大學(xué)物理(機(jī)械工業(yè)出版社)上冊(cè)-課后練習(xí)及答案

2vvdtv-1-1ooyto22200vt0xt002vvdtv-1-1ooyto22200vt0xt00第章點(diǎn)運(yùn)已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)方為：

x30

，

d用分離變量法把式1)改寫(xiě)為v將式(2)兩邊積分并考慮初始條件有

t

y15t20。中x、的位為m的位為ｓ。試求初速度的大小和方向(2)加速度的大小和方向。分由動(dòng)方程的分量式可分別求出速度度

得石子速度

v

vtB)的分量再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．x解(1)速度的分量式為v60t

由此可知當(dāng)t∞時(shí)或收尾速度．

v

為一常量常稱為極限速度v

yt

15t

再

v

d(1)tB

并考慮初始條件有當(dāng)＝時(shí)＝m·ｓ,＝m·ｓ則速度大小為

d

(1

)dt

0

0

2

0

2

m

得石子運(yùn)動(dòng)方程

y

t2

(e

3設(shè)與x軸夾角α則αα123°41′v加度的分量式為x60,dvt則加速度的大小為aa72.1x2設(shè)a與x軸夾角β則ββ＝-33°41或26°19一子從空中由止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)得其加度a式AB為正恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分本亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,與題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式＝a(t分離變量為t后兩邊積分．)解取石子下落方向y軸向下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

一個(gè)正在沿直線駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于阻力得到一個(gè)與速度反向與速平方成正比例的加速度，即a=-，k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，試證：v（1船在t時(shí)的速度大小為v0；kv（2間t內(nèi)駛距離為xln(vkt；（3船在行駛距離的速率為=e。[證明（）分離變數(shù)得，2dv故，v01可得：（）公式可化為v0，kt由于v=t，所以：xdtd(1kt)k(101積分kt)．k)00因此ln(由題

vt

v

要(x，可由

dvdvdxdvadtdx

，有xv0221解：∵∴n2xv0221解：∵∴n2kv

dvdvdxv

解球落地時(shí)速度為

0

2gh

建立直角坐標(biāo)系，積分得

以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖ln,ve證．－行身高為h若人以勻速0用繩拉一小車行走，而小車放在距地面H高為H的滑平臺(tái)上車動(dòng)的速度和加速度。圖習(xí)題圖解進(jìn)速度，則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動(dòng)的速度大小，l2H20

600x1cos600gcos6022sin600y001sintsin60t22第二次落地時(shí)

2vt0g

dldt

0

t

2

t0H)

2

所以

60t0

g60t2

2vg

20

0.8mdldt

(H)2v20(H)2t20

3/2

－一扔石頭的最大出手速率為＝25m/s，他能擊中一個(gè)與他的手水平距離L=50m高h(yuǎn)=13m的標(biāo)嗎？在此距離上他能擊中的最大高度是多少？t所以小車移動(dòng)的速度v(H)t20(H)v小車移動(dòng)的加速度a0(H)2t質(zhì)沿軸運(yùn)動(dòng)其加速度和位置的關(guān)系為2的位為m/s的單位為。質(zhì)點(diǎn)在x=0為求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。

解：由運(yùn)動(dòng)方程vtcosvt去t得跡方程gy(22以x＝，＝代入后得gy2225

gt

2

消dvdxdvttx(2)d分離變量：x兩邊積分得v由題知，時(shí),∴v325m如所示，一彈球由靜止開(kāi)始自由下落高度后在一傾角30的斜面上面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它第二次碰到斜面的位置距原來(lái)的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)。

tg5tg)24取＝，則當(dāng)時(shí)11.25〈max所以他不能射中射得最大度為ymax一點(diǎn)沿半徑R的周按規(guī)律stbt運(yùn)，b都常量(1)求t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的總加速度(2)t為0何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于當(dāng)加速度達(dá)到時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分在自然坐標(biāo)中s表圓周上從某一點(diǎn)開(kāi)始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程＝(t),對(duì)時(shí)間求一階、二階導(dǎo)數(shù),即沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和速度的切向分量加速度的法向分量為＝/這樣總加速度為aa＋ae．于質(zhì)點(diǎn)t時(shí)內(nèi)通過(guò)的路,即為曲線ｔｔ坐標(biāo)的改變-s因周長(zhǎng)為質(zhì)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈t-1nR20t0t2222x-1nR20t0t2222x數(shù)自然可求得．解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

v

ddt

v

，a－10機(jī)以的度沿水平直線飛行，在離其加速度的切向分量和法向分量分別為

地面高為時(shí)駕駛員要把物品投到前方某一面目標(biāo)處。問(wèn)）此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)？（）投放t

2t

s2

(v)0RR

2

物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？（3物品投出2s后它的法向加速度和切向加速度各為多故加速度的大小為R2a20t2其方向與切線之間的夾角為a(v)n0aRbt1要｜a｜＝v)得vt0從t開(kāi)到＝/b時(shí)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為s2

少？解：y＝，t＝（x452m（12.5（v＝dva＝gtm/,g10.0(m/staa2t

）s因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為n0ππbR已質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)程為：hcos,z，式中2R、、為的常量。求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（2質(zhì)點(diǎn)的速度大小）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。h解：（1）道方程為xy2這是一條空間螺旋線。在O平上的投影為圓心在原點(diǎn)為的，螺距為

g22m/2或9m/s9.8)t1－一無(wú)風(fēng)的下雨天列車以=20m/s的速度勻1速前進(jìn)內(nèi)旅客看見(jiàn)玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降，求雨滴下落的速度下降的雨滴作勻速運(yùn)2動(dòng)）解：以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為V,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為V，客看到雨滴下12落速度V為對(duì)速度它們之間的關(guān)系為2v'21/tg755.36ms－12升機(jī)以加速度a=1.22m·s上升，當(dāng)上升速0度為2.44m·s時(shí)有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落，天dxv（2）dtv22xyz

2

花板與升降機(jī)的底面相距，試求螺從天花板落到底面所需時(shí)間帽對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離。解以降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度為螺絲落到底面時(shí)，10(g)t22（3）

a

ay

i

t

2hg

0.7050則v'0ABBAAB10-1大小由可得為20'uvv3AB(4)20則v'0ABBAAB10-1大小由可得為20'uvv3AB(4)2't（2）由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)的高度為0.716－飛A相地面以的速率向南A飛行飛機(jī)B相地面以的率向東偏B南30方向飛行。求飛機(jī)A相飛機(jī)B的度。解：v1000j400j4003iABvj－400j3

解：由相對(duì)速度的矢量關(guān)系有（1空氣時(shí)靜止的，即＝0，則往返時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度就等于飛機(jī)相對(duì)空氣的速度lll故飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間vvv空的速度向東時(shí)，當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)，風(fēng)速與飛機(jī)相對(duì)空氣的速度同向剛好相故飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間為llt(1)v'v2空的速度向北時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度的tg,52',向西偏南60024002km/h－一人能在靜水中以的速度劃船前進(jìn)，今欲橫渡一寬為、流速度為的河。

的時(shí)間為lltv

22l'22

2

，故飛機(jī)來(lái)回飛行2l/u(12'2'2v'2

)

（1如確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？（2希望用最短的時(shí)間過(guò)河何定行方向？vv’α

v’u

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)－1本題圖A、B兩體質(zhì)量均為，質(zhì)量不計(jì)的滑輪和細(xì)繩連接，并不計(jì)摩擦，則和的速度船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？解：如圖（）若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到正對(duì)岸的一

大小各為多少。解：如圖由受力分析得點(diǎn)，則劃行速度和水流速度u合速度的方向正對(duì)著岸，設(shè)劃行速度合度的角為usin0.55/1.1cos2ddt1.05v

maATmgmaBTB1解得a＝－52＝5

(1)A(2)a(3)Bmg習(xí)題圖

a

B如圖2用短的時(shí)間過(guò)河則行速度的方向正對(duì)著岸

－如本題圖所示知t

d

d,lut500

兩物體A、B的質(zhì)量為m=3.0kg，體A以速度－設(shè)有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為v氣相對(duì)地面的速率為u，A、B間距離為l假定空氣是靜止的（即u=0飛機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間；假定空氣的速度向東機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間；（3空氣的速度向北機(jī)來(lái)回飛行的時(shí)間。

=1.0m/s運(yùn)動(dòng)，求物體B與桌面間的摩擦力滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）解別對(duì)物體和滑輪受力分析（如圖由牛頓定律和動(dòng)力學(xué)方程得，

習(xí)題22fRftRtv00ttfRftRtv00ttmgma(1)TF'(2)T1f2'(3)F'(4)TT1mmBF＝F'TTFFT1T1m)a解得FN2如圖所示線可伸長(zhǎng)線、定滑輪、動(dòng)滑輪的質(zhì)量均不計(jì)已知m2。求各物體運(yùn)動(dòng)1323的加速度及各段細(xì)線中的張力。解下落的加速度為因而動(dòng)1

vF(1)NF(2)FuF(3)fv2由上式可）Rdt對(duì)）式積得－0vv2R（2當(dāng)物體速率從減到v/2時(shí)，由可得物體所經(jīng)歷的時(shí)間R0滑輪也以a上。再設(shè)相對(duì)動(dòng)滑12輪以加速度′下落，相對(duì)動(dòng)滑輪以3加速度a′上升，二者相對(duì)地面的加速

習(xí)

經(jīng)過(guò)的路程

0

＝0

0dtln20度分別為：

a

（下落）和

a

（上升），設(shè)作用

－5從驗(yàn)知道，當(dāng)物體速度不太大時(shí)，可以認(rèn)為空氣的阻力正比于物體的瞬時(shí)速度，設(shè)其比例常數(shù)為。在上的線中張力為T，用在m和上線中張123力為T。出方程組如下：2mga1m(21Tgm(31TT2

將質(zhì)量為m物體以豎直向上的初速度v拋。0（）試證明物體的速度為tt(eme(2)證物體將達(dá)到的最大高度為mv2gH0)kmg代入mm1可求出：

3

，

m2m2

3

，

(3)證到達(dá)最大高度的時(shí)間為kvt0kmgggga，a，a，aTm5552m5

，

證明：由牛頓定律可得－光的水平上放置一半徑為R的定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)摩擦系數(shù)μ物體的初速率為v，）t時(shí)物體的速率）當(dāng)物體速0率從v減到時(shí)所歷的時(shí)間及經(jīng)過(guò)的路程。00解）設(shè)物質(zhì)量為m取圖示的自然坐標(biāo)系，由牛頓定律得，t2mmln0(ee0，()dy2222dy20dytxt2mmln0(ee0，()dy2222dy20dytxdvvdv，dt

0

mg

－物體自地球表面以速率v豎上拋定氣0對(duì)物體阻力的值為f＝－，中k為常量為mmgttmgdv，dx令mg,2mgduk2mgdummgmvmx0）kmmg）tln0mgm＝ln即為到達(dá)最高的時(shí)間－質(zhì)為m跳水運(yùn)動(dòng)員從距水面距離為的高臺(tái)上由靜止跳下落入水中把水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)略去空氣阻力運(yùn)動(dòng)員入水后垂下沉對(duì)其阻力為－

體質(zhì)量。試求）該物體能上升的高度）物體返回地面時(shí)速度的值。解：分別對(duì)物體上拋和下落時(shí)作受力分析（如圖dvmvdv(1)-mg-kv=m＝，dtdyvvdvgv1gvln()2kg0物達(dá)到最高點(diǎn)，v，故1vh=y＝ln(0)2kdvmvdv(2)下落程中，m2=m＝dtdyvdv－v2，中b為常量。若以水面上一點(diǎn)為標(biāo)原點(diǎn)O豎直向下為Oy軸，求）動(dòng)員在水中速率與y

v=v

v2g

0的函數(shù)關(guān)系水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率的？（假定跳水運(yùn)動(dòng)員0在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解運(yùn)動(dòng)員入水可視為自由落體運(yùn)動(dòng)以入水時(shí)的

質(zhì)為的彈以速度水平射入沙土中子所受阻力k，k為數(shù)，求：子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式(2)子進(jìn)入沙土的最大深度解（）由題意和牛第二律得速度為v2mg-f-F=ma

，入水后如圖由牛頓定律的

dvf，dt分離變量，可得：

k

兩邊同時(shí)積分，所2dvdvvybdvmvve/m/b(2)將已知條件0.4mmvy＝ln＝5.76m

yvf＝－mgv0.1代入上得，

k以：e0（2子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的候彈的位移，則：k由可推出vdt這個(gè)式子兩邊積分就可km以得到位移：。maxvk0已一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的力，k是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在xA時(shí)速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在x/的速度的大v50I0v50I0小。解：由題意和牛頓第二定律可得：

力作用的時(shí)間是不同的；而在過(guò)程的初態(tài)和末態(tài)體的速度均為零．這運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相的結(jié)果．f2

mmvdtdx

解以人為研究對(duì)象按析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論．在自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程,跌落至m處的速度為再采取分離變量法可得：

kx

dxmvdv

，

兩邊同時(shí)取積分，則：6k所以：mA

A/4A

2

mvdv

在緩沖過(guò)程中,受重力和安全帶沖力的作用,據(jù)動(dòng)量定理,FPΔtmv(2)由式(1)、可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為2-10

一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受合力大小為

Fmg

Δt

Δ2ghΔt

1.14N5t/

，子彈從槍口射出時(shí)的速率為300m/s

。設(shè)子彈離開(kāi)槍口處合力剛好為零。求子

－12長(zhǎng)為的子懸掛在天花板上，下方系一彈走完槍筒全長(zhǎng)所用的時(shí)間

t

）彈在槍筒中所受力

質(zhì)量為的球，已知繩子能承受的最大張力為N的沖量

I

）彈的質(zhì)量。

試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來(lái)靜止的小球上才能將解由剛好為零，則可以得到：算出t=0.003s。

t/3和子彈離開(kāi)槍口處合力Ft/3

繩子打斷？mv0解：由動(dòng)量定理得m

，（2由沖量定義：I）dt00400t5t2/0mv0.6（3由動(dòng)量定理：：m/0.0022-11高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的一質(zhì)量為kg的，在操作時(shí)不慎從高空豎跌落下來(lái)，由于安全帶的保護(hù)最終使他被懸掛來(lái)知此時(shí)人離原處的距離為，全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50s。求安全帶對(duì)人的平均沖力。分從受力的情況來(lái)看,可分兩個(gè)階段：在開(kāi)始下落的過(guò)程中,只受重力作用,體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過(guò)程中,則體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用其合力是一變力,且作用時(shí)間很短．為求安全帶的沖力,可從緩沖時(shí)間內(nèi)體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量)的改變來(lái)分析,即運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)討論．事實(shí)上動(dòng)量定理也可應(yīng)用于整個(gè)過(guò)程．但是,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖

如圖受力分析并由牛頓定律得，2TlmvTl/lNs－13作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體在高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為1。爆炸后第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上距出點(diǎn)的水平距離為第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上設(shè)空氣的阻力不計(jì))解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，爆炸前，物體在最高點(diǎn)得速度得水平分量為xv/2(1)0x211y=0,t=t11221t1mv2

v為人拋物后相對(duì)地面的水v得水muvvcosmmucosm間為vsin0mvmv1

m0+M

）

－15路上有一靜止的平板車其質(zhì)量為M設(shè)平板車可無(wú)摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)有N個(gè)人從平板＝2v2x1

100

車的后端跳下每人的質(zhì)量均相平板車的速度均為u問(wèn)：在下列兩種情況下N個(gè)人同時(shí)跳離；gt2v14.7ms211x+vt）22x2=h+vgt2y0,562500m2－質(zhì)量為M人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m物體，此人用與水平面角的速率向跳去。當(dāng)他達(dá)到最0高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為u水平速率向后拋出。問(wèn)由人拋出物體他躍的距離增加了多少（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)己一遍）解取圖所示坐標(biāo)把和物視為一系統(tǒng)人跳躍到最高點(diǎn)處在左拋物得過(guò)中滿足動(dòng)量守恒故有

（）一個(gè)人、一個(gè)人地跳離，平板車的末速是多得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什?（典型）解：取平板車及N個(gè)人組成的統(tǒng)，以地面為參考系平板車的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较蚪y(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守恒?？紤]N個(gè)同時(shí)跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度為v，則由動(dòng)量守恒定律得＝Mv+Nm－）v＝(1)又考慮N個(gè)一個(gè)接一個(gè)的跳車的情況。設(shè)當(dāng)平板車上商有n個(gè)時(shí)的速度為，跳下一個(gè)人后的車速為nv，該次跳車的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)量守恒有n1（）v=Mv+m(v-u)(2)nnn1由式（2）得遞推公式v(3)1n當(dāng)車上有N個(gè)人得時(shí)即N＝v＝0；當(dāng)車上NN個(gè)人完全跳完時(shí)，車速為v，0根據(jù)式（）有，v=0+mu/(Nm+M)N-1v=v+mu/((N-1)m+M)N-2N-1………….v=v0將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得，3233/4/ll3233/4/llv1

muM+

起來(lái)它們的質(zhì)量分別為m和在A板需多大12的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起彈的勁度系數(shù)為）由于MNm1,2,3....故有，vv即個(gè)人一個(gè)接一個(gè)地跳車時(shí)，平板車的末速度大于個(gè)人同時(shí)跳下車的末度。這是因?yàn)镹個(gè)人逐一跳離車，車對(duì)地的速度逐次增，導(dǎo)致跳車者相對(duì)地面的速度逐次增

解選取如圖所示坐標(biāo)系取原處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)各狀態(tài)下物體受力圖A而言，當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有F＝G當(dāng)外力撤除以后，由機(jī)械能守恒定律得，加，并對(duì)平板車作的功也相應(yīng)增大，因而平板得到的能量也大，其車也大。

ky

2

mgy

2-16一體在介質(zhì)中按規(guī)律＝ct作直線運(yùn)動(dòng)c為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方：f2求物體由x＝運(yùn)到＝l時(shí)力所0作的功。分本是一維變力作功問(wèn)題,仍按功的定義式W求．關(guān)鍵在于尋找力函＝()．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F()＝k變換到(t進(jìn)步按x＝ct的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)為(x),樣,就可按功的定義求解．解由動(dòng)學(xué)方＝ct,得物體的速度

yy為、兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的位移。因?yàn)椋絢y,F=ky,G=mg式可以寫(xiě)為，121F-F=2G(2)21由和（）式可得FGG當(dāng)板跳到點(diǎn)時(shí)，板剛被提起，此時(shí)彈性力F,且F=F（3）可2F＝G+G=(m+m)g2v

ddt

ct

－19如題圖所示，質(zhì)量為m速度為v的球，射向質(zhì)量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為按題意及上述關(guān)物體所受阻力的大小為Fvkctkc則阻力的功為W

k的簧，此靶最初處?kù)o止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無(wú)摩擦滑動(dòng)彈射入靶內(nèi)彈簧的最大壓縮距離。解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為x0。小球與靶共同運(yùn)動(dòng)得速度為。由動(dòng)量守恒定律，有M)v又由機(jī)械能守恒定律，有W

F

x

2/3

x3d

277

kc2/l

1＝()vkx2

由式（）可得－人從10m深井中提水桶中裝有的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去的。求

x＝

mMk（m)

v

習(xí)題2－19水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功）解：水桶在勻速上提的過(guò)程中，加速度為0，拉力和重力平衡在示坐標(biāo)下水重力隨位置的變化關(guān)系為Gmgαgy其中α＝0.2kg/m,對(duì)水桶的拉力的功為

－20以量為的丸，穿過(guò)如本題圖所示的擺錘后，速率由v減到v/2。已知擺的質(zhì)量為M，擺線長(zhǎng)度為l，如果擺錘在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？解：

(mg－gy－如本題圖所和B兩塊板用一輕彈簧連接20A222120A2221由水平方向的動(dòng)量守恒有，vmv＝m2為了使擺錘能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力=0,則，

1根據(jù)能量守恒，可得到：(m)ABk以：x;x

12

，所M＝l

(2)

（2分離之后A的能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以：式v為線在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)速率。又由機(jī)械能守恒定律得11Mv'2M+）22解上述三個(gè)方程，可得擔(dān)丸所需速率的最小值為

1mv22，則：xx2A02-23如示斜面與水平面的夾角=30，輕質(zhì)彈簧上端固定今在彈簧的一端輕輕地掛上質(zhì)量為v＝

2Mm

5gl

M的塊木沿面從靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)木塊向下滑x=30cm時(shí)恰好有一質(zhì)量的子彈v200m/s水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈－如本題圖所示，一質(zhì)量為的塊放置在斜

簧的勁度系數(shù)為

k25N/m

。求子彈打入木塊后它們的面的最底端A處斜的傾角α高度為，物塊與斜面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，有一質(zhì)量為m的子彈以速度v沿平方向射入塊并留在其中物塊沿斜面向上0

共同速度。解由機(jī)械能守恒條件可得到碰前木快的速度撞過(guò)程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守滑動(dòng)，求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解：

1Mv212

kx2

v0.83在子彈與物塊的擊過(guò)程中，在沿斜面的方向上根據(jù)動(dòng)量守恒有cosM)(1)在物塊上滑的過(guò)中，若令物塊剛滑出斜面時(shí)的度為v并取A點(diǎn)的重力勢(shì)能為。系的能理可得2h11－(m+M)gcos(m+M)v(m+M)vsin22由、）可

(碰撞前木快的速度)mv）vv－二量相同的小球一靜止，另一個(gè)以速度與靜止的小球作對(duì)心碰0撞碰撞后兩球的速度假設(shè)碰撞是完全非彈性的

習(xí)題221圖v＝

mm+M

vcos

2ghucot）

假設(shè)碰撞是完全彈性的撞恢復(fù)系數(shù)0.5解：由碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得

。（1假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的2-22如2-40示滑水平面上平一輕彈簧彈一

速度前行：

mv0端固定一端連著物體A，它們質(zhì)量分別為和，彈AB

圖2-40習(xí)題2-22圖

1所以：v2（2假設(shè)碰撞是完全彈性的，簧勁度系數(shù)為長(zhǎng)l力彈壓縮，然后釋放。求A與B開(kāi)始分離時(shí)們位置和速度

mv11mvmvmv222

分離之后，A還往前移動(dòng)多?解）A和B開(kāi)分離時(shí)，兩者具有相同的速度，

兩球交換速度，

vv

202習(xí)題225圖MMB202習(xí)題225圖MMB（3假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e0.5，就是mv012

所以

343所以：

v

13v，v4

1（2kx（m221那么計(jì)算可得：x2－27如題圖示，繩上掛有質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，－25如題圖所示，一質(zhì)量為的球，系在一長(zhǎng)為l的一端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平

兩球碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e。球由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，撞擊球剛好使球B到達(dá)繩成水平的位置證球釋放前的張應(yīng)足cos。證明：設(shè)球A到最低點(diǎn)的速率為v根據(jù)機(jī)械能守恒有位置靜止下擺，當(dāng)球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與質(zhì)量為，靜

mv2mgl(1

止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后m和M的率。解：由機(jī)械能守恒得，碰前的速度為mvmgl，v2gl由碰撞前后動(dòng)能和動(dòng)量守恒得1mvmvMv2mvM－MMv2glmMmMv2glmM

所以，4gl(1設(shè)碰撞后AB球的速率分別為,,由題意得：ABv0.5v即B兩球碰撞時(shí)水平方向動(dòng)恒：mv(3)BA由(式得vvB4碰撞后B球機(jī)械守恒，故有2將），（）代入得：2-26如所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為和m的塊A，用1

一勁度系數(shù)為的彈簧連接在光滑的水平面上A緊墻今用力推塊，使彈簧壓縮x然0

圖2-43

習(xí)題圖

2-28如所示，一質(zhì)量為m，半徑為R的殼，靜止在光滑水平面上在球殼內(nèi)另一質(zhì)量也為m半為r的球初時(shí)小球靜止在圖示水平位置上放手后釋放知

m1

）求）放后、兩塊速

小球沿大球殼內(nèi)往下滾同大殼也會(huì)在水平面上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們?cè)俅戊o止在水平面上時(shí)大球殼在水平面上相對(duì)度相等時(shí)的速度大小彈簧的最大伸長(zhǎng)量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長(zhǎng)時(shí)，是彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)換為B木的動(dòng)能，然后B帶A一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的速度v，

初始時(shí)刻的位移大小是多少？解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心O的離(從質(zhì)心公式算并且此時(shí)就是彈簧伸長(zhǎng)最大的位置械守恒可算出其量值。

xC

211v22

小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的2

20

m）123g121dt，t3g121dt，t位移大小另外從質(zhì)心公式)2-29如2-46示坐

2

所以，此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為

n

24

。原點(diǎn)以v的初速度發(fā)射一發(fā)0炮彈，發(fā)射傾角4°當(dāng)2炮彈到達(dá)0處，突圖2-46習(xí)題2-29圖然爆炸分成質(zhì)量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另一塊落地時(shí)的位置是多少？2解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，因而落地

－質(zhì)面度為均矩形板，試證其對(duì)與板面垂直的，通過(guò)幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(22)。其中為矩形板的長(zhǎng)，寬。

a

x后的質(zhì)心坐標(biāo)為

C

2g

證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dxdy面垂直的、通過(guò)幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

，對(duì)與板由式C2C第章

mx1，m22v120)g33g剛力

，有

2(x22b2a)

－一風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)分以初角速繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，0

證明二圖板取一細(xì)棒

空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為常量。

dm

對(duì)若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，）過(guò)多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？（2在此時(shí)

通過(guò)細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸

x間內(nèi)共轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？解）題知：阻力矩M，d又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)定理Mdt

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1a，根12據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直的、通過(guò)幾何中JdttClntJ

心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1adJdm)1221dx)dx1211dJ3a21212

)

(CeJ0

t

道題以右邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，左為正方)如所，一輕當(dāng)

時(shí)t

J

ln2

。

繩跨過(guò)兩個(gè)質(zhì)量為徑為r的勻圓盤(pán)狀定滑輪，

T（2角位移

t

ln2

dt

J

0

，

繩的兩端分別掛著質(zhì)量為m和的物繩滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，圖習(xí)題圖11求重物的加速度和各段繩中的張力滑質(zhì)量要計(jì)，所以繩子拉力會(huì)不等）解：受力分析如圖

所以

t

l03mg2

（1

－質(zhì)為和的1兩物體AB分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端設(shè)兩T)r)rJ

輪的半徑分別為和r，兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J和1與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)求物體的加速度和繩中的張力。解別對(duì)兩物體做如圖

B

2

a

（對(duì)于質(zhì)量非常小的物體慣為零可能T=T）11a，mr2聯(lián)立求出15ag，mg，T，42如圖-29示，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為質(zhì)為，平放在摩擦系數(shù)為的

的受力分析據(jù)頓定律有TmgAmmaggma又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和轉(zhuǎn)定理有（從積分定義式即可算出）Rr)1水平桌面上，設(shè)開(kāi)始時(shí)桿

而且，

，

r

1.二2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律以角速度繞細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求）作用于桿的摩

圖習(xí)題3-4圖

約方即可求解）r12r21

擦力矩）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（1解：設(shè)桿的線ldm

，在桿上取一小質(zhì)元

2

mRr12grJr12JJrmRr12JJ2r2212

m考慮對(duì)稱

M

l20

14

JJ2Rr2mgJ2mr212－如題圖所示裝，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m和的12物體A、B。A置于傾角θ的面，它和斜面間的摩（2根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律

J

ddt

擦因數(shù)μ。向作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求）下落加速度的大?。┗唭蛇吚K子的張力繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng)均不計(jì)，繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸光滑）

t

Mdt

0

解:A、物的力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有0w11ml4

Tgsin1

1力。力。mma22對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有Trr1由于繩子不可伸長(zhǎng)、繩與輪之間無(wú)滑動(dòng)，則

置？解：機(jī)械能守恒11J2kx22（一開(kāi)始的機(jī)械=后的機(jī)械能平臨界狀態(tài)速度為零，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)能）ar2

據(jù)幾何關(guān)系

(0.5)

2

1.5

2

2

圖習(xí)題圖3.28rad2

mgsico11mr2

如所，一質(zhì)量為半徑為的圓盤(pán)，可繞過(guò)點(diǎn)水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤(pán)從圖中實(shí)線msinmgJr1mmr2

位置開(kāi)始由靜止下落，略去軸承的摩擦，求）轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的鉛直位置時(shí)心和緣A點(diǎn)的速T

mgsinr2mr22

率）虛線位置軸對(duì)圓盤(pán)的作用圖習(xí)題圖解：在虛線位置的點(diǎn)設(shè)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，下降過(guò)程如圖-32示滑輪轉(zhuǎn)

機(jī)械能守恒

mgRJ2動(dòng)慣量為J，半徑為r；物體的質(zhì)量為細(xì)繩與勁度

1J2

（平行軸定理：圓心到）系數(shù)為k的簧連，若繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)當(dāng)拉直、

圖3-32習(xí)題3-7圖

43R

R

43彈簧無(wú)伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止開(kāi)始下落。求）物體下落的最大距離；(2)物的速度達(dá)最大值時(shí)的位置。

vRA

163解）械守恒。設(shè)下落最大距離為1222

7gmg3-10如3-35所，一質(zhì)量為

方向向上（

11122J2mgx22

（物體的重力

的點(diǎn)以v的度作勻速直線運(yùn)動(dòng)。試證明：從直線外任意一勢(shì)能轉(zhuǎn)為些能）

點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的矢量r在同的時(shí)

1g2mr

間內(nèi)掃過(guò)的面積相同。解：質(zhì)點(diǎn)不受任何力作用才會(huì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而它對(duì)點(diǎn)的矩為零，即對(duì)點(diǎn)的角量守恒i量另一方面矢r在位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)若速度達(dá)最大值，

dvdx

0

，

x

k

的面積：

vrsin

常。如圖-33示一彈簧與一均勻細(xì)棒連接裝置如

3-11如3-36所，質(zhì)量的衛(wèi)圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)

40N/m，時(shí)

星開(kāi)始時(shí)繞地球作半徑為r的周彈簧無(wú)形變，細(xì)棒的質(zhì)量

5.0kg

，求在

的位置

運(yùn)動(dòng)。由于某種原因衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向突然改變了°角，而速率不上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度

，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位

變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。

圖習(xí)題3-11圖21111m21002圖習(xí)題3-15圖21111m21002圖習(xí)題3-15圖求（）衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速v）衛(wèi)星繞地

過(guò)程中損失的機(jī)械能。球橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，距地心的最遠(yuǎn)和最近距離

r

和

r2

。

解）兩飛輪為系統(tǒng)，嚙合過(guò)程中系統(tǒng)角GM解），rrr（2衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)地心的角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守

動(dòng)量守恒，即（沒(méi)有外力）J)11

習(xí)題313圖恒：

(r×F=0，角動(dòng)量守恒

n

2

rcosrr112（橢圓的三個(gè)點(diǎn)變不守恒mM1mMmMmv2rr2r（突變后橢圓的三個(gè)點(diǎn)）

所以B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1Jkg2（）嚙合過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能變化11(JJ22

4

J其中，

v1

、

v

2

分別是衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)時(shí)的速率，

3-14如3所示為l的質(zhì)量不計(jì)兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m可求出

的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在直r

32

r，r

1r2

面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)距端分別為l和

l

。－如題圖所示量為長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻直桿繞過(guò)端點(diǎn)的平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的點(diǎn)以水平速度v與止桿的端發(fā)生碰撞，如ML圖示，若=6m求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。解）點(diǎn)與桿完全彈性撞，則習(xí)題3-7圖11能量守恒22又因?yàn)榻莿?dòng)量守恒mL（撞的瞬間角動(dòng)量守恒）

輕桿原來(lái)靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的球平速度v與桿下端小球0作對(duì)心碰撞碰后以v的度返回試圖習(xí)題3-14圖求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動(dòng)量守衡有2ll1l()m)ml3330l如3-40所示，有一空心圓環(huán)且

，

M

L

可繞豎直軸，動(dòng)慣量為J，的半徑，始的角速度0

完全非彈性碰撞，角動(dòng)守恒

為ω，有一質(zhì)量為m的球靜止0Lmmv又L－如本題圖所A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=10.0kg·m，始時(shí)輪1止輪以=600r/min的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)使A與B連，1因而B(niǎo)輪到加速而A輪速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r/min為。求）B輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）嚙合

在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)于微小擾動(dòng)使小球向下滑動(dòng)。問(wèn)小球到達(dá)B、點(diǎn)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑)解(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直的角動(dòng)量守恒小球滑至B點(diǎn)時(shí)，有（球看成質(zhì)心I(ImR)0①該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)BBCIIc10y0xCClBBCIIc10y0xCCl的速率為，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有11I(I2)聯(lián)立①、②兩式，得

②

將式（4（2解得2arcsin()3－17如題圖所示，A、B兩個(gè)輪子的質(zhì)量分I2R2v20ImR20(2)當(dāng)小球滑至點(diǎn)，∵c0∴c故由機(jī)械能守恒，有(、C兩點(diǎn)有轉(zhuǎn)動(dòng)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

別為和，徑分別1為r和r。另有一細(xì)繩繞1在兩輪上，并按圖所示連接其A繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求）B輪下

A

r1

O

FII回到初始狀態(tài)，c0mg)2v2gR∴c－長(zhǎng)為2L的勻細(xì)桿，一端靠墻上，另一端

落時(shí)，其輪心的加速度；（）細(xì)繩的拉力。解：如圖，取豎直向下為正方向作軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角加速度為據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有

y

F

mg

r

放在的水平地板上，如本題圖所示，所有的摩擦均可略去不計(jì)，開(kāi)始時(shí)細(xì)桿靜止并F與地板成角開(kāi)桿x后，細(xì)桿開(kāi)始滑下。問(wèn)細(xì)桿脫離墻壁時(shí)，細(xì)桿與地面的夾角θ為多大？mg解：如圖，以初始細(xì)桿的質(zhì)

F

2

Frr輪B平面運(yùn)動(dòng)心速度為a速為，B根據(jù)牛頓定律有g(shù)a22C心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)x(cos)0y（）0dxvdtdv（2dt取初始位置的勢(shì)能為零，則根據(jù)機(jī)械能守恒有1mgymvy為......）22

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有Frmr2BA輪緣一點(diǎn)加速度輪邊緣一點(diǎn)加速度B22(m)而且a123m2mm2gm－如本題圖所示，一長(zhǎng)為l的

，將式（1）入3得

3(sin)02l

（4

均質(zhì)桿自水平放置的初始位置平動(dòng)自由下落，落下h距離時(shí)與一豎直固定板的頂部發(fā)生完全彈性

ddtl

（5

碰撞，桿上碰撞點(diǎn)在距質(zhì)心為l處求碰撞后瞬間的質(zhì)心速率

習(xí)題圖當(dāng)細(xì)桿與墻壁脫離接觸時(shí)，

Fma01x

和桿的角速度。解：

（6）2c2c0xxLxyL()2c2c0xxLxyL()由機(jī)械能守恒mghω其中J為質(zhì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ml2

2

＝L（）圖72圖，設(shè)通

方向沿。y由動(dòng)量定理

gh)

過(guò)棒的端點(diǎn)與棒垂直上任一點(diǎn)與標(biāo)原點(diǎn)0的距離

l由角動(dòng)量定理)ml12聯(lián)立解得2gh，ghl

為y，4dE

，

y

Qdx習(xí)題4－2

圖b

x第章真中靜場(chǎng)－在邊長(zhǎng)為a的方形的四角，依次放置點(diǎn)電荷q,2q,-4q和2，它的幾何中心放置一個(gè)單位正電荷，

dEsin4因xdxy

y,rcos2cos

，求這個(gè)電荷受力的大小和方向。

代入上式，則解如可看出2q電荷對(duì)單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為q5qF＝22a)22

習(xí)題－1圖,方向由q向-4q。

EdE40)＝向沿x軸負(fù)向。

sin01(2

)

，方－如勻帶電細(xì)L荷密度為λ。（1求棒的延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)的強(qiáng)求通過(guò)棒的端

E

dE

cos

點(diǎn)與棒垂直上任一點(diǎn)Q的強(qiáng)。

＝2－3一棒彎成半徑為的圓形，均勻分布有電荷，半圓中O的場(chǎng)強(qiáng)。習(xí)題－2

圖

解圖，在半環(huán)上任取l=Rd，其上所帶的電解（1）如圖7圖a在細(xì)棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標(biāo)，dq的延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x40則整根細(xì)棒在產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

荷為dq=稱析E=0ydEsinE4

dR

y

xE

L14(xx

習(xí)題4－3圖習(xí)題4圖l習(xí)題4圖l

q

，如圖，方向沿x軸正向。

dqsin在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)據(jù)7－）式為－4如圖線電荷密度為的1限長(zhǎng)均勻帶電直線與另一長(zhǎng)度為l、線電荷密度為的2勻帶電直線在同一

λ

1

aλ

2

x

E

dE

，R3sincos4平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。解在的帶電線上任取一q的帶電線是無(wú)限長(zhǎng)，2它在dq產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度由高斯定理容易得到為，

0(sin20方向沿軸負(fù)向。

sin

圖，E

－7設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與徑為R的球面對(duì)稱軸平行，計(jì)算通過(guò)此半球面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量。解如圖，設(shè)作一圓平面兩線間的相互作用力為

蓋半球S，1F

0

成為閉合曲面高斯，對(duì)此高斯曲面電通量為0即

2

1

E10

ln

如圖，方向x軸正向。

E0

習(xí)題4－7圖－兩點(diǎn)電荷所帶電荷之和為Q，問(wèn)它們各帶電荷多少時(shí)，相互作用力最大？解其中一個(gè)電荷的帶電量一個(gè)即為Q－，若它們間的距離，它們間的相互作用力為

EE2F

q)r2

－求徑帶電量為的空心球面的電場(chǎng)強(qiáng)分布。

Rr相互作用力最大的條件為

qr

解由于荷分布具有球?qū)ΨQ性而所產(chǎn)生的電場(chǎng)習(xí)題－8圖分布也具有球?qū)ΨQ性帶由上式可得q=Q/2－6一徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為σ，

y

球面同心的球面上各點(diǎn)的場(chǎng)的小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S與。與S，用斯定理，即先計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的112通量，然后得出場(chǎng)強(qiáng)的分布，分別為求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

r

E4

2

解半殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為

習(xí)題－圖

得

E0內(nèi)

（r<R）rr///r2rldrrr///r2rldr－如圖所示度為d的“無(wú)限大”均勻帶電平板，體電荷密度為ρ板外的電場(chǎng)分布。解帶電平板均勻帶電厚度為d/2的平分街面上電場(chǎng)

E

外

qr0

r

E

(r>R)x

23kR3Eer－11帶為q半徑R的導(dǎo)體球，其外同心地放1一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑、2R。3球殼的電荷及電勢(shì)分布；把外球接地后再絕緣，求外q-q球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢(shì)分布；強(qiáng)度為零坐原點(diǎn)在此街面上建立如圖坐標(biāo)對(duì)面積為A，高度分別為x<d/2和x的高斯曲面應(yīng)用高斯定理，有

習(xí)題49圖

（3再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢(shì)。解（1靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶－，外表面帶電荷。

習(xí)題4－11得

dE(x)2EAS0

據(jù)（7－）式的結(jié)q11V()(r211V()(r);4rRR2qV(RR),43

論

得：E＝()22

qVrR).4－10一徑為的限長(zhǎng)帶電圓柱，其體電荷密度為r(r，為數(shù)。求場(chǎng)0強(qiáng)分布。解據(jù)高斯定理有

or

（）

qU(r21V(rR4rR2

2

0V

習(xí)題10圖

),0(r).343r

時(shí)：

2

r

dr

（再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶，球殼內(nèi)表面帶－q，表面帶－qr32rlrR時(shí)E

Ee2

r

1V得：

q()(r123q23112EeVk//12WdWlnV(R)RREeVk//12WdWlnV(R)RRq()qV14(RRR)32132(R)－12一均勻、半徑為R

質(zhì)子到達(dá)點(diǎn)的速度恰好為零有EEPkp()(()

)的帶電球體中一球形空腔，空腔的半徑r(2r<R)，證明球形空腔中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)

r1

r2

－14有一半徑為的帶電球面帶電量為Q球面外沿直徑方向上放置

Q

r度為勻強(qiáng)電場(chǎng)向帶電球體球心O指向球形空腔球心O。證：利用補(bǔ)缺法，此空腔可視

一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為λ為L(zhǎng)>R細(xì)線近端離球心的距離為

習(xí)題414圖為同電荷密度的一個(gè)完整的半

習(xí)題12圖

L設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場(chǎng)中的徑為R的球和一個(gè)半徑為r與大球電荷密度異號(hào)完整的小球組成兩球在腔內(nèi)任意P生的電場(chǎng)分別例－7結(jié)果為

電勢(shì)能。解在帶細(xì)線中任取一長(zhǎng)度為的線元，其上所帶的電荷元為，（7－）帶電球面在電荷元處230

產(chǎn)生的電勢(shì)為

V

Q

rE=E+1

3

1200

電荷元的電勢(shì)能:

dW

Q4oo上式是恒矢量，得證。－13一勻帶電的平面圓

細(xì)線在帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)能為：LQQL40－半為R的勻帶電圓盤(pán)環(huán)內(nèi)外徑分R別為RR且12

x

電量為Q心垂直于盤(pán)面的軸線上一點(diǎn)

x荷面密度為質(zhì)子被加速器加

習(xí)題413圖

到心的距離為L(zhǎng)試求點(diǎn)的電勢(shì)并利

習(xí)題415圖速后，自圓環(huán)軸線上的P點(diǎn)軸線射圓心。質(zhì)子到達(dá)O時(shí)的速度恰好為零求質(zhì)子位于點(diǎn)的。K（已知質(zhì)子的帶電量e忽略重力的影響）

用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的梯度關(guān)系求電場(chǎng)強(qiáng)度。解到心的距離L，點(diǎn)的電勢(shì)為解圓中心的電勢(shì)為RR40

VP

r2L2圓環(huán)軸線上p點(diǎn)的電勢(shì)為

VP

R

4rL

2

r2L2

R

2

(R2L2L

r

L2

RR

(

2

L

)

圓盤(pán)軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì)為RRRVVQUVdr()95-19RRRVVQUVdr()95-19V(x)

rdrr22

r

時(shí)：

V

2

r

4

(R

r

)r2x(R2x)0利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的梯度關(guān)系得：dVQ(i(1)i到盤(pán)心的離為L(zhǎng)，點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)為：L()(1)iRL2－16兩同心球面的半徑分別為和R各自帶有12電荷Q和Q。：）各區(qū)城電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布曲1線；（2）球面間的電勢(shì)差為多少？解（1據(jù)7－）式的結(jié)論得各區(qū)城勢(shì)分布為

rR時(shí)E2rS00R2rr2r空間電勢(shì)分布并畫(huà)出電勢(shì)分布曲線大致如圖。－18兩根很長(zhǎng)的同軸圓柱面半徑分別為R、，帶有等量異號(hào)12的電荷，兩者的電勢(shì)差為U，：（圓柱面單位長(zhǎng)度帶有多少電荷兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度。解設(shè)圓柱面單位長(zhǎng)度帶電量為兩柱之間

rQV()(r),12QR1QV(1)(r);rR習(xí)題416圖

的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E兩圓柱面之間的電勢(shì)差為R20

drr

r習(xí)題418圖V

QQr

(rR).

Rln2（2兩球面間的電勢(shì)差為Q114401－17一半徑的無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱內(nèi)的電荷均勻分布電體密度若棒表面為零電勢(shì)空

U由上式可得：2lnU所以E2ln21

n

()1間電勢(shì)分布并畫(huà)出電勢(shì)分布曲線。

－在一次典型的閃電中，兩個(gè)放電點(diǎn)間的電勢(shì)解據(jù)高斯定理有rR時(shí)：

差約為V，被遷的電荷約為庫(kù)果釋放出來(lái)的能量都用來(lái)

0

的冰熔化成0

0

C2Sr時(shí)，V=0則

E

的水，則可融化多少冰的熔解熱為3×J﹒kg)解兩個(gè)放電點(diǎn)間的電勢(shì)差約為10V被遷移的電荷約為30庫(kù)，其電勢(shì)能為J1.E,kp27BAC1.E,kp27BAC上式釋放出來(lái)的能量可融化冰質(zhì)量為：309×kg35－20在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)。）若把電子從原子中拉出來(lái)需要克服電場(chǎng)力作多少（2電子在玻爾軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為多少？解子沿半徑為a的爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)

qEU.,2q在r>R的域:EU.44r0－2把厚度為的限大金屬板置于電場(chǎng)強(qiáng)度為E的強(qiáng)電場(chǎng)中E與板面垂直，試求金屬板兩表面00的電荷面密度。動(dòng)，其電勢(shì)能為

W

4

解：電平衡時(shí)，金屬板內(nèi)的電場(chǎng)為0，金屬板表面上電荷面密度與緊鄰

E

0

2

E

0（1把電子從原子中拉出來(lái)需要克服電場(chǎng)力作功為：

處的電場(chǎng)成正比Wp

a

習(xí)題－2所以有102－一限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體，半徑為，單位長(zhǎng)度（2電子在玻爾軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為Ep

帶有電荷量其外有一共軸的限長(zhǎng)導(dǎo)體圓簡(jiǎn)外半1徑分別為b和c單長(zhǎng)度帶電荷求1圓筒內(nèi)2

mv

外表面上每單位長(zhǎng)度的電荷量求場(chǎng)強(qiáng)度的分布。解由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長(zhǎng)度的電荷量為e

v＝m2a

a

2（）在r<a的區(qū)域:E=01e222電子的總能量為：

在a<rb的域:E

習(xí)題

5－312Wmv2248a80

在r>b的域:E1－三平行金屬板A和都

，

A相距4.0mm相距B兩都接地，－1點(diǎn)荷q處在導(dǎo)體球殼的中心的外半徑分別為R和R，求，電場(chǎng)強(qiáng)度和l2電勢(shì)的分布。解電平衡時(shí)球的內(nèi)球面帶－、外球殼帶q電

習(xí)題

R5－1圖

如圖所示。如果A板正電3.0×C略去邊緣效應(yīng)（）求B板和C板感電荷各為多（2）以地為電勢(shì)零點(diǎn)，求A板電。解1設(shè)A板兩側(cè)的電荷為、，電荷守恒1原理和靜電平衡條件，有1A（）在r<R的區(qū)域內(nèi)qE，4

q11U)4rRR1

，B12依題意V=V即ABAC

（）

習(xí)題

d5－4圖在R<r<R的域內(nèi)21-7-7-7-7288310232228862-621-7-7-7-7288310232228862-6qqd＝2dqq

U1

1.011()413

＝60V代入（）得＝1.0×10C，＝×C，q＝－1.010C，12B=-q＝×10，C2（2

U－6證明:兩平行放置的無(wú)限大帶電的平行平面金屬板A和B向的兩面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相UA

q

d

＝

q

d

反相的兩面上電荷面密度大小等符號(hào)相同如果兩金屬板的面積同為，電量分別為Q×CA和Q×略邊緣效應(yīng)求個(gè)板的四個(gè)表面上B=

220085

2.3×10

V

的電面密度。證設(shè)A板帶電量為、側(cè)的A電荷為、，12

A

B－5半徑為R=l.0cm的體帶電量為1

B板板帶電量為Q兩側(cè)的電荷為、B。電荷守恒有4

1

2

q34×10C外有個(gè)內(nèi)外半徑分別為=3.0cm2和=4.0cm的心導(dǎo)體球3殼，殼帶有電量Q=11×

qQ

習(xí)題

5－6圖10

C，圖所示，求1）兩

習(xí)題5－5圖

在A與板部取兩場(chǎng)點(diǎn)，金屬板內(nèi)部的電場(chǎng)為零有球的電勢(shì)）導(dǎo)線將兩球連接起來(lái)時(shí)兩球的電勢(shì)球接地時(shí)兩球電勢(shì)各為多少？（以地為電勢(shì)零點(diǎn)）

qq22S

qq322S

0

，

得電荷

解電平衡時(shí)殼的內(nèi)球面帶－q外球殼帶q+Q

（3（）

U

1q(1

qq

)

代入數(shù)據(jù)

qq22S

q32

q420

，

得U1

1111()41

qqq04）13聯(lián)立上面4個(gè)方得：＝3.3×VqU43.142

4

QQqqAB,qA2即相向的兩面上電荷面密度大小相等號(hào)相反背的兩面上電荷面密度大小等，符號(hào)相同，本題得證。=×V（）導(dǎo)線將兩球連接起來(lái)時(shí)兩球的電勢(shì)為q11)U43.142=V（）球接地時(shí)，兩球電勢(shì)各為1qU(

如果兩金屬板的面積同為，帶電量分別為Q×10C=4×C，則AB5.0×10C/m21004)1.0×C/m2100－7半為的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用細(xì)導(dǎo)線與地相聯(lián)在球心相距離為D=3R處一點(diǎn)電荷+q試求金屬球上的感應(yīng)電荷。22d222d2解設(shè)金屬球上

D=3R

R

此結(jié)構(gòu)相當(dāng)有電容并聯(lián)，總電容為的感應(yīng)電荷為Q屬球接地電勢(shì)為零，即

習(xí)題

5－7圖

(nd

S(nr＝0360

)qQ0Q3

D

0

－10半都為的根平行長(zhǎng)直導(dǎo)線相距為d（導(dǎo)線每單位長(zhǎng)度上分別帶電直導(dǎo)線的電勢(shì)差）求導(dǎo)線組每單位長(zhǎng)度的電容。解）直導(dǎo)線的電電場(chǎng)強(qiáng)度大小為－8一行板電容器板相同的矩形寬為a，x

t

E

r長(zhǎng)為b間距為d，今將一厚度為t寬習(xí)題－圖度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入略去邊緣應(yīng)插入金屬板后的

兩直導(dǎo)線之間的電勢(shì)差為V0

drr

r電容量與金屬板插入深度的系。解設(shè)如圖左邊電容為C右邊電容為C(bx)0d

ln（）此導(dǎo)線組每單位長(zhǎng)度的電容為

習(xí)題

5－10圖0d左右電容并聯(lián)電容即金屬板的電容量與金屬板

=

ln

插入深度x的關(guān)系，為abtx=0()d－9收音機(jī)里的可變電容器如（）

d

－如=101C=5求（）23間的電容在間加上100V電時(shí)，求每個(gè)電容器上的電荷量和電壓）果C被擊穿，1問(wèn)C上電荷量和電壓各3是多少？

C習(xí)題

1

C5－11

3

C

2所示其共有

解）AB間電容塊屬片，相

為鄰兩片的距離均為，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定

(b)習(xí)題59

C()C3CC203

不動(dòng)（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉(zhuǎn)動(dòng)（叫動(dòng)片）每

（2AB加上電壓時(shí)路中的總電量就片的形狀如圖（）所示。求當(dāng)動(dòng)片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為電容器的電容解當(dāng)動(dòng)片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度

是C電容器上的電荷量，為3qq

3.73

為電容器的電容的有效面為(r2r2)(r2r222180360

VCC152100V

25Vr/習(xí)題1r/習(xí)題1qCV1011

252.5

C

0(rr)d2qC22

C

－14平板電容器兩間充滿某種介質(zhì)，板間距為2mm，電壓600V如果斷開(kāi)電源后抽出介質(zhì)，則電（3如果C被擊穿C短路間100V電12全加在C上，即V=100V33

壓升高到1800V。求（）電介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)）介質(zhì)上極化電荷面密度）化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。C上電荷量為3

解設(shè)電介質(zhì)抽出前后電容分別為與C

/510033－12平板容器，兩極間距離為，加電壓39kV，若空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為

(1)CrCQCUdU1800VrUUdVU600VV此時(shí)電容器是否會(huì)被擊穿？現(xiàn)將一厚度為的璃插入電容器中與兩板平行璃相對(duì)介電常數(shù)為7場(chǎng)為，

V習(xí)題－12圖

D/mrU1800V(3)EE/m2//m

/m問(wèn)此時(shí)電容器是否會(huì)被擊穿？結(jié)果與玻璃片的位置有無(wú)關(guān)系?解未加玻璃前，兩極間的電場(chǎng)為39EkV/kV/cm不會(huì)擊穿（）玻璃后，兩極間的電壓為

－15圓形電容器是由半徑為R的體圓柱和1與它共軸的導(dǎo)體圓筒組成。圓筒的半徑為，容器的2長(zhǎng)度為L(zhǎng)，間充滿相對(duì)介電常數(shù)電介質(zhì)，設(shè)沿軸r線方向單位長(zhǎng)度上圓柱的帶電量+長(zhǎng)帶電量為略緣效應(yīng)。求（）電介質(zhì)中的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度）介質(zhì)極化電荷面密度。1.2E0.3

EkV//cm

解空氣部分會(huì)擊穿，此后，玻璃中的電場(chǎng)為39E130kV/kV/，玻璃部分也被擊0.3穿。結(jié)果與玻璃片的位置無(wú)關(guān)。－一行電容器極板面積為兩間距離為其間充相對(duì)介電常數(shù)分別，兩種均勻電介r1

DD,r(Drr1

D

E

(rr質(zhì)介各占一半體積所略緣效應(yīng)，求此電容器的電容。解設(shè)如圖左邊電容為

－半為R的屬球被一層外半徑為R的勻C，右電容為C/20r1d

電介質(zhì)包裹著，設(shè)電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)屬球帶r電量為求（）介質(zhì)層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)層內(nèi)外的電勢(shì)）屬球的電勢(shì)。S/r2d左右電容并聯(lián)，總電容為2/2r1r2dd

513圖

解：

R

/

U

RU10E1習(xí)題

5－16圖URr習(xí)題－17圖rrrrr12UEE()()211101123422URr習(xí)題－17圖rrrrr12UEE()()211101123422(1)取同心高斯球面，由介質(zhì)的高斯定理得QDDDQDQEE42rr0Q1Q(2)介質(zhì)層的電勢(shì)EE()r4r0Q介質(zhì)層外的電EQ(3)金屬球電E=(R－17球電容器由半徑為的體1球和與它同心的導(dǎo)體球殼組成，球殼內(nèi)半徑為R其間有兩層均勻電介質(zhì)分界面2半徑為質(zhì)對(duì)介電常數(shù)分別、rr1圖所示容器的電容r2當(dāng)內(nèi)球帶電量為+Q時(shí)各質(zhì)表面上的束縛電荷面密度。QD,D12DQE1,440rr1r20r2rR1Rrr4Rr0r20r1Qrr2r21UR()rr212r21rQQ1(1)(1)421r1rQQQ),)4442rrr－一平行板容器有兩層介圖，r1r2厚度為=2.0mmd，極板面積S=40cm兩板間1電壓為200V）每層電介質(zhì)中的能量密度計(jì)電容器的總能量）算電容器的總電容。

SrUQ/Cd21(1)rUQ/d43rU,U1U()/2dUE()2.2/dSrrCd(2)Crr1W3.52rrCdd(3)C1.79Frrd－19平電容器的極板面積兩板相距d，兩1板間有一個(gè)與地絕緣的平行金屬板，其面積與極板的相同，厚度d。電容器被充電到600V后拆1去電源，然后抽出金屬板，問(wèn)（1）電容器間電場(chǎng)強(qiáng)度是否變化）抽出此板需作多少功解拆電源前C=0,CU0VE/mm拆去源并抽出屬板后，0QUC0,UUCd0U1.5/3m所以場(chǎng)強(qiáng)度沒(méi)發(fā)生變化）抽前W抽金板后2C所以出此板需要的為

2

11＝（－）C

(U0

100d

J-892drdrdr)dRdr-2-19-8-8Rln-892drdrdr)dRdr-2-19-8-8R