柔性繩索有限元分析中微元與慣性系在不同姿態(tài)坐標下的變換

柔性繩索有限元分析中坐標系變換研究繩索在進行動力學和運動學分析過程中，通常被視為柔性體。分析方法也主要是有限元分析。具體思路是將柔性繩索劃分為若干微元線段，每個微元作為理想剛體看待，再運用多體系統(tǒng)動力學理論對各微元進行運動學和動力學分析。柔性鋼索的運動學分析屬于姿態(tài)分析的逆問題，既已知剛體的方向余弦陣，要求剛體的姿態(tài)坐標，每個微元的姿態(tài)坐標確定后，整個柔性繩索的動態(tài)姿態(tài)就能確定下來，這是運動學分析的核心。所以，姿態(tài)分析的逆問題急需解決的首要問題是方向余弦陣。對于相互關(guān)聯(lián)的兩個微元而言，在不同的姿態(tài)坐標體系下，其方向余弦陣表達式不同，則各微元與慣性坐標系的關(guān)系式也不同。為此，本文旨在研究常用的方向余弦坐標、有限轉(zhuǎn)動四元數(shù)坐標、歐拉角坐標和卡爾丹角坐標這四種坐標體系下，柔性繩索微元與慣性系之間的姿態(tài)坐標變換矩陣，以及微元上的連體基與慣性參考基之間的關(guān)系式。1方向余弦坐標圖1方向余弦坐標體系下微元的連體基和慣性參考基微元的連體基為=0X,OY,OZ1，慣性參考基為OXQYQZ］。連體基的每個

IrIriioo°ooo基矢量在參考集中的坐標分別為：XX,Xy,Xz】，lyX,yy,yZ1，IzX,Zy,ZZL此三個IoIoIoioi"ioioi"ioTOC\o"1-5"\h\z矢量稱為方向余弦坐標。以此三個矢量作為矩陣元素可得到方向余弦矩陣A.:oi1XXyXzxi/??、XIXo7ioIo(1-1)Aoi=XiKyy。ZiK*zoyizozzo_這時，微元連體基與慣性參考基的姿態(tài)坐標關(guān)系為：’e。一e-A(1-2)JI如果將此微元上一個微元的連體基看作是慣性參考基，那么(i-2)式就是這兩個微元之間的姿態(tài)坐標關(guān)系。以此類推，在柔性繩上第s個微元與大地坐標之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為：efISIT/(1-3)s=e,j±3I2、有限轉(zhuǎn)動四元數(shù)坐標我們現(xiàn)在由歐拉定律可知，剛體的任意姿態(tài)可通過繞空間某一軸一次轉(zhuǎn)動有限角來實現(xiàn)。我們現(xiàn)在假設(shè)微元的連體基色是慣性參考基eo繞單位矢量P旋轉(zhuǎn)二得到的。此單位矢量P在慣性參考基eo上的坐標P1,P2,P3與旋轉(zhuǎn)角度二組成有限轉(zhuǎn)動四元數(shù)坐標q=[Pi,P2,P3,捫（2-1）此時，微元連體基與慣性參考基之間的關(guān)系矩陣為：P1(1—CQ+CgP1P2U—P1P2(1-C-P3S丁P3P1(1-C-P2S-_!A01egP?1_c才.C寸(1p3p2(1-cP1S0(22)P3p1(1—c弓一p2sQP3P2「C扎P1SP：(1_C+c0C二cos71,Sr二sin如果將此微元上一個微元的連體基看作是慣性參考基，那么（；2-2）式就是這兩個微元之間的姿態(tài)坐標關(guān)系。以此類推，在柔性繩上第s個微元與大地坐標之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為:3、歐拉角坐標根據(jù)歐拉定律，微元的連體基e可視為慣性參考基eo繞其基矢量Zo旋轉(zhuǎn)角，然后繞新的基矢量X旋轉(zhuǎn)，角，最后再繞新的基矢量Z0旋轉(zhuǎn)角得到的。圖2圖2歐拉角坐標體系下微元連體基的三次變換慣性參考基e依次繞基矢量進行了3次有限轉(zhuǎn)動。3次的轉(zhuǎn)動角分別是＜、二、程這3個轉(zhuǎn)動角稱為歐拉坐標q:°(3-1)其中，’「稱為進動角，二稱為張動角，’稱為自轉(zhuǎn)角根據(jù)式（2-1）和式（2-2）,3次有限轉(zhuǎn)動的關(guān)系矩陣是:C中一s中0■100)A1C中一s中0■100)A1=(s中c中0A2=0c日-S日A3=001[0seC「LC$_S?s?c00]ol(3-2)A01=A1A2A3C護0-S護利_C諭?_S護彳3-3)式就是這兩個微=sVC0-cVC-SAg-CXpC(C?-C諭H(3-3)C6如果將此微元上一個微元的連體基看作是慣性參考基，那么（元之間的姿態(tài)坐標關(guān)系。以此類推，在柔性繩上第s個微元與大地坐標之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)4、卡爾丹角坐標根據(jù)歐拉定律，微元的連體基G可視為慣性參考基eo繞其基矢量X0旋轉(zhuǎn)t角，然后繞新的基矢量y。’旋轉(zhuǎn)n角，最后再繞新的基矢量乙旋轉(zhuǎn)角得到的?！鰣D3■圖3卡爾丹角坐標體系下微元連體基的三次變換慣性參考基eo依次繞基矢量進行了3次有限轉(zhuǎn)動。3次的轉(zhuǎn)動角分別是＜、二、，這3個轉(zhuǎn)動角稱為卡爾丹坐標q:qrfdqrfd(4-1)根據(jù)式（2-1）和式（2-2）,3次有限轉(zhuǎn)動的關(guān)系矩陣是:-c-c中s中0Ic00-sel「10]%a1=—s中c中0A2=010a3=0c?.001s日010—s?c^(4-2)微元連體基與慣性參考基之間的關(guān)系矩陣為：C護日St|fC日_S「(4-3)A01=Ai￡入二：「sg?cgA-s中SAS?ACg■一s詒?+c中s4?—S

妒牛*+s咱4?c(4-3)如果將此微元上一個微元的連體基看作是慣性參考基，那么（4-3）式就是這兩個微元之間的姿態(tài)坐標關(guān)系。以此類推，在柔性繩上第s個微元與大地坐標之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為：

5、總結(jié)e05、總結(jié)e0二esA0s二es(I]Aj)

±

s￡ji態(tài)坐標變換矩陣，以及微元上的連體基與慣性參考基之間的關(guān)系式。如下表所示。表1四種姿態(tài)坐標下相鄰微元之間姿態(tài)關(guān)系矩陣以及微元連體基與慣性參考基之間姿態(tài)關(guān)系式姿態(tài)坐標坐標矢量相鄰微元之間姿態(tài)關(guān)系矩陣A01微元連體基與慣性參考基之間姿態(tài)關(guān)系式方向余弦坐標xixo,xiyo,xizo]Rx，y”。，yZ]2泌0以』0，乙憶o]7必0yXoz，XolX”y”Z"oJooX1Z0yZoZ1Z0sTe0—es'A0s—es(口Aij)有限轉(zhuǎn)動四元數(shù)坐標q=[p,p，P3,6]12-P12(1_C占也甘P1P2(1-CQ—PsSAP3P,1_CQ廿2$甘]P1P2O_C占十p3s￡pA-CdACeP3P2u_cg—pSgrP1(1-Cd_P2sgP3P2(1-Cd+P1sEPW-Cd"歐拉角坐標q=*,日沖T1黑既:評序_C護?_*&C憐％sj護護訥一護于一牛1s列s》Ce」卡爾丹角坐標q=牝，日中j[C訴日s叩日-se-S\|C