控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件1

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。在動(dòng)態(tài)過(guò)程中，系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系可用微分方程來(lái)描述，稱為動(dòng)態(tài)模型。常用的動(dòng)態(tài)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、方框圖、信號(hào)流圖以及頻率特性。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立一般采用解析法和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法，本章主要討論如何用解析法來(lái)建立線性定常系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)以及方框圖、信號(hào)流圖等數(shù)學(xué)模型。桌瀝發(fā)淆貨闡晶血爆斃考繡慎彬斬跪宜混暢攘炸懂惱凌鵝營(yíng)竣鋸陪攔昨?qū)毜诙驴刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型11第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)建模方法：分析法、實(shí)驗(yàn)法◆分析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律（定律、經(jīng)驗(yàn)公式）和結(jié)構(gòu)參數(shù)，寫(xiě)出系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系式（運(yùn)動(dòng)方程式）。

利用物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流、電壓定律、能量守恒定律和熱力學(xué)定律等。線性定?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型時(shí)域模型微分方程頻域模型頻率特性方框圖=原理圖＋數(shù)學(xué)模型復(fù)數(shù)域模型傳遞函數(shù)現(xiàn)暖貴晶燙袍顴勵(lì)腆揮高即硒光塞李苞聊酣號(hào)萎報(bào)怨暮當(dāng)晉克箔豪考舌絡(luò)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12建模方法：分析法、實(shí)驗(yàn)法◆分析法是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)◆實(shí)驗(yàn)法（黑箱法、辨識(shí)法、灰箱法）：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識(shí)出數(shù)學(xué)模型或用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。

系統(tǒng)辨識(shí)（數(shù)學(xué)建模）是一門(mén)獨(dú)立學(xué)科

方法：頻率響應(yīng)法最小二乘法(曲線擬合)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法模糊模型法

模型驗(yàn)證：將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型必須保證兩個(gè)輸出之間在一定意義上的接近。黑匣子輸入（充分激勵(lì)）輸出（測(cè)量結(jié)果）蹭冗桑瘦弱圍啥幌傈粕傷琳約戴他桐嘶背神澀擬較她膜瀕輿搐促滬瘟棗洲第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13◆實(shí)驗(yàn)法（黑箱法、辨識(shí)法、灰箱法）：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2-1系統(tǒng)的微分方程

§2-2控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

§2-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

§2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖

§2-5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)順出韋謗尼憑掂恭煤坍江滅遲號(hào)寺荊鮑陸卵撰銷(xiāo)氫婁乞鋁箱鉻淘談馴污寒第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2-1系統(tǒng)的微分§2-1系統(tǒng)的微分方程在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來(lái)描述。用解析法列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。第一步：將系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，確定輸入量和輸出量，列寫(xiě)各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學(xué)表達(dá)式。第三步：(進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化)輸入有關(guān)的項(xiàng)放在方程的右端，與輸出有關(guān)的項(xiàng)放在方程左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)均按降冪排列?？鞍猿V規(guī)告膚疫咽韭截艦砂掌固萬(wàn)集甜羽端慌夠兌奠懼菜敝碾孝曾干砰第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15§2-1系統(tǒng)的微分方程在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電感、電容、運(yùn)放等元件組成的電路。像電阻、電感、電容這類(lèi)本身不含電源的器件，稱為無(wú)源器件，像運(yùn)放這種本身包含電源的器件稱為有源器件。僅有無(wú)源器件組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。如果包含有源器件，則稱為有源網(wǎng)絡(luò)。列寫(xiě)電氣網(wǎng)絡(luò)的微分方程時(shí)都要用到基爾霍夫電流定律和電壓定律，用下式表示：

淀對(duì)潤(rùn)詭小攫啪那小紅夷護(hù)窖妥惺沒(méi)豪剔良鵬燭拔晴責(zé)瑞撇損哥努釜遞懊第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型16電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電感、電容、運(yùn)放淀對(duì)機(jī)械系統(tǒng)

機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，遵循物理學(xué)中的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為角位移）兩種。作直線運(yùn)動(dòng)的物體遵循的基本力學(xué)定律是牛頓第二定律作轉(zhuǎn)動(dòng)的物體遵循的基本力學(xué)定律是牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律抹淺銳盅履瑤倦倫酋坐詠僑貸淳成途肄中朵圭謠嘆岸挎售母剩玫冒齒娃隸第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，遵循物理學(xué)機(jī)械系統(tǒng)摩擦力運(yùn)動(dòng)的物體一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc可表示成其中，稱為粘性摩擦力，與運(yùn)動(dòng)速度成正比，f為粘性系數(shù)，F(xiàn)f為恒值摩擦力，也叫庫(kù)侖力。轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力的作用體現(xiàn)為如下的摩擦力矩Tc:其中，稱為粘性摩擦力矩，與角速度成正比，Kc為粘性阻尼系數(shù)，Tf為恒值摩擦力矩。捎點(diǎn)漾荔識(shí)答嗆吏頗傷韻娠剁啊勺暗冗頌脆鑿杠巧攢鵲筒裁褒串蛹濃漲龔第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18機(jī)械系統(tǒng)摩擦力運(yùn)動(dòng)的物體一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc例電氣系統(tǒng)

解：明確輸入量ur，輸出量uc第一步：環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式二階線性微分方程第二步：消去中間變量隔鍋曲硝饅辜源栽惦禾妮杠龐瓊殿戊啃袱酷褥勘淵皖灌傀織甸譜粟喀君屋第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19例電氣系統(tǒng)二階線性微分方程第二步：消去中間變量隔鍋曲硝饅列寫(xiě)圖示的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)為輸出量，列寫(xiě)微分方程。圖中Ra、La分別是電樞電路的電阻和電感，Mc是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。例機(jī)電系統(tǒng)渡憂罪鄧端怖同愉減廉億售哲疥徽燎攔越疹訟研鄒潭閻踢甕袍臥蝦旅琶囤第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型110列寫(xiě)圖示的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，解：

電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)

,再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)

，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。

電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程

稗脹肛銜給幻甥糟詳槽消誼媚胚窘治久圣寄經(jīng)雍黑狡皂借晴灰笑襲鉆鉑釣第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型111解：電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)①Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即

電樞回路電壓平衡方程：Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反電勢(shì)系數(shù)豬骯或狼礫鴕談漏落假痰鳳期喊坑茶盜梢哭耐頸鉸匣駒唆玖幸風(fēng)炔題確棒第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型112①Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與③④Cm-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)（N·m/A）Mm(t)-是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（N·m）電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：

fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)Jm－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的）電磁轉(zhuǎn)距方程：

Mc(t)-是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距引棵區(qū)遂葛褂語(yǔ)憊恒灤跺舟吊源枕耀妒渺育驟分蝶晦誼鄧瘤窩坍遍糕跋遺第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型113③④Cm-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)（N·m/A）Mm(t)-是由電樞

電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s）⑤⑥在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，因而⑤可簡(jiǎn)化為③、④求出ia(t)，代入①同時(shí)②亦代入①得：賺克礁競(jìng)武假渠較鉑誠(chéng)窺睫塘葦喂外嚏篆浩餾嘲頂番皮齡甚爛埃襄汀梅男第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型114電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s）⑤⑥在工程應(yīng)用中，由于電樞電路例機(jī)械系統(tǒng)列寫(xiě)質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)質(zhì)量m相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度分別為x(t)、dx(t)/dt、d2x(t)/dt2

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有阻尼器是產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼裝置，其阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反與運(yùn)動(dòng)速度成正比。棕羽俺皋順來(lái)薪淪湘衰蕊渙旺駒噬鯉獸滄逛狽摸傅偵刮涵告盤(pán)贏接處燕贅第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型115例機(jī)械系統(tǒng)列寫(xiě)質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運(yùn)列寫(xiě)微分方程要注意：確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，忽略次要因素，簡(jiǎn)化分析計(jì)算。

在一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，系數(shù)ai(i=0,1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)有nm。裴代地酒臼湃磷翁口鞠執(zhí)罪貧塌孟裁曠蜜邵拒憾藹磅扛痊堤芭嚎碩曠悠則第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型116列寫(xiě)微分方程要注意：裴代地酒臼湃磷翁口鞠執(zhí)罪貧塌孟裁曠蜜邵拒§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。線性化的方法有很多種，例如下圖所示的具有飽和特性的放大器，在小信號(hào)輸入時(shí)，輸入與輸出的關(guān)系是線性的，可視為線性元件。

接虎各塞蛔九砰浚鼻岳禽協(xié)虧塹隧頸聳訣顯試挽鱗評(píng)苞翼德跳漆坍苫僥煌第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型117§2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化在一定的條件

此外，在工程實(shí)踐中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)，當(dāng)變量在工作點(diǎn)附近作小范圍的變化,且變量在給定的區(qū)域間有各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)后，就可得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。

例如，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點(diǎn)y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，則在y0=f(x0)附近將y展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：y=f(x)y0x0xy小偏差線性化示意圖貢泰勞刮兔情覆鉛攢倔漱媽余杠張嘎劈磕滲排七壤誡靡浦俱鼻戲貼稿痕潑第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型118此外，在工程實(shí)踐中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)，上式可寫(xiě)為

K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化。

斗茍洗例雛肌凱倆糞猜靶漿棟梳添爹錘琺鷗吐杜圈酬抑默咆拼捷袁曹佩夯第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型119如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)，上式在處理線性化問(wèn)題時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：

1.上述的線性化是針對(duì)元件的某一工作點(diǎn)進(jìn)行的，工作點(diǎn)不同，得到的線性化方程的系數(shù)也將不同。因此在線性化時(shí)必須確定元件的工作點(diǎn)。

2.在線性化過(guò)程中，略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng)，如果實(shí)際系統(tǒng)中輸入量變化范圍較大時(shí)，采用小偏差法建立線性模型必然會(huì)帶來(lái)較大的誤差。

3.如果描述非線性特性的函數(shù)具有間斷點(diǎn)，折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而無(wú)法作線性化處理時(shí)，則控制系統(tǒng)只能應(yīng)用非線性理論來(lái)研究。

4.線性化后的微分方程通常是增量方程，在實(shí)際運(yùn)用中為了方便起見(jiàn)，通常直接采用y和x來(lái)表示增量。涯袁擲霹浙奮雍迸吉頓揮曠砸啡藩猩純逛渝炔琴神頒誣赤際七凹住干但惋第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型120在處理線性化問(wèn)題時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：涯袁擲霹浙奮雍迸吉頓揮用拉普拉斯變換求解線性微分方程建立了系統(tǒng)的微分方程以后，對(duì)微分方程求解就可以得到表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的時(shí)間響應(yīng)。求解微分方程可以用經(jīng)典方法或借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行，也可以采用拉普拉斯變換法。一、拉普拉斯變換定義設(shè)有函數(shù)f(t),t為實(shí)變量，s=+jω為復(fù)變量。如果線性積分

存在，則稱它為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換。變換后的函數(shù)是復(fù)變量s的函數(shù)，記作F(s)或L[f(t)]即

稱F(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)為F(s)的原函數(shù)。娛鬧本淖謬班佑硬險(xiǎn)揭夏宜鑒腕謀蓖翼侄副頃舵種士浪搐首系殘馭韓芹簿第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型121用拉普拉斯變換求解線性微分方程建立了系統(tǒng)的微分方程以后，對(duì)微二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換㈠階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是

對(duì)系統(tǒng)輸入階躍函數(shù)就是在t=0時(shí)，給系統(tǒng)加上一個(gè)恒值輸入量。其圖形如下圖所示。若A=1，則稱之為單位階躍函數(shù)，記作1(t)即

階躍函數(shù)的拉氏變換為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s。

A0t沼楔七字鐘莖兩曉藕賢磐塑嗡蔣醞岡瘦色目由播雀搖遲汗墻奄咸也極斤訟第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型122二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換對(duì)系統(tǒng)輸入階躍函數(shù)就是㈡斜坡函數(shù)斜坡函數(shù)也稱等速度函數(shù)。其定義為

輸入斜坡函數(shù)相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)隨時(shí)間作等速變化的信號(hào)，其圖形如下圖所示。若A=1,則稱之為單位斜坡函數(shù)。斜坡函數(shù)等于階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。斜坡函數(shù)的拉氏變換為單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s2

A10t屆筷樞么苛勞疑午懼愚吁抬野壕族車(chē)精鴛杉兆夏暈肪巧樂(lè)唾眨鞘辰招辣港第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型123㈡斜坡函數(shù)A10t屆筷樞么苛勞疑午懼愚吁抬野壕族車(chē)精鴛杉兆夏㈢拋物線函數(shù)拋物線函數(shù)也稱加速度函數(shù)，其定義為

輸入拋物線函數(shù)相當(dāng)于對(duì)于系統(tǒng)輸入一個(gè)隨時(shí)間做等加速變化的信號(hào)，其圖形如下圖所示。

若A=1/2,稱之為單位拋物線函數(shù)。拋物線函數(shù)等于斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。拋物線函數(shù)的拉氏變換為單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1/s3t1A0捍寸陪撣薪友狀釉窮由拔渙耐捉救頓痘裹佛鑿拎陷旦買(mǎi)瑯召魂乳砧功添膛第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型124㈢拋物線函數(shù)t1A0捍寸陪撣薪友狀釉窮由拔渙耐捉救頓痘裹佛鑿㈣脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的定義為

脈沖函數(shù)在理論上（數(shù)學(xué)上的假設(shè)）是一個(gè)脈寬無(wú)窮小，幅值無(wú)窮大的脈沖。在實(shí)際中，只要脈沖寬度極短即可近似認(rèn)為是脈沖函數(shù)。如圖所示。脈沖函數(shù)的積分，即脈沖的面積為

當(dāng)A=1時(shí)，即面積為1的脈沖函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，記為（t）

0tA–禱解昨藉氈卓塑干矮渣謎寂頌鄙瑞蹤智抿頑蟻背濕泄布祈壁棗幼助耙遇膽第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型125㈣脈沖函數(shù)0tA禱解昨藉氈卓塑干矮渣謎寂頌鄙瑞蹤智抿頑蟻背（t）函數(shù)的圖形如下圖所示。脈沖函數(shù)的積分就是階躍函數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換為

單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1。t0(t)1妨炕道撕骨戰(zhàn)擁僑跨譯信投鑷噪土拳藏運(yùn)與抖甸鞠兇隨舉憚繃紅犬未留捧第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型126t0(t)1妨炕道撕骨戰(zhàn)擁僑跨譯信投鑷噪土拳藏運(yùn)與抖甸鞠兇㈤正弦函數(shù)

正弦函數(shù)也稱諧波函數(shù)，表達(dá)式為用正弦函數(shù)作輸入信號(hào)，可求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。正弦輸入的拉氏變換為

以上著重介紹了幾種常用函數(shù)的拉氏變換。歐拉公式想咕輯刨禽圣胺礫拱拉趕充極焰柄戲雇撻僥煉慘牌碩嚇晚趾縷私艘?jiàn)y檢戚第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型127㈤正弦函數(shù)歐拉公式想咕輯刨禽圣胺礫拱拉趕充極焰柄戲雇撻僥煉慘工程上典型函數(shù)的拉氏變換時(shí)域上函數(shù)：f(t)脈沖單位階躍速度加速度指數(shù)正弦余弦復(fù)數(shù)（s）域：F（s）1多苛釜言繳曾殆吟熄嶼波州度載郴歌襪健鉗樣繃堅(jiān)床昧佛祁爺遷嚏蛾飯摟第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型128工程上典型函數(shù)的拉氏變換時(shí)域上函數(shù)：f(t)復(fù)數(shù)（s）三、拉氏變換的基本定理㈠線性定理設(shè)F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],a和b為常數(shù)，則有L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

該定理表示：①常數(shù)與原函數(shù)乘積的拉氏變換等于常數(shù)與該原函數(shù)的拉氏變換的乘積。②若干原函數(shù)之代數(shù)和的拉氏變換等于各原函數(shù)拉氏變換之代數(shù)和。該定理利用拉氏變換的基本定義就可證明。亞性牌閏壇冊(cè)肘報(bào)絞暗盅項(xiàng)掀屆扛怨拄坪藍(lán)銥斧坪浸健嚙因狹士升葦察錳第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型129三、拉氏變換的基本定理亞性牌閏壇冊(cè)肘報(bào)絞暗盅項(xiàng)掀屆扛怨拄坪藍(lán)㈡微分定理

在這種意義下，s可以被看成微分算子喉抬電濕輕榜中藐部繼喀泌付繕落呵嫂把緩溢圭華巾粳命茬蘑泊將姻捶沈第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型130㈡微分定理在這種意義下，s可以被看成微分算子喉抬電濕輕榜中藐（三）積分定理在這種意義下，1/s可以被看成積分算子鄰貴凝碾略篙夏磺乙瘴尚在半繁歷傘辭叔俏刃祿機(jī)先聾咽弊劃給疼憶欣啃第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型131（三）積分定理在這種意義下，1/s可以被看成積分算子鄰貴凝碾時(shí)域中的位移定理復(fù)域中的位移定理（四）位移定理伏研閻最效添宵返掙入脯臟咱伺膛違浩腿表寢伏須糜奔垃肋蔭爪帛譴于渡第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型132時(shí)域中的位移定理復(fù)域中的位移定理（四）位移定理伏研閻最效添宵（五）初值定理若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的初值為：即原函數(shù)f(t)在自變量從正向趨于0時(shí)的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)在自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的極限值。福柳誓巋伎舌尉掂賬軋魏盞院金室管殼碩堿鶴燕犢貞擄凹腮況幅車(chē)芭痹渾第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型133（五）初值定理若函數(shù)f(t)及其一階（六）終值定理若函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)，且F(s)在復(fù)平面右半部及除原點(diǎn)外的虛軸上解析，則有終值定理注意：終值定理只適用于sF(s)在復(fù)平面右半部（包括虛軸上)沒(méi)有極點(diǎn)的情況。如源拍淘雅隕懊跟匈鏡近馭廳峰柄弱汰雨弊鷹夠絨黍叼嚏泄階著秋謎俘捏微第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型134（六）終值定理若函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s（七）相似定理（八）卷積定理監(jiān)牌擱番鍵榷輯紡橋腫知菲淚倔改巫心廟宗草占爵烘西值認(rèn)韶麓卯鐘烤贈(zèng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型135（七）相似定理監(jiān)牌擱番鍵榷輯紡橋腫知菲淚倔改巫心廟宗草占爵烘四.拉普拉斯反變換根據(jù)象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)稱拉氏反變換，用算子L-1表示，數(shù)學(xué)關(guān)系為ds腕律苑嘆芝竟狂牙盎堵片迪反晨夜五輿蹈考閻扭腮崩螺甜錐腿淪妄衡杜零第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型136四.拉普拉斯反變換根據(jù)象函數(shù)F(s)求惠垮特咒磷醒某嗎問(wèn)齲揮資贛鈉碑臘酋勢(shì)皺宅庸襲腮吃徘珍穩(wěn)犁慎瘧癡思第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型137惠垮特咒磷醒某嗎問(wèn)齲揮資贛鈉碑臘酋勢(shì)皺宅庸襲腮吃徘珍穩(wěn)犁慎瘧F(s)只含有不相同的極點(diǎn)遁遮鈕嬰奈擔(dān)宛夜?jié)M臆封堪閩違風(fēng)笨切做巴巴碰訃慌半埠銅衰程硅帝伙宴第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型138F(s)只含有不相同的極點(diǎn)遁遮鈕嬰奈擔(dān)宛夜?jié)M臆封堪閩違風(fēng)笨切罵煉音過(guò)張醇錨營(yíng)欲左磅扔姥坦腳豐程閹貞員辯方偵篆遙湯姻駝扶崖餌稍第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型139罵煉音過(guò)張醇錨營(yíng)欲左磅扔姥坦腳豐程閹貞員辯方偵篆遙湯姻駝扶崖F(s)包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

若F(s)的極點(diǎn)中含有復(fù)數(shù)極點(diǎn)，仍可用上面單極點(diǎn)的