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.z.習(xí)題3.31．計(jì)算以下積分，其中積分閉路取正向.〔1〕解：〔4〕解：〔6〕解：〔8〕解：被積函數(shù)有6個(gè)奇點(diǎn)，只有在圓的內(nèi)部，于是函數(shù)在閉圓域上解析，則由Cauchy積分公式得4.用Cauchy積分公式計(jì)算函數(shù)沿正向圓周的積分值，然后利用圓周的參數(shù)方程證明下面積分〔1〕解：函數(shù)的奇點(diǎn)在積分路徑的內(nèi)部，而函數(shù)在閉區(qū)域上解析，于是由Cauchy積分公式得〔2〕證明：圓周的參數(shù)方程為，在它上有于是比擬等式兩邊的虛部得又所以7.由下面所給調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)〔2〕解：對(duì)u求偏導(dǎo)數(shù)有解法1：由Cauchy-Riemann條件得對(duì)第一式兩邊對(duì)*積分得兩邊對(duì)y求導(dǎo)，并且與上面所得比擬有于是得即其中c為任意實(shí)常數(shù).從而，即由于代入上式得所以解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函數(shù)的求導(dǎo)公式可得于是其中c為任意實(shí)常數(shù).由于代入上式得所以〔4〕解：對(duì)v求偏導(dǎo)數(shù)有解法1：由Cauchy-Riemann條件得對(duì)第二式兩邊對(duì)y積分得兩邊對(duì)*求導(dǎo)，并且與上面所得比擬有于是得即其中c為任意實(shí)常數(shù).從而，即，由于代入上式得所以解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函數(shù)的求導(dǎo)公式可得于是其中c為任意實(shí)常數(shù).由于代入上式得所以10.設(shè)和在簡單閉路C上及其內(nèi)部解析，試證：〔1〕假設(shè)在C上及其內(nèi)部處處不為零，則有〔2〕假設(shè)在C上有則在C的內(nèi)部有證明：〔1〕因?yàn)樵诤唵伍]路C上及其內(nèi)部解析并且處處不為零，則在簡單閉路C上及其內(nèi)部處處解析，于是由Cauchy積分定理得〔2〕假設(shè)對(duì)于C上的任意一點(diǎn)有由于和在簡單閉路C上及

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