直線和橢圓?？碱}型

直線和圓錐曲線?？碱}型運用的知識：1、兩條直線l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直：則k1k2rr01；兩條直線垂直，則直線所在的向量v1gv22、韋達定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個不同的根x1,x2，則x1x2b,x1x2c。aa3、中點坐標(biāo)公式：xx1x2,yy1y2，其中x,y是點A(x1,y1)，B(x2,y2)的中點坐標(biāo)。224、弦長公式：若點A(x1,y1)，B(x2,y2)在直線ykxb(k0)上，則y1kx1b，y2kx2b，這是同點縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB(xx)2(yy)2(xx)2(kxkx)2(1k2)(x1x)2(1k2)[(xx)24xx]1212121221212或者AB(xx)2(yy)2(1x1x)2(yy)2(11)(yy)2(11y2)24y1y2]。1212k1k212212k21k題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線l:ykx1與橢圓C:x2y21始終有交點，求m的取值范圍4m解：1m且m4。題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點T(-1,0)作直線l與曲線N：2xx,0)ABE交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點，使得E(0是等邊三角形，若存在，求出 x0；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線l:yk(x1)，k0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。yk(x1)(2k21)xk20由x消y整理，得k2x2①y2由直線和拋物線交于兩點，得(2k21)24k44k210即0k21②4由韋達定理，得：x1x22k21,x1x21。k2則線段AB的中點為(2k21,1)。2k22k線段的垂直平分線方程為：1112k2y2kk(x2k2)令y=0,得x011，則E(11,0)2k222k22ABE為正三角形，E(121,0)到直線AB的距離d為3AB。2k22QAB(x1x2)2(y1y2)214k2g1k2d1k2k22k314k2g1k21k22k22k解得k39此時x0513滿足②式，3。題型三：動弦過定點的問題例題3、已知橢圓C：x2y21(ab0)的離心率為3，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。a2b22（I）求橢圓的方程；（II）若直線l:xt(t2)與x軸交于點T,點P為直線l上異于點T的任一點，直線PA,PA分別與橢圓交12于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論解：（I）由已知橢圓C的離心率ec3，a2,則得c3,b1。a2從而橢圓的方程為x2y214（II）設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線A1M的斜率為k1,則直線A1M的方程為yk1(x2)，由yk1(x2)消y整理得(14k12)x216k2x16k1240x24y242和x1是方程的兩個根，2x116k124則x128k12，y114k1，14k1214k124k12即點M的坐標(biāo)為(28k12,4k1)，14k214k211同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為(8k222,4k2)14k214k222Qypk1(t2),ypk2(t2)k1k22，k1k2tQ直線MN的方程為：yy1y2y1，xx1x2x1令y=0，得xx2y1x1y2，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：x4y1y2t4又Qt 2， 0 2tQ橢圓的焦點為 ( 3,0)4433，即t3t43故當(dāng)t時，MN過橢圓的焦點。3題型四：過已知曲線上定點的弦的問題例題4、已知點A、B、C是橢圓E：x2y21(ab0)上的三點，其中點A(23,0)是橢圓的右頂點，a2b2uuuruuur0，uuuruuur直線BC過橢圓的中心O，且ACBCBC2AC，如圖。g求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II) 若橢圓E上存在兩點 P、Q，使得直線 PC與直線QC關(guān)于直線x 3對稱，求直線 PQ的斜率。uuur uuur解：(I) QBC 2AC

，且BC過橢圓的中心 Ouuur uuurOC ACQuuuruuurgACO2又QA(23,0)點C的坐標(biāo)為(3,3)。QA(23,0)是橢圓的右頂點，a23，則橢圓方程為：x2y2112b2將點C(3,3)代入方程，得b24，橢圓E的方程為x2y21124(II)Q直線PC與直線QC關(guān)于直線x3對稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為k，從而直線PC的方程為：y3k(x3)，即ykx3(1k)，由ykx3(1k)消y，整理得：(13k2)x263k(1k)x9k218k30x23y2120Qx3是方程的一個根，xPg39k218k3即xP9k218k313k23(13k2)同理可得：xQ9k218k33(13k2)QyPyQkxP3(1k)kxQ3(1k)＝k(xPxQ)12k23k＝3k2)3(1xPxQ9k218k39k218k3＝36k3(13k2)3(13k2)3(13k2)kPQyPyQ1則直線PQ的斜率為定值1。xPxQ33題型五：面積問題例題5、已知橢圓C：x2y21（a＞b＞0）的離心率為6,短軸一個端點到右焦點的距離為3。a2b23（Ⅰ）求橢圓 C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線 l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點 O到直線l的距離為 3，求△AOB面積的最大值。2c6，x2y2解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意a3b1，所求橢圓方程為1。a3，3（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)。（1）當(dāng)AB⊥x軸時， AB 3。（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線 AB的方程為y kx m。由已知m3，得m23(k21)。k1224把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x26km，x1x23(m21)。3k213k21AB(1k2)(xx)2(1k2)36k2m212(m21)221(3k21)23k2112(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k21)2(3k21)2312k2312(k0)≤3124當(dāng)且僅當(dāng)9k21，即k3時等號成立。9k46k219k216236k23k2當(dāng)k0時，AB3，綜上所述ABmax2。當(dāng)AB最大時，△AOB面積取最大值S133ABmax2。22問題六：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例6、設(shè)F1、F2分別是橢圓x2y21的左、右焦點。4（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求 PF1·PF2的最大值和最小值；（Ⅱ）設(shè)過定點 M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點 A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍。解：（Ⅰ）易知 a 2,b 1,c 3 所以F1 3,0,F2 3,0，設(shè)Px,y，則uuuruuuurx2y23x21x213x2PF1PF23x,y,3x,y3844因為

x

2,2

，故當(dāng)

x

0，即點

P為橢圓短軸端點時，

uuurPF1

uuuurPF2

有最小值

2當(dāng)x

2，即點

P為橢圓長軸端點時，

uuurPF1

uuuurPF2有最大值

1（Ⅱ）顯然直線 x 0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線 l:y kx 2,Ax1,y2,Bx2,y2，ykx2212聯(lián)立，消去y，整理得：4kx30x2y2kx144∴x1x24k,x1x23k21k2144由4k24k134k230得：k3或k3又42200A0B900cosA0B0uuuruuur0OAOBuuuruuur∴OAOBx1x2y1y20y1y2kx12kx22k2x1x22kx1x243k28k24k21k21k21k21444∵3k210，即k24∴2k2k21k2144故由①、②得33k22k或22題型七、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例7、設(shè)橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E恒有兩個交點 A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求 |AB|的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓 E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,所以解得所以橢圓 E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E恒有兩個交點 A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得 ,即,則△=,即,要使, 需使,即,所以,所