平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件

第十八章平行四邊形復(fù)習(xí)課第十八章平行四邊形復(fù)習(xí)課1平行四邊形☆定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形?！钚再|(zhì)：1、平行四邊形對(duì)邊2、平行四邊形對(duì)角3、平行四邊形對(duì)角線平行相等互相平分相等4、平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形平行四邊形☆定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行2兩條平行線，其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離.平行線的又一性質(zhì)：ab●ABEDCF平行線之間的距離處處相等兩條平行線，其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條3從邊來(lái)判定1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形從角來(lái)判定兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形從對(duì)角線來(lái)判定兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形理一理平行四邊形的判定方法從邊來(lái)判定1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形24定義：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半中位線定理定義：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線5類(lèi)型之一平行四邊形的性質(zhì)1．已知?ABCD的周長(zhǎng)為32，AB＝4，則BC＝ (

) A．4

B．12 C．24 D．28 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC.

∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是32.

∴2(AB＋BC)＝32，

∴AB＋BC＝16.∵AB＝4，

∴BC＝12. 故選B.B類(lèi)型之一平行四邊形的性質(zhì)B62．已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列各圖中∠1與∠2一定不相等的是 (

)

A

BC

D圖18－1C2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列各圖中∠1與∠2一73．如圖18－2，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BC上，如果點(diǎn)F是邊AD上的點(diǎn)，那么△CDF與△ABE不一定全等的條件是(

)圖18－2 A．DF＝BE B．AF＝CE C．CF＝AE D．CF∥AEC3．如圖18－2，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BC上84．[2013·樂(lè)山]如圖18－3，點(diǎn)E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，AD，BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，DF＝3，DE＝2，則?ABCD的周長(zhǎng)為(

)圖18－3 A．5

B．7

C．10

D．14D4．[2013·樂(lè)山]如圖18－3，點(diǎn)E是?ABCD的邊CD95．[2013·攀枝花]如圖18－4所示，已知在?ABCD中，BE＝DF.求證：AE＝CF.

證明：∵BE＝DF，

∴BE－EF＝DF－EF.

∴DE＝BF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠ADE＝∠CBF.5．[2013·攀枝花]如圖18－4所示，已知在?ABCD中10類(lèi)型之二兩條平行線之間的距離6．如圖18－5，直線AB∥CD，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí)，三角形PCD的面積將 (

) A．變大 B．變小 C．不變 D．變大或變小要看點(diǎn)P向左還是向右移動(dòng)圖18－5C類(lèi)型之二兩條平行線之間的距離圖18－5C11平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件12類(lèi)型之三平行四邊形的判定7．如圖18－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BC于點(diǎn)D，在DE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使AF＝CE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形．圖18－6類(lèi)型之三平行四邊形的判定圖18－613證明：如圖，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，第7題答圖∴CE＝AE＝EB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)．又∵AF＝CE，證明：如圖，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，14∴AF＝AE，∴∠3＝∠F.又EB＝EC，ED⊥BC，∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠1＝∠F，∴CE∥AF，∴四邊形ACEF是平行四邊形．平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件15類(lèi)型之四平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用9．[2013·南平]如圖18－8，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且BE＝FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

證明：在?ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，

∵BE＝FD，∴AF＝CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形．圖18－8類(lèi)型之四平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用圖18－81611．如圖18－10，在?ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接DM，BN.圖18－1011．如圖18－10，在?ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，延長(zhǎng)B17求證：(1)△AEM≌△CFN；(2)四邊形BMDN是平行四邊形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.求證：(1)△AEM≌△CFN；18(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊CD.又由(1)得AM＝CN，∴BM綊DN，∴四邊形BMDN是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，1912．如圖18－11，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F. (1)求證：△ABE≌△CDF； (2)連接EF，BD，求證：EF與BD互相平分．圖18－1112．如圖18－11，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于20平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件21(2)如圖，連接EF，BD.∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF且DE∥BF.∴四邊形BFDE是平行四邊形．∴EF與BD互相平分．第12題答圖(2)如圖，連接EF，BD.第12題答圖22平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件2.矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等1.矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形邊：角：對(duì)角線：矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形矩形：2.矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且24矩形的特殊性質(zhì)性質(zhì)1、矩形的四個(gè)角都是直角．性質(zhì)2、矩形的兩條對(duì)角線相等．幾何語(yǔ)言:∵四邊形ABCD是矩形AC=BD∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°矩形的特殊性質(zhì)性質(zhì)1、矩形的四個(gè)角都是直角．性質(zhì)2、矩形的兩25定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形性質(zhì)角邊對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性四個(gè)角都是直角對(duì)邊平行且相等互相平分且相等是軸對(duì)稱(chēng)圖形推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半ACBD∵∠ACB=90°AD=BD∴CD=AB復(fù)習(xí)與回顧定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形性質(zhì)角邊對(duì)角線對(duì)26矩形：提示：判定一個(gè)四邊形是矩形，應(yīng)先認(rèn)清是任意四邊形，還是平行四邊形，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸?。平行四邊形的判定有一個(gè)角是直角的平行四邊形對(duì)角線相等的平行四邊形有三個(gè)角是直角對(duì)角線互相平分且相等矩形：提示：判定一個(gè)四邊形是矩形，應(yīng)先認(rèn)清是任27一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形邊對(duì)角線角菱形的定義菱形的性質(zhì)菱形菱形的兩條對(duì)角線互相平分菱形的兩組對(duì)邊平行菱形的四條邊相等菱形的兩組對(duì)角分別相等菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形邊對(duì)28菱形常用的判定方法有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形有四條邊相等的四邊形是菱形。菱形常用的判定方法有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形對(duì)角線互29四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊平行且相等二組對(duì)邊平行或相等判定回顧四邊形平行四邊形一組對(duì)角平行且相等四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分一組30平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形一個(gè)角是直角矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形一組鄰邊相等平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四31一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形平行四邊形正方形的

兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形的對(duì)邊平行且相等正方形的四個(gè)角都是直角邊對(duì)角線角正方形的定義正方形的性質(zhì)一組鄰邊相等一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方32正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角平行四邊形有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角正方形常見(jiàn)的判定法正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角平行四邊形有一組鄰33平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形34

類(lèi)型之一與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的命題1．[2014·防城港]下列命題是假命題的是 (

) A．四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 C．對(duì)角線垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形本章復(fù)習(xí)課C 類(lèi)型之一與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的命題35

類(lèi)型之二直角三角形斜邊上的中線2．如圖19－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，那么CM＝______．2圖19－1 【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， BC＝2，

∴AB＝2BC＝4.

∵點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)， 類(lèi)型之二直角三角形斜邊上的中線2圖19－1 363．如圖19－2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)．求證：直線MN是線段AC的垂直平分線．圖19－23．如圖19－2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝9037

證明：如圖，連接AM，CM，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中

點(diǎn)，

∵N是AC的中點(diǎn)，

∴直線MN是線段AC的垂直平分線．第3題答圖 證明：如圖，連接AM，CM，第3題答圖38

類(lèi)型之三矩形的性質(zhì)與判定4．[2014·黔東南]如圖19－3，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為 (

)D圖19－3 類(lèi)型之三矩形的性質(zhì)與判定D圖19－339 【解析】設(shè)BE＝x，則CE＝BC－BE

＝16－x，

∵沿EF翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

∴AE＝CE＝16－x.

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，

即82＋x2＝(16－x)2，

解得x＝6，

∴AE＝16－6＝10.

由翻折的性質(zhì)得，∠AEF＝∠CEF，

∵矩形ABCD的對(duì)邊AD∥BC，第4題意圖 【解析】設(shè)BE＝x，則CE＝BC－BE第4題意圖40

∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE.

∴AE＝AF＝10.

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，

∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6.

∴FH＝AF－AH＝10－6＝4. ∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE.41

類(lèi)型之四菱形的性質(zhì)與判定6．[2014·棗莊]如圖19－5，菱形ABCD

的邊長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)A，C作對(duì)角線AC

的垂線，分別交CB和AD的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE＝3，則四邊形AECF

的周長(zhǎng)為 (

) A．22 B．18 C．14 D．11圖19－5A 類(lèi)型之四菱形的性質(zhì)與判定圖19－5A42 【解析】在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，

∵AE⊥AC，∴∠BAC＋∠BAE＝∠BCA＋∠E＝90°，

∴∠BAE＝∠E，∴BE＝AB＝4，∴EC＝BE＋BC＝4＋4＝8，

同理可得AF＝8，

∵AD∥BC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF的周長(zhǎng)＝2(AE＋EC)＝2(3＋8)＝22. 【解析】在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，437．[2014·牡丹江]如圖19－6，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列結(jié)論：①AE＝BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (

) A．3 B．4 C．1 D．2圖19－6A7．[2014·牡丹江]如圖19－6，在菱形ABCD中，E是44 【解析】連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，

∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，

同理：∠DBF＝60°，即∠A＝∠DBF.

易知△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，

第7題答圖 【解析】連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，第7題答圖45

∵∠ADE＋∠BDE＝60°，∠BDE＋∠BDF＝∠EDF＝60°，

∴∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF，∴DE＝DF，AE＝BF，故①正確；

∵∠EDF＝60°，∴△EDF是等邊三角形，∴②正確；

∴∠DEF＝60°，∴∠AED＋∠BEF＝120°，

∵∠AED＋∠ADE＝180°－∠A＝120°，∴∠ADE＝∠BEF，故④正確；

∵△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，

同理：BE＝CF，但BE不一定等于BF.故③錯(cuò)誤．

綜上所述，結(jié)論正確的是①②④. ∵∠ADE＋∠BDE＝60°，∠BDE＋∠BDF＝∠EDF468．[2014·淄博]已知?ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使?ABCD成為一個(gè)菱形．你添加的條件是______________________．AB＝BC或AC⊥BD等8．[2014·淄博]已知?ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于479．[2013·宜昌]如圖19－7，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE＝AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF.(1)請(qǐng)你判斷所畫(huà)四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)連結(jié)EF，若AE＝8cm，∠A＝60°，求線段EF的長(zhǎng)．9．[2013·宜昌]如圖19－7，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩48

解：(1)四邊形AEDF是菱形．

理由：根據(jù)題意得AE＝AF＝ED＝DF，

∴四邊形AEDF是菱形． (2)如圖，連接EF，

∵AE＝AF，∠A＝60°，

∴△EAF是等邊三角形，

∴EF＝AE＝8cm.第9題答圖 解：(1)四邊形AEDF是菱形．第9題答圖4910．如圖19－8，△ABC中，AD是BC

邊上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，

過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，與AC，AE分

別交于點(diǎn)O，E，連接EC. (1)求證：AD＝EC； (2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形； (3)在(2)的條件下，若AB＝AO，且OD＝a，求菱形ADCE的周長(zhǎng)．圖19－810．如圖19－8，△ABC中，AD是BC圖19－850

解：(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD.

∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.

∴AE＝CD，AE∥CD.

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∴AD＝EC. (2)證明∵當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，

∴四邊形ADCE是菱形． 解：(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB，51 (3)∵四邊形ADCE是菱形，

∴對(duì)角線AC⊥DE，且O是DE中點(diǎn)．

∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB＝DE.

又∵AB＝AO，OD＝a，

∴AO＝DE＝2OD＝2a. (3)∵四邊形ADCE是菱形，52

類(lèi)型之五正方形的性質(zhì)與判定11．[2013·鄂州]如圖19－9，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)． (1)求證：△ADE≌△ABF； (2)求△AEF的面積．圖19－9 類(lèi)型之五正方形的性質(zhì)與判定圖19－953

解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝BC.

∵E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BF.

∴△ADE≌△ABF.

解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，54 (2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形， (2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形，5512．如圖19－10，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方

形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且 AF＝BP＝CQ＝DE.

求證：(1)EF＝FP＝PQ＝QE； (2)四邊形EFPQ是正方形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.

∵AF＝BP＝CQ＝DE，

∴DF＝CE＝BQ＝AP.圖19－1012．如圖19－10，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方圖19－1056

在△APF，△DFE，△CEQ和△BQP中，

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，

∴EF＝FP＝PQ＝QE. (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，

∴四邊形EFPQ是菱形．

∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.

∵∠AFP＋∠APF＝90°.

∴∠APF＋∠BPQ＝90°.

∴∠FPQ＝90°，

∴四邊形EFPQ是正方形． 在△APF，△DFE，△CEQ和△BQP中，5713．如圖19－11，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形． (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．圖19－1113．如圖19－11，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交58 【解析】(1)利用等邊三角形三線合一得DB⊥AC，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． (2)由等邊三角形得∠AEC＝60°，由∠AED＝2∠EAD，得∠EAD＝15°，于是∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，則∠ADC＝2∠ADO＝90°，從而四邊形ABCD是正方形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO＝CO.又∵△ACE是等邊三角形，

∴EO⊥AC，即DB⊥AC，

∴?ABCD是菱形． (2)∵△ACE是等邊三角形，∴∠AEC＝60°. 【解析】(1)利用等邊三角形三線合一得DB⊥AC，對(duì)角線59

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，

∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，

∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴四邊形ABCD是正方形．平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件601．[2014·濟(jì)寧改編]如圖1，正方形AEFG的頂

點(diǎn)E，G在正方形ABCD的邊AB，AD上，

連接BF，DF.

求證：BF＝DF.

證明：∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°.

∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，

∴BE＝DG.

∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF.培優(yōu)選練（六）以正方形為背景的證明與計(jì)算圖11．[2014·濟(jì)寧改編]如圖1，正方形AEFG的頂培優(yōu)612．[2014·天水]如圖2，在正方形ABCD中，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，

∠ADE＝∠CDF. (1)求證：AE＝CF； (2)連接DB交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OB至點(diǎn)G，使OG＝OD，連接EG，F(xiàn)G，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說(shuō)明理由．

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°.

∵∠ADE＝∠CDF，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF.

∴AE＝CF.

圖22．[2014·天水]如圖2，在正方形ABCD中，圖262 (2)四邊形DEGF是菱形．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD＝∠DBC＝45°(正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角)， AB＝BC(正方形鄰邊相等)．

∵AE＝CF(已證)，

∴AB－AE＝BC－CF(等式的性質(zhì))，

即BE＝BF.

易得△BOE≌△BOF，

∴OE＝OF.

∵OD＝OG，

∴四邊形DEGF是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)，

∵DE＝DF，∴?DEGF是菱形． (2)四邊形DEGF是菱形．633．[2014·梅州]如圖3，在正方形ABCD中， E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

且DF＝BE. (1)求證：CE＝CF； (2)若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，

則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

解：(1)在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°.

∴∠CDF＝90°.

∴∠B＝∠CDF＝90°，

∵BE＝DF，

∴△BEC≌△DFC.

∴CE＝CF.圖33．[2014·梅州]如圖3，在正方形ABCD中，圖364 (2)成立．理由如下：

∵△BEC≌△DFC，

∴∠1＝∠2.

∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°.

∴∠1＋∠3＝45°.

∴∠2＋∠3＝45°，即∠GCF＝45°.

∴∠GCE＝∠GCF＝45°，

∵EC＝FC，GC＝GC，

∴△EGC≌△FGC.

∴EG＝FG.

∵FG＝FD＋DG＝EB＋DG，

∴EG＝EB＋DG.第3題答圖 (2)成立．理由如下：第3題答圖654．[2014·鄂州]在平面內(nèi)，正方形ABCD

與正方形CEFH如圖4放置，連接DE， BH，兩線交于點(diǎn)M.

求證：(1)BH＝DE； (2)BH⊥DE.

證明：(1)∵四邊形ABCD和四邊形CEFH

都是正方形，

∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°.

∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH.

∴∠BCH＝∠DCE.

在△BCH和△DCE中，圖44．[2014·鄂州]在平面內(nèi)，正方形ABCD圖466

∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，

∴△BCH≌△DCE.

∴BH＝DE. (2)如圖，連接BD.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DBC＋∠BDC＝90°.

∵△BCH≌△DCE，

∴∠CBH＝∠CDE.

∴∠DBM＋∠BDM＝∠DBM＋∠CDE＋∠BDC＝∠DBM＋∠ CBH＋

∠BDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°.

∴∠BMD＝180°－(∠DBM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°.

∴BH⊥DE.第4題答圖 ∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，第4題答圖675．[2014·臨沂]問(wèn)題情境：如圖5(1)，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM. (1)證明：AM＝AD＋MC； (2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖5(2)，(1)、(2)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明．5．[2014·臨沂]問(wèn)題情境：如圖5(1)，四邊形ABCD68

圖5

解：(1)證法一：

如答圖(1)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AM，垂足為F，第5題答圖(1) 圖5第5題答圖(1)69

∵AE平分∠DAM，

∴ED＝EF，

在Rt△AEF和Rt△AED中，

∴Rt△AEF≌Rt△AED，

∴AF＝AD.

連接ME，

∵E是CD邊的中點(diǎn)，

∴ED＝CE.

∵ED＝EF，

∴CE＝EF，

∵AE平分∠DAM，70

在Rt△MEF和Rt△MEC中，

∴Rt△MEF≌Rt△MEC.

∴FM＝CM.

∵AM＝AF＋FM，

∴AM＝AD＋MC.

在Rt△MEF和Rt△MEC中，71

證法二：

如答圖(2)，把△ADE繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，使DE和CE重合．第5題答圖(2) 證法二：第5題答圖(2)72

∴點(diǎn)A，E，A′在同一直線上，點(diǎn)M，C，A′在同一直線上，∠DAE＝∠EA′C，AD＝A′C.

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠MAE.

∴∠EA′C＝∠MAE.

∴AM＝MA′.

∵M(jìn)A′＝MC＋CA′，

∴AM＝AD＋MC. ∴點(diǎn)A，E，A′在同一直線上，點(diǎn)M，C，A′在同一直線上，73 (2)如答圖(3)把△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD和AB重合．

∴∠DAE＝∠BAE′，∠AED＝∠E′，DE＝E′B.

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠MAE，

∵AB∥CD，第5題答圖(3) (2)如答圖(3)把△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD74

∴∠AED＝∠BAE，

∵∠BAE＝∠BAM＋∠MAE，

∴∠BAE＝∠BAM＋∠BAE′，

∴∠BAE＝∠MAE′，

∴∠E′＝∠MAE′，

∴AM＝E′M，

∵E′M＝E′B＋BM，

∴AM＝DE＋BM. (3)AM＝AD＋MC，成立．與(1)中(證法二)一樣的證明過(guò)程． AM＝DE＋BM不成立． ∴∠AED＝∠BAE，756．[2014·日照](1)如圖6(1)，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：CE＝CF； (2)如圖6(2)，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD. (3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖6(3)，在四邊形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求四邊形ABCD的面積．6．[2014·日照](1)如圖6(1)，在正方形ABCD中76

解：(1)證明：∵四邊形是ABCD正方形，

∴BC＝CD，∠B＝∠ADC＝90°.

∴∠FDC＝90°.

∴∠B＝∠FDC.

∵BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF.

∴CE＝CF.

圖6 解：(1)證明：∵四邊形是ABCD正方形，圖677 (2)證明：如圖答圖(1)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使DF＝BE，連接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF.

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°.

又∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠GCE＝45°.

∵CE＝CF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG.

∴GE＝GF.

∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD. (2)證明：如圖答圖(1)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使DF＝BE，78 (3)如答圖(2)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

在四邊形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A＝∠B＝90°，

又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，第6題答圖(1)

第6題答圖(2) (3)如答圖(2)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G79

∴四邊形ABCG為正方形．

∴AG＝BC.

∵∠DCE＝45°，

根據(jù)(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.

∴10＝4＋DG，

即DG＝6.

設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中， DE2＝AD2＋AE2，即102＝(x－6)2＋(x－4)2.

解這個(gè)方程，得x＝12或x＝－2(舍去)．

∴AB＝12.

即四邊形ABCD的面積為108. ∴四邊形ABCG為正方形．80第十八章平行四邊形復(fù)習(xí)課第十八章平行四邊形復(fù)習(xí)課81平行四邊形☆定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形?！钚再|(zhì)：1、平行四邊形對(duì)邊2、平行四邊形對(duì)角3、平行四邊形對(duì)角線平行相等互相平分相等4、平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形平行四邊形☆定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行82兩條平行線，其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離.平行線的又一性質(zhì)：ab●ABEDCF平行線之間的距離處處相等兩條平行線，其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條83從邊來(lái)判定1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形從角來(lái)判定兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形從對(duì)角線來(lái)判定兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形理一理平行四邊形的判定方法從邊來(lái)判定1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形284定義：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半中位線定理定義：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線85類(lèi)型之一平行四邊形的性質(zhì)1．已知?ABCD的周長(zhǎng)為32，AB＝4，則BC＝ (

) A．4

B．12 C．24 D．28 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC.

∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是32.

∴2(AB＋BC)＝32，

∴AB＋BC＝16.∵AB＝4，

∴BC＝12. 故選B.B類(lèi)型之一平行四邊形的性質(zhì)B862．已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列各圖中∠1與∠2一定不相等的是 (

)

A

BC

D圖18－1C2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列各圖中∠1與∠2一873．如圖18－2，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BC上，如果點(diǎn)F是邊AD上的點(diǎn)，那么△CDF與△ABE不一定全等的條件是(

)圖18－2 A．DF＝BE B．AF＝CE C．CF＝AE D．CF∥AEC3．如圖18－2，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BC上884．[2013·樂(lè)山]如圖18－3，點(diǎn)E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，AD，BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，DF＝3，DE＝2，則?ABCD的周長(zhǎng)為(

)圖18－3 A．5

B．7

C．10

D．14D4．[2013·樂(lè)山]如圖18－3，點(diǎn)E是?ABCD的邊CD895．[2013·攀枝花]如圖18－4所示，已知在?ABCD中，BE＝DF.求證：AE＝CF.

證明：∵BE＝DF，

∴BE－EF＝DF－EF.

∴DE＝BF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠ADE＝∠CBF.5．[2013·攀枝花]如圖18－4所示，已知在?ABCD中90類(lèi)型之二兩條平行線之間的距離6．如圖18－5，直線AB∥CD，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí)，三角形PCD的面積將 (

) A．變大 B．變小 C．不變 D．變大或變小要看點(diǎn)P向左還是向右移動(dòng)圖18－5C類(lèi)型之二兩條平行線之間的距離圖18－5C91平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件92類(lèi)型之三平行四邊形的判定7．如圖18－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BC于點(diǎn)D，在DE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使AF＝CE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形．圖18－6類(lèi)型之三平行四邊形的判定圖18－693證明：如圖，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，第7題答圖∴CE＝AE＝EB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)．又∵AF＝CE，證明：如圖，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，94∴AF＝AE，∴∠3＝∠F.又EB＝EC，ED⊥BC，∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠1＝∠F，∴CE∥AF，∴四邊形ACEF是平行四邊形．平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件95類(lèi)型之四平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用9．[2013·南平]如圖18－8，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且BE＝FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

證明：在?ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，

∵BE＝FD，∴AF＝CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形．圖18－8類(lèi)型之四平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用圖18－89611．如圖18－10，在?ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接DM，BN.圖18－1011．如圖18－10，在?ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，延長(zhǎng)B97求證：(1)△AEM≌△CFN；(2)四邊形BMDN是平行四邊形．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.求證：(1)△AEM≌△CFN；98(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊CD.又由(1)得AM＝CN，∴BM綊DN，∴四邊形BMDN是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，9912．如圖18－11，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F. (1)求證：△ABE≌△CDF； (2)連接EF，BD，求證：EF與BD互相平分．圖18－1112．如圖18－11，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于100平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件101(2)如圖，連接EF，BD.∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF且DE∥BF.∴四邊形BFDE是平行四邊形．∴EF與BD互相平分．第12題答圖(2)如圖，連接EF，BD.第12題答圖102平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件2.矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等1.矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形邊：角：對(duì)角線：矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形矩形：2.矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且104矩形的特殊性質(zhì)性質(zhì)1、矩形的四個(gè)角都是直角．性質(zhì)2、矩形的兩條對(duì)角線相等．幾何語(yǔ)言:∵四邊形ABCD是矩形AC=BD∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°矩形的特殊性質(zhì)性質(zhì)1、矩形的四個(gè)角都是直角．性質(zhì)2、矩形的兩105定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形性質(zhì)角邊對(duì)角線對(duì)稱(chēng)性四個(gè)角都是直角對(duì)邊平行且相等互相平分且相等是軸對(duì)稱(chēng)圖形推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半ACBD∵∠ACB=90°AD=BD∴CD=AB復(fù)習(xí)與回顧定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形性質(zhì)角邊對(duì)角線對(duì)106矩形：提示：判定一個(gè)四邊形是矩形，應(yīng)先認(rèn)清是任意四邊形，還是平行四邊形，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸?。平行四邊形的判定有一個(gè)角是直角的平行四邊形對(duì)角線相等的平行四邊形有三個(gè)角是直角對(duì)角線互相平分且相等矩形：提示：判定一個(gè)四邊形是矩形，應(yīng)先認(rèn)清是任107一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形邊對(duì)角線角菱形的定義菱形的性質(zhì)菱形菱形的兩條對(duì)角線互相平分菱形的兩組對(duì)邊平行菱形的四條邊相等菱形的兩組對(duì)角分別相等菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形邊對(duì)108菱形常用的判定方法有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形有四條邊相等的四邊形是菱形。菱形常用的判定方法有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形對(duì)角線互109四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊平行且相等二組對(duì)邊平行或相等判定回顧四邊形平行四邊形一組對(duì)角平行且相等四條邊都相等菱形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相平分一組110平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形一個(gè)角是直角矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形一組鄰邊相等平行四邊形菱形定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四111一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形平行四邊形正方形的

兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形的對(duì)邊平行且相等正方形的四個(gè)角都是直角邊對(duì)角線角正方形的定義正方形的性質(zhì)一組鄰邊相等一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方112正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角平行四邊形有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角正方形常見(jiàn)的判定法正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角平行四邊形有一組鄰113平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形114

類(lèi)型之一與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的命題1．[2014·防城港]下列命題是假命題的是 (

) A．四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 C．對(duì)角線垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形本章復(fù)習(xí)課C 類(lèi)型之一與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的命題115

類(lèi)型之二直角三角形斜邊上的中線2．如圖19－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，那么CM＝______．2圖19－1 【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， BC＝2，

∴AB＝2BC＝4.

∵點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)， 類(lèi)型之二直角三角形斜邊上的中線2圖19－1 1163．如圖19－2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)．求證：直線MN是線段AC的垂直平分線．圖19－23．如圖19－2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90117

證明：如圖，連接AM，CM，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中

點(diǎn)，

∵N是AC的中點(diǎn)，

∴直線MN是線段AC的垂直平分線．第3題答圖 證明：如圖，連接AM，CM，第3題答圖118

類(lèi)型之三矩形的性質(zhì)與判定4．[2014·黔東南]如圖19－3，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為 (

)D圖19－3 類(lèi)型之三矩形的性質(zhì)與判定D圖19－3119 【解析】設(shè)BE＝x，則CE＝BC－BE

＝16－x，

∵沿EF翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

∴AE＝CE＝16－x.

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，

即82＋x2＝(16－x)2，

解得x＝6，

∴AE＝16－6＝10.

由翻折的性質(zhì)得，∠AEF＝∠CEF，

∵矩形ABCD的對(duì)邊AD∥BC，第4題意圖 【解析】設(shè)BE＝x，則CE＝BC－BE第4題意圖120

∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE.

∴AE＝AF＝10.

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，

∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6.

∴FH＝AF－AH＝10－6＝4. ∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE.121

類(lèi)型之四菱形的性質(zhì)與判定6．[2014·棗莊]如圖19－5，菱形ABCD

的邊長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)A，C作對(duì)角線AC

的垂線，分別交CB和AD的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE＝3，則四邊形AECF

的周長(zhǎng)為 (

) A．22 B．18 C．14 D．11圖19－5A 類(lèi)型之四菱形的性質(zhì)與判定圖19－5A122 【解析】在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，

∵AE⊥AC，∴∠BAC＋∠BAE＝∠BCA＋∠E＝90°，

∴∠BAE＝∠E，∴BE＝AB＝4，∴EC＝BE＋BC＝4＋4＝8，

同理可得AF＝8，

∵AD∥BC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF的周長(zhǎng)＝2(AE＋EC)＝2(3＋8)＝22. 【解析】在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，1237．[2014·牡丹江]如圖19－6，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列結(jié)論：①AE＝BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (

) A．3 B．4 C．1 D．2圖19－6A7．[2014·牡丹江]如圖19－6，在菱形ABCD中，E是124 【解析】連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，

∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，

同理：∠DBF＝60°，即∠A＝∠DBF.

易知△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，

第7題答圖 【解析】連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，第7題答圖125

∵∠ADE＋∠BDE＝60°，∠BDE＋∠BDF＝∠EDF＝60°，

∴∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF，∴DE＝DF，AE＝BF，故①正確；

∵∠EDF＝60°，∴△EDF是等邊三角形，∴②正確；

∴∠DEF＝60°，∴∠AED＋∠BEF＝120°，

∵∠AED＋∠ADE＝180°－∠A＝120°，∴∠ADE＝∠BEF，故④正確；

∵△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，

同理：BE＝CF，但BE不一定等于BF.故③錯(cuò)誤．

綜上所述，結(jié)論正確的是①②④. ∵∠ADE＋∠BDE＝60°，∠BDE＋∠BDF＝∠EDF1268．[2014·淄博]已知?ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使?ABCD成為一個(gè)菱形．你添加的條件是______________________．AB＝BC或AC⊥BD等8．[2014·淄博]已知?ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于1279．[2013·宜昌]如圖19－7，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE＝AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF.(1)請(qǐng)你判斷所畫(huà)四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)連結(jié)EF，若AE＝8cm，∠A＝60°，求線段EF的長(zhǎng)．9．[2013·宜昌]如圖19－7，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩128

解：(1)四邊形AEDF是菱形．

理由：根據(jù)題意得AE＝AF＝ED＝DF，

∴四邊形AEDF是菱形． (2)如圖，連接EF，

∵AE＝AF，∠A＝60°，

∴△EAF是等邊三角形，

∴EF＝AE＝8cm.第9題答圖 解：(1)四邊形AEDF是菱形．第9題答圖12910．如圖19－8，△ABC中，AD是BC

邊上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，

過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，與AC，AE分

別交于點(diǎn)O，E，連接EC. (1)求證：AD＝EC； (2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形； (3)在(2)的條件下，若AB＝AO，且OD＝a，求菱形ADCE的周長(zhǎng)．圖19－810．如圖19－8，△ABC中，AD是BC圖19－8130

解：(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD.

∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.

∴AE＝CD，AE∥CD.

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∴AD＝EC. (2)證明∵當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，

∴四邊形ADCE是菱形． 解：(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB，131 (3)∵四邊形ADCE是菱形，

∴對(duì)角線AC⊥DE，且O是DE中點(diǎn)．

∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB＝DE.

又∵AB＝AO，OD＝a，

∴AO＝DE＝2OD＝2a. (3)∵四邊形ADCE是菱形，132

類(lèi)型之五正方形的性質(zhì)與判定11．[2013·鄂州]如圖19－9，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)． (1)求證：△ADE≌△ABF； (2)求△AEF的面積．圖19－9 類(lèi)型之五正方形的性質(zhì)與判定圖19－9133

解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝BC.

∵E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BF.

∴△ADE≌△ABF.

解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，134 (2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形， (2)由題知△ABF，△ADE，△CEF均為直角三角形，13512．如圖19－10，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方

形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且 AF＝BP＝CQ＝DE.

求證：(1)EF＝FP＝PQ＝QE； (2)四邊形EFPQ是正方形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.

∵AF＝BP＝CQ＝DE，

∴DF＝CE＝BQ＝AP.圖19－1012．如圖19－10，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方圖19－10136

在△APF，△DFE，△CEQ和△BQP中，

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，

∴EF＝FP＝PQ＝QE. (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，

∴四邊形EFPQ是菱形．

∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.

∵∠AFP＋∠APF＝90°.

∴∠APF＋∠BPQ＝90°.

∴∠FPQ＝90°，

∴四邊形EFPQ是正方形． 在△APF，△DFE，△CEQ和△BQP中，13713．如圖19－11，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形． (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．圖19－1113．如圖19－11，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交138 【解析】(1)利用等邊三角形三線合一得DB⊥AC，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． (2)由等邊三角形得∠AEC＝60°，由∠AED＝2∠EAD，得∠EAD＝15°，于是∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，則∠ADC＝2∠ADO＝90°，從而四邊形ABCD是正方形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO＝CO.又∵△ACE是等邊三角形，

∴EO⊥AC，即DB⊥AC，

∴?ABCD是菱形． (2)∵△ACE是等邊三角形，∴∠AEC＝60°. 【解析】(1)利用等邊三角形三線合一得DB⊥AC，對(duì)角線139

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，

∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°，

∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴四邊形ABCD是正方形．平行四邊形矩形菱形正方形復(fù)習(xí)課課件1401．[2014·濟(jì)寧改編]如圖1，正方形AEFG的頂

點(diǎn)E，G在正方形ABCD的邊AB，AD上，

連接BF，DF.

求證：BF＝DF.

證明：∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°.

∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，

∴BE＝DG.

∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF.培優(yōu)選練（六）以正方形為背景的證明與計(jì)算圖11．[2014·濟(jì)寧改編]如圖1，正方形AEFG的頂培優(yōu)1412．[2014·天水]如圖2，在正方形ABCD中，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，

∠ADE＝∠CDF. (1)求證：AE＝CF； (2)連接DB交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OB至點(diǎn)G，使OG＝OD，連接EG，F(xiàn)G，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說(shuō)明理由．

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°.

∵∠ADE＝∠CDF，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF.

∴AE＝CF.

圖22．[2014·天水]如圖2，在正方形ABCD中，圖2142 (2)四邊形DEGF是菱形．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD＝∠DBC＝45°(正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角)， AB＝BC(正方形鄰邊相等)．

∵AE＝CF(已證)，

∴AB－AE＝BC－CF(等式的性質(zhì))，

即BE＝BF.

易得△BOE≌△BOF，

∴OE＝OF.

∵OD＝OG，

∴四邊形DEGF是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)，

∵DE＝DF，∴?DEGF是菱形． (2)四邊形DEGF是菱形．1433．[2014·梅州]如圖3，在正方形ABCD中， E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

且DF＝BE. (1)求證：CE＝CF； (2)若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，

則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

解：(1