雞兔同籠經(jīng)典試題解析

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經(jīng)典試題

【例一】小芳家養(yǎng)了一些雞和兔子，同時(shí)養(yǎng)在一個(gè)籠子里，小芳數(shù)了數(shù)，它們共有35個(gè)頭，94只腳．問：小芳家養(yǎng)的雞和兔各有多少只（

基本假設(shè)法）

【解析】方法一：抬腿法。每只動(dòng)物都抬起2條腿，剩下94-35×2=24.剩下的每只兔子兩條腿，所以共有12只兔子。

方法二：假設(shè)35只都是兔子，那么就有35×4=140(只)腳，假設(shè)的比實(shí)際的多了140-94=46(只)．多46只的原因是35只里不全是兔子，現(xiàn)在我們得把雞給換回來，

一只兔子換一只雞會(huì)少2條腿，所以得換46÷2=23只雞回來。

方法三：還可以假設(shè)35只都是雞，那么共有腳2×35=70(只)，比94只腳少了94-70=24(只)腳，每只雞比兔子少2只腳，那么共有兔子24÷2=12(只)．

要點(diǎn)：“抬腿”法簡單易操作，但適用范圍較??；“假設(shè)法“稍有難度，但必須掌握，因?yàn)榧僭O(shè)法在以后很多題目中都會(huì)用到，比如工程問題和行程問題等。

一般假設(shè)法總結(jié)：假設(shè)兔子，得出雞；假設(shè)雞，得出兔子。（方便孩子做題，但千萬不能單純記憶）

【例題2】動(dòng)物園里養(yǎng)了一些梅花鹿和鴕鳥，共有腳208只，鴕鳥比梅花鹿多20只，梅花鹿和鴕鳥各有多少只（

變型假設(shè)法）

【解析】方法一：假設(shè)鴕鳥數(shù)跟梅花鹿一樣多，那么總腳數(shù)就得減去多出來20只鴕鳥的40只腳，新的總腳數(shù)就是168只。鴕鳥和梅花鹿一樣多，

所以梅花鹿的腿數(shù)是鴕鳥的兩倍。那么168只就是3倍，所以梅花鹿的腿數(shù)是112條，就由28只，鴕鳥是48只。

方法二：假設(shè)梅花鹿數(shù)跟鴕鳥一樣多，那么總腳數(shù)就得增加80只腳，新的總腳數(shù)就是288只。梅花鹿和鴕鳥一樣多，所以梅花鹿的腿數(shù)是鴕鳥的兩倍。

那么288只就是3倍，所

以鴕鳥有96條腿，就有48只，梅花鹿有28只。

要點(diǎn)：和倍問題與雞兔同籠

【例題3】在一個(gè)停車場上，現(xiàn)有車輛41輛，其中汽車有4個(gè)輪子，摩托車有3個(gè)輪子，這些車共有127個(gè)輪子，那么三輪摩托車有多少輛（

變型題）

【解析】假設(shè)都是三輪摩托車，應(yīng)有3×41=123輪子，少了127-123=4(個(gè))輪子．每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車，會(huì)減少4-3=1(個(gè))輪子．汽車有4÷1=4(輛)；

從而求出三輪摩托車有37輛．同理，可假設(shè)都是汽車。

要點(diǎn)：基礎(chǔ)變型練習(xí)，學(xué)生要敏銳的發(fā)現(xiàn)隱藏的雞兔同籠。

【例題4】100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃．問：大、小和尚各有多少人（

變型題）

【解析】本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得．如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解．

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多160個(gè)．現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3-1=2（個(gè)），

因?yàn)?60÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100-80=20（人）．

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，這里不再作說明．

要點(diǎn)：基礎(chǔ)變型練習(xí)，學(xué)生要敏銳的發(fā)現(xiàn)隱藏的雞兔同籠。

【例題5】（中國古代僧粥問題）一百個(gè)和尚剛好喝一百碗粥，一個(gè)大和尚喝三碗粥，三個(gè)小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少個(gè)，小和尚有多少個(gè)（

變型題）

【解析】我們把大碗換小碗，換小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，則原題變?yōu)橐话賯€(gè)和尚喝三百碗粥，一個(gè)大和尚喝九碗粥，一個(gè)小和尚喝一碗粥．

然后仍然用假設(shè)法：

假設(shè)都是小和尚，只能喝1×100=100（碗）粥，有一個(gè)大和尚被當(dāng)成小和尚會(huì)少9-1=8（碗）粥，一共少了300-100=200（碗）粥．所以大和尚有200÷8=25（個(gè)）；

小和尚有100-25=75（個(gè)）．

要點(diǎn)：轉(zhuǎn)化的思想，把大碗換小碗，換小碗盛粥。

【例題6】工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元．運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)（

變型題）

【解析】本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差100+20=120（元），即損1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要賠償100元．

本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)20×250=5000（元）．這樣比實(shí)際多得5000-4400=600（元）．

就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子，損壞1個(gè)花瓶相差120元．現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個(gè)花瓶．根據(jù)以上分析，可得損壞了600÷120=5個(gè)

要點(diǎn)：一來一回是學(xué)生經(jīng)常犯的錯(cuò)誤。

【例題7】甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，約定每中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各打10發(fā)，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中多少發(fā)？

【解析】乙得分為（208-64）÷2=72（分），如果乙每發(fā)都打中可以得20×10=200（分），脫靶一發(fā)少20+12=32（分）；乙脫靶（200-72）÷32=4（發(fā)），

所以乙打中10-4=6（發(fā)）。

要點(diǎn)-和差問題與雞兔同籠

【例題8】一張數(shù)學(xué)試卷，只有25道選擇題．做對一題得4分，做錯(cuò)一題倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做對____題，

做錯(cuò)_____題，沒做___題．（有難度的變型題）

【解析】這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索．

小明得了78分，而且只有做對了題目才能得分．

78÷4>19，所以可以知道小明至少做對20道題目，否則一定低于4×19=76(分)；

再假設(shè)他做對21題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯(cuò)，小明仍然有21×4-4×1=80(分)，超過了78分，所以小明至多做對20道題目；

綜上，可以斷定小明做對了20道題．

至此本題轉(zhuǎn)化為簡單雞兔同籠問題．

假設(shè)剩下5題全部沒做，那么小明應(yīng)得4×20=80(分)．

但是只得了78分，說明又倒扣了2分，說明錯(cuò)了2道題，3道題沒做．

所以小明做對了20道題，做錯(cuò)了2道題，沒做3道題．

要點(diǎn)：得分、扣分、不給分相當(dāng)于三種動(dòng)物，不能直接用雞兔同籠。

【例題9】光華小學(xué)3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題，

小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們?nèi)艘还泊饘α薩____道題.

【解析】三人共得87+74+9=170(分)，比滿分10×10×3=300(分)，少300-170=130(分)

因此三個(gè)人共做錯(cuò)：130÷(10+3)=10(道)題，

共答對了30-10=20(道)題

要點(diǎn)：合起來算比單個(gè)算更節(jié)省時(shí)間，給孩子提供合起來算的思路。

【例題10】李明和張亮輪流打一份稿件，李明每天打15頁，張亮每天打10頁，他們一連打了25天，平均每天打12頁，

問李明、張亮各打了多少天（

為工程問題假設(shè)法做準(zhǔn)備）

【解析】從總數(shù)入手，由題意可知他們一共打了25×12=300(頁)．假設(shè)25天都是李明打的，那么打的頁數(shù)是：15×25=375(頁)，

比實(shí)際打的多375-300=75(頁)，而李明每天比張亮多打：15-10=5(頁)，所以張亮打的天數(shù)是：75÷5=15(天)，李明打的天數(shù)是：25-15=10(天)

要點(diǎn)：為工程問題中的假設(shè)法做準(zhǔn)備

【例題11】使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水20千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水40千克．根據(jù)農(nóng)科院專家的意見，把兩種農(nóng)藥混起來用可以提高藥效，

現(xiàn)有兩種農(nóng)藥共50千克，要配藥水1400千克，那么，其中甲種農(nóng)藥用了多少千克？（濃度問題中的假設(shè)法）

【解析】假設(shè)50千克都是乙種農(nóng)藥，那么需要兌水40×50=2000（千克）．但題目要求配藥水1400千克，即實(shí)際兌水1400-50=1350（千克）．

多用了2000-1350=650（千克）水，又已知使用乙種農(nóng)藥每千克兌水需要比使用甲種農(nóng)藥多兌水40-20=20（千克），所以推知，

在混合農(nóng)藥中甲種農(nóng)藥有650÷20=（千克）．

要點(diǎn)：濃度問題比較抽象，用雞兔同籠有些難度，需要加深對濃度問題的認(rèn)識。

【例題12】一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛．已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

【解析】要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸．利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每

輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144(噸)．根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9(輛)小卡車．這樣每輛小卡車能裝144÷9=16(噸)．

由此可求出這批鋼材有720噸．

要點(diǎn)：列方程會(huì)簡單，但算數(shù)的辦法會(huì)更有意思，激發(fā)孩子的興趣?！纠}13】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20對。問蜻蜓有多少只（

蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀）【解析】可用假設(shè)法來求解：先假設(shè)全都是6只腳的蟬則蜘蛛有：（118-6×18）÷（8-6）=5（只），那么蟬和蜻蜓共有18-5=13（只）再假設(shè)全都是一對翅膀的，則蜻蜓就有：（20-1×13）÷（2-1）=7（只），蟬有：13-7=6（只）要點(diǎn)：先要腳開始進(jìn)行假設(shè)，求出其中一種動(dòng)物，在從翅膀著手進(jìn)一步假設(shè)求出另兩種動(dòng)物，這其中知識繞了個(gè)彎子而已！【例題14】現(xiàn)有大、小桶共50個(gè)，每個(gè)大桶可裝油6千克，每個(gè)小桶可裝油3千克，大小桶共裝有210千克油。問大、小油桶各有多少個(gè)？

【解析】可以假設(shè)都是大油桶，那么共裝油50x6=300（千克），這樣比實(shí)際多出300-210=90（千克）；多出來的90千克不是50個(gè)都是大油桶，所以我們現(xiàn)在要拿大油桶去換回小油桶，一個(gè)大油桶比一個(gè)小油桶多裝6-3=3（千克），在用多出來90÷3=30（個(gè)）即為小油桶的個(gè)數(shù)，大油桶就等于50-30=20（個(gè)）當(dāng)然我們也可以假設(shè)全都是小油桶，