初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件

幾何模型---半角模型探究幾何模型---半角模型探究11、名稱的由來(lái)：主要因?yàn)閳D形中兩個(gè)共頂點(diǎn)的，一大一小兩個(gè)角，小角的度數(shù)等于大角的一半。這樣的基本圖形稱之為半角模型。有普通角的半角模型，更多是研究特殊角的半角模型。比如“30°和60°”、“45°和90°”、“60°和120°”2、半角模型的解題策略：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，得到軸對(duì)稱全等，進(jìn)行等量替換。1、名稱的由來(lái)：主要因?yàn)閳D形中兩個(gè)共頂點(diǎn)的，一大一小兩個(gè)角，2

在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.45°FCABDE213E′結(jié)論：EF=

BE+DF把?ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到?ADE'的位置。據(jù)題目條件得?AEF≌?AE'F?！郋F=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF探求?EFC的周長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。結(jié)論：C?EFC=

BC+CD

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEF在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EA3F′45°FCABDE213結(jié)論：EF=

BE+DF結(jié)論：C?EFC=

BC+CD

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEFF′45°FCABDE213結(jié)論：EF=BE+DF結(jié)論：C4（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，方才的結(jié)論是否仍然成立？FEDCBAE′123結(jié)論：EF=

BE+DF結(jié)論：C?EFC=

BC+CD把?ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?ADE'的位置。據(jù)題目條件得?AEF≌?AE'F。∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEF（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝185

(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分別是CB、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，BE、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.ABCEFDE′123結(jié)論：BE=

FE+DF延長(zhǎng)DF至點(diǎn)E'的位置，使得DE'=BE∵AB=AD,∠B=∠ADE',BE=DE'∴?AEB≌?AFD∴∠BAE=∠DAE',∠BAD=∠EAE'∵∴∠EAF=∠E'AF∵AF=AF,AE=AE'∴?AEF≌?AE'F∴EF=E'F∵DE'=DF+FE',DE'=BE∴EB=FE+DF(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝6方法二、截長(zhǎng)補(bǔ)短猜想：BE=

FE+DFF'在BC邊上截得BF'=DFAB=AD∠B=∠ADFBF'=DF∴?ABF'≌?ADF(AAS)∴AF'=AF,∠BAF'=∠FAD∴∠F'AE=∠FAE又∵AF'=AF,AE=AE∴?AF'E≌?AFE(SAS)∴F'E=FE∴BE=FE+DF方法二、截長(zhǎng)補(bǔ)短猜想：BE=FE+DFF'在BC邊上截得B7如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45°，（1）探究DE、DA、EB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。CADEＢ１２D′３結(jié)論：把?ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?CBD'的位置。據(jù)題目條件得?CDE≌?CD'E?！郉E=D'E∵(ED')2=BE2+(D'B)2,BD'=AD∴EB=FE+DF∴DE2=AD2+BE2如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D8（3）應(yīng)用：在上面問(wèn)題的條件下，如果AB=10，求BD·AE的值．CADEB（3）應(yīng)用：CADEB9階段小結(jié)2、在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足,∠EAF=45°，AE、AF分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M、N。結(jié)論：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四邊形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、半角模型的解題策略：階段小結(jié)2、在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊10變式：已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，∠DCE=30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)；CABDE當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形且頂角∠DFE為120°.D′變式：已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，∠DC11CABDE若此題中，AD=2,BE=3,你可以求出AC邊的長(zhǎng)度嗎？證明：將?ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至?CBD'的位置。過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥EB于點(diǎn)F,在Rt?BD'F中∠D'BF=60°,D'B=AD=2∴BF=1,D'F=∴ED'=,DE=∴AB=AD+DE+EB=5+即AC=5+CABDE若此題中，AD=2,BE=3,你可以求出AC邊的12如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若BE=4，求ED的長(zhǎng).如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=9013初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件14已知在?ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若BD=6,CD=4,求?ABC的面積E已知在?ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若BD15∵?CDM≌?ADE∴AE=CM,∠HCE=∠DAE∴∠CHE=∠ADE=90°∴AE⊥CM∵?CDM≌?ADE16初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件17初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件18初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件191、常見(jiàn)半角模型：90°、60°、120°課堂小結(jié)2、半角模型常通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換聚攏條件，或者通過(guò)構(gòu)造半角模型轉(zhuǎn)化條件。3、在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足,∠EAF=45°，AE、AF分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M、N。結(jié)論：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四邊形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、常見(jiàn)半角模型：90°、60°、120°課堂小結(jié)220初中數(shù)學(xué)幾何模型半角模型探究公開(kāi)課課件21幾何模型---半角模型探究幾何模型---半角模型探究221、名稱的由來(lái)：主要因?yàn)閳D形中兩個(gè)共頂點(diǎn)的，一大一小兩個(gè)角，小角的度數(shù)等于大角的一半。這樣的基本圖形稱之為半角模型。有普通角的半角模型，更多是研究特殊角的半角模型。比如“30°和60°”、“45°和90°”、“60°和120°”2、半角模型的解題策略：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，得到軸對(duì)稱全等，進(jìn)行等量替換。1、名稱的由來(lái)：主要因?yàn)閳D形中兩個(gè)共頂點(diǎn)的，一大一小兩個(gè)角，23

在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.45°FCABDE213E′結(jié)論：EF=

BE+DF把?ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到?ADE'的位置。據(jù)題目條件得?AEF≌?AE'F?！郋F=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF探求?EFC的周長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。結(jié)論：C?EFC=

BC+CD

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEF在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EA24F′45°FCABDE213結(jié)論：EF=

BE+DF結(jié)論：C?EFC=

BC+CD

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEFF′45°FCABDE213結(jié)論：EF=BE+DF結(jié)論：C25（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，方才的結(jié)論是否仍然成立？FEDCBAE′123結(jié)論：EF=

BE+DF結(jié)論：C?EFC=

BC+CD把?ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?ADE'的位置。據(jù)題目條件得?AEF≌?AE'F?！郋F=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF

結(jié)論：S△ABE+S△ADF=S△AEF（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝1826

(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分別是CB、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，BE、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.ABCEFDE′123結(jié)論：BE=

FE+DF延長(zhǎng)DF至點(diǎn)E'的位置，使得DE'=BE∵AB=AD,∠B=∠ADE',BE=DE'∴?AEB≌?AFD∴∠BAE=∠DAE',∠BAD=∠EAE'∵∴∠EAF=∠E'AF∵AF=AF,AE=AE'∴?AEF≌?AE'F∴EF=E'F∵DE'=DF+FE',DE'=BE∴EB=FE+DF(3)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝27方法二、截長(zhǎng)補(bǔ)短猜想：BE=

FE+DFF'在BC邊上截得BF'=DFAB=AD∠B=∠ADFBF'=DF∴?ABF'≌?ADF(AAS)∴AF'=AF,∠BAF'=∠FAD∴∠F'AE=∠FAE又∵AF'=AF,AE=AE∴?AF'E≌?AFE(SAS)∴F'E=FE∴BE=FE+DF方法二、截長(zhǎng)補(bǔ)短猜想：BE=FE+DFF'在BC邊上截得B28如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45°，（1）探究DE、DA、EB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。CADEＢ１２D′３結(jié)論：把?ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?CBD'的位置。據(jù)題目條件得?CDE≌?CD'E?！郉E=D'E∵(ED')2=BE2+(D'B)2,BD'=AD∴EB=FE+DF∴DE2=AD2+BE2如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D29（3）應(yīng)用：在上面問(wèn)題的條件下，如果AB=10，求BD·AE的值．CADEB（3）應(yīng)用：CADEB30階段小結(jié)2、在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足,∠EAF=45°，AE、AF分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M、N。結(jié)論：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四邊形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、半角模型的解題策略：階段小結(jié)2、在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊31變式：已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，∠DCE=30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)；CABDE當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形且頂角∠DFE為120°.D′變式：已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，∠DC32CABDE若此題中，AD=2,BE=3,你可以求出AC邊的長(zhǎng)度嗎？證明：將?ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至?CBD'的位置。過(guò)點(diǎn)D'作D'F⊥EB于點(diǎn)F,在Rt?BD'F中∠D'BF=60°,D'B=AD=2∴BF=1,D'F=∴ED'=,DE=∴AB=AD+DE+EB=5+即AC=5+CABDE若此題中，AD=2,BE=3,你可以求出AC邊的33如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若BE=4，求ED的長(zhǎng).如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（B