中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題幾何最值問題解題策略課件

專題九

幾何最值問題解題策略專題九幾何最值問題解題策略最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題,在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題.安徽中考在2015,2016年連續(xù)2年都出現(xiàn)幾何問題的最值問題,考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計2017年安徽中考會出現(xiàn)幾何最值問題的選擇題或解答題.最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有1.在求幾何圖形中的周長或線段長度最值時,解決此類問題的方法一般是先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來,建立函數(shù)模型(一般所表示的式子為一次函數(shù)解析式或二次函數(shù)解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式,再用函數(shù)的增減性或最值來求解即可.2.利用對稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問題,解決此類問題的方法為:如圖,要求直線l上一動點P到點A,B距離之和的最小值,先作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B,則A'B與直線l的交點即為P點,根據(jù)對稱性可知此時A'B的長即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.1.在求幾何圖形中的周長或線段長度最值時,解決此類問題的方法題型2題型1題型3題型1

三角形中最值問題典例1

(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,將△CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是

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題型2題型1題型3題型1三角形中最值問題題型2題型1題型3【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計算.由于FP的長度是不變的,于是P點在以點F為圓心,以2為半徑的圓上運動,由此可確定點P在什么位置時到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點E在BC上運動時,PF的長固定不變,即PF=CF=2.∴點P在以點F為圓心,以2為半徑的圓上運動.過點F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時PH最短,此時△AFH∽△ABC,∴

題型2題型1題型3【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計算.題型2題型1題型3題型2

四邊形中最值問題典例2

(2016·江蘇常州)如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是

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題型2題型1題型3題型2四邊形中最值問題題型2題型1題型3【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)題意建立不等式、轉(zhuǎn)化不等式是解答此題的關(guān)鍵.△APB中,因為AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因為(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因為△ABD,△APE和△BPC都是等邊三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四邊形PCDE是平行四邊形,所以EP∥DC,因為∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因為EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,過點P作PQ⊥DC于點Q,因為∠PQC=90°,所以PQ==1,所以四邊形PCDE面積的最大值是1.【答案】

1題型2題型1題型3【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、題型2題型1題型3【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過代換轉(zhuǎn)化來求平行四邊形面積的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想的運用.題型2題型1題型3【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2題型2題型1題型3題型3

圓中最值問題典例3

在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時,求PQ的長度;(2)如圖2,當(dāng)點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識.(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長,在Rt△OPQ中求出PQ的長即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長為定值,則OP最小時,PQ最大,此時OP⊥BC,即可求解.題型2題型1題型3題型3圓中最值問題題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3【歸納總結(jié)】此題綜合性強,解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計算與化簡等.考查了多種數(shù)學(xué)思想,如建模思想、化歸思想等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿滿分.題型2題型1題型3【歸納總結(jié)】此題綜合性強,解題方法很多,考21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為

(C)【解析】設(shè)BE與AC交于點P',連接BD,P'D.∵點B與D關(guān)于AC對稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點P位于點P'處時,PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE21345672.如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點A,P是☉O上的一個動點(不與點A重合),過點P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x,PB=y,則(x-y)的最大值是

2

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【解析】如圖,作直徑AC,連接CP,則∠CPA=90°,∵AB是切線,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,21345672.如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點A,P21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A在拋物線y=x2-2x+2上運動,過點A作AC⊥x軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,連接BD,則對角線BD的最小值為

1

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【解析】本題考查拋物線性質(zhì)和矩形性質(zhì).由拋物線y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,1),∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴當(dāng)BD最小時AC最小.∵點A在拋物線y=x2-2x+2上,∴當(dāng)點A是拋物線的最低點,即點A的坐標(biāo)為(1,1)時,AC最小為1,∴BD的最小值為1.

21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A在拋物線y=2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.當(dāng)PM⊥AB時,PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對于直線y=

2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

.

【解析】如圖,作點M關(guān)于ON的對稱點M‘,點N關(guān)于OA的對稱點N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點P,Q,此時MP+PQ+QN的值最小.由對稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,2134567213456721345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點.若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點為P.(1)如圖1,當(dāng)α=90°時,線段BD1的長等于

,線段CE1的長等于

.(直接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)α=135°時,求證:BD1=CE1,且BD1⊥CE1.(3)①設(shè)BC的中點為M,則線段PM的長為

;②點P到AB所在直線的距離的最大值為

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21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點,∴AE=AD=2,∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),∴當(dāng)α=90°時,AE1=2,∠E1AE=90°,

2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,2134567(2)當(dāng)α=135°時,∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°得到,∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,在△D1AB和△E1AC中,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,記直線BD1與AC交于點F,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.

2134567(2)當(dāng)α=135°時,2134567(3)①如圖①,∵∠CPB=∠CAB=90°,BC的中點為M,2134567(3)①如圖①,∵∠CPB=∠CAB=90°,2134567②如圖②,作PG⊥AB,交AB所在直線于點G,∵D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上,當(dāng)BD1所在直線與☉A相切時,直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大,

2134567②如圖②,作PG⊥AB,交AB所在直線于點G,專題九

幾何最值問題解題策略專題九幾何最值問題解題策略最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題,在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題.安徽中考在2015,2016年連續(xù)2年都出現(xiàn)幾何問題的最值問題,考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計2017年安徽中考會出現(xiàn)幾何最值問題的選擇題或解答題.最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有1.在求幾何圖形中的周長或線段長度最值時,解決此類問題的方法一般是先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來,建立函數(shù)模型(一般所表示的式子為一次函數(shù)解析式或二次函數(shù)解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式,再用函數(shù)的增減性或最值來求解即可.2.利用對稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問題,解決此類問題的方法為:如圖,要求直線l上一動點P到點A,B距離之和的最小值,先作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B,則A'B與直線l的交點即為P點,根據(jù)對稱性可知此時A'B的長即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.1.在求幾何圖形中的周長或線段長度最值時,解決此類問題的方法題型2題型1題型3題型1

三角形中最值問題典例1

(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,將△CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是

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題型2題型1題型3題型1三角形中最值問題題型2題型1題型3【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計算.由于FP的長度是不變的,于是P點在以點F為圓心,以2為半徑的圓上運動,由此可確定點P在什么位置時到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點E在BC上運動時,PF的長固定不變,即PF=CF=2.∴點P在以點F為圓心,以2為半徑的圓上運動.過點F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時PH最短,此時△AFH∽△ABC,∴

題型2題型1題型3【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計算.題型2題型1題型3題型2

四邊形中最值問題典例2

(2016·江蘇常州)如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是

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題型2題型1題型3題型2四邊形中最值問題題型2題型1題型3【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)題意建立不等式、轉(zhuǎn)化不等式是解答此題的關(guān)鍵.△APB中,因為AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因為(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因為△ABD,△APE和△BPC都是等邊三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四邊形PCDE是平行四邊形,所以EP∥DC,因為∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因為EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,過點P作PQ⊥DC于點Q,因為∠PQC=90°,所以PQ==1,所以四邊形PCDE面積的最大值是1.【答案】

1題型2題型1題型3【解析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、題型2題型1題型3【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2ab”通過代換轉(zhuǎn)化來求平行四邊形面積的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想的運用.題型2題型1題型3【方法歸納】本題借助不等式“a2+b2≥2題型2題型1題型3題型3

圓中最值問題典例3

在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時,求PQ的長度;(2)如圖2,當(dāng)點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識.(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長,在Rt△OPQ中求出PQ的長即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長為定值,則OP最小時,PQ最大,此時OP⊥BC,即可求解.題型2題型1題型3題型3圓中最值問題題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3【歸納總結(jié)】此題綜合性強,解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計算與化簡等.考查了多種數(shù)學(xué)思想,如建模思想、化歸思想等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿滿分.題型2題型1題型3【歸納總結(jié)】此題綜合性強,解題方法很多,考21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為

(C)【解析】設(shè)BE與AC交于點P',連接BD,P'D.∵點B與D關(guān)于AC對稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點P位于點P'處時,PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE21345672.如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點A,P是☉O上的一個動點(不與點A重合),過點P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x,PB=y,則(x-y)的最大值是

2

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【解析】如圖,作直徑AC,連接CP,則∠CPA=90°,∵AB是切線,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,21345672.如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點A,P21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A在拋物線y=x2-2x+2上運動,過點A作AC⊥x軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,連接BD,則對角線BD的最小值為

1

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【解析】本題考查拋物線性質(zhì)和矩形性質(zhì).由拋物線y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,1),∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴當(dāng)BD最小時AC最小.∵點A在拋物線y=x2-2x+2上,∴當(dāng)點A是拋物線的最低點,即點A的坐標(biāo)為(1,1)時,AC最小為1,∴BD的最小值為1.

21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A在拋物線y=2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.當(dāng)PM⊥AB時,PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對于直線y=

2134567【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

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【解析】如圖,作點M關(guān)于ON的對稱點M‘,點N關(guān)于OA的對稱點N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點P,Q,此時MP+PQ+QN的值最小.由對稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,2134567213456721345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點.若等腰Rt△A