工程力學5第五章彎曲應力課件

主講:符春生第五章彎曲應力主講:符春生第五章彎曲應力yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述純彎曲梁分析截面上正應力彎矩M作用產生什么應力?yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述純彎曲梁FS純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段。MABCDF

aaF§5－2梁彎曲時橫截面上的正應力純彎曲梁：彎矩不為零，剪力為零FS純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段（1）橫線：變形后仍為直線，但轉過一角度，并與縱線仍正交。MM一.純彎曲梁的正應力中性層與橫截面的交線——中性軸z；z（2）縱線：彎成弧線，上部縮短，下部伸長,中間有一層縱線既不伸長，也不縮短——中性層。y對稱軸1﹒幾何關系yz橫線縱線（1）橫線：變形后仍為直線，但轉過一角度，并與縱線仍正交。M（1）平面假設：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；基本假設

（2）單向受力假設：各縱向線（纖維）之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。1122MM（1）平面假設：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；基

（對稱軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y——任一縱線到中性層的距離。dθ——1-1和2-2截面的相對轉角。y中性層1122ρdθa'b'o'1

o'2ba1212o1o2dx（對稱軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y任一條纖維的線應變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'1

o'2任一條纖維的線應變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'12.物理關系:yz⊕?2.物理關系:yz⊕?3.靜力學關系:zySz=0——中性軸z通過橫截面的形心。Iyz=0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。dAzyEIz——彎曲剛度3.靜力學關系:zySz=0——中性軸z通過橫截面的形心說明：(2)符號：①由M與y的符號確定σ的符號；⑴線彈性;彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzzy②由彎曲變形確定。(3)說明：(2)符號：①由M與y的符號確定σ的符號；①z軸為對稱時：②z軸為非對稱時:二.純彎曲正應力公式的推廣ytzyycc①z軸為對稱時：②z軸為非對稱時:二.純彎曲正應力公式的例1：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面,試求以三種截面的最大拉應力。設矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。F＝20kNACB3ｍ3ｍ例1：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同解：該梁C截面的彎矩最大，

Mmax=10×3=30kN.m⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：該梁C截面的彎矩最大，⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ⑵圓形截面⑵圓形截面⑶工字形截面。選用50C號工字鋼,其截面面積為139000mm2。

在承受相同荷載和截面面積相同時，工字梁所產生的最大拉應力最小。反過來說，如果使三種截面所產生的最大拉應力相同時，工字梁所承受的荷載最大。因此，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。結論如下：⑶工字形截面。在承受相同荷載和截面面積相同時§5-3

矩形截面梁的切應力1、兩點假設:

（1）切應力與橫截面的側邊平行（2）切應力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0§5-3矩形截面梁的切應力1、兩點假設:（1）zyτhbFSτ'由切應力互等定理zyτhbFSτ'由切應力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxmnbhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxm2、彎曲切應力公式y(tǒng)——所求點距中性軸的距離。FSFSmnnmMM+dMdxyabmnσ'σ''abmn2、彎曲切應力公式y(tǒng)——所求點距中性軸的距離。FSFSmnndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmFS——橫截面上剪力。Iz——整個橫截面對中性軸z的慣性矩。b——橫截面寬度。S

z*

——橫截面上距中性軸y處橫線一側截面對中性軸的面積矩。dxmnyzabFN1FN2dFy'dAFS——橫截面上剪力。Iz——整個橫截面對中性軸zb——3、切應力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τ＝0＋－比較3、切應力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τF剪切彎曲時，平面假設不再成立mmm'm'γF剪切彎曲時，平面假設不再成立mmm'm'γ1、腹板FS——橫截面上剪力。矩形截面的兩個假定同樣適用。y

zbhdδh1翼緣腹板一、工字形截面梁y§5-4、其他形狀截面梁的切應力1、腹板FS——橫截面上剪力。矩形截面的兩個假定同樣適用。yzdxh1bδδyhFN1FN2dFzdxh1bδδyhFN1FN2dF工字形截面梁腹板上的切應力:FS——橫截面上剪力。Iz——整個工字形截面對中性軸z的慣性矩。d——腹板寬度。Sz*

——距z軸y處橫線一側陰影部分截面對z的面積矩。τmaxy

zbhdδh1y工字形截面梁腹板上的切應力:FS——橫截面上剪力。Iz——τ1τ1（c）其中——面積δ×u對中性軸的面積矩。2、翼緣F’N2'F’N1'Bdxu（b）dFBAzdxubδδuh(a)τ1τ'1τ1τ1（c）其中——面積δ×u對中性軸的面積切應力流：切應力沿截面像水流一樣流動的現(xiàn)象。工字形截面梁切應力的分析方法同樣適用于T字形，槽形，箱形等截面梁。τ1τ1（c）切應力流：切應力沿截面像水流一樣流動的現(xiàn)象。工字形截面梁切應二、圓形截面梁zτmaxydA二、圓形截面梁zτmaxydA三、薄壁圓環(huán)截面梁zR0δ三、薄壁圓環(huán)截面梁zR0δ例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及最大壓應力，并畫出最大剪力截面上的切應力分布圖。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及解:(1)確定橫截面形心的位置.(2)計算橫截面的慣性矩Iz.Iz=186.6×106mm4yc=180q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解:(1)確定橫截面形心的位置.(2)計算橫截面的慣性矩22.5M(kN.m)1.5m40(3)畫剪力、彎矩圖.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=180FS

(kN)3050401.5m22.5M(kN.m)1.5m40(3)畫剪力、彎矩圖.q(4)計算最大拉應力和最大壓應力由于該梁的截面不對稱于中性軸，因而橫面上下邊緣的距離不相等，故需分別計算B、D截面的最大拉應力和最大壓應力，然后比較。(4)計算最大拉應力和最大壓應力由于該梁的截面不對稱于中性

①在B截面上的彎矩為負，故該截面上邊緣各點處產生最大拉應力，下邊緣各點處產生最大壓應力。σtmax=40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4MPa,σcmax=40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6MPa22.5M(kN.m)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180①在B截面上的彎矩為負，故該截面上邊緣各點②D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點處產生最大拉應力，上邊緣各點處產生最大壓應力：σtmax=22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7MPa,σcmax=22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1MPa22.5M(kNm)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180②D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點處產生最大拉應力，37可編輯37可編輯∴σtmax=21.7MPa，

發(fā)生在D截面的下邊緣各點處。σcmax=38.6MPa，

發(fā)生在B截面的下邊緣各點處?！唳襱max=21.7MPa，σcmax=384.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切應力分布:yc=180τ1max4.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSm例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點處分別取四個單元體，試畫出單元體上的應力，并寫出應力的表達式。qABl123l/4h/4l/44zbhττmax例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點處解：(1)求支座反力:(2)畫FS

圖和M圖FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/44解：(1)求支座反力:(2)畫FS圖和M圖FSql/4q12zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4412zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM34zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4434zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM5－4、梁的強度計算

危險點：

最大彎矩截面的上、下底面各點為正應力危險點。最大剪力截面的中性軸各點為切應力危險點。危險截面：最大彎矩截面最大剪力截面一、梁的強度計算5－4、梁的強度計算危險點：最大彎矩截面的上、下底面各1、等截面梁的正應力強度條件為：注：①彎曲容許正應力[σ]彎略大于軸向拉壓容許正應力[σ]軸，一般可取[σ]彎=[σ]軸。②當[σt]

≠[σc]時，需分別計算σtmax和σcmax，使

σtmax≤[σt]

，σcmax≤[σc]。2、等截面梁的切應力強度條件為:

校核強度；

設計截面；

求容許荷載。

強度計算：1、等截面梁的正應力強度條件為：注：①彎曲容許正應力[σ]彎注：①一般情況下，只需按正應力強度條件來進行強度計算，不必對切應力作校核。②特殊情況下，需校核切應力強度。a.FS很大而M

較小。焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當復板高度很高，厚度很小時，腹板上產生相當大的切應力。

c.木梁的順紋向抗剪強度較低，應校核τ順。d、題中給定[τ]。注：①一般情況下，只需按正應力強度條件來進行強度計算，②例4.如圖一簡支木梁。已知：[σt]=[σc]=10MPa，[τ]=2MPa。梁截面為矩形，b=80mm，求高度。2m10kN/mhbz解：由正應力強度條件確定截面高度，再校核切應力強度。1°按正應力強度條件計算h。而例4.如圖一簡支木梁。已知：[σt]=[σc]=可取h=200mm。2°切應力強度校核：

故由正應力強度條件所確定的h=200mm能滿足切應力強度條件。可取h=200mm。2°切應力強度校核：例5.一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料為鑄鐵:[σt]=30MPa，[σc]=90MPa,[τ]=24MPa。試求q的容許值,并校核切應力強度。解：1°畫剪力、彎矩圖，確定危險截面、危險點。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-例5.一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,解：1°2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDlB截面：q≤9.6kN/m∴該梁所受q的容許值為：[q]=9.6kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-B截面：q≤9.6kN/m∴該梁所受q的容許值為：3、校核切應力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-3、校核切應力lqlqDllABCzy86134401802二、提高承載能力的措施1、選擇合理截面形式即Wz/A越大越合理，此時Iz/A也較大，既可提高強度，又可提高剛度。彎矩M與Wz成正比，Wz越大越合理合理截面：是在不增加材料消耗的前提下，盡可能使得Wz越大越合理。二、提高承載能力的措施1、選擇合理截面形式即Wz/A越大如設截面高度為h，可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圓截面合理。選擇截面的形式時，還要考慮材料的性能。塑性：中性軸對稱；脆性：中性軸非對稱,；矩形截面：工字形截面：對圓形截面：如設截面高度為h，可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截2、采用強度較高的材料一般高強度材料的[σ]和[τ]較高。3、采用變截面梁采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。FAB（a）l/2l/2x最合理的變截面梁是等強度梁.σmax=M(x)/W(x)=[σ]M(x)=Fx/2W(x)=bh2(x)/6當高度b=常數(shù)時:2、采用強度較高的材料一般高強度材料的[σ]和[τ]較高。3由切應力強度條件:Fhmin---魚腹梁由切應力強度條件:Fhmin---魚腹梁FhminF/2F/2FyFFFhminF/2F/2FyFF4、改善梁的受力狀況可通過調整支座和改變結構來完成。lqq0.6l0.2l0.2lql2/40ql2/50ql2/50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4Fl/4Fl/8ql2/84、改善梁的受力狀況可通過調整支座和改變結構來完成。lqq0ABqABq5、增加梁的支座——超靜定梁可減少Mmax及位移。ABqABq5、增加梁的支座——超靜定梁可減少Mmax及位移§5－5非對稱截面梁的平面彎曲﹑對稱彎曲：梁具有縱向對稱平面，外力(力偶）作用在縱向對稱面內。開口簿壁截面的彎曲中心§5－5非對稱截面梁的平面彎曲﹑對稱彎曲：梁具有縱向對稱平非對稱彎曲：梁不具有縱向對稱平面或雖具有縱向對稱平面，但外力并不作用在縱向對稱面內。非對稱彎曲：梁不具有縱向對稱平面或雖具有縱一、平面彎曲時外力作用的方向設z為中性軸：又由當中性軸z通過截面形心時，F(xiàn)N=0。CyzdAzyO一、平面彎曲時外力作用的方向設z為中性軸：又由當中性軸z可見：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時，外力作用的平面必須平行于形心主慣性平面。此時，梁的軸線在形心主慣性平面內彎成一條平面曲線。橫截面上的另一根形心主軸即為中性軸。y、z軸為形心主軸（梁受到平行于y軸的外力作用）=M=0CyzdAzyO可見：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時，外力作用的平面必須平行于形對于無縱向對稱面的非對稱彎曲梁，如果是純彎曲，只要外力偶作用在與形心主慣性平面平行的任意平面內，則梁只發(fā)生平面彎曲，而不發(fā)生扭轉；如果是橫力（剪切）彎曲，即使外力作用在形心主慣性平面內，梁除發(fā)生彎曲以外，還會發(fā)生扭轉。CxyzFxzyCFAe二.開口薄壁截面的彎曲中心對于無縱向對稱面的非對稱彎曲梁，如果是純彎曲，只要外力偶作用只有當外力作用在彎心平面內，梁才只發(fā)生平面彎曲。彎心平面：通過彎曲中心與形心主慣性平面平行的平面。彎曲中心：當梁在兩個正交的形心主慣性平面內分別產生平面彎曲時，橫截面上產生的相應兩個剪力作用線的交點，稱為彎曲中心。xzyCFAe只有當外力作用在彎心平面內，梁才只發(fā)生平面彎曲。彎心平面：通yxzCτF(a)τ1τ1eyzCτ1τ1τ(b)腹板:翼緣:yzCFSh′b′BFHFH(c)e′yzCFSB(d)AFSAyxzCτF(a)τ1τ1eyzCτ1τ1τ(b)腹板:翼yzCFSh′b′BFHFH(c)e′yzCFSB(d)AyzCFSh′b′BFHFH(c)e′yzCFSB(d)A彎曲中心：當梁在兩個正交的形心主慣性平面內分別產生平面彎曲時，橫截面上產生的相應兩個剪力作用線的交點A，稱為彎曲中心。e′yzCFSyBFSzA彎曲中心：當梁在兩個正交的形心主慣性平面內分別產生平面彎曲時彎曲中心的確定：截面剪力合力作用點的位置彎曲中心位置與剪力大小無關，僅與截面形狀尺寸有關，如圖槽形截面彎曲中心位置：e′yzCFSBA彎曲中心的確定：截面剪力合力作用點的位置彎曲中心位置與剪力大一些常見開口薄壁截面彎曲中心位置的確定的原則：1.具有兩根對稱軸的截面,其交點就是彎曲中心。zyCA（a）一些常見開口薄壁截面彎曲中心位置的確定的原則：1.具有兩根對

2.具有一根對稱軸的截面，彎曲中心必定位于對稱軸上。(b)yCAz(c)CzyAδzyCA(f)(d)zyCA2.具有一根對稱軸的截面，彎曲中心必定位于3.如果截面由中心線相交一點的兩個狹長矩形所組成，此交點就是彎曲中心。(c)CzyA(d)zyCA4.反對稱截面，反對稱軸交點就是彎曲中心。y.zAC(e)3.如果截面由中心線相交一點的兩個狹長矩形所組成，此zyCAAzyCzyC確定彎曲中心的位置zyCAAzyCzyC確定彎曲中心的位置74可編輯74可編輯主講:符春生第五章彎曲應力主講:符春生第五章彎曲應力yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述純彎曲梁分析截面上正應力彎矩M作用產生什么應力?yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述純彎曲梁FS純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段。MABCDF

aaF§5－2梁彎曲時橫截面上的正應力純彎曲梁：彎矩不為零，剪力為零FS純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段（1）橫線：變形后仍為直線，但轉過一角度，并與縱線仍正交。MM一.純彎曲梁的正應力中性層與橫截面的交線——中性軸z；z（2）縱線：彎成弧線，上部縮短，下部伸長,中間有一層縱線既不伸長，也不縮短——中性層。y對稱軸1﹒幾何關系yz橫線縱線（1）橫線：變形后仍為直線，但轉過一角度，并與縱線仍正交。M（1）平面假設：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；基本假設

（2）單向受力假設：各縱向線（纖維）之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。1122MM（1）平面假設：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；基

（對稱軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y——任一縱線到中性層的距離。dθ——1-1和2-2截面的相對轉角。y中性層1122ρdθa'b'o'1

o'2ba1212o1o2dx（對稱軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y任一條纖維的線應變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'1

o'2任一條纖維的線應變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'12.物理關系:yz⊕?2.物理關系:yz⊕?3.靜力學關系:zySz=0——中性軸z通過橫截面的形心。Iyz=0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。dAzyEIz——彎曲剛度3.靜力學關系:zySz=0——中性軸z通過橫截面的形心說明：(2)符號：①由M與y的符號確定σ的符號；⑴線彈性;彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzzy②由彎曲變形確定。(3)說明：(2)符號：①由M與y的符號確定σ的符號；①z軸為對稱時：②z軸為非對稱時:二.純彎曲正應力公式的推廣ytzyycc①z軸為對稱時：②z軸為非對稱時:二.純彎曲正應力公式的例1：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面,試求以三種截面的最大拉應力。設矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。F＝20kNACB3ｍ3ｍ例1：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同解：該梁C截面的彎矩最大，

Mmax=10×3=30kN.m⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：該梁C截面的彎矩最大，⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ⑵圓形截面⑵圓形截面⑶工字形截面。選用50C號工字鋼,其截面面積為139000mm2。

在承受相同荷載和截面面積相同時，工字梁所產生的最大拉應力最小。反過來說，如果使三種截面所產生的最大拉應力相同時，工字梁所承受的荷載最大。因此，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。結論如下：⑶工字形截面。在承受相同荷載和截面面積相同時§5-3

矩形截面梁的切應力1、兩點假設:

（1）切應力與橫截面的側邊平行（2）切應力沿截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0§5-3矩形截面梁的切應力1、兩點假設:（1）zyτhbFSτ'由切應力互等定理zyτhbFSτ'由切應力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxmnbhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxm2、彎曲切應力公式y(tǒng)——所求點距中性軸的距離。FSFSmnnmMM+dMdxyabmnσ'σ''abmn2、彎曲切應力公式y(tǒng)——所求點距中性軸的距離。FSFSmnndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmFS——橫截面上剪力。Iz——整個橫截面對中性軸z的慣性矩。b——橫截面寬度。S

z*

——橫截面上距中性軸y處橫線一側截面對中性軸的面積矩。dxmnyzabFN1FN2dFy'dAFS——橫截面上剪力。Iz——整個橫截面對中性軸zb——3、切應力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τ＝0＋－比較3、切應力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τF剪切彎曲時，平面假設不再成立mmm'm'γF剪切彎曲時，平面假設不再成立mmm'm'γ1、腹板FS——橫截面上剪力。矩形截面的兩個假定同樣適用。y

zbhdδh1翼緣腹板一、工字形截面梁y§5-4、其他形狀截面梁的切應力1、腹板FS——橫截面上剪力。矩形截面的兩個假定同樣適用。yzdxh1bδδyhFN1FN2dFzdxh1bδδyhFN1FN2dF工字形截面梁腹板上的切應力:FS——橫截面上剪力。Iz——整個工字形截面對中性軸z的慣性矩。d——腹板寬度。Sz*

——距z軸y處橫線一側陰影部分截面對z的面積矩。τmaxy

zbhdδh1y工字形截面梁腹板上的切應力:FS——橫截面上剪力。Iz——τ1τ1（c）其中——面積δ×u對中性軸的面積矩。2、翼緣F’N2'F’N1'Bdxu（b）dFBAzdxubδδuh(a)τ1τ'1τ1τ1（c）其中——面積δ×u對中性軸的面積切應力流：切應力沿截面像水流一樣流動的現(xiàn)象。工字形截面梁切應力的分析方法同樣適用于T字形，槽形，箱形等截面梁。τ1τ1（c）切應力流：切應力沿截面像水流一樣流動的現(xiàn)象。工字形截面梁切應二、圓形截面梁zτmaxydA二、圓形截面梁zτmaxydA三、薄壁圓環(huán)截面梁zR0δ三、薄壁圓環(huán)截面梁zR0δ例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及最大壓應力，并畫出最大剪力截面上的切應力分布圖。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及解:(1)確定橫截面形心的位置.(2)計算橫截面的慣性矩Iz.Iz=186.6×106mm4yc=180q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解:(1)確定橫截面形心的位置.(2)計算橫截面的慣性矩22.5M(kN.m)1.5m40(3)畫剪力、彎矩圖.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=180FS

(kN)3050401.5m22.5M(kN.m)1.5m40(3)畫剪力、彎矩圖.q(4)計算最大拉應力和最大壓應力由于該梁的截面不對稱于中性軸，因而橫面上下邊緣的距離不相等，故需分別計算B、D截面的最大拉應力和最大壓應力，然后比較。(4)計算最大拉應力和最大壓應力由于該梁的截面不對稱于中性

①在B截面上的彎矩為負，故該截面上邊緣各點處產生最大拉應力，下邊緣各點處產生最大壓應力。σtmax=40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4MPa,σcmax=40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6MPa22.5M(kN.m)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180①在B截面上的彎矩為負，故該截面上邊緣各點②D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點處產生最大拉應力，上邊緣各點處產生最大壓應力：σtmax=22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7MPa,σcmax=22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1MPa22.5M(kNm)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180②D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點處產生最大拉應力，111可編輯37可編輯∴σtmax=21.7MPa，

發(fā)生在D截面的下邊緣各點處。σcmax=38.6MPa，

發(fā)生在B截面的下邊緣各點處。∴σtmax=21.7MPa，σcmax=384.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切應力分布:yc=180τ1max4.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSm例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點處分別取四個單元體，試畫出單元體上的應力，并寫出應力的表達式。qABl123l/4h/4l/44zbhττmax例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點處解：(1)求支座反力:(2)畫FS

圖和M圖FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/44解：(1)求支座反力:(2)畫FS圖和M圖FSql/4q12zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4412zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM34zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4434zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM5－4、梁的強度計算

危險點：

最大彎矩截面的上、下底面各點為正應力危險點。最大剪力截面的中性軸各點為切應力危險點。危險截面：最大彎矩截面最大剪力截面一、梁的強度計算5－4、梁的強度計算危險點：最大彎矩截面的上、下底面各1、等截面梁的正應力強度條件為：注：①彎曲容許正應力[σ]彎略大于軸向拉壓容許正應力[σ]軸，一般可取[σ]彎=[σ]軸。②當[σt]

≠[σc]時，需分別計算σtmax和σcmax，使

σtmax≤[σt]

，σcmax≤[σc]。2、等截面梁的切應力強度條件為:

校核強度；

設計截面；

求容許荷載。

強度計算：1、等截面梁的正應力強度條件為：注：①彎曲容許正應力[σ]彎注：①一般情況下，只需按正應力強度條件來進行強度計算，不必對切應力作校核。②特殊情況下，需校核切應力強度。a.FS很大而M

較小。焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當復板高度很高，厚度很小時，腹板上產生相當大的切應力。

c.木梁的順紋向抗剪強度較低，應校核τ順。d、題中給定[τ]。注：①一般情況下，只需按正應力強度條件來進行強度計算，②例4.如圖一簡支木梁。已知：[σt]=[σc]=10MPa，[τ]=2MPa。梁截面為矩形，b=80mm，求高度。2m10kN/mhbz解：由正應力強度條件確定截面高度，再校核切應力強度。1°按正應力強度條件計算h。而例4.如圖一簡支木梁。已知：[σt]=[σc]=可取h=200mm。2°切應力強度校核：

故由正應力強度條件所確定的h=200mm能滿足切應力強度條件?？扇=200mm。2°切應力強度校核：例5.一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料為鑄鐵:[σt]=30MPa，[σc]=90MPa,[τ]=24MPa。試求q的容許值,并校核切應力強度。解：1°畫剪力、彎矩圖，確定危險截面、危險點。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-例5.一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,解：1°2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDlB截面：q≤9.6kN/m∴該梁所受q的容許值為：[q]=9.6kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-B截面：q≤9.6kN/m∴該梁所受q的容許值為：3、校核切應力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-3、校核切應力lqlqDllABCzy86134401802二、提高承載能力的措施1、選擇合理截面形式即Wz/A越大越合理，此時Iz/A也較大，既可提高強度，又可提高剛度。彎矩M與Wz成正比，Wz越大越合理合理截面：是在不增加材料消耗的前提下，盡可能使得Wz越大越合理。二、提高承載能力的措施1、選擇合理截面形式即Wz/A越大如設截面高度為h，可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圓截面合理。選擇截面的形式時，還要考慮材料的性能。塑性：中性軸對稱；脆性：中性軸非對稱,；矩形截面：工字形截面：對圓形截面：如設截面高度為h，可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截2、采用強度較高的材料一般高強度材料的[σ]和[τ]較高。3、采用變截面梁采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。FAB（a）l/2l/2x最合理的變截面梁是等強度梁.σmax=M(x)/W(x)=[σ]M(x)=Fx/2W(x)=bh2(x)/6當高度b=常數(shù)時:2、采用強度較高的材料一般高強度材料的[σ]和[τ]較高。3由切應力強度條件:Fhmin---魚腹梁由切應力強度條件:Fhmin---魚腹梁FhminF/2F/2FyFFFhminF/2F/2FyFF4、改善梁的受力狀況可通過調整支座和改變結構來完成。lqq0.6l0.2l0.2lql2/40ql2/50q