柔性繩索有限元分析中微元與慣性系在不同姿態(tài)坐標(biāo)下的變換

柔性繩索有限元分析中坐標(biāo)系變換研究繩索在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過(guò)程中，通常被視為柔性體。分析方法也主要是有限元分析。具體思路是將柔性繩索劃分為若干微元線段，每個(gè)微元作為理想剛體看待，再運(yùn)用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論對(duì)各微元進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析。柔性鋼索的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析屬于姿態(tài)分析的逆問(wèn)題，既已知?jiǎng)傮w的方向余弦陣，要求剛體的姿態(tài)坐標(biāo)，每個(gè)微元的姿態(tài)坐標(biāo)確定后，整個(gè)柔性繩索的動(dòng)態(tài)姿態(tài)就能確定下來(lái)，這是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的核心。所以，姿態(tài)分析的逆問(wèn)題急需解決的首要問(wèn)題是方向余弦陣。對(duì)于相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)微元而言，在不同的姿態(tài)坐標(biāo)體系下，其方向余弦陣表達(dá)式不同，則各微元與慣性坐標(biāo)系的關(guān)系式也不同。為此，本文旨在研究常用的方向余弦坐標(biāo)、有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)和卡爾丹角坐標(biāo)這四種坐標(biāo)體系下，柔性繩索微元與慣性系之間的姿態(tài)坐標(biāo)變換矩陣，以及微元上的連體基與慣性參考基之間的關(guān)系式。1方向余弦坐標(biāo)圖1方向余弦坐標(biāo)體系下微元的連體基和慣性參考基微元的連體基為=0X,OY,OZ1，慣性參考基為OXQYQZ］。連體基的每個(gè)

IrIriioo°ooo基矢量在參考集中的坐標(biāo)分別為：XX,Xy,Xz】，lyX,yy,yZ1，IzX,Zy,ZZL此三個(gè)IoIoIoioi"ioioi"ioTOC\o"1-5"\h\z矢量稱(chēng)為方向余弦坐標(biāo)。以此三個(gè)矢量作為矩陣元素可得到方向余弦矩陣A.:oi1XXyXzxi/??、XIXo7ioIo(1-1)Aoi=XiKyy。ZiK*zoyizozzo_這時(shí)，微元連體基與慣性參考基的姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)系為：’e。一e-A(1-2)JI如果將此微元上一個(gè)微元的連體基看作是慣性參考基，那么(i-2)式就是這兩個(gè)微元之間的姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)系。以此類(lèi)推，在柔性繩上第s個(gè)微元與大地坐標(biāo)之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為：efISIT/(1-3)s=e,j±3I2、有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)坐標(biāo)我們現(xiàn)在由歐拉定律可知，剛體的任意姿態(tài)可通過(guò)繞空間某一軸一次轉(zhuǎn)動(dòng)有限角來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們現(xiàn)在假設(shè)微元的連體基色是慣性參考基eo繞單位矢量P旋轉(zhuǎn)二得到的。此單位矢量P在慣性參考基eo上的坐標(biāo)P1,P2,P3與旋轉(zhuǎn)角度二組成有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)坐標(biāo)q=[Pi,P2,P3,捫（2-1）此時(shí)，微元連體基與慣性參考基之間的關(guān)系矩陣為：P1(1—CQ+CgP1P2U—P1P2(1-C-P3S丁P3P1(1-C-P2S-_!A01egP?1_c才.C寸(1p3p2(1-cP1S0(22)P3p1(1—c弓一p2sQP3P2「C扎P1SP：(1_C+c0C二cos71,Sr二sin如果將此微元上一個(gè)微元的連體基看作是慣性參考基，那么（；2-2）式就是這兩個(gè)微元之間的姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)系。以此類(lèi)推，在柔性繩上第s個(gè)微元與大地坐標(biāo)之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為:3、歐拉角坐標(biāo)根據(jù)歐拉定律，微元的連體基e可視為慣性參考基eo繞其基矢量Zo旋轉(zhuǎn)角，然后繞新的基矢量X旋轉(zhuǎn)，角，最后再繞新的基矢量Z0旋轉(zhuǎn)角得到的。圖2圖2歐拉角坐標(biāo)體系下微元連體基的三次變換慣性參考基e依次繞基矢量進(jìn)行了3次有限轉(zhuǎn)動(dòng)。3次的轉(zhuǎn)動(dòng)角分別是＜、二、程這3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角稱(chēng)為歐拉坐標(biāo)q:°(3-1)其中，’「稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)角，二稱(chēng)為張動(dòng)角，’稱(chēng)為自轉(zhuǎn)角根據(jù)式（2-1）和式（2-2）,3次有限轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系矩陣是:C中一s中0■100)A1C中一s中0■100)A1=(s中c中0A2=0c日-S日A3=001[0seC「LC$_S?s?c00]ol(3-2)A01=A1A2A3C護(hù)0-S護(hù)利_C諭?_S護(hù)彳3-3)式就是這兩個(gè)微=sVC0-cVC-SAg-CXpC(C?-C諭H(3-3)C6如果將此微元上一個(gè)微元的連體基看作是慣性參考基，那么（元之間的姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)系。以此類(lèi)推，在柔性繩上第s個(gè)微元與大地坐標(biāo)之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)4、卡爾丹角坐標(biāo)根據(jù)歐拉定律，微元的連體基G可視為慣性參考基eo繞其基矢量X0旋轉(zhuǎn)t角，然后繞新的基矢量y?！D(zhuǎn)n角，最后再繞新的基矢量乙旋轉(zhuǎn)角得到的?！鰣D3■圖3卡爾丹角坐標(biāo)體系下微元連體基的三次變換慣性參考基eo依次繞基矢量進(jìn)行了3次有限轉(zhuǎn)動(dòng)。3次的轉(zhuǎn)動(dòng)角分別是＜、二、，這3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角稱(chēng)為卡爾丹坐標(biāo)q:qrfdqrfd(4-1)根據(jù)式（2-1）和式（2-2）,3次有限轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系矩陣是:-c-c中s中0Ic00-sel「10]%a1=—s中c中0A2=010a3=0c?.001s日010—s?c^(4-2)微元連體基與慣性參考基之間的關(guān)系矩陣為：C護(hù)日St|fC日_S「(4-3)A01=Ai￡入二：「sg?cgA-s中SAS?ACg■一s詒?+c中s4?—S

妒牛*+s咱4?c(4-3)如果將此微元上一個(gè)微元的連體基看作是慣性參考基，那么（4-3）式就是這兩個(gè)微元之間的姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)系。以此類(lèi)推，在柔性繩上第s個(gè)微元與大地坐標(biāo)之間的姿態(tài)關(guān)系式應(yīng)為：

5、總結(jié)e05、總結(jié)e0二esA0s二es(I]Aj)

±

s￡ji態(tài)坐標(biāo)變換矩陣，以及微元上的連體基與慣性參考基之間的關(guān)系式。如下表所示。表1四種姿態(tài)坐標(biāo)下相鄰微元之間姿態(tài)關(guān)系矩陣以及微元連體基與慣性參考基之間姿態(tài)關(guān)系式姿態(tài)坐標(biāo)坐標(biāo)矢量相鄰微元之間姿態(tài)關(guān)系矩陣A01微元連體基與慣性參考基之間姿態(tài)關(guān)系式方向余弦坐標(biāo)xixo,xiyo,xizo]Rx，y”。，yZ]2泌0以』0，乙憶o]7必0yXoz，XolX”y”Z"oJooX1Z0yZoZ1Z0sTe0—es'A0s—es(口Aij)有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)坐標(biāo)q=[p,p，P3,6]12-P12(1_C占也甘P1P2(1-CQ—PsSAP3P,1_CQ廿2$甘]P1P2O_C占十p3s￡pA-CdACeP3P2u_cg—pSgrP1(1-Cd_P2sgP3P2(1-Cd+P1sEPW-Cd"歐拉角坐標(biāo)q=*,日沖T1黑既:評(píng)序_C護(hù)?_*&C憐％sj護(hù)護(hù)訥一護(hù)于一牛1s列s》Ce」卡爾丹角坐標(biāo)q=牝，日中j[C訴日s叩日-se-S\|C