數值分析1-誤差課件

北京工業(yè)大學應用數理學院數值分析(計算方法)第一章：誤差北京工業(yè)大學應用數理學院數值分析(計算方法)第一章：誤差1主要內容誤差的來源與分類誤差與有效數字在近似計算中應注意的幾個問題主要內容誤差的來源與分類21.來源與分類

(Source&Classification)模型誤差參數誤差(觀測誤差)方法誤差(截斷誤差)舍入誤差1.來源與分類(Source&Classific3

1.1

模型誤差(ModelingError)用計算機解決實際問題時，首先要建立數學模型，各種實際問題是十分復雜的，而數學模型是對被描述的實際問題進行抽象、簡化而得到的，往往忽略了一些次要因素，因而是近似的，我們把數學模型與實際問題之間出現的這種誤差稱為模型誤差。如自由落體公式忽略了空氣阻力。1.1模型誤差(ModelingError)用計算機4數學模型中的物理參數的具體數值，一般通過實驗測定或觀測得到的，因此與真值之間也有誤差，這種誤差稱為參數誤差或觀測誤差。例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，這個數值是由多次實驗而得到的結果實際的值有一定的誤差，這時g-9.8就是參數誤差。1.2

參數誤差(觀測誤差，MeasurementError)數學模型中的物理參數的具體數值，一般通過實驗測定或觀測得到的51.3

方法誤差

(截斷誤差TruncationError）在數學模型（包括參數值）確定以后，就常要考慮選用某種數值方法具體進行計算，許多數值方法都是近似方法，故求出的結果與準確值之間是有誤差的，該誤差稱為截斷誤差或方法誤差。例如，函數f(x)用Taylor多項式近似代替，則數值方法的截斷誤差為：1.3方法誤差(截斷誤差TruncationErro6對于參與計算的數據用計算機做數值計算時，所計算數據的位數可能很多甚至可能有無窮多位，而計算機的字長有限的，因此只能對有限位進行計算，原始數據和計算結果在計算機上表示均用4舍5入或截去的方法進行處理，這種誤差稱為舍入誤差。例如用近似代替π，產生的誤差：即4舍5入產生的誤差就是舍入誤差。

1.4

舍入誤差(RoundingError）對于參與計算的數據用計算機做數值計算時，所計算數據的位數可能71.5

各種誤差產生的時機實際問題數學模型數學方法求解過程計算結果模型誤差參數誤差截斷誤差舍入誤差舍入誤差會產生積累，其他三種誤差沒有積累。1.5各種誤差產生的時機實際問題數學模型數學方法求解過程計82.誤差與有效數字

(ErrorandSignificantDigits)如果x*為x的近似值,稱e*=x-x*為絕對誤差。絕對誤差往往是未知的，而只知道它的一個上限，此上限|e*|=|x-x*|記為?*,稱為絕對誤差限(accuracy)。工程上常記為x=x*±?*，例如

絕對誤差

(absoluteerror)2.誤差與有效數字(ErrorandSignific9

相對誤差

(relative

error)稱為近似值x*的相對誤差；

的絕對值的上界稱為相對誤差限，即

絕對誤差限與相對誤差限的關系相對誤差(relativeerror)稱為近似值x*10有效數字

(SignificantDigits)在實際計算中,經常按四舍五入原則取近似值.例如:它們的誤差都不會超過末位數字的半個單位,即有效數字(SignificantDigits)在實際計算11定義1.2.5設x為準確值,x*為x的近似值，記x*=±0.a1a2…an×10m(其中a1≠0),若|x-x*|≤0.5×10m-n(即an的截取按四舍五入規(guī)則)，則稱x*有n位有效數字，精確到10m-n。例如π=3.1415926535897932…，如果取π*=3.1415，問π*有幾位有效數字？證明：π*=0.31415×101 |π-π*|=0.0000926… ≤0.5×10-3=0.5×101-4

所以π有4位有效數字,精確到小數點后第3位?？梢宰C明π*=3.14159有6位有效數字。有效數字愈多愈精確定義1.2.5設x為準確值,x*為x的近似值，記x*=±0.12

當兩個相近的數相減時，會大大的損失有效數字的位數，使得相對誤差會變得很大。3在近似計算中應注意的幾個問題3.1做減法要避免兩個相近的數相減當兩個相近的數相減時，會大大的損失有效數字的位數，使13解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007

x，y的有效數字是5位，而x-y的有效數字卻只有1位，這樣使得有效數字的位數大大的減少了。例1:已知x=1.5846,y=1.5839,求x-y解：x-y=1.5846-1.5839=0.000714例2.已知x=18.496,y=18.493取4位有效數字計算x-y的近似值，并估計其相對誤差.而 x-y=18.496-18.493=0.003其相對誤差為解：取x*=18.50，y*=18.49進行計算得 x*-y*=18.50-18.49=0.01可以看到相對誤差比較大.

例2.已知x=18.496,y=18.493取4位15例如，當x很大時和很接近，直接計算 就會大大的損失有效數字，此時應把公式變形，分子、分母同乘一個共軛根式，即

在編程序時，可采取以下措施：1).對參加運算的量多保留幾位有效數字；2).變換計算公式，這樣求出的結果就比較準確。例如，當x很大時和16又例如，當x1與x2

很接近時，lnx1-lnx2就可能損失有效數字過多，一般變形為：

這樣求出的結果就比較準確。又例如，當x1與x2很接近時，lnx1-lnx2就可17分母的值就變的很小，一般應變形為:3.2做除法運算時作分母的量不要太小例如，計算時，會使的絕對誤差變的很大，一般遇到這種情況把公式變形,例如當|x|非常小時，使用此公式就比較可靠。分母的值就變的很小，一般應變形為:18若絕對值相差很大的兩個數做加，減法運算時絕對值較小的數往往被絕對值較大的數“吃掉”，絕對值較小的值不能發(fā)揮作用，影響計算結果的準確性。3.3防止大數“吃掉”小數例3求方程x2-(109+1)x+109=0的根(保留8位10進制數)。若絕對值相差很大的兩個數做加，減法運算時絕對19解：很容易可以求出此方程的根為

x1=109,x2=1如果用二次方程的求根公式來編程時就可能得不到正確的結果。解：很容易可以求出此方程的根為如果用二次方程的求根公式來編程20如果我們使用的計算機只能保留小數點后8位，因為在運算前計算機要先把數“規(guī)格化”，下面我們看

第一步：把兩個數對階“規(guī)格化”的運算，把兩個數按“對階”規(guī)格化后，參加運算的量表示為如果我們使用的計算機只能保留小數點后8位，因為在運算21第二步：把兩個數對階相加兩數相加：按4舍5入保留8位第二步：把兩個數對階相加兩數相加：按4舍5入保留8位22用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解所以由此可看出結果的誤差太大，原因就是在作加減法運算時要“對階”，因而小數1被大數109吃掉了。

用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解所以由此23采取的措施從上面的計算可以看出x1是可靠的，而x2是不可靠的，我們不能使用求根公式計算x2，我們利用兩根間的關系求x2，即

可以看出，用此方法是可靠的。在編程時，若b<0先計算x1，上述方法計算x2，若b>0先計算x2，上述方法計算x1。采取的措施從上面的計算可以看出x1是可靠的，而x2是不24

3.4

要注意計算公式的簡化，減少運算次數簡化計算公式很重要，將直接影響計算的速度和誤差的積累，有時可以使一個無法實現的計算能夠實現。例計算多項式：的值。若直接用上面公式計算，當計算項時，需要進行k次乘法，因而求出這個多項式的值時需要進行次乘法和n次加法，當n很大且要反復計算此多項式的值時，工作量將會很大.3.4要注意計算公式的簡化，減少運算次數簡化計算公式很25但我們若將公式改寫為：改進的措施則只需要n次乘法和n次加法，即可得到計算結果，可以看出，將公式改寫后可大大減少運算次數。

例如：C函數： doublePolynomial(double*a,intn,doublex) { doublep=a[n]; for(intk=n-1;k>=0;k--)

p=p*x+a[k]; returnp; }但我們若將公式改寫為：改進的措施則只需要n次乘法和n次加法，26在數值計算時，會產生那四種誤差，這四種誤差的來源是什么；絕對誤差和絕對誤差限的定義及計算公式；相對誤差和相對誤差限的定義及計算公式；有效數字的定義，有效數字和絕對誤差的關系？有效數字和相對誤差的關系？保留3位有效數字與保留小數點以后3位數字的區(qū)別。誤差知識部分的自學提綱在數值計算時，會產生那四種誤差，這四種誤差的來源是什么；誤差27作業(yè)習題一 1.1,1.2,1.4,1.5作業(yè)習題一 1.1,1.2,1.4,1.528北京工業(yè)大學應用數理學院數值分析(計算方法)第一章：誤差北京工業(yè)大學應用數理學院數值分析(計算方法)第一章：誤差29主要內容誤差的來源與分類誤差與有效數字在近似計算中應注意的幾個問題主要內容誤差的來源與分類301.來源與分類

(Source&Classification)模型誤差參數誤差(觀測誤差)方法誤差(截斷誤差)舍入誤差1.來源與分類(Source&Classific31

1.1

模型誤差(ModelingError)用計算機解決實際問題時，首先要建立數學模型，各種實際問題是十分復雜的，而數學模型是對被描述的實際問題進行抽象、簡化而得到的，往往忽略了一些次要因素，因而是近似的，我們把數學模型與實際問題之間出現的這種誤差稱為模型誤差。如自由落體公式忽略了空氣阻力。1.1模型誤差(ModelingError)用計算機32數學模型中的物理參數的具體數值，一般通過實驗測定或觀測得到的，因此與真值之間也有誤差，這種誤差稱為參數誤差或觀測誤差。例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，這個數值是由多次實驗而得到的結果實際的值有一定的誤差，這時g-9.8就是參數誤差。1.2

參數誤差(觀測誤差，MeasurementError)數學模型中的物理參數的具體數值，一般通過實驗測定或觀測得到的331.3

方法誤差

(截斷誤差TruncationError）在數學模型（包括參數值）確定以后，就常要考慮選用某種數值方法具體進行計算，許多數值方法都是近似方法，故求出的結果與準確值之間是有誤差的，該誤差稱為截斷誤差或方法誤差。例如，函數f(x)用Taylor多項式近似代替，則數值方法的截斷誤差為：1.3方法誤差(截斷誤差TruncationErro34對于參與計算的數據用計算機做數值計算時，所計算數據的位數可能很多甚至可能有無窮多位，而計算機的字長有限的，因此只能對有限位進行計算，原始數據和計算結果在計算機上表示均用4舍5入或截去的方法進行處理，這種誤差稱為舍入誤差。例如用近似代替π，產生的誤差：即4舍5入產生的誤差就是舍入誤差。

1.4

舍入誤差(RoundingError）對于參與計算的數據用計算機做數值計算時，所計算數據的位數可能351.5

各種誤差產生的時機實際問題數學模型數學方法求解過程計算結果模型誤差參數誤差截斷誤差舍入誤差舍入誤差會產生積累，其他三種誤差沒有積累。1.5各種誤差產生的時機實際問題數學模型數學方法求解過程計362.誤差與有效數字

(ErrorandSignificantDigits)如果x*為x的近似值,稱e*=x-x*為絕對誤差。絕對誤差往往是未知的，而只知道它的一個上限，此上限|e*|=|x-x*|記為?*,稱為絕對誤差限(accuracy)。工程上常記為x=x*±?*，例如

絕對誤差

(absoluteerror)2.誤差與有效數字(ErrorandSignific37

相對誤差

(relative

error)稱為近似值x*的相對誤差；

的絕對值的上界稱為相對誤差限，即

絕對誤差限與相對誤差限的關系相對誤差(relativeerror)稱為近似值x*38有效數字

(SignificantDigits)在實際計算中,經常按四舍五入原則取近似值.例如:它們的誤差都不會超過末位數字的半個單位,即有效數字(SignificantDigits)在實際計算39定義1.2.5設x為準確值,x*為x的近似值，記x*=±0.a1a2…an×10m(其中a1≠0),若|x-x*|≤0.5×10m-n(即an的截取按四舍五入規(guī)則)，則稱x*有n位有效數字，精確到10m-n。例如π=3.1415926535897932…，如果取π*=3.1415，問π*有幾位有效數字？證明：π*=0.31415×101 |π-π*|=0.0000926… ≤0.5×10-3=0.5×101-4

所以π有4位有效數字,精確到小數點后第3位?？梢宰C明π*=3.14159有6位有效數字。有效數字愈多愈精確定義1.2.5設x為準確值,x*為x的近似值，記x*=±0.40

當兩個相近的數相減時，會大大的損失有效數字的位數，使得相對誤差會變得很大。3在近似計算中應注意的幾個問題3.1做減法要避免兩個相近的數相減當兩個相近的數相減時，會大大的損失有效數字的位數，使41解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007

x，y的有效數字是5位，而x-y的有效數字卻只有1位，這樣使得有效數字的位數大大的減少了。例1:已知x=1.5846,y=1.5839,求x-y解：x-y=1.5846-1.5839=0.000742例2.已知x=18.496,y=18.493取4位有效數字計算x-y的近似值，并估計其相對誤差.而 x-y=18.496-18.493=0.003其相對誤差為解：取x*=18.50，y*=18.49進行計算得 x*-y*=18.50-18.49=0.01可以看到相對誤差比較大.

例2.已知x=18.496,y=18.493取4位43例如，當x很大時和很接近，直接計算 就會大大的損失有效數字，此時應把公式變形，分子、分母同乘一個共軛根式，即

在編程序時，可采取以下措施：1).對參加運算的量多保留幾位有效數字；2).變換計算公式，這樣求出的結果就比較準確。例如，當x很大時和44又例如，當x1與x2

很接近時，lnx1-lnx2就可能損失有效數字過多，一般變形為：

這樣求出的結果就比較準確。又例如，當x1與x2很接近時，lnx1-lnx2就可45分母的值就變的很小，一般應變形為:3.2做除法運算時作分母的量不要太小例如，計算時，會使的絕對誤差變的很大，一般遇到這種情況把公式變形,例如當|x|非常小時，使用此公式就比較可靠。分母的值就變的很小，一般應變形為:46若絕對值相差很大的兩個數做加，減法運算時絕對值較小的數往往被絕對值較大的數“吃掉”，絕對值較小的值不能發(fā)揮作用，影響計算結果的準確性。3.3防止大數“吃掉”小數例3求方程x2-(109+1)x+109=0的根(保留8位10進制數)。若絕對值相差很大的兩個數做加，減法運算時絕對47解：很容易可以求出此方程的根為

x1=109,x2=1如果用二次方程的求根公式來編程時就可能得不到正確的結果。解：很容易可以求出此方程的根為如果用二次方程的求根公式來編程48如果我們使用的計算機只能保留小數點后8位，因為在運算前計算機要先把數“規(guī)格化”，下面我們看

第一步：把兩個數對階“規(guī)格化”的運算，把兩個數按“對階”規(guī)格化后，參加運算的量表示為如果我們使用的計算機只能保留小數點后8位，因為在運算49第二步：把兩個數對階相加兩數相加：按4舍5入保留8位第二步：把兩個數對階相加兩數相加：按4舍5入保留8位50用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解所以由此可看出結果的誤差太大，原因就是在作加減法運算時要“對階”，因而小數1被大數109吃掉了。

用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解所以由此51采