小學數(shù)學30種典型應用題分類講解附帶例題和解題過程課件

小學數(shù)學30種典型應用題講解

小學數(shù)學30種典型應用題講解小學數(shù)學30種典型應用題講解

應用題可分為一般應用題與典型應用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題.小學數(shù)學30種典型應用題講解應用題可分為一般應用題與典型應1、歸一問題2、歸總問題3、和差問題4、和倍問題5、差倍問題6、倍比問題7、相遇問題8、追及問題9、植樹問題10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1、歸一問題11、行船問題21、方陣問題【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。1歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。【數(shù)量關系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，1歸一問（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？（1）買1支鉛筆多少錢？例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？

90÷3÷3＝10（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）列成綜合算式

90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？例23臺拖拉機3天耕（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？

100÷5÷4＝5（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？

5×7＝35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3（次）列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要運3次。例35輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？例35輛汽車4次可以運【解題思路和方法】

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量?！竞x】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。2歸總問題【數(shù)量關系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷份數(shù)＝每份數(shù)量【解題思路和方法】【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，2（1）這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？（1）這批布總共有多少米？例1服裝廠原來做一套衣服用布3（1）《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288（頁）

（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8（天）列成綜合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。例2小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？（1）《紅巖》這本書總共多少頁？（1）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？

1500÷（50＋10）＝25（天）列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天例3食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？（1）這批蔬菜共有多少千克？例3食堂運來一批蔬菜，原計劃每【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。3和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮?shù)量關系】

大數(shù)＝（和＋差）÷2

小數(shù)＝（和－差）÷2【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。例1甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）例1甲乙兩班共有學生長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）長方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）

答：長方形的面積為80平方厘米。例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）例2長方形的長和寬之和甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。4和倍問題【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關系】

總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后（1）杏樹有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？（1）杏樹有多少棵？例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）

（2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）例2每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當于（2＋1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么，甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28乙數(shù)＝28×2－4＝52丙數(shù)＝28×3＋6＝90答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為1倍量。例4甲乙【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。5差倍問題【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題。【數(shù)量關系】

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后（1）杏樹有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？（1）杏樹有多少棵？例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）

（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）例2爸爸比兒子大如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）本月盈利＝18＋30＝48（萬元）答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例3商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當于（3－1）倍，因此剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。6倍比問題【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關系】總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)

另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。6（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝解（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）

（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）列成綜合算式

400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例2今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000÷30解（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200

（2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）

（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20

（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）答：例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解（1）800畝是4畝的幾倍？例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。7相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通392÷（28＋21）＝8（小時）答：經過8小時兩船相遇。例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？392÷（28＋21）＝8（小時）例1南京到上海的水路長3解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例2小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。例2小李和小劉在解“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）答：兩地距離是84千米。例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。8追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關系】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后解（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解（1）劣馬先走12天能走多少千米？例1好馬每天走120小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－16）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時間［10×（22－16）＋60］÷（30－10）

＝120÷20＝6（小時）答：解放軍在6小時后可以追上敵人例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷（48－40）＝4（小時）所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷（90－60）＝12（分鐘）家離學校的距離為90×12－180＝900（米）答：家離學校有900米遠。例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。所以步行1千米所用時間為1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘）跑步1千米所用時間為15－［9－（10－5）］＝11（分鐘）跑步速度為每小時1÷11／60＝5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。9植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。圓形植樹棵樹=圓形周長÷棵距閉合環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距方形植樹棵數(shù)＝方形周長÷棵距面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）三角形棵樹=三角形周長÷棵距閉合環(huán)形植樹【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1【解題思路和136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。400÷4＝100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。220×4÷8＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？例3一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）400÷4＝100（棵）96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）例4例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解（1）橋的一邊有多少個電桿？

500÷50＋1＝11（個）

（2）橋的兩邊有多少個電桿？11×2＝22（個）

（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔5【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)10年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題”的解10年齡問題【35÷5＝7（35+1）÷（5+1）＝6答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）例今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為49＋3×2＝55（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4＋1）＝11（歲）今年父親年齡為11×4＝44（歲）答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，例33年前父

過去某一年今年將來某一年甲□歲△歲61歲乙4歲□歲△歲表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42（歲）乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。例4甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：

過去某一年今年將來某一年甲□歲△歲61歲乙4歲□歲△歲表【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。11行船問

題【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關系】（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速+水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速-水速＝順水速－水速×2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。1解由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8－15＝25（千米）船的逆水速為25－15＝10（千米）船逆水行這段路程的時間為320÷10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例1一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時解由題意得

甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20可見（36－20）相當于水速的2倍，所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）又因為，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速為360÷15＋8＝32（千米）乙船順水速為32＋8＝40（千米）所以，乙船順水航行360千米需要360÷40＝9（小時）答：乙船返回原地需要9小時。例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36例2甲船逆水解這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？

（576－24）×3＝1656（千米）（2）順風飛回需要多少小時？

1656÷（576＋24）＝2.76（小時）

列成綜合算式

［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時）答：飛機順風飛回需要2.76小時。例3一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解這道題可以按照流水問題來解答。例3一架飛機飛行在兩個城【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。12列車問題【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)12列車問題【解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？

2700－2400＝300（米）列成綜合算式900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。例1解火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為8×125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8解從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例3一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150÷（22＋3）＝6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為25×58－1250＝200（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。例5一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。13時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。1鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷（1－1/12）≈22（分）答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。例1從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候解六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。14盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總人數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數(shù)＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總人數(shù)＝（大虧－小虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。1按照“參加分配的總人數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？

3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？按照“參加分配的總人數(shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關系：例1題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)”，按照“參加分配的總人數(shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關系，可以得知原定完成任務的天數(shù)為（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）這條路全長為300×（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)”，按照“解本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)”，于是就有（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？

40×6＋30＝270（人）答：有6輛車，有270人。例3學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)”，于是就有例3【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。15工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。15解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體解設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？7÷（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個）

例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。

也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2，所以，2小時內注滿一池水

至少需要多少個進水管？

（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。

例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。16正反比例問題【含義】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）解由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解由條件知，公路總長不變。例1修一條公路，已修的是未修的做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分鐘可以做13道應用題。例2張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系例2張晗做4道解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關系設X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就可以看完。例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關系例3【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。17按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。

總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾總份數(shù)為47＋48＋45＝140一班植樹560×47/140＝188（棵）二班植樹560×48/140＝192（棵）三班植樹560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例1學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？總份數(shù)為47＋48＋45＝140例1學校把植樹560棵的解3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）例2用如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如人數(shù)80人一共多少人？對應的份數(shù)12－88＋12＋2180÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人數(shù)80人一共多少人？對應的份數(shù)12－88＋12＋2180【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。18百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮?shù)量關系】掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數(shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型：18百分數(shù)問題【含【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。19“牛吃草”問題【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。【數(shù)量關系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。19草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以1×10×20＝原有草量＋20天內生長量同理1×15×10＝原有草量＋10天內生長量由此可知（20－10）天內草的生長量為1×10×20－1×15×10＝50因此，草每天的生長量為50÷（20－10）＝5例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。（2）求原有草量原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5天內草總量5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125（4）求多少頭牛5天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。（2）求原有草量解這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當于“牛數(shù)”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量所以，（10－3）小時內的進水量為1×5×10－1×12×3＝14因此，每小時的進水量為14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是30÷（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。例2一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。20雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關系】第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都解此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例1李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？解此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，解假設100只全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）雞數(shù)＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例2（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？解假設100只全都是雞，則有例2（第二雞兔同籠問題）雞兔共解假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。例3有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？解假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。21方陣問題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總人數(shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關系：

四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總人數(shù)的求法：實心方陣：總人數(shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總人數(shù)＝（外邊人數(shù)）－（內邊人數(shù)）

內邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總人數(shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣21解10×10－（10－3×2）×（10－3×2）＝84（人）答：全方陣84人。例1有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10×10－（10－3×2）×（10－3×2）＝解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方陣內層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的總人數(shù)＝14×14－6×6＝160（人）答：這隊學生共160人。例2有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）例2解（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例3一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）例解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。例4有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）例4有一個三【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。22商品利潤問題【含義】這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關系】利潤＝售價－進貨價利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%

售價＝進貨價×（1＋利潤率）

虧損＝進貨價－售價虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變解設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%答：二月份比原價下降了1%。例1某商品的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？解設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月解要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）可以看出該店是盈利的，盈利率為（52－50）÷50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。例2某服裝店因搬遷，店內商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例3成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題解設乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為1－10%＝0.9甲店定價為0.9×（1＋30%）＝1.17乙店定價為1×（1＋20%）＝1.20由此可得乙店進貨價為6÷（1.20－1.17）＝200（元）乙店定價為200×1.2＝240（元）答：乙店的定價是240元。例4某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解設乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為1－10%＝0.9【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。23存款利率問題【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一