隨機(jī)積分與Ito定理課件

第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式1ppt課件第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來(lái)描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無(wú)法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分—Ito積分，建立積分方程。首頁(yè)2ppt課件第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)都只是近似討論，而沒(méi)給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過(guò)來(lái)才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)行為，那么能否對(duì)兩邊取積分，即也就是說(shuō)，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分首頁(yè)3ppt課件前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時(shí)間間隔。若則上等式改寫(xiě)為即或這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式首頁(yè)4ppt課件也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來(lái)定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然后再通過(guò)Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首頁(yè)5ppt課件此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間的變化無(wú)法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和。布朗運(yùn)動(dòng)如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)一、Ito積分的定義首頁(yè)6ppt課件第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱(chēng)記為首頁(yè)7ppt課件定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱(chēng)記為首頁(yè)7ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1首頁(yè)8ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取定理2則證令則首頁(yè)9ppt課件定理2則證令則首頁(yè)9ppt課件因?yàn)?首頁(yè)10ppt課件因?yàn)?首頁(yè)10ppt課件例1解試求故首頁(yè)11ppt課件例1解試求故首頁(yè)11ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1則（1）（2）證明與黎曼積分相仿（略）首頁(yè)12ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2則證明略首頁(yè)13ppt課件性質(zhì)2則證明略首頁(yè)13ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁(yè)14ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁(yè)14ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這時(shí)稱(chēng)(1)式定義的隨機(jī)過(guò)程有(Ito)隨機(jī)微分并記為首頁(yè)15ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁(yè)16ppt課件例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁(yè)16ppt課定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁(yè)17ppt課件定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁(yè)17ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁(yè)18ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁(yè)18ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過(guò)程有隨機(jī)微分則首頁(yè)19ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過(guò)程有隨機(jī)微分注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式首頁(yè)20ppt課件注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式首四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程稱(chēng)為Ito隨機(jī)微分方程與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的Ito隨機(jī)積分方程其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分首頁(yè)21ppt課件四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將看作普通函數(shù)，則解為返回首頁(yè)22ppt課件例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分其中在信息集下是非預(yù)期的一、Ito積分是鞅在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測(cè)的干擾總和可表示為則此Ito積分就是鞅。因?yàn)槭醉?yè)23ppt課件第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測(cè)的，即于是故Ito積分是鞅。首頁(yè)24ppt課件給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分即有則即積分是鞅首頁(yè)25ppt課件下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就因?yàn)榫S納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅首頁(yè)26ppt課件因?yàn)榫S納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)Ito積分會(huì)導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過(guò)程如下例：首頁(yè)27ppt課件2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。I3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格考慮一個(gè)小時(shí)間間隔，對(duì)隨機(jī)微分方程積分現(xiàn)在用Rieman求和來(lái)討論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會(huì)有什么結(jié)果？首頁(yè)28ppt課件3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)值來(lái)計(jì)算。首先計(jì)算然后再乘以矩形的底得從而有兩項(xiàng)相關(guān)下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡(jiǎn)單形式則其新增項(xiàng)形式為首頁(yè)29ppt課件Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測(cè)的，首頁(yè)30ppt課件用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即但由于Ito積分存在條件：即有則Ito積分的近似計(jì)算必須是矛盾首頁(yè)31ppt課件從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會(huì)收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分考察在期間[0，T]內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格間隔長(zhǎng)度為分割：且有首頁(yè)32ppt課件注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的部假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然但路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中并不一定收斂。如首頁(yè)33ppt課件假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然取符號(hào)函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。注路徑積分意義在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒(méi)有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測(cè)值來(lái)計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來(lái)計(jì)算并由隨機(jī)等式來(lái)決定。非預(yù)期重要性由于可預(yù)測(cè)的符號(hào)，函數(shù)能“看到未來(lái)情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)，就會(huì)發(fā)散。首頁(yè)34ppt課件取符號(hào)函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。注路徑積分意三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說(shuō)的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)為Ito積分的隨機(jī)變量首頁(yè)35ppt課件三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說(shuō)的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量一次量即二次量協(xié)方差方差返回首頁(yè)36ppt課件四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量一次量第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動(dòng)太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來(lái)代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡(jiǎn)化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。一、導(dǎo)數(shù)類(lèi)型在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類(lèi)型的導(dǎo)數(shù)：首頁(yè)37ppt課件第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)因子的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個(gè)市場(chǎng)參與者知道的函數(shù)形式，1則首頁(yè)38ppt課件偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格因此對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知道的不是隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對(duì)的小變化有什么反應(yīng)。23全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動(dòng)，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對(duì)市場(chǎng)交易者很有用。在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)變量相對(duì)于初始變量經(jīng)過(guò)某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。首頁(yè)39ppt課件因此對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對(duì)為非隨機(jī)變量的情況。首頁(yè)40ppt課件例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。首頁(yè)二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁(yè)41ppt課件二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁(yè)說(shuō)明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。例2求解因故有Ito定理可得首頁(yè)42ppt課件說(shuō)明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)因此得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為即漂移率是常數(shù)，方差依賴(lài)于信息集。例3若則有此時(shí)得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為首頁(yè)43ppt課件因此得到在信息集下的例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第二節(jié)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相同，可作為計(jì)算Ito積分的工具。首頁(yè)44ppt課件例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對(duì)應(yīng)的積分等式故首頁(yè)45ppt課件例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對(duì)應(yīng)的積分等式故首頁(yè)45p注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對(duì)新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡(jiǎn)單。4重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。首頁(yè)46ppt課件注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對(duì)新得到的隨機(jī)微分方（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說(shuō)明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。假定各個(gè)時(shí)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之間的關(guān)系可表示為所以首頁(yè)47ppt課件（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是和，即那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過(guò)程為將代入上式，得可見(jiàn)，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是，而不是。首頁(yè)48ppt課件如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：兩邊取積分，得積分形式該式說(shuō)明關(guān)于維納過(guò)程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來(lái)的。注返回首頁(yè)49ppt課件三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴(lài)于單一隨機(jī)變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場(chǎng)受到小概率事件影響，這樣需要對(duì)隨機(jī)微分方程加上跳躍過(guò)程來(lái)決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會(huì)改變很多。首頁(yè)50ppt課件第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)一、多變量情況設(shè)為兩個(gè)受維納過(guò)程影響的隨機(jī)過(guò)程其中則首頁(yè)51ppt課件一、多變量情況設(shè)為兩是兩個(gè)獨(dú)立的維納過(guò)程的增量結(jié)果這個(gè)問(wèn)題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：由于在單變量Ito定理中，等交叉項(xiàng)在均方意義下都等于0。且若在一個(gè)固定的間隔內(nèi)，有則在均方意義下，有首頁(yè)52ppt課件是兩個(gè)獨(dú)由此可得這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁(yè)53ppt課件由此可得這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁(yè)53ppt課例1（金融衍生品）在評(píng)價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)值時(shí)，收益曲線起到很大作用。利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線依賴(lài)于兩個(gè)狀態(tài)變量，分別是短期利率和長(zhǎng)期利率則利率衍生品的價(jià)格就可表示為假定利率服從隨機(jī)微分方程其中，長(zhǎng)短期利率誤差項(xiàng)具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為首頁(yè)54ppt課件例1（金融衍生品）在評(píng)價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)市場(chǎng)參與者可通過(guò)參數(shù)的選擇，由該等式得到長(zhǎng)短期利率的相關(guān)性和方差特性。在評(píng)估利率期權(quán)時(shí)，需要知道期權(quán)價(jià)格對(duì)收益曲線的變化和會(huì)怎樣變化，也就是要知道隨機(jī)微分，即有Ito公式的多變量形式可得首頁(yè)55ppt課件市場(chǎng)參與者可通過(guò)參數(shù)的選擇，由該等例2財(cái)富假設(shè)市場(chǎng)有n種資產(chǎn)，都是受同一隨機(jī)變動(dòng)影響的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程投資總價(jià)格可由財(cái)富函數(shù)表示則由Ito定理可得隨著時(shí)間的變化而財(cái)富的增量首頁(yè)56ppt課件例2財(cái)富假設(shè)市場(chǎng)有n種資產(chǎn)，二、Ito公式和跳躍假設(shè)觀測(cè)一個(gè)過(guò)程，它服從隨機(jī)微分方程：其中且假定在一個(gè)固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：原因：任何可預(yù)測(cè)的跳躍成分可被包含在漂移項(xiàng)中對(duì)跳躍過(guò)程，作如下假定：1首頁(yè)57ppt課件二、Ito公式和跳躍假設(shè)觀測(cè)一個(gè)過(guò)程，它服從隨2跳躍類(lèi)型是隨機(jī)和獨(dú)立的。首頁(yè)58ppt課件2跳躍類(lèi)型是隨機(jī)和獨(dú)立的。首頁(yè)58ppt課件在這些條件下漂移參數(shù)可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和：其中是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的維納過(guò)程部分，第二項(xiàng)為中純跳躍部分跳躍過(guò)程兩個(gè)隨機(jī)性跳躍的發(fā)生為隨機(jī)事件，發(fā)生大小也是隨機(jī)的。假定這兩個(gè)隨機(jī)性是相互獨(dú)立的。則Ito公式為首頁(yè)59ppt課件在這些條件下漂移參數(shù)可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和其中首頁(yè)60ppt課件其中首頁(yè)60ppt課件首先要計(jì)算由可能發(fā)生的隨機(jī)跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第二項(xiàng)，要計(jì)算此項(xiàng)，需要用到在時(shí)間內(nèi)跳躍發(fā)生的概率和由跳躍所引起的函數(shù)跳躍的大小期望值。在實(shí)際中如何計(jì)算呢？其次如果在特定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生跳躍，還應(yīng)包含式上式的第一項(xiàng)。首頁(yè)61ppt課件首先要計(jì)算由可能發(fā)生的隨機(jī)跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第在隨機(jī)計(jì)算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程情況下，由Ito定理可得到金融衍生品的隨機(jī)微分方程；本章說(shuō)明第二，Ito定理完全獨(dú)立Ito積分的。返回首頁(yè)62ppt課件在隨機(jī)計(jì)算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式63ppt課件第八章隨機(jī)積分—Ito積分第一節(jié)引言第二節(jié)第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來(lái)描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無(wú)法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分—Ito積分，建立積分方程。首頁(yè)64ppt課件第一節(jié)引言一、Ito積分的導(dǎo)出前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)都只是近似討論，而沒(méi)給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過(guò)來(lái)才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)行為，那么能否對(duì)兩邊取積分，即也就是說(shuō)，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分首頁(yè)65ppt課件前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng)也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時(shí)間間隔。若則上等式改寫(xiě)為即或這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式首頁(yè)66ppt課件也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來(lái)定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然后再通過(guò)Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首頁(yè)67ppt課件此表示式為一近似式，其精確公式為二、Ito積分的重要性首先隨第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間的變化無(wú)法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和。布朗運(yùn)動(dòng)如果標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)一、Ito積分的定義首頁(yè)68ppt課件第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱(chēng)記為首頁(yè)69ppt課件定義1滿足作和式如果均方極限存在則稱(chēng)記為首頁(yè)7ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1首頁(yè)70ppt課件注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取定理2則證令則首頁(yè)71ppt課件定理2則證令則首頁(yè)9ppt課件因?yàn)?首頁(yè)72ppt課件因?yàn)?首頁(yè)10ppt課件例1解試求故首頁(yè)73ppt課件例1解試求故首頁(yè)11ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1則（1）（2）證明與黎曼積分相仿（略）首頁(yè)74ppt課件注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、Ito積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2則證明略首頁(yè)75ppt課件性質(zhì)2則證明略首頁(yè)13ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁(yè)76ppt課件性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明首頁(yè)14ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這時(shí)稱(chēng)(1)式定義的隨機(jī)過(guò)程有(Ito)隨機(jī)微分并記為首頁(yè)77ppt課件三、Ito微分法則則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且（1）這例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁(yè)78ppt課件例2求隨機(jī)微分解由例１可知即由隨機(jī)微分的定義首頁(yè)16ppt課定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁(yè)79ppt課件定理3Ito公式的二次微分函數(shù)，則且首頁(yè)17ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁(yè)80ppt課件例3求隨機(jī)微分解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得首頁(yè)18ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過(guò)程有隨機(jī)微分則首頁(yè)81ppt課件定理4都是連續(xù)函數(shù)．如果隨機(jī)過(guò)程有隨機(jī)微分注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式首頁(yè)82ppt課件注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式首四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程稱(chēng)為Ito隨機(jī)微分方程與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的Ito隨機(jī)積分方程其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分首頁(yè)83ppt課件四、Ito隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將看作普通函數(shù)，則解為返回首頁(yè)84ppt課件例4考慮Ito方程取由Ito公式得即所以即注將第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分其中在信息集下是非預(yù)期的一、Ito積分是鞅在間隔內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測(cè)的干擾總和可表示為則此Ito積分就是鞅。因?yàn)槭醉?yè)85ppt課件第三節(jié)Ito積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測(cè)的，即于是故Ito積分是鞅。首頁(yè)86ppt課件給定時(shí)間t的信息集，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分即有則即積分是鞅首頁(yè)87ppt課件下面考慮兩種有意思的情況：1．第一種情況假設(shè)此時(shí)Ito積分就因?yàn)榫S納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅首頁(yè)88ppt課件因?yàn)榫S納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，故此積分是鞅注當(dāng)2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)Ito積分會(huì)導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過(guò)程如下例：首頁(yè)89ppt課件2．第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。I3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格考慮一個(gè)小時(shí)間間隔，對(duì)隨機(jī)微分方程積分現(xiàn)在用Rieman求和來(lái)討論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會(huì)有什么結(jié)果？首頁(yè)90ppt課件3．一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)值來(lái)計(jì)算。首先計(jì)算然后再乘以矩形的底得從而有兩項(xiàng)相關(guān)下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡(jiǎn)單形式則其新增項(xiàng)形式為首頁(yè)91ppt課件Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測(cè)的，首頁(yè)92ppt課件用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即但由于Ito積分存在條件：即有則Ito積分的近似計(jì)算必須是矛盾首頁(yè)93ppt課件從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會(huì)收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分考察在期間[0，T]內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格間隔長(zhǎng)度為分割：且有首頁(yè)94ppt課件注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的部假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然但路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中并不一定收斂。如首頁(yè)95ppt課件假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為取特殊路徑則顯然取符號(hào)函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。注路徑積分意義在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒(méi)有用到與相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測(cè)值來(lái)計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來(lái)計(jì)算并由隨機(jī)等式來(lái)決定。非預(yù)期重要性由于可預(yù)測(cè)的符號(hào)，函數(shù)能“看到未來(lái)情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)，就會(huì)發(fā)散。首頁(yè)96ppt課件取符號(hào)函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。注路徑積分意三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說(shuō)的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)為Ito積分的隨機(jī)變量首頁(yè)97ppt課件三、Ito積分存在性存在的條件是也就是說(shuō)的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量一次量即二次量協(xié)方差方差返回首頁(yè)98ppt課件四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量一次量第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動(dòng)太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來(lái)代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡(jiǎn)化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。一、導(dǎo)數(shù)類(lèi)型在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類(lèi)型的導(dǎo)數(shù)：首頁(yè)99ppt課件第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)因子的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù)中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個(gè)市場(chǎng)參與者知道的函數(shù)形式，1則首頁(yè)100ppt課件偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格因此對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知道的不是隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對(duì)的小變化有什么反應(yīng)。23全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動(dòng)，而導(dǎo)致的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對(duì)市場(chǎng)交易者很有用。在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)變量相對(duì)于初始變量經(jīng)過(guò)某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。首頁(yè)101ppt課件因此對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對(duì)為非隨機(jī)變量的情況。首頁(yè)102ppt課件例1且則注但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。首頁(yè)二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁(yè)103ppt課件二、Ito定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得或首頁(yè)說(shuō)明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。例2求解因故有Ito定理可得首頁(yè)104ppt課件說(shuō)明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)因此得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為即漂移率是常數(shù)，方差依賴(lài)于信息集。例3若則有此時(shí)得到在信息集下的的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為首頁(yè)105ppt課件因此得到在信息集下的例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第二節(jié)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相同，可作為計(jì)算Ito積分的工具。首頁(yè)106ppt課件例4計(jì)算Ito積分解設(shè)得其相關(guān)積分等式故即注這個(gè)結(jié)果與本章第例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對(duì)應(yīng)的積分等式故首頁(yè)107ppt課件例5計(jì)算積分解定義由Ito定理得其對(duì)應(yīng)的積分等式故首頁(yè)45p注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對(duì)新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡(jiǎn)單。4重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。首頁(yè)108ppt課件注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對(duì)新得到的隨機(jī)微分方（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說(shuō)明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。假定各個(gè)時(shí)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之間的關(guān)系可表示為所以首頁(yè)109ppt課件（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容）如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是和，即那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過(guò)程為將代入上式，得可見(jiàn)，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是，而不是。首頁(yè)110ppt課件如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：兩邊取積分，得積分形式該式說(shuō)明關(guān)于維納過(guò)程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來(lái)的。注返回首頁(yè)111ppt課件三、Ito定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)可能不只是依賴(lài)于單一隨機(jī)變量，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場(chǎng)受到小概率事件影響，這樣需要對(duì)隨機(jī)微分方程加上跳躍過(guò)程來(lái)決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會(huì)改變很多。首頁(yè)112ppt課件第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式第一種是在某些條件下，函數(shù)一、多變量情況設(shè)