤收作為丫的概率0.02,而丫被誤作為X的概率為0.01.信息X與丫傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X,問原發(fā)信息也是X的概率為多少？解：設H=｛原發(fā)信息為x｝而 目=｛原發(fā)信息為冷

又設A=｛收到信息為X｝A=（收到信息為Q2由題意可知 產(chǎn)（女）=可，尸口卜）=1-產(chǎn)（工口）=1-0.02=0.98P{HA)尸（刈凡）尸（月）

P（AH）P（H）+尸例五）尸（耳）由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為20.98x±32 f0.98X-+0.01X-尸口卜）=1-產(chǎn)（工口）=1-0.02=0.98P{HA)尸（刈凡）尸（月）

P（AH）P（H）+尸例五）尸（耳）由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為20.98x±32 f0.98X-+0.01X-3 3196197例11：設有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中%的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占%,已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3） 已知所取得產(chǎn)品是次品，問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：令以1，耳2,月3分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=｛所取得的產(chǎn)品為次品｝顯然「陽）吆,尸⑻）=*）=%,產(chǎn)閡=修）=4%對問題（1）,由乘法公式可得所要求的概率：尸（H］工）=尸（女1）產(chǎn)（%）=%x2%1%對問題（2）,由全概率公式可得所要求的概率x2%+%x2%+%x4%=2.5%對問題（3）,由貝葉斯公式可得所要求的概率費7。%四獨立性§1事件的獨立性如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即?（%）=尸（⑷,（尸伊）＞0）則稱事件A對事件B獨立。

如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即尸（夕彳）=尸（8）,（尸（⑷>0）則稱事件B對事件A獨立。不難證明，當尸（⑷>0,尸（3）>0時，上述兩個式子是等價的。事實上，如果尸照）=尸缶），則有尸（43）=產(chǎn)@）產(chǎn)（%）=尸（4）尸（8）反之，如果產(chǎn)（4B）=尸（⑷尸（B）,則有產(chǎn)（%）=與當產(chǎn)（%）=尸⑷oF（AB）=產(chǎn)（歐⑷同樣可證產(chǎn)（%）=P⑻OP（AB）=?仍爐仍）尸（%卜尸（⑷O尸（%卜尸（⑷OP（AB）=尸（d）P（B）OP（%）=產(chǎn)仍）可見事件獨立性是相互的。設4,8為兩個事件，如果P（AB）=尸（⑷P（B），則稱事件A與事件8相互獨立。例1,袋中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無放回的取兩次球，每次取一球，令A=｛第一次取出的是白球｝B=｛第二次取出的是白球｝問A,B是否獨立？解⑴有放回取球情況，則有尸（⑷=%，尸（8）=%，產(chǎn)（/3）=3%=%5可見，尸（HB）=尸（⑷尸（3）,可見A,B獨立。（2）無放回取球情況，則有尸（4）=%,p（b）=（2）無放回取球情況，則有尸（4）=%,p（b）=3x2+3x235x410可見，尸（SB）x尸（為乃伊），故A,B不獨立。（實際上就是抓閹模型）例2,設有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構成兩個系統(tǒng)I,U（見圖）每個元件的可靠性（即元件正常工作的概率）為r（O<r<l）.假定兩元件工作彼此獨立,求兩系統(tǒng)的可靠性.解：令A=｛元件a正常工作｝,B=｛元件b正常工作｝，且A,B獨立。Cl=｛系統(tǒng)I正常工作）, C2=｛系統(tǒng)II正常工作｝系統(tǒng)?于是系統(tǒng)I的可靠性為尸（g）=P（AB）=尸（⑷尸仍）=系統(tǒng)?系統(tǒng)II

系統(tǒng)11的可靠性為尸(Q)= UB)=產(chǎn)⑷+尸(B)-式AB)=尸㈤+P(B)~尸(⑷尸(衣)=2r-顯然「(Cz)=2r-戶>2戶-M=儲=產(chǎn)(CJ(00<1),系統(tǒng)H可靠性大于系統(tǒng)I的可靠性。定義：設A,B,C為三個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨立的。定義2：設A,,削，……A”為n個事件，如果對任意正整數(shù)片(左4萬)及上述事件中的任意小事件有p(44-4)=尸(4?(4)…尸(4)則稱這n個事件A，&……，人是相互獨立的。下面幾個陋是常用的：(1乂,8獨立、4硼立、28獨立、為硼立四個命題有一個成立其它三個必成立。證：設A,B成立，即PQiB)=尸(⑶戶(B),于是有尸(力耳)=P(A-AB)=尸(⑷-P(AB)=尸(⑷-尸(力)尸(3)=尸(4)[1-P(5)]=尸(4)尸(方)— 48獨立n4融立=3謝立n33獨立故A.B獨立。利用這個結果便可證明其它結論，即f由二工獷(2)如果4n2…，4相互獨立，則產(chǎn)口產(chǎn)⑷(2)如果4n2…，4相互獨立，則產(chǎn)口產(chǎn)⑷(3)如果可力？…，4相互獨立，則產(chǎn)U41力小)證：p[J4n f?_\-pU4=i-pQa_ iii5'3'4例3：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為求密碼能被譯出的概率5'3'4解：令入=｛第i個人能譯出密碼｝,1=1,2,3；A=｛密碼能被譯出),所要求的概率為產(chǎn)⑷=P（4必"3）=1-尸傳,優(yōu)＞區(qū)）=1"x%卜0.6j34例4：設每支步槍擊中飛機的概率為P=0.004,（1）現(xiàn)有250支步槍同時射擊，求飛機被擊中的概率;（2）若要以99%概率擊中飛機，問需多少支步槍同時射擊？解：令Ai=｛第i支步槍擊中飛機｝ j=1,2,……,n；A=｛飛機被擊中｝對問題（1）,n=25O,所要求的概率為尸⑷=尸（4口4U…％））=1-產(chǎn)句網(wǎng)4）'''產(chǎn)年50）=1-（1-尸）*°=1-0.9962"%063對問題（2）,n為所需的步數(shù)，按題意尸（4）=1-（1-尸）*=0.99,即（1-產(chǎn)）*=0.01,即0.996,=0.01 于是得力=＞001*1150In0.996§2獨立重復試驗獨立重復試驗|在相同條件下，將某試驗重復進行n次，且每次試驗中任何?事件的概率不受其它次試驗結果的影響，此種試驗稱為n次獨立重復試驗。努里實函二＞ 如果實驗只有兩個可能結杲4,A且尸（⑷=尸（0（尸＜1）稱此試驗為I貝努里試走n重貝努里試闔將貝努里試驗獨立重得n次所構成n次獨立重得試驗稱為n重貝努里試驗。例如，（1）將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點的次數(shù)——10重貝努里試驗（2）在裝有8個正品，2個次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個，觀察取得次品的次數(shù)——5重貝努里試驗（3）向目標獨立地射擊n次，每次擊中目標的概率為P,觀察擊中目標的次數(shù)一n重貝努里試驗等等一個重要的結果：在n重貝努里實驗中，假定每次實驗事件A出現(xiàn)的概率為p（0＜”1）,則在這n重貝努里實驗中事件A恰好出現(xiàn)k（kWn）次的概率為名&）=（：）尸％左=0,12…/其中q=l-p事實上，令4=（第1次試驗A出現(xiàn)），而A= 次試驗14不出現(xiàn)｝,i= ,?因此，在n次獨立重復試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的事件便可表為

1二 2 12 1N*7上式為在n次試驗中恰有k次A出現(xiàn)，而U44…4$4_3…4,在另外n-k次A不出現(xiàn)的所有可能事件之和，這這些事件共有：）個，且他們是兩兩互不相容的。于是由概率的可加性及事件的獨立性便可得到在n重貝努里試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為A伏）=尸（44…44+/“2…4U44…A-14A+1…4U…U44…41d …4）kn-k.kx-k. .k畜一反=pq+pq+???+/>qK _ J啕中t_n3k?*-h例5：設電燈泡的耐用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.2,求三個燈泡在使用了1000小時之后：（1）恰有一個燈泡損壞的概率；（2） 至多有一個燈泡損壞的概率。解：在某一時刻觀察三個燈泡損壞情況為3重貝努里實驗。令A=｛燈泡是壞的）,則p=P（A）=0.8若令B產(chǎn)（有i個燈泡損壞｝,i=0,對于問題（2）,所求的概率為123；對于問題（1）,所求的概率為產(chǎn)（4）=A（1）=（若令B產(chǎn)（有i個燈泡損壞｝,i=0,對于問題（2）,所求的概率為=（0,2）3+（?）0.8110.22=0.008+0,096=0.104例6：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其次品率為0.01,該廠以每10個產(chǎn)品為一包出售，并保證若包內(nèi)多于一個次品便可退貨，問賣出的產(chǎn)品與被退的比例多大解：賣出產(chǎn)品被退回的比例也即賣出一包產(chǎn)品被退回的概率，觀測一包內(nèi)次品（即事件A,p=P（A）=0.01）數(shù)的實驗可視為10重貝努里實驗。令用=（包內(nèi)有，個次品｝,7=0,1,2,…,10則產(chǎn)⑻=的（。01）'（099）3/=0,1,2,…,10令c=｛賣出一包被退回｝,則P?=1-P（C）=1-P（B0U5j=l-尸（穌）-尸（用）=1-（0.9嚴）-0）（0.0『（0.99）9?0004如果廠方以20個產(chǎn)品為包出售，并保證包內(nèi)多于2個次品便可退貨，情況又將如何呢？完全類似可算得尸（C）=1-（0.99）2°-（秋001＞（099）19_e）（0.01）2（0.99”^0001第二章隨機變量及其分布函數(shù)-隨機變量及其分布函數(shù)§1隨機變量的概念隨機變量：設試驗的樣本空間為。，§1隨機變量的概念隨機變量：設試驗的樣本空間為。，在。上定義一個X=X(e),ee。,對試驗的每個結果e,X=X(e)有確定的值與之對應。由于實驗結果是隨機的，那X=X

(e)的取值也是隨機的，我們便稱此定義在樣本空間Q上的單值實函數(shù)*=X(e)為一個隨機變量。引進隨機變量后，試驗中的每個事件便可以通過此隨機變量取某個值或在某范圍內(nèi)取值來表示了。(見圖)通俗講，隨機變量就是依照試驗結果而取值的變量。例1向靶子(見圖)射擊一次，觀察其得分，規(guī)定擊中區(qū)域[得2分 ?TTIII擊中區(qū)域HI得0分 樣本空間。={I,II,111)?定義隨機變量X表示射擊一次的得分即 2e=1,于是， X=X[e)=<1,e=II,0,e-III,4={擊中區(qū)域l}={e:N(e)=2}㈣=2) 門3B=(甲靶片(擊中區(qū)域I或擊中區(qū)域UJ=(e:X&)=2或砥e)=1]-"孰二="例2觀察某電話交換臺，在時間T內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間。={0,1,2,……}?可定義隨機變量X就表示在時間T內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。于是，A={接到呼喚次數(shù)不超過10次}={XW10}B={接到呼喚次數(shù)介于5至1。次之間}={5WXW10},,例3從一批燈泡中任取一個燈泡作壽命試驗。觀察所測燈泡的壽命(單位：小時)樣本空間Q=[0,+~]o可定義隨機變量X表示所測得燈泡的壽命于是，A={測得燈泡壽命大于500(小時)}={X>500}B={測得燈泡壽命不超過5000(小時)}={XW5000}。不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗也可以定義隨機變量表示試驗中每個事件。例4將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。試驗的樣本空間。={H,T},H一正面，T一反面?？啥x隨機變量X表示上拋1次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即理，AX理，AX=X@=1,e=H,={出現(xiàn)正面}={X=1}.用隨機變量表示事件常見形式有{1}{X]<X<x7}={X <x.}等等(這里X為隨機變量，X,X1,Xz等為實數(shù))§2分布函數(shù)

定義設X為隨機變量，對任意實數(shù)X,則稱函數(shù)F(x)=P{XWx}為隨機變量X的分布函數(shù)。例1機房內(nèi)有兩臺設備，令X表示某時間內(nèi)發(fā)生故障的設備數(shù)，并知P{X=0)=0.5,P{X=l}=0.3,P{X=2}=0.2,求X的分布函數(shù)F(x)。解：由于X的可能取值為0,1,2故應分情況討論：當x<0時，F(xiàn)(x)=P{X<x}=0當0Wx<1時，F(xiàn)(x)=P{XWx}=P{X=0}=0.5當lWx<2時,F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=l}=0.5+0.3=0.8當x22時，F(xiàn)(x)=P{XWx}=P{X=O}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=10,總之，F(xiàn)(x)=?°'0.8,11x<2x22例2向一半徑為2米的圓形靶子射擊，假設擊中靶上任何一同心圓的概率為該同心圓的面積成正比，且每次射擊必中靶。令X表示彈著點到靶心距離，求X的分布函數(shù)F(x).11x<2x22解：當x<0時，F(xiàn)(x)=P{X<x}=0當0《xW2時，F(xiàn)(x)=P{XWx}=P{擊中半徑為x的同心圓}=入nx特別，當x=2時，l=F{2}=An4,解得A=l/4n,代入上式便得網(wǎng)x)嶗當x>2時，F(xiàn)(x)網(wǎng)x)嶗性質(zhì)1?F(x)是單調(diào)不臧的，即對任意x,<x2,有F(x。WF(x2)；2,>OWF(x)W1且F(-8)=0,F(+8)=1；F(x)為右連續(xù)的，即對任意x,有F(x+O)=F(x)?？梢宰C明(略)以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條基本共同特性。

利用分布函數(shù)可求隨機變量落在某些區(qū)間上的概率，如P[X<a]=尸⑷產(chǎn){X>a}=p與力=1-RX4司=17（a）P[a<Xib}=P[X<b}-P[X<a）=尸⑥-尸（a）等等。例3在前面打靶的例子中，已知X表示彈著點到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為'0,x<0,F（x）=?—, 04x42,1, x>2,于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域（見圖）的概率產(chǎn){0.4<^r<1.2]=F（1.2）-F（0.4）= =0.32隨機變量分類：離散型健續(xù)型隨機變量1囑伊戈"非離散型混合型奇異型等二離散型隨機變量及其分布律§1離散型隨機變量及其分布律的概念定義：如果隨機變量X的所有可能取值為有限個或可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量。性質(zhì)：1。Ple0,一切l(wèi)；2.設X的所有可能取值為X”x2,……xn,……，則稱下列一組概率P{X=Xi}=Pi,i=l,2,……，性質(zhì)：1。Ple0,一切l(wèi)；2.例1設袋中裝著分別標有T,2,2,2,3,3數(shù)字的六個球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標的數(shù)字，求X的分布律。

解：X的可能取值為T,2,3,且容易求得1 3 1 2 1P（X=-1}=士，尸（X=2）=2=上,產(chǎn){X=3}=金=上故X的分布律為p1/6 1/2 1/3例：相同條件下，獨立的向目標射擊4次，設每次擊中目標的概率為0.8, 求擊中目標次數(shù)X的分布律解：X的可能取值為0,I,2,3,4利用二項概率公式便可求得P{X=0}=(0,2)4=0,0016X01234p0.00160.02560.15360.40960.4096X的分布律為P{X=1}= (0.8)1(0.2)3=0X的分布律為P{X=2)=：)(0.8F(0.3『=0]536'4：P{X=3}=§(0.840,3)i=0.4096產(chǎn){X=4}=（0.8），=04096例2社會上定期發(fā)行某種獎券，每券-元，中獎率為p,某人每次買1張獎券，如果沒有中獎便繼續(xù)買一張，直到中獎為止。求該人購買獎券次數(shù)X的分布律。如果中獎率為1%,問他至少應買多少張獎券才能以不少于99%的概率中獎。解（1）令Ai={第i次購買的獎券中獎},i=l,2,……且尸（4）=尸，尸（4）=1 4,…是相互獨立的。于是產(chǎn){尤=1}=產(chǎn)（4）=pp{x=2}=產(chǎn)（耳百）=尸伍＞㈤）"（1-p）pP〈x=3}=F（X豆區(qū)）=尸（4＞何卜（4）=（I-p）2PP1x=?=尸怎石…詬4）=尸體卜（石）…尸（屋;,⑷=（I-pTxpX的分布律為X123 i pp(l-p)p(l-p)2p (1-p),-,p （2）設n為所需購買的獎券數(shù)，按題意P{X《n}299%即尸{登向=與網(wǎng)"}=字（》”,七分= >99%即(l-p/-1<0.01 即(0.99尸40.01,解得…2包”1=456.96取〃2457In0.99例4某產(chǎn)品40件，其中有次品3件，現(xiàn)從中任取3件（1）求取出的3件產(chǎn)品中所含次品數(shù)X的分布律（2）求取出產(chǎn)品中至少有一件次品的概率：（3）求出X的分布函數(shù)F（X）,并作其圖形。解（1）X的可能取值為0,1,2,3,且有=0.7865P(X=1)=00I=0.7865P(X=1)=00I八J=0.2022P{X=2)=1,八、/=0.0112f40)

=0.0001中至少含有一件次品的概率為于是=0.0001中至少含有一件次品的概率為于是X的分布律為0123U0.78650.202 20.011 20.000 1P{X21}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或P{X^1}=1-P{X<1=1-P{X=0}=1-0.7865=0.2135(3)由分布函數(shù)定義不難求得X的分布函數(shù)為f(x)10.99990.988707B65 0—d23‘0, x<00.7865, 04x<1尸(x)=<0,9887, 1<%<20.9999, 2<x<21, x>3離散型隨機變量其分布函數(shù)的圖形有如下特點：(1)階梯形；(2)僅在其可能取值處有跳躍；(3)其躍度為此隨機變量在該處取值的概率。一般，若x的分布律為P{x=x,}=pi,i=i,2,……，則x落在區(qū)間I內(nèi)的概率便為P(Xel)=^piJr.eZ從而，X的分布函數(shù)與分布律的關系便為尸(彳)=§2幾個重要分布, , X0I1」兩點分制如果隨機變量X的分布律為pqp其中0<p<1,q=1-p則稱X服從參數(shù)為P的(0—1)兩點分布,簡稱為兩點分布,記為X?B(1,p)實際背景:在貝努里實驗中，設事件A的概率為p(0<p<l)如果所定義的隨機變量X表示A發(fā)生的次數(shù)，即xJ1,媛生，例5.一批產(chǎn)品的廢品率顯然例5.一批產(chǎn)品的廢品率顯然X的外而律)為5%,從中任取一個進行檢查，若令X表示抽得廢品的數(shù)H，即X01P95%5%則X?則X?B(l,5%)即X的分布律為(0,抽得正品

左=0,1,2,…,附其中0<p<1,2.匚項分布|如果隨機變量X的分布律為左=0,1,2,…,附其中0<p<1,P,則稱X服從參數(shù)為(n,p)的二項分布，記為X?B(n.p)實際背景：由第一章，獨立重復實驗一段中可知，在n重貝努里實驗中，如果每次實驗事件A出現(xiàn)上=012,…，力的概率為p(O<p<l),則在n次獨立市復實驗中A恰好出現(xiàn)上=012,…，力于是，在此n重貝努里實驗中，如果定義隨機變量X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù),力%Jk=0,1,2,???,?,即X?B(n,p)例6某工廠每天用水量保持正常的概率為%,求最近6天內(nèi)用水量正常天數(shù)X的分布律，并求用水量正常天數(shù)不少于5天的概率。解：由二項分布實際背景可知X~B(6, %)，混產(chǎn)(工=0)=田=00002尸(X=D 8=0.0044尸(X=2)=(；)田田=0.0330nx-3)-「雕[=01318Ptx=4)=悵=0.2966 Ps凡-俳j田；03560P(x=6)=(21=0,1780即X的分布律為wnnrnr^nr^r^T^T^-F||0.0002|[0.0044|國330||0.131 0.2966||0.3560||0.17初用水量正常天數(shù)不少于5天的概率為60.3560+0,1780=0,5340P[X>5)=￡產(chǎn)0.3560+0,1780=0,5340例7一批產(chǎn)品的廢品率為0.03,進行20次獨立重復抽樣，求出現(xiàn)廢品的頻率為0」的概率。解：令X表示20次獨立重復抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù).X-B(20,0.03)(注意：不能用X表示頻率,若X表示頻率，則它就不服從二項分布)所求的概率為尸(%=oD=產(chǎn){X=2}=2 03)地97y8=00988泊松定理：如果npn=z-1>0(?= ,則有l(wèi)im:球(1-外)“"=/-e-，*=0,1,2,…k k\LI證：由于號>*=R即/=于是n產(chǎn)=怕陰用n)

近似公式:設n充分大，p足夠?。ㄒ话鉵210,pW0.1）時，有例8:利用近似公式計算前例中的概率.vP(—=0.01)=P[X=2)近似公式:設n充分大，p足夠?。ㄒ话鉵210,pW0.1）時，有例8:利用近似公式計算前例中的概率.vP(—=0.01)=P[X=2)解： ..*—e-06^-0.098792!'20'2(0.03)2(0.97*1=20,p=0.03,,1=即=0.6)例9:有20臺同類設備由一人負責維修，各臺設備發(fā)生故障的概率為0.01,且各臺設備工作是獨立的,試求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率.若由3人共同維修80臺設備情況又如何？解：（\）1人維修20臺設備.而不能及時維修的概率為令X表示某時刻發(fā)生故障的設備數(shù).X~B（20,0.01）于是，發(fā)生故障P[X>2)=Y(0.01尸(0.99)

Wk21 即=20x0.01=0.2)JU2用（2）3人維修80臺設備不能及時維修的概率為查表假設X表示某時刻發(fā)生故障瘢客射耳2B（80,0.01）于是，發(fā)生故障而P[X>4)= 80(0.01)"(0.99)8°*為280(0.8/k\80x0.01=0.8)查表==0.00913.恒檢允布如果隨機變量X的分布律為尸{尤=后=二（eT,k=0,l,2，…其中入＞0,則稱X服從參數(shù)為人的泊松分布，記為X?n（入）或者X~P（A）實際背景：滿足下列條件的隨機質(zhì)點流（一串重復出現(xiàn)的事件）稱為泊松流。（1）在時間&Z+&）內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)的概率僅與&有關，與t無關；（2）不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點數(shù)彼此獨立；（3》在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點流過，要流過2個或2個以上質(zhì)點幾乎是不可能的。可以證明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)便服從泊松分布。例如：單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼喚次數(shù)；單位時間內(nèi)走進商店的顧客數(shù)等等；均可認為它們服從泊松分布。例10：設X?雙耳且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}解：由于萬?取不，即X的分布律為產(chǎn){尤=口=二_€“&=0,1,2…于是有J1 12 12尸{X=D=二-6々=八P々F{X=2)=M-e-a=二一0.由條件P{X=1}=P{X=2}可得方程1! 2! 2加"=二8-*即2,1=,也即 2）=0解得入=2,0（棄去）2，a杳表所以X-X2）,于是產(chǎn)（X=4）=亍々=0.0902例11：設電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)入=3的泊松分布。（1）求在一分鐘內(nèi)接到超7次呼喚的概率；（2）若一分鐘內(nèi)一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺至少要設置多少條線路才能以不低于90%的概率使用戶得到及時服務。解（1）X?我3）,其分布律為尸[X=k}='e-3為=0,],2,…于是，在一分鐘內(nèi)接到超過7次k\呼喚的概率為 p（x>7}=P[X>8}= =00119（2）設所需設備的線路為K條，按題意應有P{XWK}-90%即P{XWK}=l-P{X>K}=l-P{X》K+l}20.9即P{X-K+l}W0.1查表得P{X26}=0.0839而P{X25}=0.1847,故應取K+1=6,即K=5所以，至少要設置5條線路才能符合要求。三連續(xù)型隨機變量及其概率密度§1連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念所謂|連續(xù)型隨機變是指此隨機變量的可能取值至少應充滿某個區(qū)間且其分布函數(shù)應當是連續(xù)的,連續(xù)型隨機變量X有以下特點: 04P=x}=p{x-Ax<X 蜘{X=x}=0⑴他任意實數(shù)X，p{-F6]事實上,=F（x）-F（x-&）7尸（x）7（x）3⑵ 封=p9幺X<b]=p[a<=<?。┫旅娼⑦B續(xù)型隨機變量X在實數(shù)x處的概率密度（概念的引入）首先，考慮X落在區(qū)間（x,x+&]內(nèi)的概率p{x<X4x+加）=尸（才+&）-F（x）其次，求出X落在區(qū)間（x,x+&]內(nèi)的平均概率密度P四<X?蟲 ？（外+&）一.（X）△x &最后，令反70便得到X在x處的概率密度

11m以x<X4x+&)=11m尸(x+&<斤㈤w(x)“to 瓜 Ar令y(x)=P(x)20,從而便有斤(x)=j.定義設F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)/(X)使得對任意實數(shù)X,有尸⑺則稱X為連續(xù)型隨機變量，〃x)為X的避邈。性質(zhì)T/(x)20,一切x； 2*'/(xHx=1事實上由于尸(x)=//.W1=斤(+8)=0了.%J-9 ,.一個重要結果p[a<x<5}=￡/(工效事實上，p[a<x<2>)=p{a<x<i)=F(b)-F(a)=f/(x.x-f/(x)dxJ-9 J-?>=A」(x)dx+//(工物-口(x^x=f/(工法.幾何解釋(1)」(x)20,表明密度曲線1y=/(x)在x軸上方；A/(x)dx20表明密度曲線1y=/(x)與x軸所夾圖形的面枳為1；p[a<x<b)=(」(x班表明X落在區(qū)間(a,b)內(nèi)的概率等于以區(qū)間(a,b)為底，以密度曲線y=/(x)為頂?shù)那吿菪蚊娣e。為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),系：,㈤=jjQW，/(x)=為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),例1：已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度 仲+1,04x42并計算概率P{1.5<X<2.5} =，0,其它

解:⑴因為j：/(xbx=i故1.X .2k—+ x L2 102k+2解得k=-1/2.于是X的概率密度為了6)解:⑴因為j：/(xbx=i故1.X .2k—+ x L2 102k+2解得k=-1/2.于是X的概率密度為了6)-L+1,04x?20,其它(2)當x<0時，尸㈤=0當04x42時，F(xiàn)（x）=f當x>2時，F(xiàn)（x）=j=j（-x<0總之，尸(x)=,04x42x>2（3）Xl5<x<2,5）=F（2.5）-F（1.5）=1-0.0625100例2.一種電子管的使用壽命為X小時，其概率密度為了6)'某儀器內(nèi)裝有三個這,x<100樣電子管，試求使用150小時內(nèi)只有一個電子管需要換的概率。解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為100150 100X=1-122=115031y服從二項分布令丫表示工作150小時內(nèi)損壞的電子管數(shù)，則Y-B3,y服從二項分布—=0.44于是，此儀器工作150小時內(nèi)僅需要更換一個電子管的概率p{y=1}=§2—=0.441.曲勻分布| 如果隨機變量X的概率密度為= ""'，"則稱*在區(qū)間g1>]上服從0,其它(0 ,x<a—,a<x<bb-a1 ,x>b實際背景：如果實驗中所定義的隨機變量X僅在一個有限區(qū)間[a,b]上取值，且在其內(nèi)取值具有“等可能”性，貝UX?U[a,b]。例2.某公共汽車從上午7:00起每隔15分鐘有一趟班車經(jīng)過某車站，即7:00,7:15,7:30,…時刻有班車到達此車站，如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到達此車站候車，問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。解：設乘客于7點過X分鐘到達車站，則X?U[0,30],即其概率密度為y(x)=(而0,其它于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為p{10<X<15或25< <30)=p{10< 115}+p{25< <30)一+2」303032.|指數(shù)分相如果隨機變量X的概率密度為/(x)=卜電"其中工>0,貝麻X服從參數(shù)為X的 10,x<0指數(shù)分布，記為X?E(A),其分布函數(shù)為F(x)=｛；-e實際背景：在實踐中，如果隨機變量X表示某一隨機事件發(fā)生所需笠位的時間，則一般X?E(A)。例如，某電子元件直到損壞所需的時間(即壽命)；隨機服務系統(tǒng)中的服務時間；在某郵局等候服務的等候時間等等均可認為是服從指數(shù)分布。例3.設隨機變量X服從參數(shù)為入=0.015的指數(shù)分布，(1)求p｛星>100｝：(2)若要使p[X>X)<0.1，問x應當在哪個范圍內(nèi)?(00]c-0.01Arx>00'%于是，(1)p｛X>100｝-0r(x)dx=r0.015e~°m"dx=(-e"°叫于是，(1)0.223=e-】,

0.223⑵要使p[X>x)<0.1,即r-r0.0150-°°1攵由=(-2-°叫：9=0-°°g<0.1取對數(shù)，便得-0.015x<ln0.1 于是便解得 X>~h01=153.50.0153.正態(tài)分布(高斯分布)1 (*-4△如果隨機變量X的概率密度為/(x)=-^ek,-8<x<+8其中“，/(7>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)(“J)的正態(tài)分布，記為X?N(.4；J.服從正態(tài)分布，如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點的位置：噪聲電壓：產(chǎn)品的尺寸等等均可認為近似地服從△實際背景：在實踐中，如果隨機變量X表示許許多多均勻微小隨機因素的總效應，則它通常將近似地正態(tài)分布。服從正態(tài)分布，如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點的位置：噪聲電壓：產(chǎn)品的尺寸等等均可認為近似地服從△正態(tài)密度曲線：參數(shù)“力對密度曲線的影響⑴當d不變”改變時，密度曲線=/(%)=右平移。(“實際上就是落在曲邊梯形內(nèi)部的平均概率)⑵當N不變改變時，7?變大，曲線變平坦；,?變小，曲線變尖窄1X3△分布函數(shù)：尸(x)=-j=-fe2。'dtJ2尸7卜 (積分是存在的，但是不能用初等函數(shù)表示)△標準正態(tài)分布：稱*=0,J=1的正態(tài)分布N(O,1)為標準正態(tài)分布，其概率密度為△標準正態(tài)分布：<X<+<=0；分布函數(shù)為<X<+<=0；分布函數(shù)為(其值有表可查)例5.設X-N(O,1)求p{-l<x<2}及p{|x|<1)解：p{-l<x<2}=6⑵-*(-1)=0(2)-[1-0(1)]=4>(2)+4>(1)-1=0.97725+0.8413-1=0.81855p{kl<i}=_?{-1<x<i}=①(i)-力(-1)=s(i)-[i-力⑻=20(1)-1=2X0.8413-1=0.6826例6.設X?N(0,l),要使p{[x|> =0.05,問X應為何值？解：由于p{|x|2月=<,*=]_p{-,1<x<$}=1-[*(』)-*(-,劃=1-[20(』-1]=2-20(9=0.05即0(9=0.975反查表，便得，1=1.966.一般正態(tài)分布與標準分布的關系：若X?N(,“J)，其分布函數(shù)為F(X),則有尸(x)=O'匚[t-li證：F(X)= fQ & 口——=faQ2du42需歹2 、/2開卜7,正態(tài)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率:如果X?”("J) 則pQ<x<5}=⑦(丁事實上，由F（x）=事實上，由F（x）=O） 立即可得尸{a<x<訃5⑻7（a）=①（一卜干子）例7.設X?葡（2.3,4） 試求P[2<X<4}解:-4>(0,85)解:-4>(0,85)-4>(-0.15)=4>(0,85)-[1-4)(0.15)]0.8023+0.5596-1=0.3619例8從某地乘車前往火車站搭火車，有兩條路可走（1）走市區(qū)路程短，但交通擁擠，所需時間X]?M50J00），（2）走郊區(qū)路程長，但意外阻塞少，所需時間占?知（60,16）。問若有70分鐘可用，應走哪條路線？解：走市區(qū)及時趕上火車的概率為產(chǎn){04X1&70)=消)-① =①(2)-4>(-5)=①(2)=0.97725P(0^^70)=4-1-4—1走郊區(qū)及時趕上火車的概率為 I2JI4JI4卜故應走郊區(qū)路線。=①(2.5)-0(-12.5”①(2.5,=0.9938如果還有65分鐘可用情況又如何呢？P(01^<65)=4—1-4—1同樣計算，走市區(qū)及時趕上火車的概率為 I1J(10)[10J~0(1.5)=0.9332P{0^2<65)=4-1-4—1而走郊區(qū)及時趕上火車的概率便為I2JI4J14J”①(1.25)=0.8944此時便應改走市區(qū)路線。四隨機變置函數(shù)的分布§1離散型隨機變量的情況所謂隨機變量x的函數(shù)y=g(x)是指丫也是一個隨機變量，且每當x取值為x時，丫的取值便為，=g(x)例如，車床車軸，若令X表示車出軸的直徑，丫表示車出軸的橫斷面積,問題:已知x的分布,求y=g(x)的分布。TOC\o"1-5"\h\z例1設離散型隨機變QX的分布律為 , 一: —T , fA -1 U 1 Z JiLP 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10求(1)Y=X-1,(2)y=-2X?的分布律解(1)由隨機變量函數(shù)的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，見下表:Y=X-1 -2 -1 0 1 3/2

X-1025/2P2/101/101/103/103/10于是便得丫的分布律Y=X-1-2-1013/2（2）丫=-2X2的可能值由下表給出F2/101/101/103/103/10丫NX?-20-2-8-25/2x-10125/2P2/101/101/103/103/10由于丫的值有相同的，即-2,因此應將其合并，相應的概率應按概率的可加性進行相加，即310P{Y=-2]=P(X=7,或X=1)=RX=T}+RX=1}=2310最后，得丫的分布律為丫NX?-25/2-8-2°P3/103/103/101/10§2連續(xù)型隨機變量的情況”分布函數(shù)法”——先求Y=g（x）的分布函數(shù)，然后再求導便可得到Y的概率密度例2設隨機變量X的概率密度為￡（x）,試求X的線性函數(shù)y=自星+弓［&&佝X。）為常數(shù)1的概率密度/y（7）解：丫的分布函數(shù)為60=Ry= +/4y}=p體X4丁-&）（分布函數(shù)的定義）4加="-同沖"節(jié)} :無降, 于是（注意復合函數(shù)求導）=fyf （ ,）X［左當卜）=取入"%}=尸產(chǎn)2子,7-RX4,\>=1^—OS '以上k、＞蚌口占＜0兩種情況所得結果可以合并為如下形式

特別，當x?nQ,d）時，則運用上述結果便可得線性變換y=上/+玲佝ho）的概率密度為1 c-(y-Ai-^)2_272Kl2Zfy)=1 c-(y-Ai-^)2_272Kl2即y?n(成i+&,占2J)此結果證明：正態(tài)分布的隨機變量經(jīng)線性變換后，仍是服從正態(tài)分布的隨機變量即y」X+(7代入上面結果便得Y的分布為Y?N(/而i即y」X+(7代入上面結果便得Y的分布為Y?N(/而i+k2,ky刁=N,4,—+(-匕U''=M?！?即丫?n（o,1） 稱y=為標準化變換17例3證X~N（O,1）,求y=X?的概率密度九8）（非線性）解：丫的分布函數(shù) FM-P（Y<y）-p{x2<y}當y>0時,Fy(y)=P(X2<y]=P^y[y<X<y[y}=Fx[jy)-Fx(-^y)于是fM='FyW=A(")泰+f￡⑸泰=S=[Zr(6)+Zr(-⑸]2a2加K/2^ V2^1-<= 2”匹當”0時,&8)=4可4H=0力㈤=0'1=總之/rCy)=<^2ryS'0, ”0例5設電流I為隨機變量，它在9（安培）?11（安培）之間均勻分布，若此電流通過2歐姆電阻，求在此電阻上消耗功率取=2戶的概率密度解：W的分布函數(shù)為fM-p{w”}=P（2I2<7）Io<y-<11當y當y>。時,當”o時，顯然/山）=0 因為I?u[9[i],即其概率密度工[。,其它逗號代表二者同時發(fā)生逗號代表二者同時發(fā)生第三章二維隨機變量及其分布一、二維隨機變量及其聯(lián)合分布設c為某實驗的樣本空間,X和丫是定義在Q上的兩個隨機變量，則稱有序隨機變量對（X,Y）為二維隨機變量比如，研究某地區(qū)人口的健康狀況可能取身高和體重兩個參數(shù)作為隨機變量；打靶彈著點選取橫縱坐標?！?.1.1聯(lián)合分布函數(shù)定義1:設（X,Y）為二維隨機變量，對任意實數(shù)X,y,稱二元函數(shù)F（X,y）=P{XWkYWy}為（X,Y）的分布函數(shù)或稱為X與丫的聯(lián)合分布函數(shù)。幾何上，F(xiàn)（x,y）表示（X,Y）落在平面直角坐標系中以（x,y）為頂點左下方的無窮矩形內(nèi)的概率（見圖）二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)F（x,y）具有以下四條基本性質(zhì)1°F（x,y）對每個自變量是單調(diào)不減的，即若x1〈x2,則有F（x1,y）WF（x2,y）;若y1〈y2,則有F（x,y1）WF(x,y2).2°0這F(x,y)這1且F(x,-8)=f(-8,y)=F(-8,-8)=o,f(+8,+8)=13°F(x,y)對每個自變量是右連續(xù)的，即F(x+O,y)=F(x,y),F(x,y+O)=F(x,y)40對任意x1Sx2,ylSy2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)>0事實上，由圖可見(見右圖)F(x2,y2)-F(xl,y2)-F(x2,yl)+F(xl,yl)

=尸｛-8<X?叼，一8<丫4當｝一尸｛一8<X?Xp-co<Y<^=尸｛-8<X?叼，一8<丫4當｝一尸｛一8<X?Xp-co<Y<^2)-尸｛-9《X?X),一8<K<%｝+R-8<X4々,-8<y<%｝=用1<工4町,乃<丫4h｝20濫了兩次例1設（X,Y）的分布函數(shù)為解：由性質(zhì)4?？傻肍(x,V)=I-+—arc/gxll—+—arctgy試?概率式o< <f<1]產(chǎn)｛0<X41,0<y41｝=尸(1,1)-F(0,l)-F(l,o)+F(0,0)k+\arctg\11 (1 1 .W1—十—arctgiI-I—+—arctgiII—2/ 112 II211(11 A2/ 112t1 J+—arctgiI* )1 八—arctgv)需916一一一+—= 88416§3.1.2聯(lián)合分布律定義紅如果二維隨機變量（X,Y）的所有可能取值為有限對或可列對，則稱（X,Y）為I二維離散型隨設（X,Y）的所有可能取值為（xi,yj）,i,j=1,2 則稱下列一組概率P（X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2 為（X,Y）的分布律，或稱為X與丫的聯(lián)合分布律，用表格表示:y1v2yj……x1pHpl2plj x2p21p22p2j *?iiI?i?111 Xipilpi2pij t?111? 1?? 性質(zhì)1.pijNO,一切i,J,顯然，（X,Y）落在區(qū)域D內(nèi)的概率應為尸{（X,y）e〃}=3 XfJD由此便得（X,Y）的分布函數(shù)與分布律之間關系為"（''》）=.例2兩封信隨機地向編號為I,n,hlw的四個郵筒內(nèi)投，令x表示及'Xi號郵筒內(nèi)的信件數(shù)；丫表示投入n號郵筒內(nèi)的信件數(shù).試求（X,丫）的分布律，并分別求投入I,n號郵筒內(nèi)信件數(shù)相同及至少有一封信投入I,II號郵筒的概率。解"廣產(chǎn){”0,y=o}W=[p31Tx=2,k-o）-P13-14lo lo俳Pi2=Rx=o,y=i}=%qp32=p（x=2,r=i}=0P13=RX=O,Y=2}=3=3p3i=P（X=2,y=2}=0

總之，（X,Y）的分布律為01204/164/161/1614/162/16021/16004 9 2p（x=r）=￡5＞廣九+%+加=卷+2+。二投入I,II號郵筒內(nèi)郵件數(shù)相等的概率為 X1 1616至少有一封信投入I,II號郵筒的概率為P{X21或Y21}=1-P{XG且丫<1}=1-P{X=O,丫=0}=l-Pll=l-4/16=3/4§3.1.3聯(lián)合概率密度定義3：設f（X，y）為二維隨機變量（X,丫）的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f（x，y）使得對任意實數(shù)X，y有，"（xj）=「『/"?）八的貝崎（X,Y）為I二維連續(xù)型隨機變量I，/（X,y）為（X,Y）-?0 ?9的概率密度或稱為X與丫的I聯(lián)合概率密闔。性質(zhì)：1。 /（X,y）20一切X,y2。Ct"'//。:】jy(x,y}dxdy一個重要結果：P（（X,Y）eD）jy(x,y}dxdy幾何解釋：（見圖）（1）/（x,y）20表明密度曲面z=f（x,y）應在xOy坐標面的上方；⑵廣廣/（“協(xié)力=1表明密度曲面z=/（x,y）與xOy坐標面所圍成圖形的體積為1P((X,Y)eD)P((X,Y)eD)表明（X,Y）落在平面區(qū)域D內(nèi)的概率等以D為底，以密度曲面z=/（x,y）為頂?shù)那斨w的體積概率密度與分布函數(shù)關系為:網(wǎng)x,力=「『/(〃,v)dudv /(x,y)=8言,(在/'(x,力的連續(xù)點處)—00一9 ? "例3.設（X,Y）的概率密度為例3.設（X,Y）的概率密度為/(")x2+Axy,

00<x<l,0<7^2其它